10.2023年市中区学业水平第二次模拟试题-2023年山东省济南市中考二模数学试题

— 55 — — 56 — — 57 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. -2 023 的相反数是 (　 　 ) A. 2 023　 B. -2 023　 C. 1 2 023 　 D. - 1 2 023 2. 如图所示的几何体,从正面看是 (　 　 ) A. 　 B. 　 C. D. 3. 2022 年 12 月 4 日晚,神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,它在轨飞行 183 天,总共 飞行里程约 125 000 000 千米. 数据 125 000 000 用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 125×106 　 B. 1. 25×109 　 C. 1. 25×108 　 D. 1. 25×1010 4. 如图,已知 AB∥CD,BE 平分∠ABC,且交 CD 于点 D,∠CDE= 150°,则∠C 的度数为 (　 　 ) A. 30°　 B. 60°　 C. 120°　 D. 150° 第 4 题图 　 　 第 7 题图 　 　 第 8 题图 5. 下列交通标志,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是 (　 　 ) A. (3a3) 2 = 9a6 　 B. a3 +a2 = 2a5 C. (a+b) 2 =a2 +b2 　 D. (a4) 3 =a7 7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶,被国际气象界誉为“中国第五大发明” . 小文购买了 “二十四节气”主题邮票,他要将“立春”“立夏” “秋分” “大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐. 小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同),让小乐从中随机抽取一张(不放回),再从中 随机抽取一张,则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 (　 　 ) A. 1 6 　 B. 1 8 　 C. 2 3 　 D. 1 2 8. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点都在方格线的格点上,将△ABC 绕点 P 顺时针方向旋转 90°,得到△A′B′C′,则点 P 的坐标为 (　 　 ) A. (0,4)　 B. (1,1)　 C. (1,2)　 D. (2,1) 9. 如图,AD 是△ABC 的高,以点 B 为圆心,以适当长为半径画弧交 AB 于点 M,交 BC 于点 N;分别以点 M,N 为圆心,以大于 1 2 MN 的长为半径画弧交于点 P;作射线 BP 交 AD 于点 E. 若∠ABC = 45°,AB⊥ AC,DE= 1,则 CD 的长为 (　 　 ) A. 2 　 B. 2 +1　 C. 3 　 D. 2 -1 10. 在平面直角坐标系中,抛物线 y= x2 -2mx+3(m≠0)与 y 轴交于点 A,过点 A 作 x 轴的平行线与抛物 线交于另一点 B,点 M(m+2,3),N(0,m+3) . 若抛物线与线段 MN 有且只有一个公共点,则 m 的取 值范围是 (　 　 ) A. m<-2　 B. 0<m≤2 或 m≤-2　 C. 0≤m≤2 或 m≤-2　 D. 0<m≤2 或 m<-2 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 因式分解:x2 -6x+9 = . 12. 如图,一个可以自由转动的转盘,被分成了 6 个相同的扇形,转动转盘,当转盘停止时,指针落在红 色区域的概率= . 第 12 题图 　 　 第 13 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 13. 如图是某一水塘边的警示牌,牌面是五边形,这个五边形的内角和为 °. 14. 已知关于 x 的方程 x2 +3x-a= 0 有一个根是 x1 = 1,则方程的另一个根是 x2 = . 15. 某快递公司每天上午 9:00~ 10:30 为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙仓库用来派发 快件,该时段内甲、乙两仓库的快件数量 y(件)与时间 x(分)之间的函数图象如图所示,那么从 9:00 开始,经过 分钟时,两仓库的快递件数相同. 16. 如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E,F 分别是边 BC,AD 上的点,连接 EF,将四边形 ABEF 沿 EF 折叠,点 B 的对应点 G 恰好落在边 CD 上,点 A 的对应点为点 H,连接 BH,则 BH+EF 的最小值 为 . 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算: 1 3( ) -1 -(π-3. 14) 0 -4cos 60°+ 9 . 18. (6 分)解不等式组: 4(x-1)≤7x+2, x+2<x +8 3 , ì î í ï ï ï ï 并写出它的所有整数解. 19. (6 分)如图,E,F 是▱ABCD 对角线 AC 上的两点,BE∥DF. 求证:AF=CE. 20. (8 分)图 1、图 2 分别是某超市购物车的实物图与示意图,小江获得了如下信息:AE∥BC∥FG,AD = 80 cm,CD= 60 cm,CG= 30 cm,∠DAE= 15°,∠CGF= 60°,∠BCD= 120°,∠ABC= 90°. 请根据以上信 息,解决下列问题. (结果精确到 0. 1 cm,参考数据:sin 15°≈0. 26,cos 15°≈0. 97, 3 ≈1. 73) (1)求点 D 到 FG 所在直线的距离; (2)求 BC 的长度. 图 1 　 图 2 10 2023 年市中区学业水平第二次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 58 — — 59 — — 60 — 21. (8 分)为了指导学生积极参加劳动教育. 济南市市中区某学校数学兴趣小组利用课后延时服务时 间,针对七年级学生一周参加家庭劳动次数的情况,开展了一次调查研究. a. 通过调查问卷,兴趣小组获得了这 20 名学生每人一周参加家庭劳动的次数,数据如下: 3,1,6,2,4,1,3,2,3,4,3,3,0,1,5,2,6,4,6,5. b. 整理、分析数据,结果如下: 平均数 中位数 众数 3. 2 b 3 　 分组 频数 A:0≤x<2 4 B:2≤x<4 C:4≤x<6 a D:6≤x<8 3 　 一周参加家庭劳动次数的占比统计图 请结合上述信息完成下列问题: (1)a= ; (2)七年级学生一周参加家庭劳动次数的中位数 b= ; (3)统计图中 B 组对应扇形的圆心角为 度; (4)该校七年级现有 400 名学生,请估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平 及以上的学生人数. 22. (8 分)如图,已知 AB 是☉O 的直径,过☉O 上点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E,AD⊥CE 于点 D, 且交☉O 于点 F,连接 BC,CF,AC. (1)求证:BC=CF; (2)若 AD= 3,DE= 4,求 BE 的长. 23. (10 分)为落实“数字中国”的建设工作,市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造. 现安 排两个安装公司共同完成,已知甲公司的安装工效是乙公司安装工效的 1. 5 倍,乙公司安装 18 间 教室比甲公司安装同样数量的教室多用 3 天. (1)甲、乙两个公司每天各安装多少间教室? (2)已知甲公司安装费每天 400 元,乙公司安装费每天 200 元,现需安装教室 60 间. 若想尽快完成 安装工作且安装总费用不超过 7 000 元,则最多安排甲公司工作多少天? 24. (10 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,反比例函数 y= k x (x>0)的图象与矩形 OABC 相交于点 D, E,点 A,C 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上,点 B 的纵坐标为 6,点 D 的横坐标为 2. 连接 DE,OB,DE 与 OB 相交于点 F. (1)求反比例函数的表达式; (2)求证:DF=EF; (3)连接 OD,当△ODF 是直角三角形时,求此时 OF 的长. 　 备用图 25. (12 分)如图,在△ABC 中,AB=AC= 5 ,BC= 2,D,E,F 分别是 AC,AB,BC 的中点,连接 DE,DF. (1)如图 1,求证:DF= 5 2 DE; (2)如图 2,将∠EDF 绕点 D 顺时针旋转一定角度,得到∠PDQ,当射线 DP 交 AB 于点 G,射线 DQ 交 BC 于点 N 时,连接 FE 并延长交射线 DP 于点 M,判断 FN 与 EM 的数量关系,并说明理由; (3)如图 3,在(2)的条件下,当 DP⊥AB 时,求 DN 的长. 图 1 　 图 2 　 图 3 26. (12 分)如图,二次函数 y = -x2 +bx+c 的图象与 x 轴交于点 A,B,与 y 轴交于点 C,点 A 的坐标为 ( -1,0),点 C 的坐标为(0,3),D 是 OC 的中点,点 P 在抛物线上. (1)求 b,c 的值; (2)若点 P 在第一象限,过点 P 作 PH⊥x 轴,垂足为 H,PH 与 BC 交于点 M. 是否存在这样的点 P, 使得 PM= 1 2 MH? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点 P 的横坐标小于 3,过点 P 作 PQ⊥BD,垂足为 Q,直线 PQ 与 x 轴交于点 R,连接 PB,且 S△PQB = 3 2 S△QRB,求点 P 的横坐标. 　 备用图 ∴ 直线 BC 的表达式为 y= 1 2 x-2. ∵ 点 G 3 2 ,- 25 8( ) ,∴ EG= 3 2 ,OE= 25 8 . ∵ FH⊥BC, ∴ ∠CFH+∠FCH= ∠OBC+∠FCH= 90°. ∴ ∠CFH= ∠OBC. 又∵ ∠FEG= ∠BOC= 90°,∴ △EGF∽△OCB. ∴ EG EF =OC OB . ∵ OC= 2,OB= 4,EG= 3 2 , ∴ EF= 3. 而 EF<OE,即点 F 在 y 轴的负半轴上, ∴ OF=OE-EF= 25 8 -3 = 1 8 . ∴ 点 F 0,- 1 8( ) . 设直线 FG 的表达式为 y= k2x+b2 , 则 3 2 k2 +b2 = - 25 8 , b2 = - 1 8 . ì î í ï ï ï ï 解得 k2 = -2, b2 = - 1 8 .{ ∴ 直线 FG 的表达式为 y= -2x- 1 8 . 设平移后抛物线的顶点 N 的坐标为 n,-2n- 1 8( ) , 则平移后抛物线的表达式为 y= 1 2 (x-n)2-2n- 1 8 . ∵ 抛物线 y= 1 2 (x-n) 2 -2n- 1 8 与直线 BC 恰有一 个公共点, ∴ y= 1 2 (x-n) 2 -2n- 1 8 , y= 1 2 x-2. ì î í ï ï ï ï 整理,得 4x2 -(8n+4)x+4n2 -16n+15 = 0. ∴ Δ= [-(8n+4)] 2 -4×4(4n2 -16n+15)= 0. 解得 n= 7 10 . ∴ 平移后抛物线的表达式为 y= 1 2 ( x- 7 10 ) 2 -61 40 . 此时平移后抛物线的顶点坐标为 N 7 10 ,- 61 40( ) , 而点 G 的坐标为 3 2 ,- 25 8( ) , ∴ GN= 3 2 - 7 10( ) 2 + -25 8 +61 40( ) 2 = 4 5 5 . ∴ 抛物线 y=ax2 +bx-2 平移的最短距离为4 5 5 ,此 时抛物线的顶点坐标为 7 10 ,- 61 40( ) . 10 2023 年市中区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C C D A A C B B 1. A　 【解析】-2 023 的相反数是 2 023. 故选 A. 2. B　 【解析】从正面看,底层是三个小正方形,中间是 两个小正方形,上层右边是一个小正方形. 故选 B. 3. C　 【解析】125 000 000 = 1. 25×108 . 故选 C. 4. C　 【解析】∵ ∠CDE = 150°,∴ ∠CDB = 180° - 150° = 30°. ∵ AB∥CD,∴ ∠ABD = ∠CDB = 30°. ∵ BE 平 分∠ABC, ∴ ∠ABC = 2 ∠ABD = 60°. ∵ AB∥CD, ∴ ∠C+∠ABC= 180°. ∴ ∠C= 120°. 故选 C. 5. D　 【解析】A 不是轴对称图形,也不是中心对称图 形,故本选项不符合题意;B 不是轴对称图形,也不 是中心对称图形,故本选项不符合题意;C 不是轴对 称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题 意;D 既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选 项符合题意. 故选 D. 6. A　 【解析】A. 原式 = 9a6,故本选项正确;B. 原式不 能合并,故本选项错误;C. 原式=a2 +b2 +2ab,故本选 项错误;D. 原式=a12,故本选项错误. 故选 A. 7. A　 【解析】设“立春”用 A 表示,“立夏”用 B 表示, “秋分”用 C 表示,“大寒”用 D 表示. 画树状图如下: ∴ 共有 12 种等可能的结果,其中小乐抽到的两张 邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果有 2 种,∴ 小乐 抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 2 12 = 1 6 . 故选 A. 8. C　 【解析】由图可知旋转中心 P 的坐标为(1,2) . 故选 C. 9. B　 【解析】∵ AB⊥AC,∴ ∠BAC = 90°. ∵ ∠ABC = 45°,∴ △ABC 是等腰直角三角形. ∵ AD 是△ABC 的高,∴ AD=BD =CD,AB = 2BD. 由作法,得 BE 平 分∠ABD. ∴ 点 E 到 AB 的距离等于点 E 到 BD 的距 离,即点 E 到 AB 的距离等于 1. ∵ S△ABE ∶ S△BDE = AE ∶ DE=AB ∶ BD = 2,DE = 1,∴ AE = 2 DE = 2 . ∴ AD=AE+DE= 2 +1. ∴ CD= 2 +1. 故选 B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —13— 10. B　 【解析】∵ 抛物线 y= x2 -2mx+3,∴ 抛物线的对 称轴为直线 x= - -2m 2×1 =m. 如图 1,当 m>0,抛物线 过点 M(m+2,3)时,m +2+0 2 =m. 解得 m= 2. ∴ 点 N (0,5) . 此时,抛物线与线段 MN 有且只有一个公 共点; 图 1 　 　 图 2 如图 2,当 m<0,抛物线过点 M(m+2,3)时,m+2 = 0. 解得 m = - 2. ∴ 点 N(0,1),此时抛物线与线段 MN 有且只有一个公共点. 综上所述,当 0<m≤2 或 m≤-2 时,抛物线与线段 MN 有且只有一个公 共点. 故选 B. 11. (x-3) 2 　 【解析】原式=(x-3) 2 . 12. 1 3 　 【解析】由于一个圆被分成了 6 个相同的扇 形,而转动的转盘又是自由停止的,所以指针指向 每个扇形的可能性相等,即有 6 种等可能的结果,在 这 6 种等可能的结果中,指针落在红色区域的结果有 2 种,所以指针落在红色区域的概率是 2 6 = 1 3 . 13. 540　 【解析】(5-2)×180° = 540°. 14. -4　 【解析】∵ 关于 x 的方程 x2 + 3x-a = 0 有一个 根是 x1 = 1,∴ 由 x1 +x2 = - 3 1 ,得 1+x2 = - 3. ∴ x2 = -4. 15. 20　 【解析】设甲仓库的快件数量 y(件)与时间 x(分)之间的函数表达式为 y = k1x+40. 根据题意, 得 60k1 + 40 = 400. 解得 k1 = 6. ∴ y = 6x+ 40(0<x< 90) . 设乙仓库的快件数量 y(件)与时间 x(分)之 间的函数表达式为 y = k2x+240. 根据题意,得 60k2 + 240 = 0. 解得 k2 = -4. ∴ y= -4x+240(0<x<90) . 联立 y= 6x+40, y= -4x+240.{ 解得 x= 20, y= 160.{ ∴ 经过 20 分钟 时,两仓库的快递件数相同. 16. 2 5 　 【解析】如图,过点 F 作 FK⊥BC 于点 K,延 长 BC 到点 M,使 CM=BC,连接 AM 交 CD 于点 N, 连接 MG,AG,BG. ∵ 四边形 ABCD 是正 方形, ∴ ∠BAD = ∠ABC = ∠BCD = 90°, AB = BC. ∴ CD⊥BM. ∴ CD 垂直平分 BM. ∴ MG = BG. 由翻折,得 AB = HG,∠ABG= ∠HGB. ∵ BG =GB,∴ △ABG≌△HGB (SAS) . ∴ GA=BH. 由翻折,得 EF⊥BG. 又∵ FK⊥BC,∴ ∠FKE = ∠BCG = 90°. ∴ ∠EFK+ ∠FEK=∠GBC+∠FEK=90°.∴ ∠EFK=∠GBC.∵ ∠BAD =∠ABC=∠BKF= 90°,∴ 四边形 ABKF 是矩形. ∴ AB = FK.∴ FK=BC.∴ △FEK≌△BGC(ASA).∴ EF=BG. ∴ EF=MG. ∴ BH+EF = AG+MG. ∵ AG+MG≥AM, ∴ BH+EF≥AM. ∴ 当点 G 与点 N 重合时,AG+MG =AM,此时 AG+MG 的值最小. ∵ ∠ABM= 90°,AB= 2,BM = 2BC = 4,∴ AM = AB2 +BM2 = 22 +42 = 2 5 . ∴ BH+EF 的最小值为 2 5 . 17.解:原式= 3-1-4× 1 2 +3 = 3-1-2+3 = 3. 18.解: 4(x-1)≤7x+2,① x+2< x+8 3 ,②{ 解不等式①,得 x≥-2. 解不等式②,得 x<1. 所以不等式组的解集是-2≤x<1. 所以不等式组的所有整数解为-2,-1,0. 19.证明:在▱ABCD 中,AD∥BC,AD=BC, ∴ ∠ACB= ∠CAD. 又∵ BE∥DF, ∴ ∠BEC= ∠DFA. ∴ △BEC≌△DFA(AAS) . ∴ AF=CE. 20.解:(1)如图,过点 D 作 DN⊥FG 于点 N,交 AE 的 延长线于点 M,交 BC 的延长线于点 P,过点 C 作 CH⊥FN 于点 H. ∵ ∠BCD= 120°, ∴ ∠DCP= 180° -∠BCD = 60°. 在 Rt△DCP 中,∵ CD = 60 cm, ∠DCP= 60°, ∴ DP=CD·sin 60° = 30 3 cm. 在 Rt△CHG 中,∵ CG = 30 cm, ∠CGF= 60°, ∴ CH=CG·sin 60° = 15 3 cm. ∵ AM∥BP,∴ ∠AMP= ∠BPN= 90°. ∵ ∠CHN= ∠PNH= 90°,∴ 四边形 CHNP 是矩形. ∴ PN=CH= 15 3 cm. ∴ DN=DP+PN= 45 3 ≈77. 9 cm. ∴ 点 D 到 FG 所在直线的距离约为 77. 9 cm. (2)在 Rt△ADM 中,∵ AD= 80 cm,∠DAE= 15°, ∴ AM=AD·cos 15°≈77. 6 cm. 在 Rt△DCP 中,∵ CD= 60 cm,∠DCP= 60°, ∴ CP=CD·cos 60° = 30 cm. ∴ BC=BP-CP= 77. 6-30 = 47. 6(cm) . ∴ BC 的长度约为 47. 6 cm. 21.解:(1)5 (2)把这 20 名学生每人一周参加家庭劳动的次数 从小到大排列:0,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4, 5,5,6,6,6,排在中间的两个数都是 3,故中位数 b = 3. 故答案为 3. (3) 统计图中 B 组对应扇形的圆心角为 360° × 20-4-5-3 20 = 144°. 故答案为 144. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —23— (4)由题意可知,被抽取的这 20 名学生中达到平 均水平及以上的学生有 8 人, 400× 8 20 = 160(人) . 答:估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次 数达到平均水平及以上的学生人数为 160. 22. (1)证明:如图,连接 OC. ∵ DE 切☉O 于点 C, ∴ OC⊥DE. ∵ AD⊥CE, ∴ OC∥AD. ∴ ∠OCA= ∠CAD. ∵ OC=OA, ∴ ∠OCA= ∠OAC. ∴ ∠OAC= ∠CAD. ∴ BC ( =CF ( . ∴ BC=CF. (2)解:在 Rt△ADE 中,∵ AD= 3,DE= 4, 根据勾股定理,得 AE= 5. ∵ OC∥AD,∴ △EOC∽△EAD. ∴ OE AE =OC AD . 设☉O 的半径为 r,则 OE=AE-OA= 5-r. ∴ 5 -r 5 = r 3 . 解得 r= 15 8 . ∴ BE= 5-2r= 5 4 . ∴ BE 的长为 5 4 . 23.解:(1)设乙公司每天安装 x 间教室,则甲公司每 天安装 1. 5x 间教室. 根据题意,得18 x - 18 1. 5x = 3. 解得 x= 2. 经检验,x= 2 是所列方程的解,且符合题意. ∴ 1. 5x= 1. 5×2 = 3. 答:甲公司每天安装 3 间教室,乙公司每天安装 2 间教室. (2) 设安排甲公司工作 y 天,则安排乙公司工作 60-3y 2 天. 根据题意,得 400y+60 -3y 2 ×200≤7 000. 解得 y≤10. 答:最多安排甲公司工作 10 天. 24. (1) 解:∵ 四边形 OABC 是矩形,点 A,C 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上,∴ BC∥x 轴,AB∥y 轴. ∵ 点 B 的纵坐标为 6,点 D 的横坐标为 2, ∴ 点 D(2,6) . ∵ 反比例函数 y= k x (x>0)的图象经过点 D(2,6), ∴ k= xy= 2×6 = 12. ∴ 反比例函数的表达式为 y= 12 x . (2)证明:设点 A(x,0)(x>0),则点 E x, 12 x( ) , B(x,6) . ∴ BD= x-2,BE= 6-12 x . ∵ BD AO = x-2 x = 1- 2 x ,BE AB = 6- 12 x 6 = 1- 2 x , ∴ BD AO =BE AB . ∵ ∠DBE= ∠OAB= 90°, ∴ △DBE∽△OAB. ∴ ∠DEB= ∠OBA. ∴ EF=BF. ∵ ∠EDB+∠DEB= 90°,∠OBD+∠OBA= 90°, ∴ ∠EDB= ∠OBD. ∴ DF=BF. ∴ DF=EF. (3)解:当△ODF 是直角三角形,且∠OFD = 90° 时,如图 1. 图 1 ∵ DF=EF,OB⊥DE, ∴ BD=BE. ∴ x-2 = 6-12 x . 解得 x1 = 6,x2 = 2(不符合题意, 舍去) . ∴ OA=AB= 6,BD=BE= 6-2 = 4. ∴ OB= OA2 +AB2 = 62 +62 = 6 2 , DE= BD2 +BE2 = 42 +42 = 4 2 . ∴ BF= 1 2 DE= 2 2 . ∴ OF=OB-BF= 6 2 -2 2 = 4 2 ; 当△ODF 是直角三角形, 且 ∠ODF = 90° 时, 如 图 2. ∵ ∠DBE= ∠OCD= 90°, ∴ ∠BDE= ∠COD= 90°-∠CDO. ∴ △BDE∽△COD. 图 2 ∴ BD CO =BE CD . ∵ CO = AB = 6,CD = 2, ∴ BD=CO CD ·BE = 3BE. ∴ x-2 = 3 6-12 x( ) . 解得 x1 = 18,x2 = 2(不符合题意,舍去) . ∴ OA= 18,BE= 6-12 18 = 16 3 ,BD= 18-2 = 16. ∴ OB= OA2 +AB2 = 182 +62 = 6 10 , DE= BD2 +BE2 = 162 + 16 3( ) 2 = 16 10 3 . ∴ BF= 1 2 DE= 8 10 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —33— ∴ OF=OB-BF= 6 10 -8 10 3 = 10 10 3 . 综上所述,此时 OF 的长为 4 2或10 10 3 . 25. (1)证明:如图 1,连接 AF. 图 1 ∵ AB =AC = 5 ,BC = 2,D,E,F 分 别是 AC,AB,BC 的中点, ∴ DE= 1 2 BC= 1,AF⊥BC. ∴ DF= 1 2 AC= 5 2 . ∴ DF= 5 2 DE. (2)解:FN= 5 2 EM. 理由如下: 如图 2,连接 AF. 图 2 ∵ AB = AC = 5 ,BC = 2,D,E,F 分别是 AC,AB,BC 的中点, ∴ EF= 1 2 AC=CD,EF∥CD, AF⊥BC. ∴ 四边形 CDEF 是平行四边形. ∴ ∠DEF= ∠C. ∵ AF⊥BC,D 是 AC 的中点,∴ DF= 1 2 AC=CD. ∴ ∠DFC= ∠C. ∴ ∠DFC= ∠DEF. ∴ 180°-∠DFC= 180°-∠DEF. ∴ ∠DFN= ∠DEM. ∵ 将∠EDF 绕点 D 顺时针旋转一定角度,得到 ∠PDQ,∴ ∠EDF= ∠PDQ. ∵ ∠FDN+∠NDE= ∠EDM+∠NDE, ∴ ∠FDN= ∠EDM. ∴ △DNF∽△DME. ∴ FN EM =DF DE = 5 2 . ∴ FN= 5 2 EM. (3)解:如图 3,连接 AF,过点 C 作 CH⊥ AB 于 点 H. 图 3 在 Rt△AFC 中,CF = 1 2 BC = 1, AC= 5 , ∴ AF= AC2 -CF2 = 2. ∴ S△ABC = 1 2 BC·AF= 1 2 AB·CH. ∴ CH=BC·AF AB = 2×2 5 = 4 5 5 . ∵ DP⊥AB,∴ DP∥CH. ∴ △AGD∽△AHC. ∵ D 是 AC 的中点,∴ AD= 1 2 AC= 5 2 . ∴ DG CH =AD AC = 1 2 . ∴ DG= 1 2 CH= 2 5 5 . 在 Rt△GED中,EG= DE2-DG2 = 5 5 . 在 Rt△AGD 中,AG= AD2 -DG2 = 3 5 10 . ∴ tan∠ADG= AG DG = 3 4 . ∵ EF∥AD, ∴ ∠EMG= ∠ADG. ∴ tan∠EMG= EG GM = 3 4 . ∴ GM= 4 3 EG= 4 3 × 5 5 = 4 5 15 . ∴ DM=GM+DG= 4 5 15 +2 5 5 = 2 5 3 . ∵ △DNF∽△DME,∴ DN DM =DF DE = 5 2 . ∴ DN= 5 2 DM= 5 2 ×2 5 3 = 5 3 . 26.解:(1)∵ 二次函数 y = -x2 +bx+c 的图象与 x 轴交 于点 A(-1,0),C(0,3), ∴ c= 3,-1-b+3 = 0. 解得 b= 2. (2)存在这样的点 P,使得 PM= 1 2 MH. 图 1 如图 1,∵ b = 2,c = 3,∴ 二次 函数的表达式为 y = -x2 +2x +3. 当 y= 0 时,-x2 +2x+3 = 0, 解得 x1 = -1,x2 = 3. ∴ 点 A(-1,0),B(3,0), C(0,3) . ∴ 直线 BC 的表达式为 y= -x+3. 设点 P(t,-t2 + 2t+ 3) (0< t< 3),则点 M( t,- t+ 3), H(t,0). ∴ PM= -t2 +2t+3-(-t+3)= -t2 +3t,MH= 3-t. ∵ PM= 1 2 MH,∴ -t2 +3t= 1 2 (3-t) . 解得 t1 = 1 2 ,t2 = 3(舍去) . ∴ 点 P 的坐标为 1 2 , 15 4( ) . (3)∵ D 是 OC 的中点,OC= 3, ∴ 点 D 的坐标为 0, 3 2( ) . ∴ 直线 BD 的表达式为 y= - 1 2 x+ 3 2 . 图 2 如图 2,过点 P 作 PF⊥x 轴 于点 F,交直线 BD 于点 E. ∵ OB = 3,OD = 3 2 ,∠BOD = 90°, ∴ BD= OB2 +OD2 = 3 5 2 . ∴ cos ∠OBD = OB BD = 3 3 5 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —43— = 2 5 5 . ∵ PQ⊥BD 于点 Q,PF⊥x 轴于点 F, ∴ ∠PQE= ∠BQR= ∠PFR= 90°. ∴ ∠PRF+∠OBD= ∠PRF+∠EPQ= 90°. ∴ ∠EPQ= ∠OBD,即 cos∠EPQ= cos∠OBD= 2 5 5 . 在 Rt△PQE 中,cos∠EPQ=PQ PE = 2 5 5 ,∴ PQ= 2 5 5 PE. 在 Rt△PFR 中,cos∠RPF=PF PR = 2 5 5 ,∴ PR= 5 2 PF. ∵ S△PQB = 3 2 S△QRB, S△PQB = 1 2 BQ · PQ, S△QRB = 1 2 BQ·QR,∴ PQ= 3 2 QR. 设直线 BD 与抛物线交于点 G. ∴ - 1 2 x+ 3 2 = -x2 +2x+3. 解得 x1 = 3(即点 B 的横坐标),x2 = - 1 2 . ∴ 点 G 的横坐标为- 1 2 . 设点 P( t,-t2 +2t+3)( t<3),则点 E t,- 1 2 t+ 3 2( ) , F( t,0) . ∴ PF= | -t2 +2t+3 | , PE= -t2 +2t+3- - 1 2 t+ 3 2( ) = -t 2 + 5 2 t+ 3 2 . ①若- 1 2 <t<3,则点 P 在直线 BD 的上方,如图 2. ∴ PF= -t2 +2t+3,PE= -t2 + 5 2 t+ 3 2 . ∵ PQ= 3 2 QR,∴ PQ= 3 5 PR. ∴ 2 5 5 PE= 3 5 × 5 2 PF,即 4PE= 3PF. ∴ 4 -t2 + 5 2 t+ 3 2( ) = 3(-t 2 +2t+3) . 解得 t1 = 1,t2 = 3(舍去) . ∴ 点 P 的横坐标为 1; ②若-1<t<- 1 2 ,则点 P 在 x 轴的上方、直线 BD 的 下方,如图 3. 此时,PQ<QR,即 S△PQB = 3 2 S△QRB 不成立; 图 3 　 图 4 ③若 t<-1,则点 P 在 x 轴的下方,如图 4. ∴ PF= t2 -2t-3,PE= t2 - 5 2 t- 3 2 . ∵ PQ= 3 2 QR,∴ PQ= 3PR. ∴ 2 5 5 PE= 3× 5 2 PF,即 4PE= 15PF. ∴ 4 t2 - 5 2 t- 3 2( ) = 15( t 2 -2t-3) . 解得 t1 = - 13 11 ,t2 = 3(舍去) . ∴ 点 P 的横坐标为-13 11 . 综上所述,点 P 的横坐标为 1 或-13 11 . 11 2023 年天桥区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B A D B C D A D 1. B　 【解析】-3 的绝对值是 3. 故选 B. 2. C　 【解析】主视图和左视图都是等腰三角形,那么 此几何体是锥体. 俯视图是圆,那么此几何体是圆 锥. 故选 C. 3. B　 【解析】410 000 = 4. 1×105 . 故选 B. 4. A　 【解析】∵ ∠B = 90°,∠A = 45°,∴ ∠ACB = 45°. ∵ ∠EDF = 90°,∠F = 60°,∴ ∠DEF = 30°. ∵ EF∥ BC,∴ ∠EDC = ∠DEF = 30°. ∴ ∠CED = ∠ACB - ∠EDC= 45°-30° = 15°. 故选 A. 5. D　 【解析】A 是中心对称图形,但不是轴对称图形, 故此选项不符合题意;B 是轴对称图形,但不是中心 对称图形,故此选项不符合题意;C 是轴对称图形, 但不是中心对称图形,故此选项不符合题意;D 既 是中心对称图形,又是轴对称图形,故此选项符合 题意. 故选 D. 6. B　 【解析】由 a,b 在数轴上对应点的位置可知:a< 0,b>0,∴ a b <0,a<b,a-b<0,ab<0. 故 A,C,D 错误, B 正确. 故选 B. 7. C　 【解析】设自主阅读、体育活动、科普活动分别记 为 A,B,C. 画树状图如下: 共有 9 种等可能的结果,其中小冰和小雪同时选择 “体育活动”的结果有 1 种,∴ 小冰和小雪同时选择 “体育活动”的概率是 1 9 . 故选 C. 8. D　 【解析】由坐标系可得点 B(-1,3),将△ABC 先沿 y 轴翻折得到点 B 的对应点为(1,3),再向下平移 3 个 单位长度,点 B 的对应点 B′的坐标为(1,0).故选 D. 9. A　 【解析】 ∵ 四边形 AOBC 是矩形,点 A(0,3), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —53—