6.2023年济阳区学业水平第一次模拟试题-2023年山东省济南市中考一模数学试题

— 31 — — 32 — — 33 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 实数-2 023 的绝对值是 (　 　 ) A. 2 023　 B. -2 023　 C. 1 2 023 　 D. - 1 2 023 2. 如图是由 6 个相同的正方体搭成的几何体,这个几何体的主视图是 (　 　 ) A. B. C. 　 D. 第 2 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 3. 山东省济南市济阳区曲堤街道,号称“中国黄瓜之乡” . 特产曲堤黄瓜,全国农产品地理标志. 2022 年, 该街道黄瓜年产值超 1 500 000 000 元. 将数据 1 500 000 000 用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 15×108 　 B. 1. 5×109 　 C. 0. 15×1010 　 D. 1. 5×108 4. 如图,AB∥CD,点 E 在 AB 上,EC 平分∠AED. 若∠2 = 50°,则∠1 的度数为 (　 　 ) A. 45°　 B. 50°　 C. 65°　 D. 80° 5. 数学中的对称之美无处不在. 下列是小明看到的他所在小区的垃圾桶上的四幅垃圾分类标志图案, 如果不考虑图案下面的文字说明,那么这四幅图案既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6. 化简: x 2 x2 -4 ÷ x x-2 等于 (　 　 ) A. 1　 B. x　 C. x x-2 　 D. x x+2 7. 现将正面分别标有“善”“美”“济”“阳”图案的四张卡片(除卡片正面的内容不同外,其余完全相同) 背面朝上放在桌面上,混合洗匀后,王刚从中随机抽取两张,则这两张卡片正面的图案恰好可以组成 “济阳”的概率是 (　 　 ) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋善 　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋美 　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋济 　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋阳 A. 1 2 　 B. 1 3 　 C. 1 4 　 D. 1 6 8. 反比例函数 y= k x 在第一象限的图象如图所示,则 k 的值可能是 (　 　 ) A. 1　 B. 2　 C. 3　 D. 4 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,C 是直径 AB 为 4 的半圆的中点,连接 BC,分别以点 B 和 C 为圆心,以大于 1 2 BC 的长为半径作 弧,两弧相交于点 D,作直线 OD 交 BC 于点 E,连接 AE,则阴影部分的面积为 (　 　 ) A. π　 B. 2π　 C. 3 3 -π　 D. 2 3 -π 10. 把二次函数 y=ax2 +bx+c(a>0)的图象作关于 y 轴的对称变换,所得图象的表达式为 y = a(x+1) 2 - a2 . 若(m-2)a+b+c≥0 成立,则 m 的最小整数值为 (　 　 ) A. 2　 B. 3　 C. 4　 D. 5 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 因式分解:x2 -6x+9 = . 12. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 +kx-8 = 0 的一个根为-2,则它的另一个根为 . 13. 一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成,向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板 上),击中阴影部分的概率是 . 第 13 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 14. 我们规定:使得 a-b = ab 成立的一对数 a,b 为“差积等数对”,记为(a,b) . 例如,因为 3-0. 75 = 3× 0. 75,( -2) -2 = ( -2) ×2,所以数对(3,0. 75),( -2,2)都是“差积等数对” . 若(k,-1)是“差积等数 对”,则 k 的值为 . 15. 一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间(如图),已知∠ACB = 90°,AC =BC,AB = 26 cm,AD 为三 块砖的厚度,BE 为两块砖的厚度,李明很快就知道了砌墙所用砖块的厚度(每块砖的厚度相等,两 块砖间的缝隙忽略不计)为 cm. 16. 如图,已知∠MON= 30°,点 A1 在射线 ON 上,过点 A1 作 A1B1⊥ON 交 OM 于点 B1,过点 B1 作 B1A2 ⊥ OM 交 ON 于点 A2,过点 A2 作 A2B2⊥ON 交 OM 于点 B2,过点 B2 作 B2A3⊥OM 交 ON 于点 A3……若 OA1 = 3 ,则 A2 024B2 024 的长为 . 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算: 16 + 1 2( ) -1 -2cos 60°+ 1 π( ) 0 . 18. (6 分)解不等式组: 2(x-1)≤x+1,① 2x>3x -1 2 ,② ì î í ï ï ï ï 并写出它的所有整数解. 19. (6 分)已知:如图,在菱形 ABCD 中,E,F 是对角线 AC 上的两点,连接 DE,DF,AE=CF. 求证:∠ADF= ∠CDE. 20. (8 分)实验中学为了解七、八年级学生对交通安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取 50 名 学生进行测试,并对成绩(百分制且成绩均为整数)进行整理、描述和分析,部分信息如下: 信息一:七年级成绩频数分布直方图(如图): 信息二:七年级成绩在 70≤x<80 这一组的数据为 70,72,74,75,76,76,77,77,77,78,79. 信息三:七、八年级成绩的平均数、中位数如下: 年级 平均数 中位数 七 76. 9 m 八 79. 2 79. 5 根据以上信息,回答下列问题: (1)在这次测试中,七年级在 80 分以下(不含 80 分)的有 人; (2)表中 m 的值为 ; (3)该校七年级学生有 500 人,假设全部参加此次测试,请估计七年级成绩超过平均数 76. 9 分的 人数. 6 2023 年济阳区学业水平第一次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 34 — — 35 — — 36 — 21. (8 分)新元学校科技社团赵翔同学借助无人机,测量坡角为 34°的滑行跑道斜坡部分 AB 的长度. 如图,水平飞行的无人机在点 D 处测得跑道斜坡的顶端 A 处的俯角∠ADE = 25°,底端 B 处的俯角 ∠BDE= 56°,点 C,B,F 在同一条水平直线上,BC= 28 米. 求:(1)无人机的飞行高度 CD; (2)滑行跑道 AB 的长度. (所有计算结果精确到 1 米,参考数据:sin 56°≈0. 83,cos 56°≈0. 56, tan 56°≈1. 48,tan 31°≈0. 60,sin 31°≈0. 52,cos 31°≈0. 86) 22. (8 分)如图,AB 是☉O 的直径,C 是☉O 上一点,CD 与☉O 相切于点 C,OD⊥AB 交 AC 于点 E. (1)求证:DE=CD; (2)若 OE= 2,sin∠ODC= 4 5 ,求☉O 的半径. 23. (10 分)为了落实双减政策,促进学生全面发展,某学校计划购买一批排球和实心球. 已知排球的单 价是实心球单价的 2 倍,若用 7 200 元购进排球的数量比用 5 400 元购进实心球的数量少 100 个. (1)求排球和实心球的单价分别是多少元; (2)该学校计划用不多于 25 200 元购进排球和实心球共 1 000 个,最多可以购买多少个排球? 24. (10 分)如图 1,已知点 B 的坐标为(1,0),点 C 与点 B 关于原点对称,过点 B 作 AB⊥x 轴,交反比 例函数 y= k x (k>0)的图象于点 A,若△ABC 的面积为 1. (1)求 k 的值; (2)如图 2,点 D 在第二象限,△ACD 是直角三角形,∠ACD= 90°,tan∠ADC= 1 3 . 求点 D 的坐标; (3)在(2)的条件下,M 为 x 轴上一点,N 为坐标平面内一点. 若以点 A,D,M,N 为顶点的四边形是 矩形,请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标. 图 1 　 　 图 2 25. (12 分)如图 1,在△ABC 中,∠ACB= 90°,AC=BC,D 是边 AB 的中点,连接 CD,CD= 6,以点 D 为顶 点作△DEF,使∠EDF= 90°,DE=DF= 10. (1)连接 BF,CE. 线段 BF 和线段 CE 的数量关系为 ,直线 BF 和直线 CE 的位置关系为 ; (2)如图 2,当 CE∥AB 时,设 AC 与 DE 交于点 G,求 DG 的长度; (3)当点 E,C,B 在同一条直线上时,请直接写出 CE 的长度. 图 1 　 　 图 2 26. (12 分)如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y = a(x-3) 2 +4 过原点,与 x 轴的正半轴交于点 A,已 知 B 为抛物线的顶点,抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D. (1)求 a 的值,并直接写出 A,B 两点的坐标; (2)若 P 是该抛物线对称轴上的一点,且∠BOP= 45°,求点 P 的坐标; (3)如图 2,若 C 是线段 BD 上一点,求 3BC+5AC 的最小值. 图 1 　 　 图 2 = 25 8 . 故点 F 的坐标为(0,1)或(0,-1)或 0, 25 8( ) . 6 2023 年济阳区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B C A D D C A C 1. A　 【解析】-2 023 的绝对值是 2 023. 故选 A. 2. B　 【解析】从正面看该组合体,一共有三列,从左到 右正方体的个数分别是 2,2,1,下面共 3 个. 故选 B. 3. B　 【解析】1 500 000 000 = 1. 5×109 . 故选 B. 4. C　 【解析】∵ ∠2+∠AED= 180°,∠2 = 50°, ∴ ∠AED = 130°. ∵ EC 平 分 ∠AED, ∴ ∠AEC = 1 2 ∠AED= 65°. ∵ AB∥CD,∴ ∠1 = ∠AED= 65°. 故选 C. 5. A　 【解析】A 既是轴对称图形,又是中心对称图形, 符合题意;B 是轴对称图形,但不是中心对称图形, 不符合题意;C 不是轴对称图形,也不是中心对称图 形,不符合题意;D 不是轴对称图形,也不是中心对 称图形,不符合题意. 故选 A. 6. D　 【解析】原式= x 2 (x+2)(x-2) ·x -2 x = x x+2 . 故选 D. 7. D　 【解析】标有“善”“美”“济”“阳”图案的四张卡 片分别用 a,b,c,d 表示,画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,这两张卡片正面的图案 恰好可以组成“济阳”的结果有 2 种,则这两张卡片 正面的图案恰好可以组成“济阳”的概率是 2 12 = 1 6 . 故选 D. 8. C　 【解析】当 x= 2 时,y= k 2 . ∵ 1<y<2,∴ 1< k 2 <2. 解得 2<k<4. 所以 k= 3. 故选 C. 9. A　 【解析】如图,连接 OC,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F. ∵ C 是直径 AB 为 4 的半圆的中点,∴ ∠BOC = 90°,∠ABC= 45°. ∴ △BOC 是等腰直角三角形. ∵ 分别以点 B 和 C 为 圆心,以大于 1 2 BC 的长 为半径作弧,且 OB=OC, ∴ OD 垂直平分 BC. ∴ CE = BE. ∵ ∠BOC = 90°,EF⊥AB,∴ EF∥OC. ∴ BF OF = BE CE = 1. ∴ BF = OF. ∴ EF 是△BOC 的中位 线. ∴ EF= 1 2 OC= 1. ∴ S△ABE = 1 2 AB·EF = 1 2 ×4×1 = 2. ∵ S△BOC = 1 2 OB·OC= 1 2 ×2×2 = 2, ∴ S△ABE =S△BOC . ∴ S阴影 =S半圆AB -S△ABE -S弓形BC =S半圆AB - S扇形BOC = 1 2 S半圆AB = 1 2 × 1 2 π×(4÷2) 2 = π. 故选 A. 10. C　 【解析】∵ 变换后图象的表达式为 y =a(x+1)2 - a2,∴ 该抛物线的顶点坐标为(-1,-a2) . ∴ 原函数 图象的表达式为 y=a(x-1) 2 -a2 . ∴ - b 2a = 1,即 b = -2a. 将 x= 0 代入 y = ax2 +bx+c,得 y = c. 将 x = 0 代 入 y=a(x-1) 2 -a2,得 y = a-a2 . ∴ c = a-a2 . ∴ (m- 2)a+b+c=(m-2)a-2a+a-a2≥0. 整理,得(m-2)a≥ a2 +a. ∵ a>0,∴ m-2≥a+1,即 m≥a+3. ∴ m 的最 小整数值为 4. 故选 C. 11. (x-3) 2 　 【解析】利用完全平方公式可得原式=(x-3)2. 12. 4　 【解析】设方程的另一个根为 t. 根据根与系数 的关系,得-2t= - 8. 解得 t = 4,即方程的另一个根 为 4. 13. 5 18 　 【解析】∵ 总面积为 9 个小正方形的面积,其 中阴影部分的面积为 5 2 个小正方形的面积,∴ 飞 镖击中阴影部分的概率是 5 2 9 = 5 18 . 14. - 1 2 　 【解析】∵ (k,-1)是“差积等数对”,∴ k-(-1) = k×(-1) . 解得 k= - 1 2 . 15. 26 　 【解析】如图,过点 B 作 BF⊥AD 于点 F. 设 砌墙所用砖块的厚度为 x cm,则 BE = 2x cm,AD = 3x cm. ∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠ACD + ∠ECB = 90°. ∵ ∠ECB+∠CBE= 90°,∴ ∠ACD= ∠CBE. 在△ACD 和△CBE 中, ∠ADC= ∠CEB, ∠ACD= ∠CBE, AC=CB, { ∴ △ACD≌△CBE(AAS) . ∴ AD =CE = 3x cm,CD = BE= 2x cm. ∴ DE = CD+CE = 5x cm,AF = AD-BE = x cm. ∴ BF=DE = 5x cm. 在 Rt△AFB 中,AF2 +BF2 =AB2,∴ x2 +25x2 = 262 . 解得 x = 26 或 x = - 26 (舍去) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81— 16. 4 3( ) 2 023 　 【解析】∵ ∠MON= 30°,A1B1 ⊥ON,OA1 = 3,∴ A1B1 =1,OB1 =2. ∴ B1A2 =OB1·tan 30° = 2 3 3, OA2 = 4 3 3 . ∴ A2B2 = OA2 · tan 30° = 4 3 ,OB2 = 8 3 . ∴ B2A3 =OB2·tan 30° = 8 9 3,OB3 = 16 9 3 . ∴ A3B3 = OA3·tan 30° = 16 9 ,OB3 = 32 9 ……∴ AnBn = 4 3( ) n-1 . ∴ A2 024B2 024 = 4 3( ) 2 023 . 17.解:原式= 4+2-2× 1 2 +1 = 4+2-1+1 = 6. 18.解:解不等式①,得 x≤3. 解不等式②,得 x>-1. 所以不等式组的解集是-1<x≤3. 所以原不等式组的所有整数解为 0,1,2,3. 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD=CD. ∴ ∠CAD= ∠ACD. 在△DAE 和△DCF 中, AD=CD, ∠CAD= ∠ACD, AE=CF, { ∴ △DAE≌△DCF(SAS) . ∴ ∠ADE= ∠CDF. ∴ ∠ADE+∠EDF= ∠CDF+∠EDF. ∴ ∠ADF= ∠CDE. 20.解:(1)由七年级成绩频数分布直方图,可得七年 级在 80 分以下 ( 不含 80 分) 的有 6 + 10 + 11 = 27(人),故答案为 27. (2)由信息二中的信息和直方图中的数据,可得 m= (77+78)÷2 = 77. 5. 故答案为 77. 5. (3)由信息二,可得成绩在 70≤x≤80 这一组的数 据中,成绩超过平均数 76. 9 分的有 5 人,则 500× 5+15+8 50 = 280(人) . 答:估计七年级成绩超过平均数 76. 9 分的有 280 人. 21.解:(1)由题意,得 CD⊥CF,DE∥BC, ∴ ∠CBD= ∠BDE= 56°. 在 Rt△BCD 中,BC= 28 米, ∴ CD=BC·tan 56°≈28×1. 48 = 41. 44≈41(米) . 答:无人机的飞行高度 CD 约为 41 米. (2)∵ ∠BDE= 56°,∠ADE= 25°, ∴ ∠ADB= ∠BDE-∠ADE= 31°. 由题意,得∠ABF= 34°, ∴ ∠ABD= 180°-∠CBD-∠ABF= 90°. 在 Rt△BCD 中,BC= 28 米, ∴ BD= BC cos 56° ≈ 28 0. 56 = 50(米) . 在 Rt△ABD 中,AB=BD·tan 31°≈50×0. 60=30(米). 答:滑行跑道 AB 的长度约为 30 米. 22. (1)证明:如图,连接 OC. ∵ CD 与☉O 相切于点 C, ∴ OC⊥CD. ∴ ∠OCE+∠DCE= 90°. ∵ OD⊥AB, ∴ ∠AOE= 90°. ∴ ∠A+∠AEO= 90°. ∵ OA=OC,∴ ∠A= ∠OCE. ∴ ∠DCE= ∠AEO. ∵ ∠AEO= ∠DEC,∴ ∠DEC= ∠DCE. ∴ DE=CD. (2)解:∵ sin∠ODC=OC OD = 4 5 , ∴ 设 OC= 4k,则 OD= 5k. ∴ CD= OD2 -OC2 = 3k. ∴ DE= 3k. ∴ OE=OD-DE= 2k. ∵ OE= 2,∴ 2k= 2. ∴ k= 1. ∴ ☉O 的半径 OC= 4k= 4. 23.解:(1)设实心球的单价是 x 元,则排球的单价是 2x 元. 根据题意,得7 200 2x +100 = 5 400 x . 解得 x= 18. 经检验,x= 18 是原分式方程的解,且符合题意. 2x= 18×2 = 36. 答:排球的单价是 36 元,实心球的单价是 18 元. (2)设学校购买 m 个排球,则购买(1 000-m)个实 心球. 根据题意,得 36m+18(1 000-m)≤25 200. 解得 m≤400. 答:最多可以购买 400 个排球. 24.解:(1) ∵ 点 B 的坐标为(1,0),点 C 与点 B 关于 原点对称,∴ 点 C 的坐标为(-1,0) . ∴ BC= 2. ∴ S△ABC = 1 2 BC·AB= 1 2 ×2×AB= 1. 解得 AB= 1,即点 A 的坐标为(1,1) . 将点 A(1,1)代入反比例函数 y= k x ,得 k=1×1=1. (2)如图,过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H. ∵ ∠ACD = 90°,AB⊥ x 轴, ∴ ∠DCH + ∠ACB= 90°,∠ACB+ ∠CAB= 90°. ∴ ∠DCH= ∠CAB. ∵ ∠DHC = ∠CBA = 90°, ∴ △DHC∽△CBA. ∴ HD BC =CH AB =CD AC . ∵ tan∠ADC= AC CD = 1 3 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —91— ∴ BC HD = AB CH = AC CD = 1 3 ,即 2 HD = 1 CH = 1 3 . 解得 DH= 6,CH= 3. ∴ 点 D 的坐标为(-4,6) . (3)设点 M(x,0),点 N( s,t) . ①当 AD 是对角线时,由中点坐标公式和 AD = MN,得 1-4 = x+s, 1+6 = t, (1+4) 2 +(6-1) 2 = (x-s) 2 +t2 . { 解得 x= -1, s= -2, t= 7 { 或 x= -2, s= -1, t= 7. { ∴ 点 N 的坐标为(-2,7)或(-1,7); ②当 AM 或 AN 是对角线时,由中点坐标公式和 AM=DN 或 AN=DM,得 1+x= s-4, 1 = t+6, (x-1) 2 +1 = ( s+4) 2 +( t-6) 2 , { 或 1+s= x-4, 1+t= 6, ( s-1) 2 +( t-1) 2 = (x+4) 2 +62 . { 解得 x= -10, s= -5, t= -5 { 或 x= 0, s= -5, t= 5. { ∴ 点 N 的坐标为(-5,-5)或(-5,5) . 综上所述,所有符合条件的点 N 的坐标为( -2,7) 或(-1,7)或(-5,-5)或(-5,5) . 25.解:(1)如图 1,延长 EC 交 BF 于点 H. ∵ ∠ACB= 90°,AC=BC,D 是边 AB 的中点, ∴ CD=AD=BD= 1 2 AB= 6,CD⊥AB. ∴ ∠CDB= 90°. ∵ ∠EDF= 90°,DE=DF= 10, ∴ ∠BDF= ∠CDE= 90°-∠CDF. 在△BDF 和△CDE 中, BD=CD, ∠BDF= ∠CDE, DF=DE. { ∴ △BDF≌△CDE(SAS) . ∴ BF=CE,∠BFD= ∠CED. ∴ ∠EFH + ∠FEH = ∠BFD + ∠DFE + ∠FEH = ∠CED+∠DFE+∠FEH= ∠DEF+∠DFE= 90°. ∴ ∠EHF= 180°-(∠EFH+∠FEH)= 90°. ∴ BF⊥CE. 故答案为 BF=CE;BF⊥CE. 图 1 (2)由(1),得∠CDB= 90°. ∵ CE∥AB, ∴ ∠DCE= ∠CDB= 90°,∠ECG= ∠DAG. ∴ CE= DE2 -CD2 = 102 -62 = 8. ∵ ∠CGE= ∠AGD,∴ △CGE∽△AGD. ∴ EG DG =CE AD = 8 6 = 4 3 . ∴ DG= 3 3+4 DE= 3 7 ×10 = 30 7 . ∴ DG 的长度为30 7 . (3)如图 2,点 E,C,B 在同一条直线上,且点 E 在 BC 的延长线上. 由(1),得 BF=CE,BF⊥CE, ∴ ∠EBF= 90°. ∵ ∠EDF= 90°,DE=DF= 10,∠CDB = 90°,CD =BD = 6, ∴ EF2 = DE2 + DF2 = 102 + 102 = 200, BC = CD2 +BD2 = 62 +62 = 6 2 . ∵ BF2 +BE2 =EF2 ,BE=CE+BC=CE+6 2 , ∴ CE2 +(CE+6 2 ) 2 = 200. 解得 CE= 82 - 3 2 或 CE = - 82 - 3 2 (不符合 题意,舍去); 图 2 图 3 如图 3,点 E,C,B 在同一条直线上,且点 E 在 CB 的延长线上. ∵ BF2 +BE2 =EF2 ,BE=CE-BC=CE-6 2 , ∴ CE2 +(CE-6 2 ) 2 = 200. 解得 CE= 82 + 3 2 或 CE = - 82 + 3 2 (不符合 题意,舍去) . 综上所述,CE 的长度为 82 -3 2或 82 +3 2 . 26.解:(1)将点 O(0,0)代入抛物线 y = a(x- 3) 2 + 4, 得 0 =a(0-3) 2 +4. 解得 a= - 4 9 . ∴ 抛物线的表达式为 y= - 4 9 (x-3) 2 +4. ∴ 点 B(3,4) . 由抛物线的对称性知,点 A(6,0) . (2)如图 1,过点 P 作 PH⊥OB 于点 H. 在 Rt△OBD 中,由点 B 的坐标,得 OB= 32+42 =5. ∴ tan∠OBD = OD BD = PH BH = 3 4 ,sin ∠OBD = OD OB = PH BP = 3 5 . 设 PH= 3x,则 BH= 4x,BP= 5x. ∵ ∠BOP= 45°,则 PH=OH= 3x. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —02— ∴ OB= 5 =BH+OH= 3x+4x,则 x= 5 7 . ∴ PD=BD-BP= 4-5x= 3 7 , 即点 P 的坐标为 3, 3 7( ) . 图 1 　 图 2 (3)由(2),知 sin∠OBD= 3 5 . 如图 2,过点 C 作 CN⊥OB 于点 N. ∴ CN=BC·sin∠OBD= 3 5 BC. ∴ AC+ 3 5 BC=AC+CN=AN, 即当点 A,C,N 共线时,AC+ 3 5 BC 最小. ∴ 3BC+5AC= 5 AC+ 3 5 BC( ) = 5AN 最小. ∵ S△OAB = 1 2 OA·BD= 1 2 OB·AN, 即 6×4 = 5AN,解得 AN= 24 5 . ∴ 3BC+5AC 的最小值= 5AN= 24. 7 2023 年莱芜区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C D C A C B B A 1. D　 【解析】-7 的倒数是- 1 7 . 故选 D. 2. A　 【解析】该几何体的三视图均为矩形,且三个矩 形的大小不一,故该几何体是长方体. 故选 A. 3. C　 【解析】361 900≈362 000 = 3. 62×105 . 故选 C. 4. D　 【解析】∵ CE 平分∠BCD,∠BCE= 65°, ∴ ∠BCD= 2∠BCE = 130°. ∴ ∠ACD = 180° -∠BCD = 180°-130° = 50°. ∵ AB∥DE,∴ ∠D= ∠ACD = 50°. 故选 D. 5. C　 【解析】A 不是中心对称图形,但是轴对称图形, 故此选项不符合题意;B 既不是中心对称图形,也不 是轴对称图形,故此选项不符合题意;C 既是中心对 称图形,也是轴对称图形,故此选项符合题意;D 不 是中心对称图形,但是轴对称图形,故此选项不符 合题意. 故选 C. 6. A　 【解析】根据图示,可得-2<a<-1,0<b<1. ∴ a< b. ∴ -3a>- 3b. 故选项 A 符合题意;∴ 1< | a | <2,0< |b | <1,∴ |a | > | b | . 故选项 B 不符合题意;∴ a+b<0. 故选项 C 不符合题意;∴ b a <0. 故选项 D 不符合题 意. 故选 A. 7. C　 【解析】画树状图如下: 共有 9 种等可能的结果,其中他们恰好选到同一个 小组的结果有 3 种,∴ 他们恰好选到同一个小组的 概率是 3 9 = 1 3 . 故选 C. 8. B　 【解析】原式 = 4 -a2 a · a 2 a+2 = (2+a)(2-a) a · a 2 a+2 =a(2-a)= 2a-a2 . ∵ a2 - 2a- 1 = 0,∴ 2a-a2 = - 1. ∴ 原式= -1. 故选 B. 9. B　 【解析】如图,过点 B 作 BE′⊥AC 于点 E′. 根据 两点之间,线段最短和垂 线段最短,得 GF + GB ≥ BE′,即 BE′是 GF+GB 的 最小值. ∵ ∠ABC = 90°, ∠BAC = 2 ∠C, ∴ ∠C = 30°. ∴ ∠BAC = 60°. 由作图,得 MN 垂直平分 AC. ∴ AN=CN. ∴ ∠CAN= ∠C= 30°. ∴ ∠BAN = ∠BAC- ∠CAN= 30°. ∴ ∠BAN = ∠CAN. ∴ AN 平分∠BAC. ∴ 点 E′,F 关于 AN 对称. 在 Rt△ABE′中,BE′=AB· sin 60° = 6× 3 2 = 3 3 . ∴ GF+GB 的最小值为 3 3 . 故选 B. 10. A　 【解析】∵ y=mx2 - 2mx+m- 2,∴ y = m(x- 1) 2 - 2. ∴ 抛物线 y=mx2 -2mx+m-2(m>0)的对称轴为 直线 x= 1. ∵ 点 A(n,y1),B(n+2,y2)在抛物线 y = mx2 -2mx+m-2 上,∴ | y1 -y2 | = |m(n-1) 2 -2- [m(n+2-1) 2 -2] | = | 4mn | . ∵ | y1 -y2 | = 2, ∴ | 4mn | = 2. 当 n+2≤1 时,n≤-1,∴ 4mn= -2. ∴ m≤ 1 2 . 又∵ m> 0,∴ 0<m≤ 1 2 . 同理,当 n≥1 时,0<m≤ 1 2 . ∴ m 的取值范围是 0<m≤ 1 2 . 故选 A. 11. 2(a-2) 2 　 【解析】原式= 2(a2 -4a+4)= 2(a-2) 2 . 12. 1 2 　 【解析】∵ 总面积为 16 个小正方形的面积,其 中阴影区域的面积为 8 个小正方形的面积,∴ 小 球最终停留在阴影区域的概率是 8 16 = 1 2 . 13. 9　 【解析】多边形的边数:360° ÷60° = 6,对角线的 条数:6 ×(6-3) 2 = 9. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —12—