16.2023年槐荫区学业水平第三次模拟试题-2023年山东省济南市中考三模数学试题

— 91 — — 92 — — 93 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 1 2 023 的相反数是 (　 　 ) A. 2 023　 B. -2 023　 C. 1 2 023 　 D. - 1 2 023 2. 故宫又称紫禁城,位于北京中轴线的中心,占地面积高达 720 000 平方米,在世界宫殿建筑群中面积 最大. 请将 720 000 用科学记数法表示应为 (　 　 ) A. 0. 72×105 　 B. 7. 2×105 　 C. 7. 2×104 　 D. 72×103 3. 某公园供游客休息的石板凳如图所示,它的左视图是 (　 　 ) A. 　 B. 　 C. 　 D. 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 8 题图 4. 如图,AB∥CD,∠BGF= 158°,FG 平分∠DFE,则∠AEF 的度数为 (　 　 ) A. 42°　 B. 44°　 C. 48°　 D. 52° 5. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文 化遗产代表作名录. 鱼与“余”同音,寓意生活富裕、年年有余,是剪纸艺术中很受喜爱的主题. 以下 关于鱼的剪纸中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. 　 B. 　 C. 　 D. 6. 如果 y= -x+3,且 x≠y,那么代数式 2x x2 -y2 + 1 y-x 的值为 (　 　 ) A. - 1 3 　 B. 1 3 　 C. -3　 D. 3 7. 现将正面分别写有“道路自信”“理论自信”“制度自信”和“文化自信”的四张卡片(除卡片正面的内 容不同外,其余完全相同)背面朝上放在桌面上,混合均匀后从中随机一次抽取两张卡片,则恰好抽 到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率是 (　 　 ) A. 1 6 　 B. 1 5 　 C. 1 4 　 D. 1 3 8. 已知一次函数 y= kx+m(k,m 为常数,k≠0)的图象如图所示,则正比例函数 y= -kx 和反比例函数 y= m x 在同一坐标系中的图象大致是 (　 　 ) A. 　 B. 　 C. 　 D. 9. 如图,在▱ABCD 中,以点 B 为圆心,以适当长为半径作弧,分别交 AB,BC 于点 F,G,再分别以点 F,G 为圆心,以大于 1 2 FG 的长为半径作弧,两弧交于点 H,作射线 BH 交 AD 于点 E,连接 CE. 若 AE= 10, DE= 6,CE= 8,则 BE 的长为 (　 　 ) A. 2 41 　 B. 40 2 　 C. 4 5 　 D. 8 5 10. 若点 A(n+1,y1),B(n-2,y2)在抛物线 y=ax2 -2ax+a2 +1 (a<0)上,且 y1 <y2,则 n 的取值范围是 (　 　 ) A. n≥3　 B. n> 3 2 　 C. 0<n<3　 D. n≤0 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 因式分解:9a2 -1 = . 12. 若小球在如图所示的地面上自由滚动,并随机停留在某块方砖上,则它最终停留在黑色区域的概率 是 . 第 12 题图 　 　 第 13 题图 　 　 第 14 题图 13. 将正六边形与正方形按如图所示摆放,且正六边形的边 AB 与正方形的边 CD 在同一条直线上,则 ∠BOC 的度数为 . 14. 如图,在菱形 ABCD 中,∠B = 60°,AB = 6,扇形 AEF 的半径为 6,圆心角为 60°,则阴影部分的面积 为 . 15. 在平面直角坐标系中,点A1 从原点出发,沿如图所示的方向运动,到达位置的坐标依次为A2(1,0),A3(1,1), A4( -1,1),A5( -1,-1),A6(2,-1),A7(2,2),…. 若到达终点 An(506,-505),则 n 的值为 . 第 15 题图 　 　 图 1 　 图 2 第 16 题图 16. 公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图” . 将两个“赵爽弦图” (如图 1)中的两个正方形和八个直角三角形按图 2 方式摆放围成正方形 MNPQ,记空隙处正方形 ABCD、正方形 EFGH 的面积分别为 S1,S2(S1 >S2 ),则下列四个判断:①S1 +S2 = 1 4 S四边形MNPQ;②DG = 2AF;③若∠EMH = 30°,则 S1 = 4S2; ④若 A 是线段 FG 的中点,则 3S1 = 4S2 . 其中正确的序号 是 . 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算: | -3 | -2tan 60°+ 12 + 1 3( ) -1 . 18. (6 分)解不等式组: 5x+2≥4x+1, x+1 4 >x -3 2 +1, ì î í ï ï ïï 并求出所有整数解. 19. (6 分)已知:如图,AC 是▱ABCD 的对角线,过点 D 作 DE⊥CD,交 AC 于点 E,过点 B 作 BF⊥AB,交 AC 于点 F. 求证:CE=AF. 20. (8 分)我市为达成“移动 5G 乡乡通”的建设目标,截至 2020 年 12 月,全市范围内已成功建成 5G 基站 429 个. 如图,在坡度 i= 1 ∶ 2. 4 的斜坡 CB 上有一建成的基站塔 AB,小聪在坡脚 C 测得塔顶 A 的仰角为 45°,然后他沿坡面 CB 行走 13 米到达 D 处,在 D 处测得塔顶 A 的仰角为 53°,点 A,B,C, D 均在同一平面内. (参考数据:sin 53°≈ 4 5 ,cos 53°≈ 3 5 ,tan 53°≈ 4 3 ) 求:(1)D 处的竖直高度; (2)基站塔 AB 的高. 16 2023 年槐荫区学业水平第三次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 94 — — 95 — — 96 — 21. (8 分)为增强学生垃圾分类意识,推动垃圾分类进校园,某中学组织七、八年级学生参加了“垃圾分 类知识竞赛”(满分 100 分) . 该校数学兴趣小组为了解学生竞赛分数情况,随机在七、八年级各抽 取了 20 名学生的成绩,已知抽查得到的七年级的数据如下: 80,95,75,75,90,75,80,65,80,85, 75,65,70,65,85,70,95,80,75,80. 为了便于分析数据,统计员对七年级的数据进行了整理,如表: 成绩等级 分数 /分 学生数 D 等 60<x≤70 5 C 等 70<x≤80 a B 等 80<x≤90 b A 等 90<x≤100 2 两个年级成绩的平均数、中位数、优秀率如表:(分数 80 分以上、不含 80 分为优秀) 年级 平均数 中位数 优秀率 七年级 78 c m% 八年级 76 82. 5 50% (1)a= ,b= ,c= ,m= ; (2)七年级秀秀和八年级清清的分数都为 80 分,判断秀秀、清清在各自年级的排名哪位更靠前,并 说明理由; (3)如果该校七、八年级各有学生 2 000 人,估计该校七、八年级此次“垃圾分类知识竞赛”成绩优秀 的总人数. 22. (8 分)如图,AB 是☉O 的直径,C,D 是☉O 上的两点,且 AD ( =CD ( ,连接 AC,BD 交于点 E,☉O 的切 线 AF 与 BD 的延长线相交于点 F,A 是切点. (1)求证:AF=AE; (2)若 AB= 8,BC= 2,求 AF 的长. 23. (10 分)为做好疫情的防控工作,某单位需购买甲、乙两种消毒液. 经了解每桶甲种消毒液的零售价 比乙种消毒液的零售价多 6 元,该单位以零售价分别用 900 元和 720 元采购了相同桶数的甲、乙两 种消毒液. (1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元; (2)由于疫情防控进入常态化,该单位需再次购买两种消毒液共 300 桶,且甲种消毒液的桶数不少 于乙种消毒液的桶数,由于购买量大,甲、乙两种消毒液分别获得了 20 元 /桶、15 元 /桶的批发价, 当甲种消毒液购买多少桶时,所需资金总额最少? 最少总金额是多少元? 24. (10 分)如图,已知反比例函数 y= 4 x (x>0)的图象经过点 A(m,1),动点 M 在反比例函数图象上的 点 A 和 y 轴之间移动,B(0,-2)是 y 轴上一点,连接 MA,MB,AB. (1)求直线 AB 的表达式; (2)过点 M 作 MN∥y 轴交直线 AB 于点 N. ①求出△MBN 面积的最大值; ②是否存在点 N,使得△OBN 为等腰三角形? 若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由. 25. (12 分)(1)【观察猜想】 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,∠BAC = ∠DAE = 45°,DE = AE,将 △ADE 绕点 A 逆时针旋转到如图 2 所示的位置,连接 BD 交 AC 于点 G,连接 CE 交 BD 于点 F,则 BD CE 的值为 ,∠BFC 的度数为 ; (2)【类比探究】 如图 3,当∠ACB= ∠AED= 90°,∠BAC= ∠DAE= 30°时,请求出BD CE 的值及∠BFC 的度数; (3)【拓展应用】 如图 4,在四边形 ABDC 中,AC=BC,∠ACB= 90°,∠BDC= 45°. 若 CD= 8,BD= 6,请直接写出 A,D 两 点之间的距离. 图 1 　 图 2 　 图 3 　 图 4 26. (12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = ax2 +2 3 3 x+c 与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),其中点 A( - 3 ,0),tan∠ACO= 3 3 . (1)求抛物线的表达式; (2)线段 OB 上有一动点 P,连接 PC,当 PC+ 1 2 PB 的值最小时,请直接写出此时点 P 的坐标和 PC+ 1 2 PB 的最小值; (3)如图 2,D 是直线 BC 上方抛物线上一点,连接 AD,BC 交于点 E,连接 BD. 记△BDE 的面积为 S1,△ABE 的面积为 S2,求 S1 S2 的最大值. 图 1 　 图 2 ∴ 点M的坐标为 ( - 6,3+2 62 )或(-2 6,-3+2 6). 同理可得点 N 的坐标为 ( 6 ,3-2 62 ) 或(2 6 ,-3 -2 6 ) . ∵ 点 M,N 的位置可以互换, ∴ 点 M 的坐标为 ( 6 ,3-2 62 ) 或(2 6 ,-3-2 6 ) 或 ( - 6 ,3+2 62 )或(-2 6 ,-3+2 6 ) . 16 2023 年槐荫区学业水平第三次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B B C B A D D B 1. D　 【解析】 1 2 023 的相反数是- 1 2 023 . 故选 D. 2. B　 【解析】720 000 = 7. 2×105 . 故选 B. 3. B　 【解析】这个石板凳的左视图如图: . 故选 B. 4. B　 【解析】 ∵ AB∥CD,∴ ∠BGF + ∠DFG = 180°. ∵ ∠BGF = 158°, ∴ ∠DFG = 180° - ∠BGF = 22°. ∵ FG 平分∠DFE,∴ ∠DFE = 2∠DFG = 44°. ∵ AB∥ CD,∴ ∠AEF= ∠DFE= 44°. 故选 B. 5. C　 【解析】A 是轴对称图形,但不是中心对称图形, 故本选项不符合题意;B 不是轴对称图形,但是中心 对称图形,故本选项不符合题意;C 既是中心对称图 形,又是轴对称图形,故本选项符合题意;D 是轴对 称图形,但不是中心对称图形,故本选项不符合题 意. 故选 C. 6. B　 【解析】原式= 2x (x+y)(x-y) - x+y (x+y)(x-y) = 2x-x-y (x+y)(x-y) = 1 x+y . ∵ y = -x+3,∴ x+y = 3. ∴ 原式 = 1 3 . 故选 B. 7. A　 【解析】设“道路自信”为 A,“理论自信”为 B, “制度自信”为 C,“文化自信”为 D,画树状图如下: 一共有 12 种等可能结果,其中恰好抽到写有“文化 自信”和“理论自信”的卡片的结果有 2 种,∴ 恰好 抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率 是 2 12 = 1 6 . 故选 A. 8. D　 【解析】一次函数 y = kx+m(k,m 为常数,k≠0) 的图象经过第一、三、四象限,则 k>0,m<0,∴ -k<0. ∴ 正比例函数 y = -kx 的图象经过第二、四象限,反 比例函数 y= m x 的图象也经过第二、四象限. 观察选 项,只有选项 D 符合题意. 故选 D. 9. D　 【解析】如图,过点 A 作 AJ∥CE 交 BC 于点 J. ∵ 四边形 ABCD 是平行四 边形,∴ AD∥BC. ∴ ∠AEB = ∠CBE. ∵ AJ∥CE,AE∥ CJ,∴ 四边形 AJCE 是平行 四边形. ∴ AJ = CE. ∵ BE 平分 ∠ABC,∴ ∠ABE = ∠CBE. ∴ ∠ABE = ∠AEB. ∴ AB = AE = CJ = 10,AJ = CE= 8. ∵ DE= 6,∴ AD=BC = AE+DE = 16. ∴ BJ =BC -CJ= 16-10 = 6. ∴ AB2 =BJ2 +AJ2 . ∴ ∠AJB= 90°. ∵ AJ∥CE,∴ ∠BCE= ∠AJB= 90°. ∴ BE= BC2 +CE2 = 162 +82 = 8 5 . 故选 D. 10. B　 【解析】∵ y=ax2 -2ax+a2 +1 =a(x2 -2x+1)+a2 - a+1 =a(x-1) 2 +a2 -a+1. ∵ a< 0,∴ 抛物线开口向 下,对称轴为直线 x= 1. ①若点 A(n+1,y1)在直线 x= 1 的右边,点 B(n-2,y2)在直线 x= 1 的左边,则 n+1>1, n-2<1,{ 且 1-(n-2)<n+1-1. 解得 3 2 <n<3;②若 点 A(n+1,y1),B(n-2,y2)都在直线 x = 1 的右边, 则 n-2≥1, n+1>1.{ 解得 n≥3. 综上所述,n> 3 2 . 故选 B. 11. (3a+1)(3a-1) 　 【解析】原式 = (3a) 2 - 12 = (3a+ 1)(3a-1) . 12. 3 8 　 【解析】共有 16 块方砖,黑色区域的面积为 12 个 小三角形,即 6 块方砖,∴ P(它最终停留在黑色区域) = 6 16 = 3 8 . 13. 30°　 【解析】 ∵ ∠OBC = 360° ÷ 6 = 60°,∠OCB = 90°,∴ ∠BOC= 180°-60°-90° = 30°. 14. 6π-9 3 　 【解析】如图,连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠B= 60°,∴ AB = AD = CD = BC = 6,∠BCD = ∠BAD= 120°. ∴ ∠1 = ∠2 = ∠B = 60°. ∴ △ABC 是等边三角形. ∴ ∠4+∠5 = 60°,AB = AC. ∵ 扇形 AEF 的圆心角为 60°,∴ ∠3 + ∠5 = 60°. ∴ ∠3 = ∠4. 设 AF,CD 相交于点 G,BC,AE 相交于点 H. 在 △ABH 和 △ACG 中, ∠3 = ∠4, AC=AB ∠2 = ∠B, { ∴ △ABH ≌ △ACG(ASA) . ∴ 四边形 AGCH 的面积等于△ABC 的面积. 在等边三角形 ABC 中,AB = 6,∴ 边 AB 上 的高为 3 3 . ∴ S△ABC = 1 2 ×6×3 3 = 9 3 . ∴ 图中阴 影部分的面积为 S扇形AEF-S△ABC = 60π×62 360 -9 3 = 6π- 9 3 . 15. 2 022　 【解析】∵ 到达终点 An(506,-505),且此点 在第四象限,根据题意和到达位置的坐标可知点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —45— A6(2,-1),A10(3,-2),A14(4,-3)…∴ 6= 2+4×(2-1), 10 = 2+4×(3- 1),14 = 2+ 4×(4- 1),…,n = 2+ 4× (506-1)= 2 022. 16. ①②　 【解析】设在“赵爽弦图”中,直角三角形的 较短直角边为 a,较长直角边为 b,斜边为 c,则小 正方形的边长为 b-a. ∴ 正方形 ABCD 的面积 S1 = b2,正方形 EFGH 的面积 S2 = a 2 . ∴ S1 +S2 = a 2 +b2 = c2 . ∵ 正方形 MNPQ 的边长为 2c,∴ 正方形 MNPQ 的面积 = (2c) 2 = 4c2 . ∴ S1 +S2 = 1 4 S四边形MNPQ . 故① 正确;∵ AF= b-a,∴ AG = FG-AF = a-(b-a)= 2a- b. ∴ DG=AD-AG = b-(2a- b) = 2( b-a) . ∴ DG = 2AF. 故②正确;∵ ∠EMH= 30°,∠MHE= 90°, ∴ MH= 3EH. ∴ b = 3 a. ∴ b2 = 3a2 . ∴ S1 = 3S2 . 故 ③错误;∵ A 是线段 FG 的中点,∴ AG =AF. ∴ 2a-b = b-a. ∴ 2b = 3a. ∴ 4b2 = 9a2 . ∴ 4S1 = 9S2 . 故④错 误. ∴ 正确的是①②. 17.解:原式= 3-2 3 +2 3 +3 = 6. 18.解: 5x+2≥4x+1,① x+1 4 > x-3 2 +1,②{ 解不等式①,得 x≥-1. 解不等式②,得 x<3. ∴ 该不等式组的解集是-1≤x<3. ∴ 该不等式组的所有整数解为-1,0,1,2. 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥CD. ∴ ∠DCE= ∠BAF. 又∵ DE⊥CD,BF⊥AB,∴ ∠CDE= ∠ABF= 90°. 在△DCE 和△BAF 中, ∠DCE= ∠BAF, CD=AB, ∠CDE= ∠ABF, { ∴ △DCE≌△BAF(ASA) . ∴ CE=AF. 20.解:(1)如图,过点 C,D 分别作 AB 的垂线,分别交 AB 的延长线于点 F,E,过点 D 作 DM ⊥ CF 于 点 M. ∵ 斜坡 CB 的坡度为 i = 1 ∶ 2. 4, ∴ DM CM = 1 2. 4 = 5 12 . 设 DM = 5k 米, 则 CM = 12k 米. 在 Rt△CDM 中,CD= 13 米, 由勾股定理,得 CM2 +DM2 =CD2 , 即(12k) 2 +(5k) 2 = 132 . 解得 k= 1(负值舍去) . ∴ DM= 5 米,CM= 12 米. ∴ D 处的竖直高度为 5 米. (2)∵ CF⊥AB,DE⊥AB,DM⊥CF, ∴ 四边形 DEFM 是矩形. ∴ EF=DM= 5 米,DE=FM. ∵ 斜坡 CB 的坡度为 i= 1 ∶ 2. 4, 设 BE= 5a 米,则 DE=MF= 12a 米. ∵ ∠ACF= 45°, ∴ △ACF 是等腰直角三角形. ∴ AF=CF=CM+FM= (12+12a)米. ∴ AE=AF-EF= 12+12a-5 = (7+12a)米. 在 Rt△ADE 中,DE= 12a 米,AE= (7+12a)米, ∵ tan∠ADE= AE DE = tan 53°≈ 4 3 , ∴ 7 +12a 12a ≈ 4 3 . 解得 a= 7 4 . ∴ AE= 7+12a= 28 米,BE= 5a= 35 4 米. ∴ AB=AE-BE= 28-35 4 = 77 4 (米) . 答:基站塔 AB 的高为77 4 米. 21.解:(1)由数据的统计可得 a= 10,b= 3. 将七年级 20 名学生的成绩从小到大排列,处在中 间位置的两个数的平均数为 75+80 2 = 77. 5(分),因 此中位数是 77. 5 分,即 c= 77. 5. 七年级这 20 名学生成绩的优秀率为3 +2 20 × 100% = 25% ,即 m= 25. 故答案为 10;3;77. 5;25. (2)七年级秀秀在年级的排名更靠前. 理由如下: 因为七年级的中位数是 77. 5,八年级的中位数是 82. 5,所以七年级秀秀和八年级清清的分数都为 80 分,但秀秀在年级的排名更靠前. (3)2 000×25%+2 000×50% =500+1 000=1 500(人). 答:估计该校七、八年级此次“垃圾分类知识竞赛” 成绩优秀的总人数为 1 500. 22. (1)证明:如图,连接 AD. ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB= ∠ADF= 90°. ∴ ∠F+∠DAF= 90°. ∵ AF 是☉O 的切线, ∴ ∠BAF= 90°. ∴ ∠F+∠ABF= 90°. ∴ ∠DAF= ∠ABF. ∵ AD ( =CD ( ,∴ ∠ABF= ∠CAD. ∴ ∠DAF= ∠CAD. ∴ ∠F= ∠AEF. ∴ AF=AE. (2)解:∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠C= 90°. ∵ AB= 8,BC= 2, ∴ AC= AB2 -BC2 = 82 -22 = 2 15 . ∵ ∠C= ∠BAF= 90°,∠CEB= ∠AEF= ∠F, ∴ △BCE∽△BAF. ∴ BC BA =CE AF ,即 2 8 =CE AF . ∴ CE= 1 4 AF. ∵ AF=AE,∴ CE= 1 4 AE. ∵ AE+CE=AC= 2 15 , ∴ AE= 8 15 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —55— ∴ AF=AE= 8 15 5 . 23.解:(1)设乙种消毒液的零售价是 x 元 /桶,则甲种 消毒液的零售价是(x+6)元 /桶. 依题意,得900 x+6 = 720 x . 解得 x= 24. 经检验,x= 24 是原方程的解,且符合题意. ∴ x+6 = 24+6 = 30. 答:甲种消毒液的零售价是 30 元 /桶,乙种消毒液 的零售价是 24 元 /桶. (2)设购买甲种消毒液 m 桶,则购买乙种消毒液 (300-m)桶. 依题意,得 m≥300-m. 解得 m≥150. 设所需资金总额为 w 元,则 w= 20m+15(300-m)= 5m+4 500. ∵ 5>0,∴ w 随 m 的增大而增大. ∴ 当 m= 150 时,w 取得最小值,最小值 = 5× 150+ 4 500 = 5 250. 答:当甲种消毒液购买 150 桶时,所需资金总额最 少,最少总金额是 5 250 元. 24.解:(1)设直线 AB 的表达式为 y= kx+b. ∵ 点 A(m,1)在反比例函数 y= 4 x 的图象上, ∴ m= 4. ∴ 点 A 的坐标为(4,1) . ∴ 4k +b= 1, b= -2.{ 解得 k= 3 4 , b= -2. { ∴ 直线 AB 的表达式为 y= 3 4 x-2. (2)①设点 N 的坐标为 a, 3 4 a-2( ) ,则点 M 的坐 标为 a, 4 a( ) . ∴ MN= 4 a - 3 4 a-2( ) = 4a - 3 4 a+2. ∴ S△MBN = 1 2 MN·xM = 1 2 × 4 a - 3 4 a+2( ) ×a= - 38 a 2 + a+2 = - 3 8 a- 4 3( ) 2 + 8 3 . ∴ △MBN 面积的最大值为 8 3 . ②存在. 如图,过点 N 作 NH⊥y 轴 于点 H,连接 ON. 当 ON=NB 时,H 是 OB 的 中点, ∴ 点 N 的纵坐标为- 1,即 3 4 a-2 = -1. 解得 a= 4 3 . 此时,点N的坐标为 4 3 ,-1( ) ; 当 ON=OB= 2 时,a2 + 3 4 a-2( ) 2 = 22 , 整理,得25 16 a2 -3a= 0. 解得 a1 = 0(舍去),a2 = 48 25 . ∴ y= 3 4 ×48 25 -2 = -14 25 . 此时,点 N 的坐标为 48 25 ,- 14 25( ) ; 当 NB=OB= 2 时,a2 + 3 4 a-2+2( ) 2 = 22 , 整理,得25 16 a2 -4 = 0. 解得 a1 = - 8 5 (舍去),a2 = 8 5 . ∴ y= 3 4 × 8 5 -2 = - 4 5 . 此时,点 N 的坐标为 8 5 ,- 4 5( ) . 综上所述,点 N 的坐标为 4 3 ,-1( ) 或 4825,- 14 25( ) 或 8 5 ,- 4 5( ) . 25.解:(1) ∵ ∠ACB = 90°,∠BAC = ∠DAE = 45°,DE = AE,∴ △ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形. ∴ AD AE =AB AC = 2 . ∵ ∠BAD = ∠BAC+∠CAD,∠CAE = ∠DAE+∠CAD, ∴ ∠BAD= ∠CAE. ∴ △BAD∽△CAE. ∴ BD CE =AD AE = 2 ,∠ABD= ∠ACE. 又∵ ∠AGB= ∠CGF,∴ ∠BFC = ∠BAC = 45°. 故答 案为 2 ;45°. (2)∵ ∠ACB= ∠AED= 90°,∠BAC= ∠DAE= 30°, ∴ DE= 1 2 AD,BC= 1 2 AB,AE= 3DE,AC= 3BC. ∴ AD AE =AB AC = 2 3 3 . ∵ ∠BAD= ∠BAC+∠CAD,∠CAE = ∠DAE+∠CAD, ∴ ∠BAD= ∠CAE. ∴ △BAD∽△CAE. ∴ BD CE =AD AE = 2 3 3 ,∠ABD= ∠ACE. 又∵ ∠AGB= ∠CGF, ∴ ∠BFC= ∠BAC= 30°. (3)如图,以 AD 为斜 边在 AD 的右侧作等 腰直角三角形 ADM, 连接 CM. ∵ AC=BC, ∠ACB= 90°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —65— ∴ △ABC 是等腰直角三角形. ∴ ∠BAC=∠DAM=45°, AB AC = AD AM = 2 . ∴ ∠BAC-∠DAC= ∠DAM-∠DAC, 即∠BAD= ∠CAM. ∴ △BAD∽△CAM. ∴ ∠ABD= ∠ACM,BD CM =AB AC = 2 . 又∵ BD= 6,∴ CM= 6 2 = 3 2 . ∵ 四边形 ABDC 的内角和为 360°,∠BDC = 45°, ∠BAC= 45°,∠ACB= 90°, ∴ ∠ABD+∠BCD= 180°. ∴ ∠ACM+∠BCD= 180°. ∴ ∠DCM= 90°. ∴ DM= CD2 +CM2 = 82 +(3 2 ) 2 = 82 . ∴ AD= 2DM= 2 41 . ∴ A,D 两点之间的距离为 2 41 . 26.解:(1)∵ 点 A(- 3 ,0),∴ OA= 3 . ∵ tan∠ACO=OA OC = 3 3 ,∴ OC= 3. ∴ 点 C(0,3) . 将点 A,C 的坐标代入 y=ax2 +2 3 3 x+c,得 3a-2+c= 0, c= 3.{ ∴ a= - 1 3 , c= 3. { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 3 x2 +2 3 3 x+3. (2)令 y= 0,则 y= - 1 3 x2 +2 3 3 x+3 = 0, 解得 x= - 3或 x= 3 3 . ∴ 点 B(3 3 ,0) . ∴ OB= 3 3 . ∴ tan∠OBC=OC OB = 3 3 . ∴ ∠OBC= 30°,∠OCB= 60°. 如图 1,作点 C 关于 x 轴的对称点 C′,过点 C′作 C′H⊥BC 于点 H,C′H 与 x 轴的交点即为所求点 P,连接 PC. ∴ PH= 1 2 PB. ∴ PC+ 1 2 PB=PC+PH=PC′+PH=C′H. ∵ OC=OC′= 3,∴ CC′= 6. ∴ C′H= sin∠C′CH·CC′= sin 60°×6 = 3 3 . ∵ PC′=PC,∴ ∠PCC′= ∠PC′C= 30°. ∴ OP= tan∠PCC′·OC= tan 30°×3 = 3 . 综上所述,当 PC+ 1 2 PB 的值最小时,点 P 的坐标 为( 3 ,0),最小值为 3 3 . 图 1 　 图 2 (3)如图 2,过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G,交 BC 于点 F,过点 A 作 AK⊥x 轴交 BC 于点 K. ∴ DG∥AK. ∴ △DEF∽△AEK. ∴ S1 S2 =DE AE =DF AK . ∵ 点 C(0,3),B(3 3 ,0), ∴ 直线 BC 的表达式为 y= - 3 3 x+3. 设点 D 的横坐标为 t. ∴ 点 D t,- 1 3 t2 + 2 3 3 t+3( ) . ∴ 点 F t,- 3 3 t+3( ) ,K(- 3 ,4) . ∴ AK= 4,DF= - 1 3 t2 +2 3 3 t+3- - 3 3 t+3( ) = - 13 t2 + 3 t. ∴ S1 S2 =DF AK = - 1 12 t2 + 3 4 t= - 1 12 t- 3 3 2( ) 2 + 9 16 . ∴ 当 t= 3 3 2 时, S1 S2 取得最大值,最大值为 9 16 . 17 2023 年天桥区学业水平第三次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C B D A B A C C 1. A　 【解析】-2 023 的绝对值是 2 023. 故选 A. 2. B　 【解析】根据从正面看到的形状图可以将 A,C, D 排除. 故选 B. 3. C　 【解析】286 000 = 2. 86×105 . 故选 C. 4. B 　 【解析】由题意知,∠B = 180° - ∠BAC - ∠1 = 35°. ∵ a∥b,∴ ∠2 = ∠B= 35°. 故选 B. 5. D　 【解析】A 不是轴对称图形,也不是中心对称图 形,不符合题意;B 是轴对称图形,但不是中心对称 图形,不符合题意;C 是轴对称图形,但不是中心对 称图形,不符合题意;D 是轴对称图形,也是中心对 称图形,符合题意. 故选 D. 6. A　 【解析】将“宫” “商” “角” “徵” “羽”分别记为 1,2,3,5,6. 根据题意画图如下: 共有 25 种等可能的结果,其中先发出“商”音,再发 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75—