9.2023年历下区学业水平第二次模拟试题-2023年山东省济南市中考二模数学试题

- m- 3 2( ) 2 +25 4 . ∵ -1<0, ∴ 当 m= 3 2 时,PC+PD 取得最大值25 4 . 此时 1 2 m2 -m-4 = 1 2 × 3 2( ) 2 - 3 2 -4 = -35 8 . ∴ 点 P 3 2 ,- 35 8( ) . ∴ PC + PD 的最大值为 25 4 , 此时点 P 的坐标为 3 2 ,- 35 8( ) . (3)∵ 将抛物线 y = 1 2 x2 -x- 4 沿水平方向向左平 移 5 个单位长度得抛物线 y= 1 2 (x+5) 2 -(x+5) -4 = 1 2 x2 +4x+ 7 2 , ∴ 新抛物线的对称轴为直线 x= - 4 2× 1 2 = -4. 在 y= 1 2 x2 +4x+ 7 2 中,令 x= 0,得 y= 7 2 . ∴ 点 F 0, 7 2( ) . 将点 P 3 2 ,- 35 8( ) 沿水平方向向左平移 5 个单位长 度得点 E - 7 2 ,- 35 8( ) . 设点 M(-4,n),N r, 1 2 r2 +4r+ 7 2( ) . ①当 EF,MN 为对角线时,EF,MN 的中点重合, ∴ 0- 7 2 = -4+r. 解得 r= 1 2 . ∴ 1 2 r2 +4r+ 7 2 = 1 2 × 1 2( ) 2 +4× 1 2 + 7 2 = 45 8 . ∴ 点 N 1 2 , 45 8( ) ; ②当 FM,EN 为对角线时,FM,EN 的中点重合, ∴ 0-4 = - 7 2 +r. 解得 r= - 1 2 . ∴ 1 2 r2 +4r+ 7 2 = 1 2 × - 1 2( ) 2 +4× - 1 2( ) + 7 2 = 13 8 . ∴ 点 N - 1 2 , 13 8( ) ; ③当 FN,EM 为对角线时,FN,EM 的中点重合, ∴ 0+r= - 7 2 -4. 解得 r= -15 2 . ∴ 1 2 r2 +4r+ 7 2 = 1 2 × -15 2( ) 2 +4× -15 2( ) + 7 2 = 13 8 . ∴ 点 N -15 2 , 13 8( ) . 综上所述,所有符合条件的点 N 的坐标为 1 2 , 45 8( ) 或 - 1 2 , 13 8( ) 或 - 15 2 , 13 8( ) . 9 2023 年历下区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B B A C C A D C A 1. B　 【解析】4 的算术平方根是 4 = 2. 故选 B. 2. B　 【解析】主视图是 . 故选 B. 3. B　 【解析】30 870 亿= 30 870×108 = 3. 087×1012 . 故选 B. 4. A　 【解析】如图,标注∠3,∠4. ∵ a∥b,∴ ∠1 = ∠4 = 50°. ∵ ∠2+ ∠3+∠4 = 180°,∴ ∠2 = 180°-∠3 -∠4 = 40°. 故选 A. 5. C　 【解析】A 是轴对称图形,也是中心对称图形,不 符合题意;B 是轴对称图形,也是中心对称图形,不 符合题意;C 是轴对称图形,但不是中心对称图形, 符合题意;D 是轴对称图形,也是中心对称图形,不 符合题意. 故选 C. 6. C　 【解析】∵ a<b,∴ -2a>-2b. 故选项 A 不符合题 意;∵ a<b,∴ 2a<2b. ∴ 2a-1<2b-1. 故选项 B 不符 合题意;∵ a<b,∴ a 3 < b 3 . 故选项 C 符合题意;∵ a< b,∴ a+2<b+2. 故选项 D 不符合题意. 故选 C. 7. A　 【解析】画树状图如下: 共有 4 种等可能的结果,其中转出的两个数字之积 为 6 的结果有 2 种,所以转出的两个数字之积为 6 的概率= 2 4 = 1 2 . 故选 A. 8. D　 【解析】由作法得 BD 平分∠ABC. ∴ ∠ABD = ∠CBD. 故 B 选项不符合题意;∵ 四边形 ABCD 是平 行四边形,∴ AD∥BC. ∵ ∠ADB = ∠CBD,∴ ∠ABD = ∠ADB. ∴ AB=AD. 故 A 选项不符合题意;∴ 四边形 ABCD 是菱形. ∴ AC⊥BD. 故 C 选项不符合题意;只 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —72— 有当∠ABC= 60°,即∠CBO = 30°时,BC = 2OC,故 D 选项符合题意. 故选 D. 9. C　 【解析】由图象,得甲步行的速度为 1 500÷(10+5) = 100(米 / 分),乙骑自行车的速度为 1 500÷(10-5) = 300(米 / 分) . 设甲出发后两人第一次相遇所需的 时间为 a 分钟. ∴ 100a+300(a-5)= 1 500. 解得 a = 7. 5,即甲出发后两人第一次相遇所需的时间为 7. 5 分钟. 故选 C. 10. A　 【解析】令 y= 0,则-x2 +(b-1)x+b= 0. 解得 x1 = -1,x2 = b. ∵ x>0,∴ 点 P(b,0) . 令 x= 0,则 y= -x 2 + (b-1)x+b= b. ∴ 点 Q(0,b) . ∴ 直线 PQ 为 y = -x+ b. 分两种情况讨论,如图 1,当直线 PQ 在点 C 上方 时,过点 C 作 BC⊥PQ 于点 B,延长 BC 交 x 轴于点 H,则△BPH 为等腰直角三角形,BP=BH>BC. 故在 线段 PQ 上必存在点 A,使得∠ABC = 90°,AB =BC. 将 x= 2,y= 1 代入 y = -x+b,得 b = 3,即 b> 3;如图 2,当直线 PQ 在点 C 下方时,过点 C 作 BC⊥PQ 于 点 B,延长 CB 交 x 轴于点 H,则 BQ≥BC 时,符合 题意;如图 3,当直线 PQ 过点 H 时,BQ=BC. 此时, -1+b= 0,即 b= 1,即 1≤b<3. 综上所述,1≤b<3 或 b>3. 故选 A. 图 1 　 图 2 图 3 11. x(2x-y)　 【解析】原式= x(2x-y) . 12. 1 3 　 【解析】根据图示,阴影区域的面积等于 3 块 方块的面积,总面积等于 9 块方块的面积,∴ 小球 最终停留在阴影区域的概率是 3 9 = 1 3 . 13. 8　 【解析】多边形的边数为 360°÷45° = 8. 14. 3　 【解析】∵ 9<13<16,∴ 3< 13 <4,即 3< 13 < 3+1. ∴ n= 3. 15. π- 3 　 【解析】如图,连接 OC,O′B,BC. 由题意可 知,A,O′,B 三点在同一条直 线上,∠OAO′ = 30°. 由旋转可 知,AB=AB′,∠O′AB′=30°, ∴ ∠OAC = ∠OAO′+∠O′AC = 30°+30° = 60°. ∵ OA=OC, ∴ △AOC 是等边三角形. ∵ ∠AOB= 120°, ∴ ∠BOC = 120° - 60° = 60°. ∴ △BOC 是等边三角 形. ∴ 四边形 AOBC 是菱形. 设 AB 与 OC 的交点为 M. 在 Rt△AOM 中,OA = 2,∠OAO′ = 30°,∴ OM = 1 2 OA= 1,MA= 3 2 OA= 3 . ∴ AB= 2MA= 2 3 . ∴ S阴影 = S扇形ABB′ -S△ABC = 30π×(2 3) 2 360 - 1 2 × 2 3 × 1 = π- 3 . 16. 4. 4　 【解析】∵ 矩形 ABCD 的周长为 40,面积为 88,∴ 2(AB+BC) = 40,AB·BC = 88. ∴ AB+BC = 20. 由题图 2,得 MN = AB+BC = 20. ∴ MN·NQ = 88. 解得 NQ= 4. 4. 17.解:原式= 2× 3 2 - 3 + 1 2 -1 = 3 - 3 + 1 2 -1 = - 1 2 . 18.解:解不等式 3x≤x+4,得 x≤2. 解不等式 x-2 3 -2x<1,得 x>-1. 所以不等式组的解集是-1<x≤2. 所以该不等式组的所有非负整数解为 0,1,2. 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB=AD=BC=CD,∠B= ∠D. ∵ CE=CF, ∴ BC-CE=DC-CF,即 BE=DF. 在△ABE 和△ADF 中, AB=AD, ∠B= ∠D, BE=DF, { ∴ △ABE≌△ADF(SAS) . ∴ AE=AF. 20.解:(1)补全频数分布直方图如下: 频数分布直方图 (2)在收集的 30 个数据中,6 出现的次数最多,则 众数 m= 6,位于中间的 2 个数为 7,7,则中位数 n= 7+7 2 = 7. 故答案为 6;7. (3)A 组的圆心角为 360°× 4 30 = 48°. 故答案为 48. (4)3 000×6 +3 30 = 900(人) . 答:估计该校学生中,一周课外阅读时间不少于 9 小时的学生有 900 人. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —82— 21.解:(1)由题意,得 DE⊥CE,CD= 20 米. ∵ 山坡 CF 的坡度 i= 1 ∶ 2, ∴ DE CE = 1 2 . ∴ 设 DE= x 米,则 CE= 2x 米. 在 Rt△DEC 中,CD = DE2 +CE2 = x2 +(2x) 2 = 20,解得 x= 4 5 . ∴ DE= 4 5米≈9. 0 米. 答:点 D 到地面的垂直高度 DE 的长约为 9. 0 米. (2)如图,过点 D 作 DG⊥AB,垂足为 G. 由题意,得 DE=BG= 4 5米,DG=BE. 设 BC= y 米. ∵ CE= 2DE= 8 5米, ∴ DG=BE=CE+BC= (y+8 5 )米. 在 Rt△ABC 中,∠ACB= 45°, ∴ AB=BC= y 米. 在 Rt△ADG 中,∠ADG= 14°, ∴ AG=DG·tan 14°≈0. 25(y+8 5 )米. ∴ AB = AG+BG = 0. 25( y+ 8 5 ) + 4 5 = ( 0. 25y+ 6 5 )米. ∴ 0. 25y+6 5 = y. 解得 y= 8 5 . ∴ AB= 8 5米≈17. 9 米. 答:楼 AB 的高度约为 17. 9 米. 22. (1)证明:如图,连接 BD. ∵ BC 是☉O 的直径,∴ ∠BDC= 90°. ∴ BD⊥AC. ∵ D 是 AC 的中点,∴ AD=CD. ∴ AB=BC. (2)解:如图,连接 OD. ∵ DE 是☉O 的切线, ∴ ∠ODE= 90°. ∵ AB=BC= 8, ∴ OC=OD= 4. ∵ AD=CD,OB=OC, ∴ OD 是△ABC 的中位线. ∴ OD∥AB. ∴ ∠DOE= ∠ABC. ∵ cos∠ABC= 2 5 ,∴ cos∠DOE=OD OE = 4 OE = 2 5 . ∴ OE= 10. ∴ CE=OE-OC= 6. 23.解:(1)设甲种图书每本的进价是 x 元,则乙种图 书每本的进价是(x-15)元. 根据题意,得675 x = 450 x-15 . 解得 x= 45. 经检验,x= 45 是原方程的解,且符合题意. ∴ x-15 = 45-15 = 30. 答:甲种图书每本的进价是 45 元,乙种图书每本 的进价是 30 元. (2)设购买甲种图书 m 本,则购买乙种图书(70- m)本. ∵ 甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多 6 本,∴ m≥70-m+6. 解得 m≥38. 根据题意,得 w= 45m+30(70-m)= 15m+2 100. ∵ 15>0,∴ w 随 m 的增大而增大. ∴ 当 m = 38 时,w 取得最小值,最小值为 15× 38+ 2 100 = 2 670. 此时 70-m= 70-38 = 32. ∴ 购买甲种图书 38 本,乙种图书 32 本,才能使购 书总费用 w 最少,最少费用为 2 670 元. 24. 解:(1)将点 M(2,2)代入反比例函数 y= k x ,得 k= 2×2 = 4. ∴ 反比例函数 y= k x (x>0)的表达式为 y= 4 x . 将点 E(1,a)代入上式,得 a= 4 1 = 4,即点 E(1,4) . ∵ AE= 3,∴ 点 A(-2,4) . ∴ 点 B(-2,0) . (2)如图,作点 M 关于 x 轴的对称点 N(2,-2),连 接 DN 交 x 轴于点 P,则点 P 即为所求. 由矩形的性质知,M 是 BD 的中点,由中点坐标公 式,得点 D(6,4) . 由点 D,N 的坐标,得直线 DN 的表达式为 y= 3 2 x-5. 令 y= 3 2 x-5 = 0,则 x= 10 3 . ∴ 点 P 的坐标为 10 3 ,0( ) . (3)由点 E,M 的坐标,得直线 EM 的表达式为 y = -2x+6. 当 y= -2x+6 = 0 时,x= 3,即点 F(3,0) . 设点 Q(x,y) . 当 BE 是对角线时,由中点坐标公式,得 -2+1 = 3+x, 4 = y,{ 解得 x= -4, y= 4.{ ∴ 点 Q 的坐标为(-4,4); 当 BF 或 BQ 是对角线时,由中点坐标公式,得 -2+3 = 1+x, 0 = y+4,{ 或 x-2 = 1+3, y= 4,{ 解得 x= 0, y= -4,{ 或 x= 6, y= 4.{ ∴ 点 Q 的坐标为(0,-4)或(6,4) . 综上所述,点 Q 的坐标为(-4,4)或(0,-4)或(6,4). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —92— 25.解:(1)∵ AB=AC,∠BAC= 90°,∴ ∠ACB= 45°. ∵ ∠BDE= 90°,∴ ∠CDE= 90°. ∵ F 是 BC 的中点,∴ EF=CF. ∴ AF=EF=CF=DF. ∴ ∠FAC= ∠FCA,∠FCD= ∠FDC. ∵ ∠AFE = ∠FAC + ∠FCA = 2 ∠FCA, ∠EFD = ∠FDC+∠FCD= 2∠FCD, ∴ ∠AFD= ∠AFE+ ∠EFD = 2( ∠FCA+ ∠FCD) = 2∠ACB= 90°. ∴ AF⊥DF. 故答案为 AF⊥DF;AF=DF. (2)结论成立. 证明:如图 1,延长 DF 到点 P,使 DF = PF,连接 PC,AD,PA,延长 BD 交 CP 的延长线于点 J,AC 交 BJ 于点 O. 图 1 ∵ EF =CF,∠EFD = ∠CFP, DF=PF, ∴ △EFD≌△CFP(SAS). ∴ DE=PC,∠DEF=∠PCF. ∴ DE∥CJ. ∴ ∠EDJ= ∠J= 90°. ∵ ∠BAO= ∠OJC= 90°,∠AOB= ∠JOC, ∴ ∠ABD= ∠ACP. ∵ AB=AC,BD=DE=CP, ∴ △ABD≌△ACP(SAS). ∴ ∠BAD=∠CAP,AD=AP. ∴ ∠DAP= ∠BAC= 90°. ∵ DF=PF, ∴ AF⊥DF,AF=DF. (3)如图 2,当点 D 在线段 CE 上时, ∵ AB = AC = 6,∠BAC = 90°,∴ BC = AB2 +AC2 = 62 +62 = 6 2 . ∵ ∠BDC= 90°,BD= 2, ∴ CD= BC2 -BD2 = (6 2 ) 2 -22 = 2 17 . ∴ CE=DE+CD= 2+2 17 . ∴ EF=CF= 1 2 CE=1+ 17 . ∴ AF=DF=EF-DE= 1+ 17 -2 = 17 -1. ∴ 在 Rt△ADF 中,AD= 2AF= 34 - 2 ; 图 2 　 图 3 如图 3,当点 E 在线段 CD 上时, 同法可得 AF=DF= 17 +1. ∴ AD= 2AF= 34 + 2 . 综上所述,AD 的长为 34 - 2或 34 + 2 . 26.解:(1)∵ 抛物线 y=ax2 +bx-2 经过点 A( -1,0)和 B(4,0), ∴ a -b-2 = 0, 16a+4b-2 = 0.{ 解得 a= 1 2 , b= - 3 2 . ì î í ï ï ï ï ∴ 抛物线的表达式为 y= 1 2 x2 - 3 2 x-2. ∵ y= 1 2 x2 - 3 2 x-2 = 1 2 x- 3 2( ) 2 -25 8 , ∴ 顶点 G 的坐标为 3 2 ,- 25 8( ) . (2)由(1)知,点 G 3 2 ,- 25 8( ) . ∵ S△CDG = 1 2 CD·xG = 3 2 ,∴ CD= 3 xG = 3 3 2 = 2. 由(1)知,抛物线的表达式为 y= 1 2 x2 - 3 2 x-2. ∴ 点 C(0,-2) . ∵ 点 D 在 y 轴的负半轴上, ∴ 点 D(0,-4) . 设直线 AC 的表达式为 y= kx+c. 将点 A(-1,0),C(0,-2)代入,得 -k+c= 0, c= -2.{ 解得 k= -2, c= -2.{ ∴ 直线 AC 的表达式为 y= -2x-2. ∵ 平移后的抛物线的顶点 M 在直线 AC 上运动, ∴ 设点 M(m,-2m-2) . ∴ 平移后的抛物线的表达式为 y= 1 2 (x-m)2-2m-2. 将点 D(0,-4)代入,得 1 2 m2 -2m-2 = -4. 解得 m1 =m2 = 2. 当 m= 2 时,-2m-2 = -6. ∴ 点 M(2,-6) . (3)过点 G 作 BC 的垂线,交 BC 于点 H,交 y 轴于 点 F,过点 G 作 EG⊥y 轴于点 E,如图. 当抛物线沿着直线 GF 的方向向上平移时,平移的 距离最短. 设直线 BC 的表达式为 y=k1x+b1, 则 4k1+b1 =0, b1 =-2.{ 解得 k1 = 1 2 , b1 = -2. { 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —03— ∴ 直线 BC 的表达式为 y= 1 2 x-2. ∵ 点 G 3 2 ,- 25 8( ) ,∴ EG= 3 2 ,OE= 25 8 . ∵ FH⊥BC, ∴ ∠CFH+∠FCH= ∠OBC+∠FCH= 90°. ∴ ∠CFH= ∠OBC. 又∵ ∠FEG= ∠BOC= 90°,∴ △EGF∽△OCB. ∴ EG EF =OC OB . ∵ OC= 2,OB= 4,EG= 3 2 , ∴ EF= 3. 而 EF<OE,即点 F 在 y 轴的负半轴上, ∴ OF=OE-EF= 25 8 -3 = 1 8 . ∴ 点 F 0,- 1 8( ) . 设直线 FG 的表达式为 y= k2x+b2 , 则 3 2 k2 +b2 = - 25 8 , b2 = - 1 8 . ì î í ï ï ï ï 解得 k2 = -2, b2 = - 1 8 .{ ∴ 直线 FG 的表达式为 y= -2x- 1 8 . 设平移后抛物线的顶点 N 的坐标为 n,-2n- 1 8( ) , 则平移后抛物线的表达式为 y= 1 2 (x-n)2-2n- 1 8 . ∵ 抛物线 y= 1 2 (x-n) 2 -2n- 1 8 与直线 BC 恰有一 个公共点, ∴ y= 1 2 (x-n) 2 -2n- 1 8 , y= 1 2 x-2. ì î í ï ï ï ï 整理,得 4x2 -(8n+4)x+4n2 -16n+15 = 0. ∴ Δ= [-(8n+4)] 2 -4×4(4n2 -16n+15)= 0. 解得 n= 7 10 . ∴ 平移后抛物线的表达式为 y= 1 2 ( x- 7 10 ) 2 -61 40 . 此时平移后抛物线的顶点坐标为 N 7 10 ,- 61 40( ) , 而点 G 的坐标为 3 2 ,- 25 8( ) , ∴ GN= 3 2 - 7 10( ) 2 + -25 8 +61 40( ) 2 = 4 5 5 . ∴ 抛物线 y=ax2 +bx-2 平移的最短距离为4 5 5 ,此 时抛物线的顶点坐标为 7 10 ,- 61 40( ) . 10 2023 年市中区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C C D A A C B B 1. A　 【解析】-2 023 的相反数是 2 023. 故选 A. 2. B　 【解析】从正面看,底层是三个小正方形,中间是 两个小正方形,上层右边是一个小正方形. 故选 B. 3. C　 【解析】125 000 000 = 1. 25×108 . 故选 C. 4. C　 【解析】∵ ∠CDE = 150°,∴ ∠CDB = 180° - 150° = 30°. ∵ AB∥CD,∴ ∠ABD = ∠CDB = 30°. ∵ BE 平 分∠ABC, ∴ ∠ABC = 2 ∠ABD = 60°. ∵ AB∥CD, ∴ ∠C+∠ABC= 180°. ∴ ∠C= 120°. 故选 C. 5. D　 【解析】A 不是轴对称图形,也不是中心对称图 形,故本选项不符合题意;B 不是轴对称图形,也不 是中心对称图形,故本选项不符合题意;C 不是轴对 称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题 意;D 既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选 项符合题意. 故选 D. 6. A　 【解析】A. 原式 = 9a6,故本选项正确;B. 原式不 能合并,故本选项错误;C. 原式=a2 +b2 +2ab,故本选 项错误;D. 原式=a12,故本选项错误. 故选 A. 7. A　 【解析】设“立春”用 A 表示,“立夏”用 B 表示, “秋分”用 C 表示,“大寒”用 D 表示. 画树状图如下: ∴ 共有 12 种等可能的结果,其中小乐抽到的两张 邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果有 2 种,∴ 小乐 抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 2 12 = 1 6 . 故选 A. 8. C　 【解析】由图可知旋转中心 P 的坐标为(1,2) . 故选 C. 9. B　 【解析】∵ AB⊥AC,∴ ∠BAC = 90°. ∵ ∠ABC = 45°,∴ △ABC 是等腰直角三角形. ∵ AD 是△ABC 的高,∴ AD=BD =CD,AB = 2BD. 由作法,得 BE 平 分∠ABD. ∴ 点 E 到 AB 的距离等于点 E 到 BD 的距 离,即点 E 到 AB 的距离等于 1. ∵ S△ABE ∶ S△BDE = AE ∶ DE=AB ∶ BD = 2,DE = 1,∴ AE = 2 DE = 2 . ∴ AD=AE+DE= 2 +1. ∴ CD= 2 +1. 故选 B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —13— — 49 — — 50 — — 51 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 4 的算术平方根是 (　 　 ) A. ±2　 B. 2　 C. -2　 D. ±16 2. 如图所示的三棱柱的主视图是 (　 　 ) A. 　 B. 　 C. 　 D. 3. 根据国家统计局在 2023 年 1 月的数据显示,2022 年我国的科学研究与试验发展经费投入达 30 870 亿元,首次突破 3 万亿大关. 30 870 亿用科学记数法可以表示为 (　 　 ) A. 3. 087×1013 　 B. 3. 087×1012 C. 0. 308 7×1014 　 D. 3. 087×1014 4. 如图,已知 a∥b,直角三角形的直角顶点在直线 a 上. 若∠1 = 50°,则∠2 等于 (　 　 ) A. 40°　 B. 52°　 C. 26°　 D. 34° 第 4 题图 　 　 第 7 题图 　 　 第 8 题图 　 　 第 9 题图 5. 下列图形,是轴对称图形但不是中心对称图形的是 (　 　 ) A. 菱形　 B. 矩形　 C. 等边三角形　 D. 圆 6. 已知 a<b,则下列不等式成立的是 (　 　 ) A. -2a<-2b　 B. 2a-1>2b-1　 C. a 3 < b 3 　 D. a+2>b+2 7. 如图,分别旋转两个转盘,转出的两个数字之积为 6 的概率是 (　 　 ) A. 1 2 　 B. 1 3 　 C. 2 3 　 D. 3 4 8. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC 和 BD 交于点 O,以点 B 为圆心,以一定长度为半径画弧,分别交 AB, BC 于点 E,F,再分别以点 E,F 为圆心,以大于 1 2 EF 的长为半径画弧,两弧相交于点 G,射线 BG 恰好 经过顶点 D. 下列结论中不一定成立的是 (　 　 ) A. AB=AD　 B. ∠ABO= ∠CBO　 C. AC⊥BD　 D. BC= 2OC 9. 已知 A,B 两地相距 1 500 米,甲步行沿一条笔直的公路从 A 地出发到 B 地,乙骑自行车比甲晚 5 分 钟从 B 地出发,沿同一条公路到达 A 地后立刻以原速度返回,并与甲同时到达 B 地,甲、乙离 A 地的 距离 y(米)与甲行走时间 x(分)的函数图象如图所示,则甲出发后两人第一次相遇所需的时间为 (　 　 ) A. 13 2 分钟　 B. 7 分钟　 C. 15 2 分钟　 D. 8 分钟 10. 二次函数 y= -x2 +(b-1)x+b(b>0,x>0)分别交 x 轴、y 轴于点 P,Q,点 C 的坐标为(2,1) . 若在线段 PQ 上存在点 A,B,使得△ABC 为等腰直角三角形,且∠ABC= 90°,则 b 的取值范围是 (　 　 ) A. 1≤b<3 或 b>3　 B. 1≤b< 7 3 或 b>3　 C. b>3　 D. b≠3 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 因式分解:2x2 -xy= . 12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动,并随机地停留在某块方砖上,那么它最终停留在阴影区 域的概率是 . 第 12 题图 　 　 第 15 题图 　 　 　 　 图 1 　 　 　 　 图 2 第 16 题图 13. 一个多边形的每个外角都是 45°,则这个多边形的边数为 . 14. 设 n 为正整数,且 n< 13 <n+1,则 n 的值为 . 15. 如图,已知扇形 AOB 的半径 OA= 2,∠AOB= 120°,将扇形 AOB 绕点 A 顺时针旋转 30°得到扇形 AO′B′, 则图中阴影部分的面积为 . 16. 利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法. 如图 1,I,G 是矩形 ABCD 对角线 AC 上的两点,四边形 EBFG 和四边形 HIJD 是两个全等的正方形,然后按图 2 重新摆放,观 察两图. 若矩形 ABCD 的周长为 40,面积为 88,则 NQ= . 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算:2sin 60°- | 3 | +2-1 - - 1 3( ) 0 . 18. (6 分)解不等式组: 3x≤x+4, x-2 3 -2x<1, ì î í ï ï ïï 并写出它的所有非负整数解. 19. (6 分)如图,在菱形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,且 CE=CF. 求证:AE=AF. 20. (8 分)4 月 23 日是世界读书日,习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启 发,让人滋养浩然正气” . 某校响应号召,开展了“读红色经典,传革命精神”为主题的读书活动,随 机抽取了 30 名学生将他们一周的课外阅读时间(单位:h)的数据作为一个样本,并对这些数据进 行了收集、整理和分析,过程如下: 【数据收集】 4,4,3,3,5,5,5,7,7,7; 7,6,6,6,6,6,6,8,8,8; 8,9,9,10,10,10,10,11,12,13. 【数据整理】 将收集的 30 个数据按 A,B,C,D,E 五组进行整理统计,并绘制了如图所示的不完整的频数分布直 方图(说明:A. 3≤t<5,B. 5≤t<7,C. 7≤t<9,D. 9≤t<11,E. 11≤t≤13,其中 t 表示阅读时间) . 统计量 平均数 众数 中位数 阅读时间 / h 7. 3 m n 　 频数分布直方图 【数据分析】 请根据以上信息解答下列问题: (1)补全频数分布直方图; (2)m= ,n= ; (3)若将数据绘制成扇形统计图,则 A 组的圆心角为 °; (4)已知该校有 3 000 名学生,请估计该校学生中,一周课外阅读时间不少于 9 小时的学生人数. 9 2023 年历下区学业水平第二次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 52 — — 53 — — 54 — 21. (8 分)如图,在河流的右岸边有一高楼 AB,左岸边有一坡度 i = 1 ∶ 2(坡面的铅直高度与水平宽度 的比称为坡度)的山坡 CF,点 E、点 C 与点 B 在同一水平面上,CF 与 AB 在同一平面内. 某数学兴趣 小组为了测量楼 AB 的高度,在坡底 C 处测得楼顶 A 的仰角为 45°,然后沿坡面 CF 上行了 20 米到 达 D 处,此时在 D 处测得楼顶 A 的仰角为 14°. (测角器的高度忽略不计,结果精确到 0. 1 米,参考 数据: 2 ≈1. 41, 5 ≈2. 24,sin 14°≈0. 24,cos 14°≈0. 97,tan 14°≈0. 25) 求:(1)点 D 到地面的垂直高度 DE 的长; (2)楼 AB 的高度. 22. (8 分)如图,在△ABC 中,以 BC 为直径作☉O 交 AC 于点 D,且 D 是 AC 的中点,过点 D 作☉O 的切 线 DE 交 BC 的延长线于点 E. (1)求证:AB=BC; (2)若 AB= 8,cos∠ABC= 2 5 ,求 CE 的长. 23. (10 分)2023 年春节科幻电影火热上映,激发了人们阅读科幻书籍的热情. 某学校图书馆购进甲、 乙两种科幻书籍,已知每本甲种图书的进价比每本乙种图书的进价高 15 元,购买 675 元甲种图书 的数量与购买 450 元乙种图书的数量相同. (1)甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元? (2)某中学计划购进甲、乙两种图书共 70 本,且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多 6 本,怎 样购买,才能使购书总费用 w 最少? 并求出最少费用. 24. (10 分)如图,矩形 ABCD 的边 BC 在平面直角坐标系中的 x 轴上,矩形对角线交于点M(2,2),过点 M 的反比例函数 y= k x (x>0)与矩形的边 AD 交于点 E(1,a),AE= 3,直线 EM 交 x 轴于点 F. (1)求反比例函数 y= k x (x>0)的表达式和点 B 的坐标; (2)若 P 为 x 轴上一点,当 PM+PD 最小时,求出点 P 的坐标; (3)若 Q 为平面内任意一点,若以点 B,E,F,Q 为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点 Q 的 坐标. 25. (12 分)如图 1,△ABC 和△DEB 都是等腰直角三角形,∠BAC = ∠BDE = 90°,将△BDE 绕点 B 逆时 针旋转 α(0°<α<360°),连接 CE,取 CE 的中点 F,连接 AF,DF. (1)如图 1,当点 D 落在边 BC 上,点 E 落在边 AB 上时,线段 AF 和线段 DF 的位置关系是 ,数量关系是 ; (2)如图 2,当点 D 落在△ABC 内部时,(1)的结论是否仍然成立? 如果成立,请写出证明过程;如 果不成立,请说明理由. 九年级(1)班数学兴趣小组的同学提出了三种思路: 小聪:过点 D 作 DM⊥BE 交线段 BE 于点 M,过点 A 作 AN⊥BC 交线段 BC 于点 N…… 小明:延长 ED 至点 G,使 DG=DE,延长 CA 至点 H,使 AH=AC,连接 BG,BH…… 小智:延长 DF 至点 P,使 DF=PF,连接 PC,AD,PA…… 请你选择一种思路,完善证明过程; (3)若 AB = 6,BD = 2,在△BDE 旋转的过程中,当 E,D,F 三点共线时,连接 AD,请直接写出 AD 的长. 图 1 　 图 2 　 图 3 26. (12 分)如图 1,已知抛物线 y=ax2 +bx-2 经过点 A( -1,0)和 B(4,0),与 x 轴交于点 C,顶点为 G,连 接 AC,BC. (1)求抛物线的表达式和顶点 G 的坐标; (2)如图 2,若平移抛物线 y=ax2 +bx-2,使其顶点 M 在直线 AC 上运动,平移后所得函数的图象与 y 轴负半轴的交点为 D,连接 DG,CG. 当 S△CDG = 3 2 时,求点 M 的坐标; (3)如图 3,若将抛物线 y=ax2 +bx-2 进行适当的平移,当平移后的抛物线与直线 BC 最多只有一个 公共点时,请直接写出抛物线 y=ax2 +bx-2 平移的最短距离及此时抛物线的顶点坐标. 图 1 　 图 2 　 图 3