精品解析：江苏省盐城市东台市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年江苏省东台市八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ） A. 4 B. C. D. 3. 为了了解我市年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取名考生的中考数学成绩进行统计分析．在这个问题中，样本是指（ ） A. B. 被抽取的名考生 C. 被抽取的名考生的中考数学成绩 D. 我市年中考数学成绩 4. 下列说法正确的是（　　） A. “水在一个标准大气压下，温度为时不结冰”是不可能事件 B. 某彩票的中奖机会是，买1000张一定会中奖 C. 为检验某品牌灯管的使用寿命，采用普查的调查方式比较合适 D. “如果x、y是实数，那么”是随机事件 5. 在四边形中，对角线相交于点O，．添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是( ) A. ； B. ； C. ； D. 6. 为更好地反映某地一周内气温的变化情况，一般选用（　　） A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 统计表 7. 中，E是的中点，平分，于点D，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 如图，矩形的边、分别在x轴、y轴上，点A的坐标是，点D、E分别为、的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为（　　） A B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若分式有意义，则的取值范围是___． 10. 若样本容量是，在样本的频数分布直方图中各小长方形的高之比是，则第二小组的频数为______． 11. 分式和的最简公分母是__________． 12. 如图，下面是三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），小明转动每个转盘各一次，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，按事件发生的可能性从小到大排列为______________．（填序号） 13. 平行四边形ABCD的周长为30 cm，AB：BC=2：3，则AB= ______ ． 14. 如图，菱形中，，，其周长为________． 15. 如图，△ABC是边长为9的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边作等边三角形ADE，F为AC中点，则线段EF的长为______． 16. 如图，矩形中，，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为()，得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，这个最大值＝________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17 计算题： 18. 先化简，再从1，，2，四个数中选取合适的数代入求值． 19. 为了解学生对各种球类运动的喜爱程度，小明采取随机抽样的方法对他所在学校的部分学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一种项目），对调查结果进行统计后，绘制了下面的统计图（1）和图（2）． （1）此次被调查的学生共有___人，m＝_____； （2）求喜欢“乒乓球”的学生的人数，并将条形统计图补充完整； （3）若该校有2000名学生，估计全校喜欢“足球”的学生大约有多少人？ 20. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）假如摸一次，摸到黑球的概率　 　； （2）试估算盒子里黑颜色的球有多少只？ 21. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形； （2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 　 　． 22. 如图，，分别为△ABC的中线，BD，交于点，点，分别是，的中点．求证： （1）； （2）． 23. 定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，则和都是“和谐分式”． （1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：___________（填序号）； ①；②③④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数分式的和的形为：__________+___________． （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 24. 综合与实践 活动课上，老师让同学们翻折正方形进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】如图1，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于E，延长交于F． 【问题探究】 （1）如图2，当点H与点C重合时，与的大小关系是______；是______三角形． （2）如图3，当点H为边上任意一点时（点H与点C不重合），连接，猜想与的数量关系，并说明理由． （3）在（2）条件下，当，时，CF的长为______． 25. 已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若，的面积为． （1）如图1，当四边形是正方形时，值为　 　，S的值为　 　； （2）如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求与函数关系式； （3）当x　 　时，的面积最大；当　 　时，的面积最小； （4）在点F运动的过程中，请直接写出点运动的路线长：　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年江苏省东台市八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； C．是轴对称图形不是中心对称图形，，故该选项不符合题意； D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式定义，即可求解．最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式． 【详解】解：A、当☆为4时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为时，，是最简分式，故该选项符合题意； C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简分式，理解最简分式的定义是解题的关键． 3. 为了了解我市年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取名考生的中考数学成绩进行统计分析．在这个问题中，样本是指（ ） A. B. 被抽取的名考生 C. 被抽取的名考生的中考数学成绩 D. 我市年中考数学成绩 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，解题的关键是明确考查的对象． 【详解】解：根据定义，样本是抽取名考生的中考数学成绩， 故选：． 4. 下列说法正确的是（　　） A. “水在一个标准大气压下，温度为时不结冰”是不可能事件 B. 某彩票的中奖机会是，买1000张一定会中奖 C. 为检验某品牌灯管的使用寿命，采用普查的调查方式比较合适 D. “如果x、y是实数，那么”是随机事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念、概率的意义和全面调查与抽样调查的定义．根据随机事件的定义，概率的意义和全面调查与抽样调查的定义判断即可． 【详解】解：A、“水在一个标准大气压下，温度为时不结冰”是不可能事件，故此选项符合题意； B、某彩票的中奖机会是，买1000张不一定会中奖，故此选项不符合题意； C、为检验某品牌灯管的使用寿命，采用抽样调查方式比较合适，故此选项不符合题意； D、“如果x、y是实数，那么”是必然事件，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 在四边形中，对角线相交于点O，．添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是( ) A ； B. ； C. ； D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判断方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A．由题意可得：，，则四边形是平行四边形，不符合题意； B．由可以得到 又∵， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形，不符合题意； C．由题意可得：，，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，符合题意； D．由可以得到 又∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 6. 为更好地反映某地一周内气温的变化情况，一般选用（　　） A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 统计表 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了统计图的选择，根据扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，可得答案． 【详解】解：为更好地反映某地一周内新冠确诊病例人数的变化情况，一般选用折线统计图． 故选：B． 7. 中，E是的中点，平分，于点D，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于F，证明，得到，结合中位线定理，得到，代入计算即可．． 【详解】解：如图，延长交于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴ ∴， ∵E是的中点，， ∴是的中位线， ∴． ∵，， ∴． 故选：B． 8. 如图，矩形的边、分别在x轴、y轴上，点A的坐标是，点D、E分别为、的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，轴对称最短路径问题，坐标与图形，求一次函数与坐标轴的交点坐标，取点E关于x轴的对称点，连接，连接交x轴于点，则最小值为，此时点P位于处，利用矩形的性质得到，则，再求出直线的解析式为，即可求出点的坐标． 【详解】解：取点E关于x轴的对称点，连接，连接交x轴于点， ∴， ∵， ∴最小值为，此时点P位于处， ∵四边形是矩形，点A的坐标是， ∴， ∵点D、E分别为的中点， ∴， ∴ 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 即当最小时，点P的坐标为， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若分式有意义，则的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即， ∴的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟知分式的分母不为0是解答的关键． 10. 若样本容量是，在样本的频数分布直方图中各小长方形的高之比是，则第二小组的频数为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，样本容量．用样本容量乘以第二小组所占的份数，然后计算即可得解． 【详解】解：． 即第二小组的频数为8． 故答案为：． 11. 分式和的最简公分母是__________． 【答案】 【解析】 【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：，， 分式和的最简公分母是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母的知识，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 12. 如图，下面是三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），小明转动每个转盘各一次，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，按事件发生的可能性从小到大排列为______________．（填序号） 【答案】③①② 【解析】 【分析】根据题意分别计算出①②③的概率即可求解． 【详解】解：①：“指针落在灰色区域内”的可能性为：； ②：“指针落在灰色区域内”的可能性为：； ③：“指针落在灰色区域内”的可能性为： 故答案为：③①② 【点睛】本题考查概率的计算．掌握计算方法是解题关键． 13. 平行四边形ABCD的周长为30 cm，AB：BC=2：3，则AB= ______ ． 【答案】6cm 【解析】 【分析】由平行四边形对边相等，根据周长可求解． 【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长是30cm，即2（AB＋BC）＝30， 又AB＝BC， 解之可得AB＝6cm，BC＝9cm． 故答案为6cm． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟知平行四边形对边相等是解题关键． 14. 如图，菱形中，，，其周长为________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得到 为等边三角形，从而得到 ，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴菱形的周长为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定和性质是解题的关键． 15. 如图，△ABC是边长为9的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边作等边三角形ADE，F为AC中点，则线段EF的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由“SAS”可得△ABD≌△ACE，可得∠ADB＝∠AEC＝90°，由直角三角形的性质可求EF的长． 【详解】解：如图，连接CE， ∵AD是等边△ABC的高 ∴∠BDA＝90° ∵△ABC，△ADE是等边三角形 ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60° ∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AE＝AD ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， ∵F为AC中点， ∴EF＝AC＝ 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形性质，证明∠AEC=90°是本题的关键． 16. 如图，矩形中，，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为()，得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，这个最大值＝________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，勾股定理，旋转性质．连接，作于．当与共线，且时，面积最大，利用，求出，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：连接，作于， ， 当与共线，且时，面积最大， 由题意：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算题： 【答案】3 【解析】 【分析】根据同分母分式性质求解，化简. 【详解】 【点睛】考核知识点：同分母分式加减.熟记法则是关键. 18. 先化简，再从1，，2，四个数中选取合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，最后根据分式有意义的条件，选择符合条件的a的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及分式有意义的条件是分母不能为0． 19. 为了解学生对各种球类运动的喜爱程度，小明采取随机抽样的方法对他所在学校的部分学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一种项目），对调查结果进行统计后，绘制了下面的统计图（1）和图（2）． （1）此次被调查的学生共有___人，m＝_____； （2）求喜欢“乒乓球”的学生的人数，并将条形统计图补充完整； （3）若该校有2000名学生，估计全校喜欢“足球”的学生大约有多少人？ 【答案】（1）50，20；（2）5人，图见解析；（3）400人 【解析】 【分析】（1）利用喜欢篮球的人数与所占总体的百分比可得总人数，利用喜欢足球的人数占总体的百分比可得的值， （2）利用总人数与各部分的人数差可得答案，依据答案补全条形统计图即可， （3）利用样本中喜欢足球所占的百分比乘以总人数即可得到答案． 【详解】解：（1）由（人），所以被调查的学生共有50人， 所以 故答案为：50，20 （2）喜欢乒乓球的有：50－20－10－15＝5（人） 如图所示： （3）喜欢足球的大约有：2000＝400（人） 答：估计全校喜欢“足球”的学生人数为400人． 【点睛】本题考查的是统计调查中样本与总体问题，考查了从统计图中获取信息，利用样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键． 20. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）假如摸一次，摸到黑球的概率　 　； （2）试估算盒子里黑颜色的球有多少只？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率估计概率，概率意义即可求解； （2）根据摸到黑球的频率即可得到白球数目 【小问1详解】 解：∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率为， ∴假如摸一次，摸到黑球的概率， 故答案为：． 【小问2详解】 盒子里黑颜色的球有（只）． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． 21. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形； （2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 　 　． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）（2，1） 【解析】 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用点P与P′的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可； （3）连接A1A2、B1B2、C1C2，它们的交点为对称中心． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 ∵点P向右平移4个单位，向上平移4个单位得到点P′， ∴△ABC向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ，如图所示： 【小问3详解】 根据图象可知，连接、、后，它们交于点，且点的坐标为（2，1），所以和的对称中心的坐标为（2，1）． 故答案为（2，1）． 【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 22. 如图，，分别为△ABC的中线，BD，交于点，点，分别是，的中点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：连接， 分别为的中线，点分别是的中点， ， ， ； 【小问2详解】 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 23. 定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，则和都是“和谐分式”． （1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：___________（填序号）； ①；②③④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：__________+___________． （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）①③④ （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算及和新定义“和谐分式”， （1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断； （2）把分式先变形为，再写成整式与分式分子为常数的形式； （3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值； 解决本题关键是理解定义的内容并能运用． 【小问1详解】 ①，是和谐分式；②是整式，③，是和谐分式， ④，是和谐分式． 故答案为：①③④； 【小问2详解】 ， 故答案为：，； 【小问3详解】 ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数， ∴当时，分式运算的结果是整数． 24. 综合与实践 活动课上，老师让同学们翻折正方形进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】如图1，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于E，延长交于F． 【问题探究】 （1）如图2，当点H与点C重合时，与的大小关系是______；是______三角形． （2）如图3，当点H为边上任意一点时（点H与点C不重合），连接，猜想与的数量关系，并说明理由． （3）在（2）条件下，当，时，CF的长为______． 【答案】（1）；等腰直角； （2），理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据证明，，即可解决问题． （2）结论：，证明方法类似（1）． （3）设，则，，利用勾股定理构建方程求出即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由翻折可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：；等腰直角； 【小问2详解】 结论：． ∵四边形是正方形， ∴，， 由翻折可知，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 设，则，， 在中，，即， 解得：，即的长为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 25. 已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若，的面积为． （1）如图1，当四边形是正方形时，的值为　 　，S的值为　 　； （2）如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求与的函数关系式； （3）当x　 　时，的面积最大；当　 　时，的面积最小； （4）在点F运动的过程中，请直接写出点运动的路线长：　 　． 【答案】（1）， （2）①见解析；② （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）只要证明即可解决问题； （2）①连接，理由平行线的性质证明即可； ②如图，作于Q，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大，在中，，S的最大．②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小； （4）如图3中，在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长． 【小问1详解】 解：如图1中， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 过点M作于点H． 同法可证， 可得， ． 故答案为：； 【小问2详解】 ①连接 四边形为矩形， 四边形为菱形， 即 ②， 过点M作，垂足为Q 四边形为矩形 四边形为菱形 在和中 ， ∴ ． 【小问3详解】 解：①如图3中， 当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大， 在中，， ∴S的最大值； ②如图4中， 当点M在上时，x的值最大，的面积最小， 此时同（2）易证, ， ∴， ∴， ∴S的最小值为； 故答案为：；． 【小问4详解】 解：如图3中， 在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用一次函数的性质确定最值问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$