专题05 条件概率（三类常规题型，27道强化练习题）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

专题05 条件概率 题型01 条件概率 题型02 全概率公式 题型03 贝叶斯公式 题型01 条件概率 一、单选题 1．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）设事件A，B满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）研究人员对甲、乙两种药物的临床抗药性进行研究，通过实验数据发现：“对药物甲产生抗药性”的概率为，“对药物乙产生抗药性”的概率为，“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”的概率为，则在对药物甲产生抗药性的条件下，对药物乙也产生抗药性的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南大理·期中）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·福建福州·期中）校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（    ） A．事件A与相互独立 B．事件A与为互斥事件 C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·河北石家庄·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则A与B相互独立 B．若，则 C．若，则可能为0.15 D．若X服从两点分布，且，则 6．（2024·全国·模拟预测）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件，则下列判断正确的是（    ） A．为相互独立事件 B．为互斥事件 C． D． 7．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知，.若随机事件A，B相互独立，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知随机事件，的概率分别为，，且，，，则（    ） A．事件与事件相互对立 B．事件与事件相互独立 C． D． 题型02 全概率公式 一、单选题 1．（23-24高二下·吉林·期中）小华在周六和周日的早餐后会从阅读和书法两项活动中选择一项参与，如果周六早餐后选择阅读，那么他周日早餐后也选择阅读的概率为，如果周六早餐后选择书法，那么他周日早餐后选择阅读的概率为，若小华周六早餐后选择阅读的概率为，则他周日早餐后选择阅读的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）一玩具制造厂的某一配件由A、B、C三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A、B、C的次品率分别为，提供配件的份额分别为，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，则抽到的是次品的概率为（    ） A．0.0135 B．0.0115 C．0.0125 D．0.0145 3．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球，其中甲袋中有1个红球，2个白球和2个黑球，乙袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件和分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件表示从乙袋中取出的球是红球，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广东广州·期中）根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（    ） A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05 5．（23-24高二下·浙江宁波·期中）甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件 “取出2个黄球”，“取出2个绿球”， “取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法正确的是（    ） A．A，B是对立事件 B．事件B，D相互独立 C． D． 二、多选题 6．（23-24高二下·河南·期中）甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第次答题者是甲的概率为，第次回答问题结束后甲的得分为，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江苏·期中）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件相互独立 B． C． D． 9．（23-24高二下·河南·阶段练习）设为同一随机试验中的两个随机事件，则下列命题正确的是（    ） A．若，则相互对立 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（23-24高三上·重庆·阶段练习）对自然人群进行普查，发现患某病的概率.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被确诊为患病”，则有.根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 贝叶斯公式 一、单选题 1．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2022·湖北襄阳·模拟预测）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（    ） A．第二天去甲餐厅的概率为0.54 B．第二天去乙餐厅的概率为0.44 C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 4．（2024·甘肃兰州·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件，存在如下关系:．对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡、支付宝或微信进行支付．已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付．平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则以下说法正确的是（    ） A．使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题 B．使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率不同 C．要将出现支付问题的概率降到，可以将信用卡支付通道关闭 D．减少微信支付的人数有可能降低出现支付问题的概率 三、解答题 5．（23-24高二下·江西·阶段练习）某单位为了丰富群众文化生活，提高对本行业的认同度，在“五一国际劳动节”期间举行了“本行业知识有奖竞答活动”，活动规则如下：每位参加活动的职工都有两轮回答问题的机会．第一轮：参加活动的职工先抛掷一枚骰子1次，掷出1点或2点，则可回答1个低阶问题，回答正确获得奖金20元，回答错误获得奖金10元；掷出3点，4点，5点，6点，则可回答一个高阶问题，回答正确获得奖金40元，回答错误获得奖金20元．第二轮：若第一轮回答正确，则第二轮回答一个高阶问题，回答正确可获得资金60元，回答错误可获得奖金30元；若第一轮回答错误，则第二轮回答一个低阶问题，回答正确可获得资金30元，回答错误可获得奖金20元．职工甲参加活动，已知他每一轮回答高阶问题的正确率均为，回答低阶问题的正确率均为；每轮奖金累积，求解下列问题： (1)求第一轮甲回答问题后获得20元奖金的概率； (2)求在第一轮中甲已获得奖金20元的条件下，甲两轮累计获得奖金不低于50元的概率． 6．（23-24高二下·湖北·期中）编号为的三个除编号外完全相同的盒子里，分别装有3个红球，2个白球；3个黄球，3个白球；4个黑球，5个白球.（所有球除颜色外完全相同） (1)现随机从某个盒子里摸2个球，则在选到2号盒子的条件下，摸出的两个球都是白球的概率是多少？ (2)现随机从某个盒子里摸1个球，若摸出的球是白色，则这个球来自2号盒子的概率是多少？ 7．（23-24高二下·重庆巴南·期中）在一一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分. (1)小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测，已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是. （ⅰ）求小明做对某道单项选择题的概率； （ⅱ）求小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率. (2)小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为.已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，求小明做这道多项选择题得5分或2分的概率. 8．（23-24高二下·福建·期中）某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束．最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一：继续投掷之前抽取的那枚硬币；方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中随机抽取一枚投掷．不管选择方案一还是方案二，如果掷出正面向上，则获奖 (1)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率； (2)若已知某顾客进入了最终挑战，求他抽到的硬币是正常硬币的概率； (3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获奖的概率，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适． 9．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）今年是共建“一带一路”倡议提出十周年，某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品，设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束，若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，请回答下面的问题 (1)在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为多少？ (2)若甲获得奖品，则甲先抽取哪个颜色小球的机会最小？说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 条件概率 题型01 条件概率 题型02 全概率公式 题型03 贝叶斯公式 题型01 条件概率 一、单选题 1．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）设事件A，B满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助条件概率公式及对立事件的概率公式计算即可得. 【详解】由事件A，B满足，则有， . 故选：B. 2．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）研究人员对甲、乙两种药物的临床抗药性进行研究，通过实验数据发现：“对药物甲产生抗药性”的概率为，“对药物乙产生抗药性”的概率为，“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”的概率为，则在对药物甲产生抗药性的条件下，对药物乙也产生抗药性的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和事件的概率公式求出，再由条件概率公式计算即可得解. 【详解】设“对药物甲产生抗药性”为事件，“对药物乙产生抗药性”为事件，“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”为事件， 则，且， 所以，又， 所以， 所以． 故选：D． 3．（23-24高二下·云南大理·期中）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据、是互斥事件即可求解. 【详解】因为、是互斥事件，所以， 所以. 故选：C. 4．（23-24高二下·福建福州·期中）校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（    ） A．事件A与相互独立 B．事件A与为互斥事件 C． D． 【答案】D 【分析】利用相互独立事件，互斥事件的定义，条件概率的公式一一判定选项即可. 【详解】由题意易知分组情况为：2,1,1，即所有安排方案有种， 铅球区域可能安排2人或1人，所以， 同理，， 而，， 由相互独立事件的充要条件可知，事件A与不相互独立， 故A错误； 显然，事件A与能同时发生，不为互斥事件，故B错误； 由条件概率公式知，故C错误； ，故D正确. 故选：D 二、多选题 5．（23-24高二下·河北石家庄·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则A与B相互独立 B．若，则 C．若，则可能为0.15 D．若X服从两点分布，且，则 【答案】AD 【分析】根据事件独立性的定义判断A；根据条件概率的概率公式判断B，C；根据两点分布特征判断D. 【详解】对于A，根据事件独立性的定义，若，则A与B相互独立，A正确； 对于B，，，得，B错误； 对于C，，所以，C错误； 对于D，，D正确， 故选：AD. 6．（2024·全国·模拟预测）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件，则下列判断正确的是（    ） A．为相互独立事件 B．为互斥事件 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据可以判定是否相互独立，事件是否可以同时发生且概率和为1来判定互斥事件，条件概率则由条件概率公式计算即可. 【详解】解：由题得：， 因为，所以为相互独立事件，A正确； 可以同时发生，故B错误； 由，C正确； ，D正确； 故选：ACD． 7．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知，.若随机事件A，B相互独立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式，结合条件概率逐项计算即得. 【详解】随机事件A，B相互独立，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 8．（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知随机事件，的概率分别为，，且，，，则（    ） A．事件与事件相互对立 B．事件与事件相互独立 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用对立事件的概率公式判断A；利用条件概率公式与对立事件的概率公式求得，从而利用独立事件的概率公式判断B；利用事件的概率公式判断C；利用条件概率公式判断D. 【详解】对A，因为，不满足， 所以事件与事件不是相互对立事件，故A错误； 对B，根据题意可得， 由条件概率公式可得，， 又，，所以， 又易知，所以； 即满足，所以事件与事件相互独立，故B正确； 对C，易知，故C正确； 对D，由条件概率公式可得，故D正确. 故选：BCD. 题型02 全概率公式 一、单选题 1．（23-24高二下·吉林·期中）小华在周六和周日的早餐后会从阅读和书法两项活动中选择一项参与，如果周六早餐后选择阅读，那么他周日早餐后也选择阅读的概率为，如果周六早餐后选择书法，那么他周日早餐后选择阅读的概率为，若小华周六早餐后选择阅读的概率为，则他周日早餐后选择阅读的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出事件，利用全概率公式求出答案. 【详解】设周日早餐后选择阅读为事件A，周六早餐后选择阅读为事件B， 则 故选：D 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）一玩具制造厂的某一配件由A、B、C三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A、B、C的次品率分别为，提供配件的份额分别为，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，则抽到的是次品的概率为（    ） A．0.0135 B．0.0115 C．0.0125 D．0.0145 【答案】A 【分析】设事件：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自A制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂，利用全概率公式计算可得. 【详解】设事件：抽到的是次品， 事件：抽到的配件来自A制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂， 由题意可知：， 所以 . 故选：A. 3．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球，其中甲袋中有1个红球，2个白球和2个黑球，乙袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件和分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件表示从乙袋中取出的球是红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率公式先求得的值，其中分别表示在先从甲袋中随机取出一球是红球和不是红球并放入乙袋的条件下，再从乙袋中取出的球是红球的概率，再结合全概率公式即可得解. 【详解】设分别表示在先从甲袋中随机取出一球是红球和不是红球并放入乙袋的条件下，再从乙袋中取出的球是红球的概率， 由题意， 结合全概率公式可知 . 故选：D. 4．（23-24高二下·广东广州·期中）根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（    ） A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05 【答案】A 【分析】设用该试剂检验呈现阳性为事件，被检验者患病为事件，利用全概率公式计算可得. 【详解】设用该试剂检验呈现阳性为事件，被检验者患病为事件，未患病为事件， 则，，，， 故所求概率， 故选：A. 5．（23-24高二下·浙江宁波·期中）甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件 “取出2个黄球”，“取出2个绿球”， “取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法正确的是（    ） A．A，B是对立事件 B．事件B，D相互独立 C． D． 【答案】C 【分析】由互斥事件的定义，条件概率公式，全概率公式，独立事件定义逐项求解判断即可. 【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误； 对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 二、多选题 6．（23-24高二下·河南·期中）甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第次答题者是甲的概率为，第次回答问题结束后甲的得分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设事件表示“第次答题者是甲”，事件表示“第次答题者是乙”，则，，且，，利用全概率公式可判断ABC，利用独立事件的概率乘法公式可判断D． 【详解】对于，设事件表示“第次答题者是甲”，事件表示“第次答题者是乙”， 则，， 又因为，， 所以， 即，故A错误； 对于B，表示第1次回答问题结束后甲的得分为0， 则，故B正确； 对于C，第次答题者是甲，有两种情况：①第次答题者是甲，且甲在第次回答问题时回答正确， ②第次答题者是乙，且乙在第次回答问题时回答错误， 由全概率公式可得，，故C正确； 对于D，表示第次回答问题结束后甲的得分为，则第1次答题者是甲， 且甲在次回答问题时都回答正确， 所以，故D正确． 故选：BCD． 7．（23-24高二下·江苏·期中）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出，，，，即可判断A选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B，C，D选项的正确性. 【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以，故A正确； 对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B错误； 对于C，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确； 对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，结合以上分析， 所以，故D正确. 故选：ACD 8．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件相互独立 B． C． D． 【答案】BC 【分析】依题意得到，，，，，，再由全概率公式求出，即可判断B、C，根据独立事件的概念判断A，利用条件概率公式判断D． 【详解】依题意可得，，， 若先发生，则乙袋中有4个红球，3白球，3黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有3个红球，4白球，3黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有3个红球，3白球，4黑球，此时． 所以，故B正确； ， ， ，故C正确； 因为，即与不独立，故A错误； ，故D错误． 故选：BC. 9．（23-24高二下·河南·阶段练习）设为同一随机试验中的两个随机事件，则下列命题正确的是（    ） A．若，则相互对立 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据随机事件的概念与性质，结合对立事件、相互独立事件、条件概率关系、全概率公式逐项判断即可结论. 【详解】由得：， 又，则， 对于选项A，由可知，，即，又，所以相互对立，故A正确； 对于选项B，由可知，所以，故B错误； 对于选项C，由，得，故C正确； 对于选项D，由，得，则，故D错误. 故选：AC 10．（23-24高三上·重庆·阶段练习）对自然人群进行普查，发现患某病的概率.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被确诊为患病”，则有.根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据对立事件概率公式判断AC，根据条件概率和全概率公式判断BD. 【详解】因为，所以， 因为，所以，故选项A错误，C正确； 因为，故选项B正确； 由全概率公式可得， 则由条件概率公式知 ，故选项D错误. 故选：BC 题型03 贝叶斯公式 一、单选题 1．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可. 【详解】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B， 则本题所求． 故选：A． 2．（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率，结合全概率公式与贝叶斯公式即可得解. 【详解】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件， 则，，，， 故， 则所求概率为. 故选：C. 二、多选题 3．（2022·湖北襄阳·模拟预测）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（    ） A．第二天去甲餐厅的概率为0.54 B．第二天去乙餐厅的概率为0.44 C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 【答案】AC 【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可. 【详解】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅， :第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅， 所以，，， 因为， 所以， 所以有, 因此选项A正确, ，因此选项B不正确； 因为，所以选项C正确； ，所以选项D不正确， 故选：AC 4．（2024·甘肃兰州·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件，存在如下关系:．对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡、支付宝或微信进行支付．已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付．平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则以下说法正确的是（    ） A．使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题 B．使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率不同 C．要将出现支付问题的概率降到，可以将信用卡支付通道关闭 D．减少微信支付的人数有可能降低出现支付问题的概率 【答案】AC 【分析】根据贝叶斯公式分别求出使用信用卡，支付宝、微信支付出现支付问题的概率即可判断. 【详解】设、、分别表示事件使用信用卡支付、使用支付宝支付、使用微信支付， 表示事件出现支付问题， 则，，， 所以， 即使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题，故A正确； 因为，， 即使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率相同，故B错误； 因为使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题， 而使用微信支付的用户中只有的人遇到支付问题， 故减少信用卡支付的人数有可能降低出现支付问题的概率，故D错误； 要将出现支付问题的概率降到，可以将信用卡支付通道关闭，故C正确； 故选：AC 三、解答题 5．（23-24高二下·江西·阶段练习）某单位为了丰富群众文化生活，提高对本行业的认同度，在“五一国际劳动节”期间举行了“本行业知识有奖竞答活动”，活动规则如下：每位参加活动的职工都有两轮回答问题的机会．第一轮：参加活动的职工先抛掷一枚骰子1次，掷出1点或2点，则可回答1个低阶问题，回答正确获得奖金20元，回答错误获得奖金10元；掷出3点，4点，5点，6点，则可回答一个高阶问题，回答正确获得奖金40元，回答错误获得奖金20元．第二轮：若第一轮回答正确，则第二轮回答一个高阶问题，回答正确可获得资金60元，回答错误可获得奖金30元；若第一轮回答错误，则第二轮回答一个低阶问题，回答正确可获得资金30元，回答错误可获得奖金20元．职工甲参加活动，已知他每一轮回答高阶问题的正确率均为，回答低阶问题的正确率均为；每轮奖金累积，求解下列问题： (1)求第一轮甲回答问题后获得20元奖金的概率； (2)求在第一轮中甲已获得奖金20元的条件下，甲两轮累计获得奖金不低于50元的概率． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设表示第轮回答低阶问题，表示第轮回答高阶问题，表示回答正确， 由题可知，，，， 由条件概率得，， 所以第一轮回答问题后获得20元奖金的概率． （2）设事件表示第一轮获得奖金20元，则由（1）可得：， 设事件表示两轮累计获得奖金不低于50元，则事件“”可分解为以下两个事件： ①第一轮回答低阶问题正确， ②第一轮回答高阶问题错误，第二轮回答低阶问题正确， 则①，②， 所以， 所以“在第一轮中甲已获得奖金20元的条件下，甲两轮累计获得奖金不低于50元的概率”为． 6．（23-24高二下·湖北·期中）编号为的三个除编号外完全相同的盒子里，分别装有3个红球，2个白球；3个黄球，3个白球；4个黑球，5个白球.（所有球除颜色外完全相同） (1)现随机从某个盒子里摸2个球，则在选到2号盒子的条件下，摸出的两个球都是白球的概率是多少？ (2)现随机从某个盒子里摸1个球，若摸出的球是白色，则这个球来自2号盒子的概率是多少？ 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设“选到2号盒子”，“摸到的两个球都是白球”， 则. （2）设“先选到第号盒子”“摸出白球”， 则．，，. ， ，即这个球来自2号盒子的概率为. 7．（23-24高二下·重庆巴南·期中）在一一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分. (1)小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测，已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是. （ⅰ）求小明做对某道单项选择题的概率； （ⅱ）求小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率. (2)小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为.已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，求小明做这道多项选择题得5分或2分的概率. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）(2) 【详解】（1）（ⅰ）记事件为“该单项选择题回答正确”，事件为“小明知道该题的正确答案”， ， （ⅱ）在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率 ， 即小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，他知道这道单项选择题正确答案的概率为. （2）设事件表示小明选择了i个选项，事件C表示选择的选项是正确的， 则； ； 小明做这道多项选择题得5分或2分的概率为. 8．（23-24高二下·福建·期中）某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束．最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一：继续投掷之前抽取的那枚硬币；方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中随机抽取一枚投掷．不管选择方案一还是方案二，如果掷出正面向上，则获奖 (1)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率； (2)若已知某顾客进入了最终挑战，求他抽到的硬币是正常硬币的概率； (3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获奖的概率，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适． 【答案】(1)(2) (3)选择方案一的概率为，选择方案二的概率为，选择方案一获奖概率更高更合适. 【详解】（1）设第一次抽到正常硬币为事件，抽到双面都印着字的硬币为事件， 抽到双面都印着花的硬币为事件， 第一次投掷出正面向上为事件， 第二次投掷出正面向上为事件， 选择方案一进行第三次投掷并正面向上事件， 选择方案二进行第三次投掷并证明向上为事件， 由全概率公式可得，， ， （2）由题意知：连续两次都是正面的概率为： ， 所以， 所以； （3）若选择方案一，设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 第三次投掷出正面向上为事件， 则 ， ，， 如选择方案二，设第三次投掷后最终获得礼券为元， 第三次投掷出正面向上为事件， ①如果第一次抽到的是正常硬币，设第二次抽到正常硬币为事件， 第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件， 则 ； ②如果第一次抽到的两面都是字的硬币，设第二次抽到正常硬币为事件， 第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件， 则 ； 所以，， ， 综上（一）（二）可得，，所以选择方案一的获奖概率更高更适合. 9．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）今年是共建“一带一路”倡议提出十周年，某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品，设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束，若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，请回答下面的问题 (1)在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为多少？ (2)若甲获得奖品，则甲先抽取哪个颜色小球的机会最小？说明理由 【答案】(1)(2)绿球，理由见解析 【详解】（1）设，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件， 设表示再抽到的小球的颜色是红的事件， 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为： ； （2）甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小，理由如下： 由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为： 则 ， 所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球的机会最小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$