2024年北京市中考二模数学新函数探究汇编

2024年北京市二模数学新函数探究汇编 1.（门头沟）医学院某药物研究所研发了甲,乙两种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后的时间 x(小时)，服用甲种药物后每毫升血液中的含药量(微克)，服用乙种药物后每毫升血液中的含药量 (微克)，记录部分实验数据如下： x 0 0.20 0.40 1.00 1.53 2.26 2.52 3.38 4.53 5.44 … 0 0.68 1.36 3.40 3.21 2.77 2.65 2.31 1.92 1.65 … 0 0.18 0.36 9.00 5.03 2.26 1.70 0.66 0.19 0.07 … 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． （1）可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xoy中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）如果两位病人在同一时刻分别服用这两种药物，服药1小时后：两位病人每毫升血液中含药量相差 微克，两位病人大约服药后 小时每毫升血液中含药量相等；（结果保留小数点后一位） （3）据测定,每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效,则两种药物中 种药的药效持续时间较长，药效大约相差 小时（结果保留小数点后一位）. 2.（房山）小平在学习过程中遇到一个函数. 下面是小平对其研究的过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是 ； （2）下表是与的几组对应值. … … … … 其中的值为 ； （3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②过点作平行于轴的直线，结合图象解决问题：若直线与函数 的图象有三个交点，则的取值范围是 . 3.（东城）如图，在等边△ABC中，AB=5cm，点D是BC的中点，点E是AB上一个动点，连接CE，DE． 设B，E两点间的距离为x cm，CE+DECD =y cm． 小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值： m的值为________（保留一位小数）; （2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出函数y的图象； （3）结合函数图象，解决问题（保留一位小数）： 当y=5时， B，E两点间的距离约为　 　cm； 当y=4x时，B，E两点间的距离约为　 　cm． 4.（大兴）综合实践活动课上，老师给每位同学准备了一张边长为30 cm的正方形硬纸板，要求在4个角上剪去相同的小正方形(如图1)，这样可制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒. 设剪去的小正方形的边长为x cm（1≤x≤14）,则纸盒的底面边长为(30-2x ) cm. 图1 图2 a. 甲同学研究无盖纸盒的底面积，得到： 无盖纸盒的底面积y1与剪去小正方形的边长x的函数表达式为y1=(30-2x)2； b.乙同学研究无盖纸盒的侧面积（四个侧面面积之和）,得到： 无盖纸盒的侧面积y2与剪去小正方形的边长x的函数表达式为y2=4x(30-2x)； c.丙同学研究无盖纸盒的体积, 得到： 无盖纸盒的体积y3与剪去小正方形的边长x的函数表达式为y3=x (30-2x)2. y3与 x的几组对应值如下表： x（cm） 1 2.5 5 7.5 10 12.5 14 y3（cm3） 784 1562.5 2000 1687.5 1000 312.5 56 如图3，在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各组数值所对应的点（x,y3）,并用平滑曲线连接这些点，得到了函数y3=x (30-2x)2（1≤x≤14）的图象. 图3 根据以上信息，解决下列问题： （1）当剪去小正方形的边长x为10cm时，则无盖纸盒的底面积y1为 cm2; （2）当无盖纸盒的侧面积y2取最大值时，求剪去小正方形的边长x的值； （3）下列推断合理的是 （填序号）； ①当时，无盖纸盒的体积y3随着剪去小正方形的边长x的增大而减小； ②当剪去的小正方形的边长x为11cm时，无盖纸盒的体积y3小于1000 cm3； ③当无盖纸盒的体积y3为1000 cm3时，剪去的小正方形的边长x只能为10cm. （4）当无盖纸盒的体积y3为2000 cm3时，则无盖纸盒的侧面积y2为 cm2. 5.（朝阳）如图，在矩形ABCD中，AB=3 cm，BC=6 cm，点P是BC边上一动点，连接AP，过点P作AP的垂线与AC，CD分别相交于点E，F． 小明根据学习函数的经验对线段BP，CE，CF的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点P在BC边上的不同位置，画图、测量，得到了线段BP，CE，CF的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 BP/cm 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 CE/cm 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 CF/cm 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在BP，CE，CF的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； （2） ① 确定表格中m的值约为______（结果精确到）； ② 在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且CE=CF时，BP= ______cm（结果精确到）． 6.（昌平）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． （1）该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式． 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的_________； 方案二：采用两次漂洗的方式． 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 ；若在第一次用x（0<x<20）斤清水，第二次用（20-x）斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 （用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案______（“一”或“二”）的漂洗效果更好. （2）若采用方案二，第一次用_______斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的_______. 7.（石景山）中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）.记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． （1）可以用函数刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； （2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为 时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为 （结果保留小数点后一位）； （3）探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则 （填“>”“”或“<”）． 8.（丰台）某实验室在10℃~12℃温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响． 研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定 量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在10℃~12℃范围内的不同温度下，该种幼苗 所能达到的最大生长速度始终不变． 经过进一步实验，获得了10℃和12℃温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如下表所示： 设营养素用量为x毫克（0≤x≤1.0），10℃温度下幼苗生长速度为y1毫米/天，12℃温度下幼苗生长速度为y2毫米/天． x 0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 1.0 y1 1.00 1.38 1.69 2.06 2.12 2.04 1.88 1.31 y2 1.00 1.77 2.07 2.04 1.60 1.31 0.97 0.23 （1）在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为________毫米/天； （2）根据表中数据，发现y1，y2都可近似看作x的函数．在平面直角坐标系xOy中， 描出表中各组数值所对应的点（x，y2），并用平滑曲线连接这些点； （3）结合函数图象，回答下列问题： ①在12℃温度下，使用约______毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快 （结果保留小数点后两位）； ②当该种幼苗的生长速度在10℃和12℃温度下均不低于1.6毫米/天时，营养素用量x的取值范围为________（结果保留小数点后两位）． 9.（燕山）下表是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至12时气温y(单位：℃)随着时间t(单位：时)的变化情况． 时间t/时 0 2 4 6 8 10 12 温度y/℃ 6 1 －4 －2 4 6 4 气象台对数据进行分析后发现，次日0时至5时，y与t近似满足一次函数关系，5时至12时，y与t近似满足函数关系y＝－0.5t2＋bt＋c． 根据以上信息，补充完成以下内容： (1) 在平面直角坐标系中，补全次日0时至12时气温y与时间t的函数图象； (2) 求出次日5时至12时y与t满足的函数关系式，并直接写出次日0时至12时的最高气温与最低气温； (3) 某种植物在气温0℃以下持续时间超过3.5小时，即遭到霜冻灾害，需采取防霜措施， 则该植物次日 采取防霜措施(填“需要”或“不需要”)． 10.（顺义）“夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：），x与y的部分数据如下表： x 0 5 15 25 35 45 55 65 y 0 （1）通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系，在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，高的物体的影长约为______（精确到）； （3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了高的物体的影长均为，那么他们生活的地区纬度差约是______度． 11.（海淀）生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： a．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解48 h时，测得的实验数据如下图所示： 为提高这类生活垃圾在水解48 h时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为 %； b．当菌剂添加量为p%时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下：菌剂添加量 （%） 水解率 （%） 25 30 35 40 45 50 55 4 6 8 10 2 20 O 时间t（h） 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率y（%） 0 28.0 35.1 39.4 42.5 44.9 46.8 48.5 50.0 51.2 52.3 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为p%时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象． 结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解132 h时，生活垃圾水解率 超过（填“能”或“不能”）． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）直接写出p的值； （2）当菌剂添加量为6%时，生活垃圾水解率达到50%所需的时间为小时，当菌剂添加量为p%时，生活垃圾水解小时的水解率 50%（填“大于”“小于”或“等于”）. 2024年北京市二模数学新函数探究汇编答案 1.（门头沟）解： （1）作图正确 …………………………1分 （2）5.6； 2.1 （1.8-2.5之间均可） ……3分 （3）甲，1.5—2.0之间均可 ……5分 2.（房山）（1）； ………….………..……….1分 （2）； ………….………..……….2分 （3）①画出函数图象，如图； ………….………..……….4分 ② . ………….………..……….5分 3.（东城）解：（1）m= 4.3 .------------------1分 （2）图象如下，--------------------3分 （3）①0，3.4 . -------------------------5分 ②1.1 .-----------------------------6分 4.（大兴）（1）100； ………………………………………………………………………1分 （2）解：=4x（30-2x）= -8x2+120 x=-8（x-）2 + 450. 答：当剪去小正方形的边长x为cm时， 取得最大值； ………………3分 （3）②； ………………………………………………………………5分 （4）400. ………………………………………………………………6分 5.（朝阳）解：（1）BP；CE，CF； 2分 （2）①2.2； 3分 ②如图所示. 5分 （3）1.9． 6分 6.（昌平）解： ； ……………………………………………………………………………………………1分 ； ………………………………………………………………………………………………2分 ； …………………………………………………………………………………4分 10； …………………………………………………………………………………………………5分 ……………………………………………………………………………………………………6分 7.（石景山）解：（1）如图； ……… 2分 （2）答案不唯一， 如，； ……… 4分 （3）>． ……… 5分 8.（丰台）解：（1）1.00； 1分 （2） 3分 （3）①0.28； 4分 ②0.17≤x≤0.60． 6分 9.（燕山） 解：(1) 补全次日0时至12时气温y与时间t的函数图象，如图； …………………………………………1分 (2) 由题意，抛物线y＝－0.5t2＋bt＋c的顶点坐标为(10，6)， ∴y＝－0.5(t－10)2＋6＝－0.5t2＋10t－44， 即次日5时至12时，y与t满足函数关系y＝－0.5t2＋10t－44 (5≤t≤12)． 次日0时至12时的最高气温为 6℃ ，最低气温为 －6.5℃ ； …………………………………………5分 (3) 需要． …………………………………………6分 10.（顺义） 【答案】（1）见解析 （2） （3）44 【分析】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键； （1）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象； （2）结合函数图象找到时，的值即可； （3）结合函数图象找到时，的值，再作差即可； 【小问1详解】 解：函数的图象如下： 【小问2详解】 解：根据（1）中图象可得：当时，， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：根据（1）中图象可得：当时，或， ， 故答案为：（答案不唯一）； 11.（海淀）解：. 6； . 图象如下图. 不能. （1） 4； （2） 小于. 学科网（北京）股份有限公司 $$