精品解析：浙江省苍南县星海学校2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题

七年级（下）数学学科学习能力诊断卷（二） 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．全卷分为卷I（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在“答题纸”相应位置上． 3．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号． 4．作图时，请使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 卷I 说明：本卷共1大题，10小题．请用2B铅笔在“答题卷”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果是二元一次方程的一个解，则a的值是（ ） A. B. C. D. 2 4. 如图1为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何图形，若，，则（ ） A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 5. 下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二元一次方程组，用加减消元法解方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则可以表示成（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则a的值是（ ） A. -2 B. 0 C. 0.5 D. 2 9. 若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，E，F分别是上的点，分别是和的平分线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ 说明：本卷共2大题，14小题．请用黑色字迹的钢笔或者签字笔将答案写在“答题卷”相应的位置上． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：_________． 12. 如图，将周长为12的△ABC沿BC边向右平移3个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为______． 13. 若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为_____． 14. 《九章算术》中有这样一道题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙各持钱几何？”大意是：“甲、乙两人各有一些钱，如果将乙的钱的一半给甲，这时甲共有五十钱；如果将甲的钱的三分之二给乙，这时乙也共有五十钱．”设甲有钱，乙有y钱，根据题意可以列出方程组：_________． 15. 从光源发出的光线射到长方体玻璃透镜的表面，既发生反射又发生折射，如图是光路图，图中的长方形是透镜的截面图，光线经过两次折射后从透镜的对侧射出，两次折射的光线分别为和．如果入射光线的入射角为，那么反射光线和射出透镜的光线所成的锐角的度数是_________． 16. 已知关于x，y的二元一次方程组，若不论a为何值，代数式的值都为定值，则k的值为_________，这个定值为_________． 三、解答题（本大题有8小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程组： （1）； （2）． 19. 先化简再求值，其中． 20. 如图，在三角形中，，，． （1）判断和的位置关系，并说明理由． （2）若平分，，求和的度数． 21. 小聪和小明同做一道题：已知，求，的值． 小聪的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值． 小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得，的值． （1）请用小聪和小明的思路（两种不同的方法）分别求出a，b的值，你有什么发现？ （2）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出，的值． 22. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如从图1可以得到．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式：_______． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． （3）如图3所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连结和，若两正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 23. 有一副直角三角尺如图1放置（其中，），与直线重合． （1）在图1中，_________°． （2）如图2，三角尺保持不动，三角尺绕点P顺时针旋转，转速为每分钟，旋转一周后三角尺就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，？ 24. 根据以下素材，探索完成任务． “同城跑腿急送”，让你的生活更便利 素材1 “同城跑腿急送”送件费用为起送费用、里程费用与重量费用的和，具体计费方式如右． 起送费用 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费，每单10元． 里程费用 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里程费用为每千米a元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元．（实际里程不足1千米，按1千米计算．例如送件实际里程为7.3千米，按8千米算，即计价里程为8千米） 重量费用 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重量费用为每千克b元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元．（实际重量不足1千克，按1千克计算．例如送件实际重量为6.4千克，按7千克算，即计价重量为7千克） 素材2 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务： 甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；另送一件里程10千米，送件重量7千克，费用26元． 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克． 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克小于10千克，总费用是25元． 解决问题 任务1 请你确定的值． 任务2 帮助乙计算这单跑腿需要的费用． 任务3 确定丙这单跑腿的计价里程以及计价重量． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级（下）数学学科学习能力诊断卷（二） 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．全卷分为卷I（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在“答题纸”相应位置上． 3．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号． 4．作图时，请使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 卷I 说明：本卷共1大题，10小题．请用2B铅笔在“答题卷”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟悉掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：不是等式，故错误； B：是二元一次方程，故正确； C：，的次数为，故错误； D：，含有三个未知数，故错误； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确，该选项不符合题意； B．，故不正确，该选项不符合题意； C．，正确，该选项符合题意； D．，故不正确，该选项不符合题意； 故选：C． 3. 如果是二元一次方程的一个解，则a的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键；因此此题可把二元一次方程的解代入进行求解即可． 【详解】解：由题意可把代入二元一次方程得：， ∴； 故选D． 4. 如图1为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何图形，若，，则（ ） A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟悉掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 领用邻补角的求出的度数，再利用平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 5. 下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，注意掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 根据平方差公式的特征，逐个判断即可． 【详解】解：A、，可以用完全平方公式，不能用平方差公式，符合题意； B、，能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、能用平方差公式，不符合题意； 故选：A． 6. 已知二元一次方程组，用加减消元法解方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，观察方程组中两方程x与y的系数特征，利用加减消元法消去x或y即可． 【详解】解：二元一次方程组，用加减消元法解方程组或． 故选：C． 7. 已知，，则可以表示成（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．先逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则把变形，然后把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选D． 8. 若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则a的值是（ ） A. -2 B. 0 C. 0.5 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用多项式乘多项式的运算法则化简后，令含项相加为即可． 【详解】解：∵，不含项， ∴， ∴； 故选：D． 9. 若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊运算，熟悉掌握如何联立系数是解题的关键． 由两方程组的系数相同，联立两方程组后运算求解即可． 【详解】解：由可变形为， ∵的解为，且与的系数相同， ∴联立与的可得： ，解得： 故选：B． 10. 如图，，E，F分别是上的点，分别是和的平分线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．过点作，根据题意求得，从而，过点H作，同理可求． 【详解】解：如图，过点作 ∴ 分别是和的角平分线 过点H作， 同理可求 故选C． 卷Ⅱ 说明：本卷共2大题，14小题．请用黑色字迹的钢笔或者签字笔将答案写在“答题卷”相应的位置上． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零次幂的意义，熟练掌握零次幂的意义是解答本题的关键，非零数的零次幂等于1，零的零次幂没有意义． 【详解】解： 故答案为：1 12. 如图，将周长为12的△ABC沿BC边向右平移3个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据平移的性质，对应点的连线AD、CF都等于平移距离，再根据四边形ABFD的周长＝△ABC的周长+AD+CF代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移3个单位得到△DEF， ∴AD＝CF＝3， ∴四边形ABFD的周长 ＝AB+BC+DF+CF+AD ＝△ABC的周长+AD+CF ＝12+3+3 ＝18． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平移的性质. 13. 若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值． 【详解】解：∵a+b＝4，a﹣b＝1， ∴（a+1）2﹣（b﹣1）2 ＝（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1） ＝（a+b）（a﹣b+2） ＝4×（1+2） ＝12． 故答案是：12． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式的结构特征即可解答． 14. 《九章算术》中有这样一道题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙各持钱几何？”大意是：“甲、乙两人各有一些钱，如果将乙的钱的一半给甲，这时甲共有五十钱；如果将甲的钱的三分之二给乙，这时乙也共有五十钱．”设甲有钱，乙有y钱，根据题意可以列出方程组：_________． 【答案】 【解析】 【分析】考查由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.，设设甲有钱，乙有y钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半，乙的钱+甲所有钱的，据此列方程组可得． 【详解】解：设甲有钱，乙有y钱，根据题意得： ， 故答案为：． 15. 从光源发出的光线射到长方体玻璃透镜的表面，既发生反射又发生折射，如图是光路图，图中的长方形是透镜的截面图，光线经过两次折射后从透镜的对侧射出，两次折射的光线分别为和．如果入射光线的入射角为，那么反射光线和射出透镜的光线所成的锐角的度数是_________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟悉掌握平行线的性质是解题的关键． 延长和交于点，由折射可得：，得到，再由反射可得：，即可求出． 【详解】解：延长和交于点，如图所示： 由折射可得：， ∴ 由反射可得：， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 已知关于x，y的二元一次方程组，若不论a为何值，代数式的值都为定值，则k的值为_________，这个定值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 解得：， 把代入， 得：， 若不论a为何值，代数式的值都为定值， ， 故k的值为， 代入代数式得：， 故答案为：，． 三、解答题（本大题有8小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． （1）根据负指数幂的运算法则进行化简运算即可； （2）根据幂的乘方运算法则进行运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 18. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据代入消元法可进行求解； （2）根据加减消元法可进行求解． 【小问1详解】 解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得：， 解得：， 把代入①得：，解得：； ∴原方程组的解为． 19. 先化简再求值，其中． 【答案】，-4 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则，先化简，再代入求值，即可求解． 【详解】解：原式 ． 把代入得原式． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则，是解题的关键． 20. 如图，在三角形中，，，． （1）判断和的位置关系，并说明理由． （2）若平分，，求和的度数． 【答案】（1） ．理由如下： ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）由平行线的性质和已知条件证明，即可证明； （2）由平行线的性质和角平分线的定义可得，再由平行线的性质得到，，，再由角之间的关系即可得到答． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 21. 小聪和小明同做一道题：已知，求，的值． 小聪的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值． 小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得，的值． （1）请用小聪和小明的思路（两种不同的方法）分别求出a，b的值，你有什么发现？ （2）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出，的值． 【答案】（1），；发现：用两种思路求得的，的值一样，即小聪和小明的思路都是正确的； （2）；，． 【解析】 【分析】本题考查了代数式的运算，灵活利用题目在所给的信息是解题的关键． （1）分别根据小聪和小明的思路进行运算求解即可； （2）选用小明的思路，分别把和代入运算求解即可． 【小问1详解】 解：小聪的思路：， ∴， ∴，； 小明的思路： 把代入可得：， ∴， 把代入可得：， ∴ 把代入可得：， ∴； 发现：用两种思路求得的，的值一样，即小聪和小明的思路都是正确的； 【小问2详解】 解：选用小明的思路 ∵， ∴把代入可得：， ∴， 把代入可得：， ∴， ∴把代入可得：， ∴． 22. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如从图1可以得到．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式：_______． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． （3）如图3所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连结和，若两正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，乘法公式的应用，利用图形进行数形结合是解题的关键． （1）根据图的面积进行列式即可； （2）化简（1）中的式子，代值运算即可； （3）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，列式运算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积， 即， ∵，， ∴． 23. 有一副直角三角尺如图1放置（其中，），与直线重合． （1）在图1中，_________°． （2）如图2，三角尺保持不动，三角尺绕点P顺时针旋转，转速为每分钟，旋转一周后三角尺就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，？ 【答案】（1）105； （2）12分钟或48分钟． 【解析】 【分析】本题考查了三角板的有关计算，平行线的性质，以及旋转的性质，分类讨论是解（2）的关键． （1）根据三角形的内角和定理求解即可； （2）当时，分情况讨论，分别根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ， ； 【小问2详解】 解： 当时，分情况讨论： ①当旋转到如下图所示： ∵，且， ∴， ， ∴， ∴旋转时间为分钟； ②当旋转到如下图所示： ∵，且， ∴， ， ∴， ∴旋转角度为 ∴旋转时间为分钟； 综上，旋转时间为12分钟或48分钟． 24. 根据以下素材，探索完成任务． “同城跑腿急送”，让你的生活更便利 素材1 “同城跑腿急送”送件费用为起送费用、里程费用与重量费用的和，具体计费方式如右． 起送费用 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费，每单10元． 里程费用 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里程费用为每千米a元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元．（实际里程不足1千米，按1千米计算．例如送件实际里程为7.3千米，按8千米算，即计价里程为8千米） 重量费用 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重量费用为每千克b元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元．（实际重量不足1千克，按1千克计算．例如送件实际重量为6.4千克，按7千克算，即计价重量为7千克） 素材2 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务： 甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；另送一件里程10千米，送件重量7千克，费用26元． 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克． 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克小于10千克，总费用是25元． 解决问题 任务1 请你确定的值． 任务2 帮助乙计算这单跑腿需要的费用． 任务3 确定丙这单跑腿的计价里程以及计价重量． 【答案】任务1：； 任务2：69元； 任务3：丙这单跑腿的计价里程为8千米，计价重量为8千克． 【解析】 【分析】本题考查了的二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，处理表格所给的信息列出方程组是解题的关键． 任务1：根据甲的配送信息列出二元一次方程组运算求解即可； 任务2：根据乙的计价里程和计价重量列式运算即可； 任务3：设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克，分类讨论列式运算即可． 【详解】任务1： 解：由题意可以列出方程组， 解得：； 任务2：由题意可知乙的计价里程和计价重量分别为千米，千克， ∴乙的这单跑腿费用为（元）； 任务3：设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克（，）， ①若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意； ②若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意； ③若，时，跑腿费用为， 整理得，即， ∵为偶数， ∴代入验证可得， 即丙这单跑腿的计价里程为8千米，计价重量为8千克． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $