2024年北京市数学中考二模四边形汇编

2024年北京市二模数学四边形汇编 1.（门头沟）已知：如图，在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF = BE，连接AF和BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）如果AF平分∠DAB，BF = 4，， 求DC的长． 2.（房山）如图，在□中，于点，点在的延长线上， 且，连接. （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，， ，求的长. 3.（东城）如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AE∥CD，∠ACB=∠DAC，EF⊥AB于点F， EG⊥AC于点G，EF=EG. （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若CD=4，∠B=45°，∠CEG=15°，求AB的长． 4.（大兴）如图，在中，∠BAC=90°，E, F分别是BC，AD的中点，连接AE,CF,G是线段AC上一点，且AE=AG，连接EG． （1）求证：四边形是菱形； （2）若AB=6,BC=10，求EG的长． 5.（朝阳）如图，在□ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE=CF，DB平分∠EDF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若AB=8，BC=4，CF=3，求证：□ABCD是矩形． 6.（昌平）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，对角线AC，BD交于O，AC平分∠BAD. （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点C作AB的垂线交其延长线于点E，若BD=6，，求CE的长. 7.（石景山）如图，在四边形中，， ，平分交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 8.（丰台）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE= BD， 连接BE． （1）求证：四边形ADBE是菱形； （2）连接CE，若AB=2，∠AEB=60°，求CE的长． 9.（燕山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD，过点A作AE∥DC， 过点C作CE∥DA，AE与CE相交于点E． (1) 求证：四边形ADCE是菱形； (2) 连接BE，若AE＝，BC＝4，求BE的长． 10.（顺义）如图，在平行四边形中，，延长到点E，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求AC的长． 11.（海淀）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，四边形是平行四边形. （1）求证：四边形EBCF是矩形； （2）若，，求BF的长． O D A C B F E 2024年北京市二模数学四边形汇编答案 1.（门头沟）（1）证明：（1）在口ABCD中，AB∥CD，即DF∥BE. ∵ DF=BE， ∴ 四边形BFDE为平行四边形. …………………1分 ∵ DE⊥AB，∴ ∠DEB=90°. ∴ 四边形BFDE为矩形. …………………………2分 （2）由（1）可得，∠BFC=90°. 在Rt△BFC中，BF = 4， ∴BC=5 由勾股定理得FC=3. …………………………………………3分 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC=5. …………………………………………………4分 ∵ AF平分∠DAB，∴ ∠DAF=∠FAB. 又∵ AB∥CD，∴ ∠DFA=∠FAB. ∴ DF=AD=5. ∴ DC=DF+FC=8………………………………………5分 2.（房山）（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴∥，. ∵， ∴. 即. ∴且∥. ∴四边形是平行四边形. ………….………..……….1分 ∵， ∴. ………….………..……….2分 ∴四边形是矩形. ………….………..……….3分 （2）解：在△中，，， ∵， ∴. 在△中，，， ∴. …….………..……….6分 3.（东城）（1）证明：∵∠ACB=∠DAC， ∴AD∥BC. ∵AE∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形.------------------------2分 (2) ∵四边形AECD是平行四边形，CD=4， ∴AE=CD=4.----------------------------------------------3分 ∵EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，EF=EG, ∴∠BAE=∠CAE，∠BFE=∠CGE=90°. ∵∠B=45°，∠CEG=15°, ∴∠BEF=45°, ∠ECA=75°. ∴∠BAC=60°，BF=EF. ----------------------------4分 ∴∠BAE=∠CAE=30°. 在Rt△AFE中，,根据勾股定理，得. ∴. ∴------------------5分 4.（大兴）（1）证明： 四边形ABCD是平行四边形， ，. 点E,F分别为AD,BC中点， ，. AF = EC. 四边形AECF是平行四边形. ………………………………………………….1分 ∠BAC=90°，点E为BC中点， 四边形是菱形. …. ………………………………………………….2分 （2）解：连接，交于点. 在中， ， AB=6, EC=10, （舍负）. ….…………………………………………….3分 . ， . ….……………………………..………………….4分 四边形是菱形， 是的中点，. ，. . ….………………………………………………….5分 在中， ， （舍负） .….…………………………………………..…….6分 5.（朝阳）证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB//CD． 1分 ∴∠ABD=∠BDC． ∵AE=CF， ∴BE=DF． ∴四边形BEDF是平行四边形． 2分 ∵DB平分∠EDF， ∴∠BDC=∠EDB． ∴∠EDB=∠ABD． ∴DE=BE． ∴□BEDF是菱形. 3分 （2） ∵CD=AB=8，CF=3， ∴DF=5． ∴BF=DF= 5． ∵BC=4， ∴BF2=BC2+CF2． ∴∠C=90°． 4分 ∴□ABCD是矩形． 5分 6.（昌平）（1）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC=∠BAC ∵AB∥CD， ∴∠DCA=∠BAC ∴∠DAC =∠DCA ∴AD=CD …………………………………………………….……………………1分 ∵AB=AD， ∴AB= CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 ………………………………….……………………2分 ∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形 ……………………………………….……………………3分 （2）解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，AO=OC=AC. ∵Rt△AOB中， ∴AO=4，AB=5. ……………………………………………………….……………………4分 ∴AC=8， ∵过点C作AB的垂线交其延长线于点E ∴∠CEA=90° ∵Rt△ACE中， ∴ ……………………………………………………….……………………5分 7.（石景山）（1）证明：∵， ∴． ∵，平分， ∴． ∴四边形是矩形． ………………………… 3分 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． 在中，， ∴． 在中，． ………………………… 6分 8.（丰台）证明：（1）∵AE∥BC且AE＝BD， ∴四边形ADBE是平行四边形． ∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°， D是BC的中点， ∴AD=BD=DC=BC． ∴四边形ADBE是菱形． 2分 （2）过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F， ∵四边形ADBE是菱形， ∴AE=BE． ∵∠AEB=60°， ∴ △AEB为等边三角形． ∵ AB=2， ∴BE=AB=2． ∴BD=DC=BE=2． ∵AE∥BC， ∴∠EBF=∠AEB=60°． 在Rt△BEF中，∠F＝90°，∠EBF=60°，BE=2． ∴BF=1，EF=． ∴CF=5． 在Rt△CEF中，∠F＝90°，CF=5，EF=， ∴CE=． 5分 9.（燕山）(1) 证明：∵AE∥DC，CE∥DA， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝AD， ∴四边形AECD是菱形． ……………………………………………3分 (2) 解：如图，作EF⊥BC，交BC的延长线于点F． ∵菱形ADCE， ∴AD＝AE＝EC＝． ∵D为AB的中点， ∴AB＝2AD＝． 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°， BC＝4，AB＝， ∴AC＝＝2． ∵CE∥AB， ∴∠ECF＝∠ABC． ∴Rt△ECF∽Rt△ABC， ∴＝， ∴EF＝1， ∴CF＝＝2． 在Rt△EFB中，∠EFB＝90°，BF＝BC＋CF＝6，EF＝1， ∴BE＝＝． …………………………………………6分 10.（顺义）（1）见解析 （2） 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据，即可由矩形的判定定理得出结论． （2）解，求得再由矩形的性质得然后在，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，． ， ，且． 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：连接， 在中， 四边形是矩形 在中， 11.海淀（1）证明：∵四边形ECDF为平行四边形， ∴EF // CD，. ∵B，C，D 在一条直线上，， ∴EF // BC，EF=BC. ∴四边形EBCF为平行四边形. ∵，， ∴. ∴. ∴四边形EBCF为矩形. （2）解：∵A，B，C，D 在一条直线上，，， ∴. ∵. ∴. ∵. ∴. ∵， ∴. ∵四边形EBCF为矩形， ∴. ∴的长为5. 学科网（北京）股份有限公司 $$