11.2023年天桥区学业水平第二次模拟试题-2023年山东省济南市中考二模数学试题

— 61 — — 62 — — 63 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. -3 的绝对值是 (　 　 ) A. -3　 B. 3　 C. 1 3 　 D. - 1 3 2. 如图是某几何体的三视图,该几何体是 (　 　 ) A. 　 　 B. 　 　 C. 　 　 D. 第 2 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 6 题图 　 　 第 8 题图 3. “丝绸之路经济带”首个实体平台———中哈(连云港)物流合作基地的年最大装卸能力达到 410 000 标箱,其中“410 000”用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 0. 41×106 　 B. 4. 1×105 　 C. 41×104 　 D. 4. 1×106 4. 将一副三角尺按如图摆放,点 E 在 AC 上,点 D 在 BC 的延长线上,EF∥BC,∠B= ∠EDF= 90°,∠A = 45°,∠F= 60°,则∠CED 的度数为 (　 　 ) A. 15°　 B. 20°　 C. 25°　 D. 30° 5. 许多数学符号蕴含着对称美,在下列数学符号中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. ∽ 　 B. ∵ 　 C. ⊥ 　 D. × 6. 实数 a,b 在数轴上对应点的位置如图所示,下列结论正确的是 (　 　 ) A. a b >0　 B. a<b　 C. a-b>0　 D. ab>0 7. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动,随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中 的某一项,那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率是 (　 　 ) A. 1 3 　 B. 2 3 　 C. 1 9 　 D. 2 9 8. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点都在格点上. 如果将△ABC 先沿 y 轴翻折,再向下平移 3 个单位长度,得到△A′B′C′,那么点 B 的对应点 B′的坐标为 (　 　 ) A. (2,-3)　 B. (4,3)　 C. ( -1,-3)　 D. (1,0) 9. 如图,已知矩形 AOBC 的三个顶点的坐标分别为 O(0,0),A(0,3),B(4,0),按 以下步骤作图:①以点 O 为圆心,以适当长为半径作弧,分别交 OC,OB 于点 D,E;②分别以点 D,E 为圆心,以大于 1 2 DE 的长为半径作弧,两弧在∠BOC 内交于点 F;③作射线 OF,交边 BC 于点 G,则点 G 的坐标为 (　 　 ) A. 4, 4 3( ) 　 B. 4 3 ,4( ) 　 C. 53 ,4( ) 　 D. 4, 5 3( ) 10. 已知二次函数 y= -x2 +2x+3,截取该函数图象在 0≤x≤4 间的部分记为图象 G,设经过点(0,t)且平 行于 x 轴的直线为 l,将图象 G 在直线 l 下方的部分沿直线 l 翻折,图象 G 在直线 l 上方的部分不 变,得到一个新函数的图象 M. 若函数 M 的最大值与最小值的差不大于 5,则 t 的取值范围是 (　 　 ) A. 0≤t≤1　 B. -1≤t≤1　 C. -2≤t≤0　 D. -1≤t≤0 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 因式分解:m2 -3m= . 12. 一个不透明的布袋中装有 3 个红球,5 个黄球,2 个白球,每个球除颜色外都相同,任意摸出一球,摸 到红球的概率是 . 13. 已知 a,b 是两个连续的整数,且 a< 5 <b,则 ba = . 14. 代数式 5 2x-1 与代数式 3 x 的值相等,则 x= . 15. 如图,一张扇形纸片的圆心角为 90°,半径为 6,C 是 OA 的中点,CD∥OB,则图中阴影部分的面积 为 . 第 15 题图 　 　 　 　 　 第 16 题图 16. 如图,在正方形 ABCD 中,AB= 4,E 是对角线 BD 上一点,连接 AE,过点 E 作 EF⊥AE,交 BC 于点 F, 连接 AF,交 BD 于点 M. 将△EFM 沿 EF 翻折,得到△EFN,连接 AN,交 EF 于点 G. 若 F 是边 BC 的 中点,则线段 AN 的长为 . 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算: 1 2( ) -1 +(π+2 023) 0 -2cos 60°+ 9 . 18. (6 分)解不等式组: 2(x-1)≤x+3,① x+1 3 <x-1,② ì î í ï ï ï ï 并写出它的所有整数解. 19. (6 分)如图,在▱ABCD 中,点 E,F 在对角线 BD 上,AB⊥AF,CD⊥CE. 求证:DF=BE. 20. (8 分)某学校九年级共有 1 200 名学生,为了解该年级学生的视力情况,从中随机抽取 40 名学生的 视力数据作为样本,视力在 4. 5≤x≤5. 0 范围内的数据如下: 4. 7,4. 5,4. 9,5. 0,4. 6,4. 8,4. 5,4. 9,4. 9,4. 8,4. 5,4. 5,4. 9,5. 0. 根据数据绘制了如下的表格和统计图: 等级 视力(x) 频数 百分比 A x<4. 2 4 10% B 4. 2≤x≤4. 4 12 30% C 4. 5≤x≤4. 7 a D 4. 8≤x≤5. 0 20% E 5. 1≤x≤5. 3 10 b% 合计 40 100% 　 根据上面提供的信息,回答下列问题: (1)统计表中的 a= ,b= ; (2)请补全条形统计图; (3)写出这 40 名同学视力的中位数是 ; (4)根据抽样调查结果,请估计该校九年级学生视力为“E 等级”的有多少人. 11 2023 年天桥区学业水平第二次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 64 — — 65 — — 66 — 21. (8 分)如图,某建筑物 AD 楼顶立有高为 6 米的广告牌 DE,小雪准备利用所学的三角函数知识估测 此建筑物的高度. 她从地面点 B 处沿坡度为 i= 3 ∶ 4 的斜坡 BC 步行 15 米到达点 C 处,测得广告牌 底部点 D 的仰角为 45°,广告牌顶部点 E 的仰角为 53°. (小雪的身高忽略不计,坡面的铅直高度与 水平宽度的比称为坡度,参考数据:sin 53°≈0. 8,cos 53°≈0. 6,tan 53°≈1. 3) 求:(1)点 C 距离水平地面的高度; (2)建筑物 AD 的高度. 22. (8 分)如图,AB 是☉O 的直径,C 是☉O 上一点,AD 与过点 C 的切线垂直,垂足为 D,直线 CD 与 AB 的延长线相交于点 P,弦 CE 平分∠ACB,交 AB 于点 F,连接 BE. (1)求证:AC 平分∠DAB; (2)若 AD= 8,AC= 4 5 ,求线段 BE 的长. 23. (10 分)“4G 改变生活,5G 改变社会”,不一样的 5G 手机给人们带来了全新的体验. 某营业厅现有 A,B 两种型号的 5G 手机出售,售出 1 部 A 型、1 部 B 型手机共获利 600 元,售出 3 部 A 型、2 部 B 型手机共获利 1 400 元. (1)求 A,B 两种型号的手机每部利润各是多少元; (2)某营业厅再次购进 A,B 两种型号的手机共 20 部,其中 B 型手机的数量不超过 A 型手机数量的 2 3 . 请设计一个购买方案,使营业厅销售完这 20 部手机能获得最大利润,并求出最大利润. 24. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 y= - 3 4 x 与反比例函数 y= k x 的图象交于 A(m,3),B 两点. (1)求反比例函数的表达式; (2)将直线 y= - 3 4 x 向上平移后与 y 轴交于点 C,与双曲线在第二象限内的部分交于点 D. 如果 △ABD 的面积为 16,求直线向上平移的距离; (3)E 是 y 轴正半轴上的一点,F 是平面内任意一点,使以点 A,B,E,F 为顶点的四边形是矩形,请 求出所有符合条件的点 E 的坐标. 25. (12 分)如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB = 90°,BC = 2 5 ,D 是平面内任意一点,将线段 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 90°得到线段 CE,连接 AE. (1)若 D 是△ABC 内部任意一点时, ①如图 1,判断线段 AE 与 BD 的数量关系并给出证明; ②如图 2,连接 DE,当点 E,D,B 在同一条直线上且 BD= 2 时,求线段 CD 的长; (2)如图 3,直线 AE 与直线 BD 相交于点 P,当 AD=AC 时,延长 AC 到点 F,使得 CF =AC,连接 PF, 请直接写出 PF 的取值范围. 图 1 　 图 2 　 图 3 26. (12 分)如图,抛物线 y=ax2 +bx+6(a≠0)与 x 轴交于点 A( -1,0),B(3,0),与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的表达式; (2)若在线段 BC 上存在一点M,使得∠BMO= 45°,过点 O 作 OH⊥OM 交 CB 的延长线于点 H,求点 H 的坐标; (3)在(2)的条件下,P 是 y 轴正半轴上的一个动点,连接 PM,过点 M 作 QM⊥PM 交 x 轴于点 Q,N 是 PQ 的中点,求 BN 的最小值. 　 备用图 = 2 5 5 . ∵ PQ⊥BD 于点 Q,PF⊥x 轴于点 F, ∴ ∠PQE= ∠BQR= ∠PFR= 90°. ∴ ∠PRF+∠OBD= ∠PRF+∠EPQ= 90°. ∴ ∠EPQ= ∠OBD,即 cos∠EPQ= cos∠OBD= 2 5 5 . 在 Rt△PQE 中,cos∠EPQ=PQ PE = 2 5 5 ,∴ PQ= 2 5 5 PE. 在 Rt△PFR 中,cos∠RPF=PF PR = 2 5 5 ,∴ PR= 5 2 PF. ∵ S△PQB = 3 2 S△QRB, S△PQB = 1 2 BQ · PQ, S△QRB = 1 2 BQ·QR,∴ PQ= 3 2 QR. 设直线 BD 与抛物线交于点 G. ∴ - 1 2 x+ 3 2 = -x2 +2x+3. 解得 x1 = 3(即点 B 的横坐标),x2 = - 1 2 . ∴ 点 G 的横坐标为- 1 2 . 设点 P( t,-t2 +2t+3)( t<3),则点 E t,- 1 2 t+ 3 2( ) , F( t,0) . ∴ PF= | -t2 +2t+3 | , PE= -t2 +2t+3- - 1 2 t+ 3 2( ) = -t 2 + 5 2 t+ 3 2 . ①若- 1 2 <t<3,则点 P 在直线 BD 的上方,如图 2. ∴ PF= -t2 +2t+3,PE= -t2 + 5 2 t+ 3 2 . ∵ PQ= 3 2 QR,∴ PQ= 3 5 PR. ∴ 2 5 5 PE= 3 5 × 5 2 PF,即 4PE= 3PF. ∴ 4 -t2 + 5 2 t+ 3 2( ) = 3(-t 2 +2t+3) . 解得 t1 = 1,t2 = 3(舍去) . ∴ 点 P 的横坐标为 1; ②若-1<t<- 1 2 ,则点 P 在 x 轴的上方、直线 BD 的 下方,如图 3. 此时,PQ<QR,即 S△PQB = 3 2 S△QRB 不成立; 图 3 　 图 4 ③若 t<-1,则点 P 在 x 轴的下方,如图 4. ∴ PF= t2 -2t-3,PE= t2 - 5 2 t- 3 2 . ∵ PQ= 3 2 QR,∴ PQ= 3PR. ∴ 2 5 5 PE= 3× 5 2 PF,即 4PE= 15PF. ∴ 4 t2 - 5 2 t- 3 2( ) = 15( t 2 -2t-3) . 解得 t1 = - 13 11 ,t2 = 3(舍去) . ∴ 点 P 的横坐标为-13 11 . 综上所述,点 P 的横坐标为 1 或-13 11 . 11 2023 年天桥区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B A D B C D A D 1. B　 【解析】-3 的绝对值是 3. 故选 B. 2. C　 【解析】主视图和左视图都是等腰三角形,那么 此几何体是锥体. 俯视图是圆,那么此几何体是圆 锥. 故选 C. 3. B　 【解析】410 000 = 4. 1×105 . 故选 B. 4. A　 【解析】∵ ∠B = 90°,∠A = 45°,∴ ∠ACB = 45°. ∵ ∠EDF = 90°,∠F = 60°,∴ ∠DEF = 30°. ∵ EF∥ BC,∴ ∠EDC = ∠DEF = 30°. ∴ ∠CED = ∠ACB - ∠EDC= 45°-30° = 15°. 故选 A. 5. D　 【解析】A 是中心对称图形,但不是轴对称图形, 故此选项不符合题意;B 是轴对称图形,但不是中心 对称图形,故此选项不符合题意;C 是轴对称图形, 但不是中心对称图形,故此选项不符合题意;D 既 是中心对称图形,又是轴对称图形,故此选项符合 题意. 故选 D. 6. B　 【解析】由 a,b 在数轴上对应点的位置可知:a< 0,b>0,∴ a b <0,a<b,a-b<0,ab<0. 故 A,C,D 错误, B 正确. 故选 B. 7. C　 【解析】设自主阅读、体育活动、科普活动分别记 为 A,B,C. 画树状图如下: 共有 9 种等可能的结果,其中小冰和小雪同时选择 “体育活动”的结果有 1 种,∴ 小冰和小雪同时选择 “体育活动”的概率是 1 9 . 故选 C. 8. D　 【解析】由坐标系可得点 B(-1,3),将△ABC 先沿 y 轴翻折得到点 B 的对应点为(1,3),再向下平移 3 个 单位长度,点 B 的对应点 B′的坐标为(1,0).故选 D. 9. A　 【解析】 ∵ 四边形 AOBC 是矩形,点 A(0,3), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —53— B(4,0),∴ OB= 4,OA=BC = 3,∠OBC = 90°. ∴ OC = BC2 +OB2 = 32 +42 = 5. 如图,过点 G 作 GH⊥OC 于点 H. 由作图可知 OG 平 分∠BOC. ∵ GB⊥OB,GH⊥ OC,∴ GB = GH. 设 GB = GH = x. ∵ S△OBC = 1 2 × 3 × 4 = 1 2 ×5×x+ 1 2 ×4×x,∴ x = 4 3 . ∴ 点 G 4, 4 3( ) . 故选 A. 10. D　 【解析】如图 1,当 t = 0 时,∵ y = -x2 + 2x+ 3 = -(x-1) 2 +4,∴ 顶点坐标为(1,4) . 当 x = 0 时,y = 3,∴ 点 A(0,3) . 当 x= 4 时,y= -5,∴ 点 C(4,-5) . ∴ 当 t= 0 时,点 D(4,5) . ∴ 此时最大值为 5,最小 值为 0. 如图 2,当 t= -1 时,此时最小值为-1,最大 值为 4. 综上所述,-1≤t≤0. 故选 D. 图 1 　 图 2 11. m(m-3)　 【解析】原式=m(m-3) . 12. 3 10 　 【解析】共有球 3+2+5 = 10(个),红球有 3 个, 因此摸到红球的概率是 3 10 . 13. 9　 【解析】∵ a,b 是两个连续的整数,且 a< 5 <b, ∴ a= 2,b= 3. ∴ ba = 32 = 9. 14. 3　 【解析】根据题意,得 5 2x-1 = 3 x . 方程两边都乘 x(2x-1),得 5x= 3(2x-1) . 解得 x= 3. 经检验,x = 3 是原方程的解. 所以原方程的解为 x= 3. 15. 3π　 【解析】如图,连接 OD. ∵ CD∥OB,∴ ∠OCD = ∠AOB = 90°,∠ODC = ∠BOD. ∵ C 是 OA 的中点,∴ OC= 1 2 OA= 1 2 OD. ∴ ∠ODC= 30° = ∠BOD. 由对称性可知,S弓形AD = S弓形OD,∴ S阴影 =S扇形OBD = 30π×62 360 = 3π. 16. 10 2 3 　 【解析】如图,过点 E 作 HK⊥AD 于点 H,交 BC 于点 K. ∵ 四边形 ABCD 是 正方形,∴ AD∥BC,AB =BC = AD = 4. ∵ F 是 BC 的中点,∴ BF = 1 2 BC = 2. 在 Rt△ABF 中,AF = AB2+BF2 = 42+22 =2 5 . ∵ AD∥BC,∴ △AMD∽△FMB. ∴ AM FM = AD FB = 4 2 = 2. ∴ AM= 2FM. ∵ AM+FM=AF,∴ 2FM+FM= 2 5 . ∴ FM= 2 5 3 . ∵ BD 是正方形 ABCD 的对角线, ∴ ∠ABD= ∠ADB= 45°. ∵ EH⊥AD,∴ △DEH 是等 腰直角三角形. ∴ DH = EH. ∵ ∠ADC = ∠BCD = ∠DHK= 90°,∴ 四边形 CDHK 是矩形. ∴ HK =CD = AD. ∴ HK-EH=AD-DH,即 EK=AH. ∵ EF⊥AE, ∴ ∠AEH+∠FEK= 90°. ∵ ∠AEH+∠EAH= 90°, ∴ ∠FEK= ∠EAH. ∵ ∠EKF= ∠AHE= 90°, ∴ △EFK≌△AEH(ASA) . ∴ EF = AE. ∴ △AEF 是 等腰直角三角形. ∴ ∠EFM = 45°. ∵ 将△EFM 沿 EF 翻折,得到△EFN,∴ FN = FM = 2 5 3 ,∠EFN = ∠EFM= 45°. ∴ ∠AFN= ∠EFM+∠EFN = 45°+45° = 90°. ∴ AN = AF2 +FN2 = (2 5) 2 + 2 5 3( ) 2 = 10 2 3 . 17.解:原式= 2+1-2× 1 2 +3 = 2+1-1+3 = 5. 18.解:解不等式①,得 x≤5. 解不等式②,得 x>2. 所以不等式组的解集是 2<x≤5. 所以不等式组的所有整数解为 3,4,5. 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD. ∴ ∠ABD= ∠CDB. ∵ AB⊥AF,CD⊥CE,∴ ∠BAF= ∠DCE= 90°. 在△ABF 和△CDE 中, ∠BAF= ∠DCE, AB=CD, ∠ABF= ∠CDE, { ∴ △ABF≌△CDE(ASA) . ∴ BF=DE. ∴ DF=BE. 20.解:(1)由题意可知,4. 5≤x≤4. 7 的有 6 人,即 a= 6,b% = 10 40 ×100% = 25% . 故答案为 6;25. (2)由题意可知 D 组人数:40×20% = 8, 补全条形统计图如下所示. (3)由中位数的定义可知,中位数在 C 组,从小到 大排在中间的两个数为 4. 5,4. 6,则中位数是(4. 5+ 4. 6)÷2 = 4. 55. 故答案为 4. 55. (4)1 200×25% = 300(人) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —63— 答:估计该校九年级学生视力为 “ E 等级” 的有 300 人. 21.解:(1)如图,过点 C 作 CF⊥AB,垂足为 F. 由题意,得 BC= 15 米. ∵ 斜坡 BC 的坡度为 i= 3 ∶ 4, ∴ CF BF = 3 4 . ∴ 设 CF= 3x 米,则 BF= 4x 米. 在 Rt△CFB 中,BC= CF2 +BF2 = (3x) 2 +(4x) 2 = 5x(米),∴ 5x= 15. ∴ x= 3. ∴ CF= 3x= 9 米. ∴ 点 C 距离水平地面的高度为 9 米. (2)如图,过点 C 作 CG⊥AE,垂足为 G. 由题意,得 AG=CF= 9 米. 设 CG= y 米. 在 Rt△CDG 中,∠DCG= 45°, ∴ DG=CG= y 米. 在 Rt△ECG 中,∠ECG= 53°, ∴ EG=CG·tan 53°≈1. 3y 米. ∵ EG-DG=DE, ∴ 1. 3y-y= 6. 解得 y= 20. ∴ DG= 20 米. ∴ AD=AG+DG= 9+20 = 29(米) . 答:建筑物 AD 的高度约为 29 米. 22. (1)证明:如图,标注∠1,∠2,∠3. ∵ CD 是☉O 的切线, ∴ OC⊥CD. ∵ AD⊥CD,∴ AD∥OC. ∴ ∠1 = ∠3. ∵ OA=OC, ∴ ∠2 = ∠3. ∴ ∠1 = ∠2. ∴ AC 平分∠DAB. (2)解:如图,连接 AE. ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB= ∠AEB= 90°. ∵ CE 平分∠ACB,∴ ∠ACE= ∠BCE= 45°. ∴ ∠BAE= ∠ABE= 45°. ∴ △AEB 是等腰直角三角形. ∴ BE= 2 2 AB. ∵ ∠D= ∠ACB= 90°,∠1 = ∠2, ∴ △ADC∽△ACB. ∴ AD AC =AC AB ,即 8 4 5 = 4 5 AB . 解得 AB= 10. ∴ BE= 2 2 ×10 = 5 2 . ∴ 线段 BE 的长为 5 2 . 23.解:(1)设 A 型手机每部利润是 a 元,B 型手机每 部利润是 b 元. 由题意,得 a +b= 600, 3a+2b= 1 400,{ 解得 a= 200, b= 400.{ 答:A 型手机每部利润是 200 元,B 型手机每部利 润是 400 元. (2)设购进 A 型手机 x 部,则购进 B 型手机(20- x)部,获得的利润为 w 元. ∴ w= 200x+400(20-x)= -200x+8 000. ∵ B 型手机的数量不超过 A 型手机数量的 2 3 , ∴ 20-x≤ 2 3 x. 解得 x≥12. ∵ w= -200x+8 000,k= -200<0, ∴ w 随 x 的增大而减小. ∴ 当 x= 12 时,w 取得最大值,此时 w = - 2 400 + 8 000 = 5 600. ∴ 20-x= 20-12 = 8. ∴ 营业厅购进 A 型手机 12 部、B 型手机 8 部时,营 业厅销售完这 20 部手机能获得最大利润,最大利 润为 5 600 元. 24.解:(1)令一次函数 y= - 3 4 x 中 y= 3,则 3 = - 3 4 x. 解得 x= -4,即点 A 的坐标为(-4,3) . ∵ 点 A(-4,3)在反比例函数 y= k x 的图象上, ∴ k= -4×3 = -12. ∴ 反比例函数的表达式为 y= -12 x . (2)如图 1,连接 AC,BC. 图 1 设平移后的表达式为 y = - 3 4 x+b. ∵ 该直线平行于直线 AB, ∴ S△ABD =S△ABC . ∵ △ABD 的面积为 16, ∴ S△ABC = 1 2 OC·(xB -xA ) = 16. ∴ 1 2 b×8 = 16. ∴ b= 4. ∴ 直线向上平移的距离为 4 个单位长度. (3)∵ E 是 y 轴正半轴上的一点,F 是平面内任意 一点,以点 A,B,E,F 为顶点的四边形是矩形, ①当点 A 是直角顶点时,∴ ∠BAE= 90°. 如图 2,过点 A 作 AH⊥y 轴于点 H. 　 　 　 　 图 2 ∴ ∠OAE= ∠OHA= ∠AHE= 90°. ∴ ∠OAH+∠EAH=∠OAH+ ∠AOH=90°. ∴ ∠AOH= ∠EAH. ∴ △AOH∽△EAH. ∴ OH AH = AH EH . ∵ 点 A(-4,3),∴ AH= 4,OH= 3. ∴ 3 4 = 4 EH . ∴ EH= 16 3 . ∴ OE=OH+EH= 3+16 3 = 25 3 . ∴ 点 E 的坐标为 0, 25 3( ) ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —73— 　 　 　 图 3 ②当点 E 是直角顶点时, 如图 3. ∴ AE⊥BE. ∴ AB= 10. ∴ OA=OB= 1 2 AB= 5. ∵ △AEB 是直角三角形, OE 是中线, ∴ OE=OA= 5. ∴ 点 E 的坐标为(0,5) . 综上,所有符合条件的点 E 的坐标为 0, 25 3( ) 或 (0,5) . 25.解:(1)①AE=BD. 证明:∵ 将线段 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 90°得 到线段 CE,∴ CD=CE,∠DCE= 90° = ∠ACB. ∴ ∠DCE - ∠ACD = ∠ACB - ∠ACD, 即 ∠ACE = ∠BCD. 又∵ AC=BC,∴ △ACE≌△BCD(SAS) . ∴ AE=BD. ②∵ △ABC 是等腰直角三角形,∠ACB = 90°,BC = 2 5 ,∴ AB= 2BC= 2 10 . ∵ △ACE≌△BCD,∴ ∠CAE= ∠CBD,AE=BD= 2. ∴ ∠CAE+∠BAC+∠ABE = ∠CBD+∠BAC+∠ABE = 90°. ∴ ∠AEB= 90°. ∴ BE= AB2 -AE2 = 40-4 = 6. ∴ DE=BE-BD= 6-2 = 4. ∵ CD=CE,∠DCE=90°,∴ ∠CDE=45°. ∴ cos∠CDE=CD DE = 2 2 . ∴ CD= 2 2 . (2)∵ △ACE≌△BCD, ∴ ∠E= ∠CDB,∠ACE= ∠BCD. ∵ ∠BCD+∠CDB+∠CBD= 180°, ∴ ∠BCD+∠E+∠CBD= 180°. ∵ ∠E+∠EPB+∠PBC+∠BCD+∠DCE= 360°, ∴ ∠EPB+∠DCE= 180°. ∴ ∠EPB= 90°. ∴ 点 P 在以 AB 为直径的圆上运动. ∵ AD=AC, ∴ 点 P 不能在劣弧 BC 上. 如图,取 AB 的中点 O,过点 O 作 OH⊥AF 于点 H, 连接 OF. 当点 O 在线段 PF 上时,PF 有最大值;点 P 在点 C 时,PF 有最小值. ∵ AB= 2 10 , ∴ OA=OB= 10 . ∵ OH⊥AC,BC⊥AC, ∴ OH∥BC. ∴ △AOH∽△ABC. ∴ AO AB =OH BC =AH AC = 1 2 . ∴ OH= 1 2 BC,AH= 1 2 AC. ∴ CH=AH=OH= 5 . ∴ HF=CH+CF= 3 5 . ∴ OF= OH2 +HF2 = 5+45 = 5 2 . ∴ PF 的最大值为 5 2 + 10 ,最小值为 2 5 . ∴ 2 5 ≤PF≤5 2 + 10 . 26.解:(1)将点 A(-1,0),B(3,0)代入 y=ax2 +bx+6, 得 a-b+6 = 0, 9a+3b+6 = 0.{ 解得 a= -2, b= 4.{ ∴ 抛物线的表达式为 y= -2x2 +4x+6. (2)如图 1,过点 M 作 MG⊥y 轴于点 G,过点 H 作 图 1 HT⊥y 轴于点 T. ∴ ∠MGO= 90°,∠OTH= 90°. ∴ ∠GMO+∠MOG= 90°. ∵ OH⊥OM,∠BMO= 45°, ∴ ∠MOH= 90°,∠OHM= 45°. ∴ ∠MOG + ∠TOH = 90°, OM =OH. ∴ ∠GMO= ∠TOH. 在△MGO 和△OTH 中, ∠MGO= ∠OTH, ∠GMO= ∠TOH, OM=HO, { ∴ △MGO≌△OTH(AAS) . ∴ MG=OT,OG=HT. 当 x= 0 时,y= -2x2 +4x+6 = 6. ∴ 点 C 的坐标为(0,6) . 设直线 BC 的表达式为 y= kx+n. 把点 B(3,0),C(0,6)代入, 得 3k+n= 0, n= 6.{ 解得 k= -2, n= 6.{ ∴ 直线 BC 的表达式为 y=-2x+6. 设点 H 的坐标为(m,-2m+6),则 TH=m,OT=2m-6. ∴ 点 M 的坐标为(2m-6,m) . ∵ 点 M 在线段 BC 上, ∴ -2(2m-6)+6 =m. 解得 m= 18 5 . ∴ -2×18 5 +6 = - 6 5 . ∴ 点 H 的坐标为 18 5 ,- 6 5( ) . (3)由(2),得点 M 的坐标为 6 5 , 18 5( ) . ∵ QM⊥PM,∴ △PMQ 是直角三角形. ∵ N 是 PQ 的中点,∴ MN= 1 2 PQ. ∵ ∠POQ= 90°,∴ ON= 1 2 PQ. ∴ MN=ON. ∴ 点 N 在线段 OM 的垂直平分线上. 如图 2,作线段 OM 的垂直平分线 l,直线 l 与直线 OM 交于点 R,与 x 轴交于点 K,则点 R 的坐标 为 3 5 , 9 5( ) . 当 BN⊥l 时,BN 取得最小值. 设直线 OM 的表达式为 y= ex. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —83— 图 2 把点 M 6 5 , 18 5( ) 代入, 得 6 5 e= 18 5 . 解得 e= 3. ∴ 直线 OM 的表达式 为 y= 3x. 设直线 l 的表达式为 y = - 1 3 x+f. 把点 R 3 5 , 9 5( ) 代入, 得- 1 3 × 3 5 +f= 9 5 ,解得 f= 2. ∴ 直线 l 的表达式为 y= - 1 3 x+2. 当 y= - 1 3 x+2 = 0 时,x= 6, ∴ 点 K 的坐标为(6,0) . ∴ BK= 6-3 = 3. ∴ BK ∶ OK= 1 ∶ 2. ∵ ∠BKN= ∠OKR,∠BNK= ∠ORK= 90°, ∴ △BNK∽△ORK. ∴ BN ∶ OR=BK ∶ OK= 1 ∶ 2. ∵ OR= 3 5( ) 2 + 9 5( ) 2 = 3 10 5 , ∴ BN= 1 2 OR= 3 10 10 . ∴ BN 的最小值为3 10 10 . 12 2023 年长清区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C A D A B A C C 1. B　 【解析】2 023 的相反数是-2 023. 故选 B. 2. D　 【解析】从正面看到的有 3 列,上面中间 1 个正 方形,下面 3 个正方形,即 . 故选 D. 3. C　 【解析】7 100 = 7. 1×103 . 故选 C. 4. A　 【解析】∠AOB= 45°+30° = 75°. 故选 A. 5. D　 【解析】A 是轴对称图形,但不是中心对称图形, 故本选项不符合题意;B 是轴对称图形,但不是中心 对称图形,故本选项不符合题意;C 不是轴对称图 形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意; D 既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项 符合题意. 故选 D. 6. A　 【解析】由数轴知 a<0,b>0, | a | < | b | . ∴ a+b>0. 故选项 A 错误;a-b = a+(-b) < 0,故选项 B 正确; ∵ 异号得负,∴ ab<0, a b <0. 故选项 C,D 正确. 故选 A. 7. B　 【解析】设“立春”用 A 表示,“立夏”用 B 表示, “秋分”用 C 表示,“大寒”用 D 表示,列表如下: A B C D A (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) 共有 12 种等可能的结果,其中恰好抽到“立夏”“秋 分”两张邮票的结果有 2 种,∴ 恰好抽到“立夏”“秋 分”两张邮票的概率是 2 12 = 1 6 . 故选 B. 8. A　 【解析】y = ax-a,当 x = 1 时,y = 0,∴ 一次函数 y=ax-a 的图象与 x 轴交于点(1,0) . 故 B,C,D 错 误. 故选 A. 9. C　 【解析】如图,过点 E 作 DE⊥AB 于点 D. 由作图 方法可得出 AE 是∠CAB 的平分线. ∵ ∠C = 90°, DE⊥AB,∴ DE = CE = 3. 在 Rt △ACE 和 Rt △ADE 中, AE=AE, CE=DE.{ ∴ Rt△ACE≌ Rt△ADE(HL) . ∴ AC=AD. ∵ 在 Rt△BDE 中,DE = 3,BE = 5,∴ BD = 4. 设 AC = x,则 AB= 4+x. ∴ 在 Rt△ACB 中,AC2 +BC2 = AB2,即 x2 +82 =(x+4) 2 . 解得 x= 6,即 AC 的长为 6. 故选 C. 10. C　 【解析】函数的对称轴为直线 x = a,而 x≤2 时, 函数值随 x 的增大而减小,故 a≥2. ∵ 1≤x1 ≤a+1 和 1≤x2 ≤a+ 1,∴ 当 x = a 时,函数的最小值 = 5- a2 . 故函数的最大值在 x= 1 和 x=a+1 中产生,则 x = 1,x=a+1 哪个距 x = a 远,函数就在哪一边取得 最大值. ∵ a≥2,∴ a-1≥1. 而 a+1-a= 1. ∴ 1 距离 a 更远. ∴ 当 x = 1 时,函数的最大值 = 6- 2a. ∵ 对 任意的 1≤x1 ≤a+1 和 1≤x2 ≤a+ 1,x1,x2 相应的 函数值 y1,y2 总满足 | y1 -y2 | ≤4,只需最大值与最 小值的差小于等于 4 即可,∴ 6- 2a-(5-a2)≤4. ∴ a2 -2a-3≤0. 解得-1≤a≤3. ∵ a≥2,∴ 2≤a≤ 3. 故选 C. 11. (x+4)(x-4) 　 【解析】原式=(x+4)(x-4) . 12. 1 3 　 【解析】根据题意,知事件“指针落在蓝色扇形 中”的概率是 2 6 = 1 3 . 13. 6　 【解析】∵ 一个多边形的每个内角都为 120°, ∴ 这个多边形的每个外角都等于 180° - 120° = 60°. ∴ 边数 n= 360°÷60° = 6. 14. 3　 【解析】∵ 2 ⊕ x = 10,∴ 22 + 2x = 10,即 4+ 2x = 10. 解得 x= 3. 15. 12 　 【解析】如图,过点 P 作 PM⊥AD 于点 M,交 BC 于点 N,则 四 边 形 AEPM、 四 边 形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —93—