2024年青海省西宁市中考二模数学试卷

书 西宁市２０２４年初中学考九年级调研测试（二） 数　学 考生注意： １．本试卷满分１２０分，考试时间１２０分钟。 ２．本试卷为试题卷，不允许作为答题卷使用，答题部分请在答题卡上作答，否则无效。 ３．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点、考场、座位号写在答题卡上。同时填写在 试卷上。 ４．答选择题，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑（如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号）。非选择题用０．５毫米的黑色字迹签字笔答在答题卡相应位置，字体工 整，笔迹清楚。作图必须用２Ｂ铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 第Ⅰ卷　（选择题　共２４分） 一、选择题（本大题共８小题，每小题３分，共２４分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合 题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上．） １．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ２．下列几何体中，主视图是三角形的是 ３．“１４人中至少有２人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为Ｐ，则 Ａ．Ｐ＝０　　　　　　　Ｂ．Ｐ＝１　　　　　Ｃ．０＜Ｐ＜１　　　　　　Ｄ．Ｐ＞１ ４．下列二次根式化简正确的是 槡 槡Ａ． ３００＝３ １０ Ｂ． ４槡 １ ２ 槡＝２２ Ｃ． ０．槡 ５＝ 槡５ ５ Ｄ．槡 １ ８＝ 槡２ ４ ５．将抛物线ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋３平移后得到抛物线ｙ＝ｘ２，下列平移方法正确的是 Ａ．向右平移１个单位，再向上平移２个单位 Ｂ．向右平移１个单位，再向下平移２个单位 Ｃ．向左平移１个单位，再向上平移２个单位 Ｄ．向左平移１个单位，再向下平移２个单位 ６．已知⊙Ｏ的半径等于８ｃｍ，圆心Ｏ到直线ｌ上某点的距离为８ｃｍ，则直线 ｌ与⊙Ｏ的公共点 的个数为 Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．１或２ Ｄ．０或１ ）页６共（页１第·卷试学数 ７．无论ｘ为何实数时，二次函数ｙ＝ｘ２－（２ｍ＋１）ｘ＋ｍ２的值始终为正数，则ｍ的取值范围是 Ａ．ｍ＞１４ Ｂ．ｍ＜ １ ４ Ｃ．ｍ＞－ １ ４ Ｄ．ｍ＜－ １ ４ ８．如图１，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，动点 Ｍ，Ｎ分别从点 Ａ，Ｂ同时出发，沿射线 ＡＢ，射线 ＢＣ 的方向匀速运动，且速度相等，连接ＤＭ，ＭＮ，ＮＤ．设点Ｍ运动的路程为ｘ（０≤ｘ≤４），△ＤＭＮ 的面积为Ｓ，则Ｓ与ｘ之间的函数图象大致是 第Ⅱ卷　（非选择题　共９６分） 二、填空题（本大题共１０小题，每小题２分，共２０分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡 对应的位置上．） ９．５的算数平方根是　　　　　　． １０．生物学家发现了某种花粉的直径约为０．０００００２１毫米．数据０．０００００２１用科学记数法表示为 　　　　　　． １１．小丽的笔试成绩为１００分，面试成绩为９０分，若笔试成绩、面试成绩按６∶４计算平均成绩， 则小丽的平均成绩是　　　　　　分． １２．已知ｘ 槡＝２３＋２，ｙ 槡＝２３－２，则ｘ ２＋２ｘｙ＋ｙ２＝　　　　　　． １３．如图２，在六边形ＡＢＣＤＥＦ中，一个外角α的度数为７０°，则∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＋∠Ｅ＝ 　　　　　　°． 　　　　 　　　　 １４．如图３，直线ｙ１＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）与ｙ２＝－ｘ相交于点Ｐ（ａ，１），则关于ｘ的不等式ｋｘ＋ｂ＞－ｘ 的解集是　　　　　　． １５．如图４，以正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ为圆心，ＡＢ长为半径画弧，得到扇形纸片ＢＡＤ，用这个扇 形纸片围成一个无底的圆锥．若正方形的边长为槡３，则圆锥的底面半径为　　　　　　． ）页６共（页２第·卷试学数 １６．如图５，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，直线ＤＥ与⊙Ｏ相切于点Ａ，且∠ＢＡＥ＝３６°，点Ｃ为⊙Ｏ上异与Ａ，Ｂ 的一点，则∠ＡＣＢ的度数为　　　　　　． 　　 　　 １７．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图６，已知三角形纸片ＡＢＣ，第１次折叠使点 Ｂ落在ＢＣ边上的点Ｂ′处，折痕ＡＤ交ＢＣ于点Ｄ；第２次折叠使点Ａ落在点Ｄ处，折痕ＭＮ 交ＡＢ′于点Ｐ．若ＢＣ＝１４，则ＭＰ＋ＭＮ＝　　　　　　． １８．如图７，在△ＡＯＢ中，∠ＡＯＢ＝９０°，∠ＡＢＯ＝３０°，点Ａ在反比例函数ｙ＝２ｘ的图象上，点Ｂ在 反比例函数ｙ＝ｋｘ的图象上，则ｋ＝　　　　　　． 三、解答题（本大题共９小题，第１９，２０，２１，２２题每小题７分，第２３，２４题每小题８分，第２５，２６题 每小题１０分，第２７题１２分，共７６分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相 应的位置上．） １９．（本题满分７分） 计算：－１２０２４＋ －槡２( )２ ０ － 槡５－３． ２０．（本题满分７分） 先化简，再求值：（２－ａ）（２＋ａ）－２ａ（ａ＋３）＋３ａ２，其中ａ＝－１２． ）页６共（页３第·卷试学数 ２１．（本题满分７分） 已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－２ｘ－３ｍ２＝０． （１）求证：方程有两个不相等的实数根； （２）若方程的两个实数根分别为α，β，且α＋２β＝５，求ｍ的值． ２２．（本题共７分） 小明参加某商场的“翻牌抽奖”活动，如图８所示的４张牌分别对应价值为１０，２０，３０，５０ （单位：元）的４件奖品． （１）如果随机翻１张牌，那么抽中５０元奖品的概率为　　　　　； （２）如果随机翻２张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，请用列表或画树状图的方 法列出所有等可能的情况，并求出所获奖品总价值不低于６０元的概率是多少？ ２３．（本题满分８分） 如图９，在矩形ＡＢＣＤ中，延长ＢＣ到点Ｅ，延长ＣＢ到点Ｆ，使ＣＥ＝ＢＦ，连接ＡＥ，ＤＦ交于点Ｇ． （１）求证：ＧＥ＝ＧＦ； （２）过点Ｅ作ＥＨ⊥ＥＦ，垂足为点Ｅ，交ＦＤ的延长线于点Ｈ，若ＡＢＨＥ＝ ３ ４，ＡＤ＝４，求ＣＥ的长． ２４．（本题满分８分） 中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古 代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的 ３ ４，用６００元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买５本． ）页６共（页４第·卷试学数 （１）求两种图书的单价分别为多少元？ （２）为等备“３．１４数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共８０本，且购买的《周 髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书 均按八折出售．求购买多少本《周髀算经》时总费用最少，此时的总费用是多少元？ 　　２５．（本题共１０分） 如图１０，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＣＤ是⊙Ｏ的弦，且点 Ｃ是劣弧 ) ＢＤ的中点，ＡＣ与 ＢＤ交于点 Ｅ， 连接ＡＤ，ＢＣ，ＯＣ，ＯＤ． （１）求证：△ＡＤＣ∽△ＤＥＣ； （２）若ＡＥ＝２，ＥＣ＝１．求证：四边形ＤＯＢＣ是菱形； （３）过点Ｃ作⊙Ｏ的切线，交ＡＢ的延长线于点Ｈ，则△ＯＣＨ的面积等于　　 　 　． ２６．（本题满分１０分） 　　　 　　　 【探究发现】 （１）如图１１－①，在等边三角形ＡＢＣ内部有一点Ｐ，若∠ＡＰＢ＝１５０°．求证：ＡＰ２＋ＢＰ２＝ＣＰ２． 请将下列证明过程补充完整： 证明：将△ＡＰＣ绕Ａ点逆时针旋转６０°，得到△ＡＰ′Ｂ，连接ＰＰ′ ∴△ＡＰＣ≌　　　　　　 ∴ＡＰ＝ＡＰ′　　ＰＣ＝　　　　　　 又∵∠ＰＡＰ′＝６０°　　∴△ＡＰＰ′是等边三角形（　　　　　　　　　　） ∴ＰＰ′＝ＡＰ　　∠ＡＰＰ′＝６０° 又∵∠ＡＰＢ＝１５０°　　∴∠ＢＰＰ′＝９０° 在Ｒｔ△ＢＰＰ′中 Ｐ′Ｐ２＋ＰＢ２＝　　　　　　　　　　即ＡＰ２＋ＢＰ２＝ＣＰ２． ）页６共（页５第·卷试学数 【类比延伸】 （２）如图１１－②，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，三角形内部有一点Ｐ，若∠ＡＰＢ＝１３５°． 求证：２ＡＰ２＋ＢＰ２＝ＣＰ２． （提示：将△ＡＰＣ绕Ａ点逆时针旋转９０°，得到△ＡＰ′Ｂ，连接ＰＰ′） 【联想拓展】 （３）如图１１－③，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝１２０°，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｐ在直线ＢＡ上方，且∠ＡＰＢ＝６０°， 满足（ｋＡＰ）２＋ＢＰ２＝ＣＰ２（其中ｋ＞０）． 将△ＡＣＰ绕Ａ点顺时针旋转　　　　°，得到△ＡＢＰ′，连接ＰＰ′，过点Ａ作ＡＨ⊥ＰＰ′，垂足 为Ｈ，则ｋ＝　　　　　． ２７．（本题满分１２分） 如图１２，在平面直角坐标系中，二次函数 ｙ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与 ｘ轴交于 Ａ，Ｂ两点 （点Ａ在点Ｂ的左侧），与ｙ轴交于点Ｃ，一次函数ｙ＝１２ｘ－２经过点Ｂ，Ｃ． （１）求二次函数的解析式； （２）求证：∠ＡＣＯ＝∠ＡＢＣ （３）抛物线上是否存在一点Ｐ，使∠ＰＣＢ＋∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＯ，若存在，求出点 Ｐ的坐标；若不 存在，请说明理由． 　　　　　　 ）页６共（页６第·卷试学数 西宁市2024年初中学考九年级调研测试（二） 数学参考答案及评分意见 第I卷选择题 一、选择题（本大题共8小题.每小题3分，共24分.） 1.C2.A3.B 4.D5.B 6.C 7.D 8.A 第Ⅱ卷非选择题 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.） 9.5 10.2.1×10-6 11.96 12.48 13.610 14.x>-115.月 16.36°或144 17.7 18.-6 4 (下列各题每题只提供一种解法，如有不同方法，可按评分意见酌情给分)】 三、解答题（本大题共9小题.第19,20,21,22题每小题7分，第23,24题每小题8分，第25,26题 每小题10分，第27题12分，共76分.解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相 应的位置上) 19.解：原式=-1+1-(3-√5) 6分 =-3+5. 7分 20.解：原式=(4-a2)-2a2-6a+3a2 4分 =4-60… 5分 当a=-2时 原式=4-6×-2)7 …7分 21.(1)证明：a=1,b=-2,c=-3m ∴.△=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-3m2)=4+12m ,m2≥0 ∴.4+12m2>0 .方程有两个不相等的实数根；…3分 (2)解：由题意得：a+B=2 aB =-3m2 |a+B=2 a=-1 解得： |a+2B=5 B=3 ,'aβ=-3m2 .-3m2=-3 解得：m=±1 .m的值为士1.…7分 22.解：(1)4 2分 (2)列表如下： 第1次 和 10 20 30 50 第2次 10 30 40 60 20 30 50 70 …5分 30 40 50 80 50 60 70 80 :共有12种等可能的情况，其中不低于60元的有6种结果 ·P(所获奖品总价值不低于60元)=2=2 61 7分 23.(1)证明：：矩形ABCD .∴.AB=DC ∠ABC=∠DCB=90°（矩形的四个角都是直角） CE BF ,∴.BC+CE=BC+BF 即BE=CF 在△ABE和△DCF中 AB=DC ∠ABE=∠DCF 2分 BE =CF ∴.△ABE≌△DCF(SAS) “.∠AEB=∠F(全等三角形的对应角相等) ..GF=GE(等角对等边)；… 4分 (2)解：：HE⊥EF∴.∠HEF=90(垂直定义) ∴.∠HEF=∠DCF ∴.HE∥DC(同位角相等，两直线平行) ∴.△FDC∽△FHE(平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与 原三角形相似) DC CF 六HEEF 又.AB=DC AB 3 DC CF 3 六HE=EF=4 ..3EF =4CF 设CE=x 则EF=2x+4 FC=x+4 .3(2x+4)=4(x+4) 解得：x=2 .CE的长为2 8分 24.解：（)设《周牌算经》单价为元，则（孙子算经）单价是子元…1分 依题意得 600_600+5 解得x=40 …2分 4x 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意 圣×40-30 3分 答：《周髀算经》单价为40元，《孙子算经》单价是30元；…4分 (2)设购买《周髀算经》m本，则购买《孙子算经》(80-m)本 依题意得m≥(80-m） 解得m≥262 6分 2 设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y元， y=40×0.8m+30×0.8(80-m)=8m+1920 k=8>0∴y随m的增大而增大，当m最小时，y有最小值 .当m=27时，y有最小值，y=8×27+1920=2136(元) 答：当购买《周髀算经》27本时总费用最少，此时总费用为2316元 …8分 25.(1)证明：，C是劣弧BD的中点 ∴.DC=BC :.∠DAC=∠CDB(同弧或等弧所对的圆周角相等) 又.·∠ACD=∠DCE ∴.△ADC∽△DEC(两个角对应相等的两个三角形相似)；…3分 (2)证明：.AE=2 EC=1 ∴.AC=3 .'△ADC△DEC “元=D(相似三角形的对应边成比例) .DC AC 即0c、3 1DC .DC=√3 .DC=BC ∴.BC=DC=√3（在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它所对的弦相等） ,AB是⊙O的直径∴.∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角） 在Rt△ACB中 AB=AC2+BC2=32+(3)2=23 ∴.OA=OB=3 .0B=OD DC=BC=3 四边形DOBC是菱形（四条边相等的四边形是菱形）；…8分 629 10分 26.解：(1)△AP'B P'B 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 P'B2: …04…4分 (2)证明： ,'△将APC绕A点逆时针旋转90得到△AP'B .△APC≌△AP'B.AP=AP PC=P'B ∠PAP'=90° ∴.△APP'为等腰直角三角形 ∴.∠APP'=45 .'∠APB=135° ∴.∠BPP'=90° 在RL△BPP'中 P'P2+BP2 =P'B2 在Rt△APP'中PP2=AP2+AP2=2AP2 .2Ap2+Bp2=Cp2;…8分 (3)1203.…10分 27.解：()-次函数y=之-2，当y=0时x=4 .B(4,0）…1分 当x=0时，y=-2∴.C(0,-2) …2分 把点B,C两点的坐标代入y=-+低+c得： -×4+4h+=0 解得 2 c=-2 c=-2 ·二次函数的解析式是y=- 5 + 4分 )一∠：g*4t44t，，年。00。g年04 3 (2y=-2+-2,当y=0时，=4，=1 .A(1.0)B(4,0) C(0,-2》 ∴.0A=10B=40C=2 在Rt△AOC中 tan∠0CA= OA 1 00=2 在Rt△BOC中 tan∠OBC= 0C21 0B=4=2 ∠OCA=∠ABC;…8分 (3)存在，理由如下： ,'∠BCO=∠ACO+∠ACB ∠BCO=∠PCB+∠ACB ∴.∠ACO=∠PCB 又，：∠ACO=∠ABC ∴.∠PCB=∠ABC 如图①，当点P在x轴下方时 ,∠PCB=∠ABC .PC∥x轴 又.C(0.-2) .P点的纵坐标为-2，代入抛物线解析式得 -72+3-2=-2 解得：=5，x2=0(舍去) 图① ,点P的坐标为(5，-2)；… 10分 如图②，当点P在x轴上方时 .:∠PCB=∠ABC .CD=DB 设D(m,0) 则DB=4-m CD2=m2+22 .(4-m)2=m2+22 解得m=2 D号0) 又.C(0,-2)》 图② 设直线DC的解析式为y=x+b,把D,C的坐标代入，得 3+6=0 k= 4 解得 b=-2 b=-2 4 ·直线DC的解析式为y=3x-2 :直线DC与抛物线交于点P …-2+-2 解得：=子=0（含去） 把=子代入-2-9六点P的坐标为（子9） 4 综上所述，P点的坐标为5，-2)或（了9 12分 4