专题05 函数及其应用（六大题型）-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题05 函数及其应用 题型一 一次函数图形和性质 一、单选题 1．（2024·辽宁辽阳·二模）如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（    ） A．x=-3 B．x=4 C．x= D．x= 2．（2024·辽宁鞍山·二模）“夜骑自行车”慢慢成为上班族释放压力的时尚活动，某“夜骑”爱好者匀速骑行的过程中，骑行的距离h（千米）与时间t（分）这两个变量之间的关系用图象大致可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁盘锦·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 4．（2024·辽宁营口·二模）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象与x轴的交点为 B．当时， C．点，在该函数图象上，若，则 D．函数图象经过第二、三、四象限 题型二 反比例函数图形和性质 5．（2024·辽宁丹东·二模）反比例函数 的图象在其每个象限内 都随 的增大而减小，则 的值可以为 （   ） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁大连·二模）汽车在公路上行驶时，油箱中剩余油量y（单位：L）是行驶里程x（单位：km）的函数，小丽记录了一次远行时汽车行驶里程及油箱中剩余的油量，数据如下表： 行驶里程x/km 0 100 200 300 剩余油量y/L 50 40 30 20 该函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·辽宁沈阳·二模）将点沿轴向右平移个单位，平移后的点恰好在反比例函数的图象上，则常数的值为 ． 8．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则k的值是 ． 9．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，与关于直线对称，反比例函数的图象经过的中点D，则k的值为 ． 10．（2024·辽宁本溪·二模）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，且点D在第一象限，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，若BCE的面积是12，则k＝ ． 11．（2024·辽宁丹东·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积为4，则的值为（    ） A．12 B．9 C． D． 12．（2024·辽宁营口·二模）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，若在线段上存在一点M，使得，则点M的坐标是 ． 13．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B都在第一象限，反比例函数的图像经过A，B两点，轴交于点C，与交于点D，若，的面积为1，则k的值为 ． 14．（2024·辽宁沈阳和平区·二模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为 ． 题型三 二次函数图形和性质 15．（2024·辽宁营口·二模）如图1，在中，，点D从A出发，沿运动到B点停止，过点D作，垂足为E，连接．设点D的运动路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（    ）    A． B．3 C． D．2 16．（2024·辽宁丹东·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，与轴交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③点、、是抛物线上的点，则；④；⑤（为任意实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 17．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在与之间（不包含这两点），抛物线的顶点为D，对称轴是直线．有下列结论：①；②若点；是抛物线上两点，则；③；④若，则是等边三角形．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，点在轴上，，则点坐标为 ． 19．（2024·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点D在线段上，坐标为，点E坐标为，过点E作x轴的垂线l，点D关于直线l的对称点为，连接，．若与抛物线有一个公共点，则m的取值范围是 ． 20．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是 ． 21．（2024·辽宁大连沙河口区·二模）如图，已知抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、．点在抛物线的对称轴上，点为抛物线上位于第四象限一点，满足．点在抛物线上，且满足，则点的坐标为 ． 22．（2024·辽宁沈阳皇姑区·二模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为米，高度为米．则离地面米处的水平宽度（即的长）为 ． 23．（2024·辽宁大连·二模）在平面直角坐标系中，直线（）与x轴所夹角为，则在匀速变大的过程中，k关于的变化图像大致为（    ） A．  B．  C．  D．   题型四 平面直角坐标系内坐标的变换 24．（2024·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 26．（2024·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段，点A的对应点的坐标是，则点的坐标是 ． 题型五 一次函数综合应用 27．（2024·辽宁沈阳·二模）某超市的消费卡做促销活动．消费卡售价y（元）与面值x（元）之间满足一次函数关系，其图象经过原点和点A，如图所示，小张购买了该超市的一张面值是1000元的消费卡．使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． (1)求小张购买这张消费卡实际花费的钱数为多少元； (2)小张使用这张消费卡在该超市购买了某种大米20公斤，超市规定这种大米使用消费卡购买，每公斤在原价的基础上还可以优惠元．设小张购买的大米原价为m元/公斤，小张购买的20公斤大米实际花费的钱数为w元，求w与m的函数关系式． 28．（2024·辽宁抚顺·二模）过去几年，某公司经历了重重考验，也在挑战中不断成长，2024年该公司为促进生产，提供了两种付给员工周报酬的方案，两种方案员工得到的周报酬y（元）与员工生产的件数x（件）之间的关系如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)求方案二y关于x的函数表达式； (2)如果你是该公司的员工，你该如何根据自己的生产能力选择方案． 29．（2024·辽宁营口·二模）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，CD为反比例函数图象的一部分． (1)当时，请求出y关于x的函数解析式； (2)数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于32？并说明理由． 30．（2024·辽宁大连·二模）如图，某人在两部手机电量为时开始充电，甲手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是线段．乙手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是折线． (1)当甲手机电量充至时，所需时间为多少？ (2)求甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差． 31．（2024·辽宁鞍山·二模）某学习小组同学在数学活动课上研究函数（，b为常数且）的图象性质及应用，请你解答同学们在活动中提出的以下问题： (1)若，，判断点是否在函数图象上，并说明理由？ (2)函数图象有最低点，请直接写出m与n的大小关系； (3)在（2）的条件下，函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若为等边三角形，且的面积为求函数的值． 32．（2024·辽宁辽阳·二模）“让农业成为有奔头的产业，让农民成为有吸引力的职业，让农村成为安居乐业的家园．”习近平总书记的话语寄托着对乡村振兴的殷切期望．某驻村干部指导农户进行奶油草莓种植和直播电商销售，通过直播电商销售将当地种植的奶油草莓销往全国各地，从而增加农民收入，助力乡村振兴．已知奶油草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，某天奶油草莓的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足的函数图象如图所示． (1)根据图象信息，求与的函数关系式； (2)求这一天销售奶油草莓获得的最大利润． 33．（2024·辽宁本溪·二模）某商户在线上投资销售A，B两种商品．已知销售A种商品可获得的月利润（万元）是该商品投资金额的40%，销售B种商品可获得的月利润（万元）与该商品投资金额x（万元）满足函数关系（其图象如图所示）． (1)求销售A种商品的月利润（万元）与该商品的投资金额x（万元）的函数关系式，并在图中画出其图象． (2)若只选择其中一种商品投资销售，根据函数图象求销售哪种商品获得的月利润更高？ (3)若该商户共投资10万元同时销售A，B两种商品，要获得月总利润最大，应怎样分配投资金额？并求出最大月总利润． 题型六 二次函数综合应用 34．（2024·辽宁抚顺·二模）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为，落在x轴上的点C处．      (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米）                                                                       请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 35．（2024·辽宁大连·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，抛物线上点A，B的坐标分别为，． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求m的取值范围； (3)过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，直线，交点为C，以为边作矩形． ①求； ②线段与x轴相交于点E，以为边作矩形，使矩形在x轴同侧，且．当矩形与矩形重合部分图形的面积是矩形面积的时，求m的值． 36．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，二次函数图像与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为P，轴，垂足为Q，点C为中点，则直线叫做二次函数的“截中线”． 已知，二次函数的“截中线”与二次函数图象的另一个交点为D，连接，且顶点P在第一象限，； (1)当时； ①若直线的解析式为，求二次函数的解析式； ②求证：是等腰三角形； (2)当时，连接，若为直角三角形，且，求c与a之间的数量关系． 37．（2024·辽宁营口·二模）新定义：我们把抛物线与抛物线（其中）称为“伴随抛物线”．例如：抛物线的“伴随抛物线”为．已知抛物线的“伴随抛物线”为． (1)求出的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； (2)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，于点M，N．当时，求点P的坐标； (3)当时，的最大值与最小值的差为，求a的值． 38．（2024·辽宁葫芦岛·二模）【提出问题】 小星学习二次函数后，查阅资料发现其中一个抛物线形门洞，门洞内的地面宽度为两侧距地面高处各有一盏灯．两灯间的水平距离为，未发现水泥门洞高度．他想知道这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米． 【分析问题】 数形结合思想是解决问题的重要思想．小星想到建立适当的平面直角坐标系．通过数据求出二次函数的表达式．利用表达式可以求得这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米． 【解决问题】 (1)小星根据二次函数图象的性质建立了如图所示的平面直角坐标系． ①求出抛物线的函数表达式； ②这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米？ (2)小星学习小组的小红发现，如果她家遥控飞机模型（如图）能飞过此门洞是非常有趣的一件事，飞机的机翼长（是指左右两侧翼尖之间的总长度）为，为保障飞行安全．飞机水平飞行时高度必须控制在多少米以下？ (3)为了造型更加美观，小星决定改造一下门洞，重新设计抛物线，其表达式为当时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围． 39．（2024·辽宁沈阳·二模）【问题情境】 如图，正方形，点是边上一动点，点由点运动到点，动点在边上，且，连接，以为一边，在正方形内部作等边，连接，设的长为，的面积为． 【初步感知】 （）经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象，其顶点坐标是，请根据图象信息，求关于的函数表达式； 【延伸探究】 （）当的周长为时，求线段的长度； （）当是以为底的等腰三角形时， 小智同学根据学习函数的经验，想尝试结合函数相关知识求线段的长度． 根据点在上的不同位置，通过画图软件画出相应的图形，并测量线段的长度（同一单位），得到下表的几组对应的近似值： 将线段的长度作为自变量，和的长度分别为，，发现，都是的函数，在平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，请结合表格和图象信息，当是以为底的等腰三角形时，直接写出线段的长度；（结果精确到） 因为的方法得到的是线段长度的近似值，所以小慧同学还想求出线段长度的准确值，请你帮助小慧同学求出线段长度的准确值． 40．（2024·辽宁沈阳和平区·二模）【发现问题】 小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】 小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】 小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】 (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离； (3)小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？ 41．（2024·辽宁大连沙河口·二模）定义：一般地，如果函数的图象经过点，（、），那么我们称函数为卡尔达诺函数，这对点叫做函数的一对最佳偏移点． (1)当对于函数，，时． ①求证：若为卡尔达诺函数，则； ②设函数为卡尔达诺函数，（）也为卡尔达诺函数，且、恒存在相同的一对最佳偏移点，求函数的函数解析式． (2)已知卡尔达诺函数的一个最佳偏移点为． ①当时，该函数的最大值与最小值之差为，求的值； ②已知点，，，当与的图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 42．（2024·辽宁丹东·二模）如图1，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图2，将沿直线平移得到． ①当点落在抛物线上时，求点的坐标． ②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 43．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，已知矩形的顶点A在y轴上，顶点B的坐标是，抛物线（m是常数）的顶点是P． (1)求点P的坐标；（用含m的代数式表示） (2)若抛物线经过点A，则抛物线是否与线段有另一个交点E．若有，求出的正切值；若没有，请说明理由； (3)若抛物线被矩形所截，其在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而增大，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数及其应用 题型一 一次函数图形和性质 1．（2024·辽宁辽阳·二模）如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（    ） A．x=-3 B．x=4 C．x= D．x= 【答案】A 【分析】根据所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可． 【详解】方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标， ∵直线y=ax+b过B（-3，0）， ∴方程ax+b=0的解是x=-3， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 2．（2024·辽宁鞍山·二模）“夜骑自行车”慢慢成为上班族释放压力的时尚活动，某“夜骑”爱好者匀速骑行的过程中，骑行的距离h（千米）与时间t（分）这两个变量之间的关系用图象大致可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数图象，根据题意列出关系等式是解题关键，根据公式“路程速度时间”，由“夜骑”爱好者匀速骑行，得到这是一个正比例函数，由正比例函数图象的性质即可得． 【详解】解：设“夜骑”爱好者匀速骑行的速度为k， 由题意可得： 这是一个正比例函数，根据正比例函数图象的性质即可知只有A选项符合题意， 故选：A． 3．（2024·辽宁盘锦·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 4．（2024·辽宁营口·二模）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象与x轴的交点为 B．当时， C．点，在该函数图象上，若，则 D．函数图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与性质以，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】A．当时，，函数图象与轴的交点为，选项A不符合题意； B．当时，，，选项B不符合题意； C．∵，∴y随x的增大而减小， ∵点，在该函数图象上，若， ∴，选项C符合题意； D．一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D不符合题意． 故选：C． 题型二 反比例函数图形和性质 5．（2024·辽宁丹东·二模）反比例函数 的图象在其每个象限内 都随 的增大而减小，则 的值可以为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式确定k的范围，再找出符合范围的选项． 【详解】根据题意得：k﹣1＞0，解得：k＞1． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 6．（2024·辽宁大连·二模）汽车在公路上行驶时，油箱中剩余油量y（单位：L）是行驶里程x（单位：km）的函数，小丽记录了一次远行时汽车行驶里程及油箱中剩余的油量，数据如下表： 行驶里程x/km 0 100 200 300 剩余油量y/L 50 40 30 20 该函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，观察表格发现：行驶路程每增加，油量减少，可判断该函数是一次函数，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：观察表格发现：行驶路程每增加，油量减少， ∴该函数是一次函数， 设函数解析式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴， 检验：当，； 当，； ∴该函数的表达式是， 故选：B． 7．（2024·辽宁沈阳·二模）将点沿轴向右平移个单位，平移后的点恰好在反比例函数的图象上，则常数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，反比例函数图象上点的坐标特征，根据平移的性质求出平移后点的坐标，再把平移后点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求解，掌握平移的性质及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：将点沿轴向右平移个单位，得到的点的坐标为， ∵平移后的点恰好在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则k的值是 ． 【答案】 【分析】连接，设交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得，，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】如图，连接，设交y轴于点C， ∵四边形是平行四边形，平行四边形的面积是5， ∴，， ∴轴， ∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 9．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，与关于直线对称，反比例函数的图象经过的中点D，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握等腰三角形的性质以及翻折的性质是正确解答的前提． 利用直角三角形的边角关系以及对称的性质可得出点、、共线，进而求出点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， ， ， ∴点、、共线， ∴， ∵， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 10．（2024·辽宁本溪·二模）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，且点D在第一象限，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，若BCE的面积是12，则k＝ ． 【答案】24 【分析】先设点D坐标为（m，n），则OC=m，CD=AB=n，k=mn再根据三角形面积公式可求得BC·OE=24，根据AB∥OE得出，即BC·OE=AB·OC，进而求解mn即可． 【详解】解：由题中矩形可知， AB=CD，CD⊥x轴，AB∥CD∥OE， 设点D坐标为（m，n），则OC=m，CD=AB=n， ∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上， ∴k=mn， ∵BCE的面积是12， ∴·BC·OE=12，即BC·OE=24， ∵AB∥OE， ∴，即BC·OE=AB·OC=24， ∴k=mn=CD·OC=AB·OC=24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义、矩形的性质、坐标与图形、平行线分线段成比例、三角形面积公式，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想将△BCE的面积和点D坐标联系起来是解答的关键． 11．（2024·辽宁丹东·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积为4，则的值为（    ） A．12 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上． 过点A作轴于点E，设，，则，则，，然后证和相似，根据相似三角形的性质得，据此可得，然后再根据的面积为4可求出，据此即可求出k的值． 【详解】解：过点作轴于点， 设，，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴轴，即：， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 12．（2024·辽宁营口·二模）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，若在线段上存在一点M，使得，则点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查一次函数的综合问题及等腰三角形的性质，勾股定理解三角形等，根据题意，确定一次函数解析式为，然后设，过点O作交于点C，运用等面积法确定，再由勾股定理及两点之间的距离列出方程求解即可，根据题意，作出辅助线是解题关键． 【详解】解：直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴， 设且，即， 过点O作交于点C， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， 当时，， ∴点M的坐标是， 故答案为：． 13．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B都在第一象限，反比例函数的图像经过A，B两点，轴交于点C，与交于点D，若，的面积为1，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，图形与坐标，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．由题意设点，得，，，进而可知直线的解析式为：，联立，可得点的坐标为，再根据列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设点， ∵轴交于点C，，则，， ∴，，， 设直线的解析式为：，则，得， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：（负值舍去）， ∴点的坐标为， 则， ∴． 14．（2024·辽宁沈阳和平区·二模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，证明△ADC≌△BDO，推出S△OAC = S△OAB=1，由此即可求得答案． 【详解】解：设A(a，b) ，如图，作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ， 则：AC=b ，OC=a ，AC∥OB， ∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO， ∴△ADC≌△BDO， ∴S△ADC=S△BDO， ∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1， ∴×OC×AC=ab=1， ∴ab=2， ∵A(a，b) 在y=上， ∴k=ab=2 ． 故答案为：2 ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线进行解题． 题型三 二次函数图形和性质 15．（2024·辽宁营口·二模）如图1，在中，，点D从A出发，沿运动到B点停止，过点D作，垂足为E，连接．设点D的运动路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（    ）    A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图形，相似三角形的判定与性质．当时，时，点D在上，利用，求出，再求出，从而求出a；当时，时，D点在上，利用，求出，从而求出b，再计算即可． 【详解】解：由函数图象的拐点可得，， ∴， ∴， 如图，当时，时，点D在上， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴ ∴，即， 如图，当时，时，D点在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，即， ∴， 故选：D． 16．（2024·辽宁丹东·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，与轴交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③点、、是抛物线上的点，则；④；⑤（为任意实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据图象确定式子的符号及系数的符号，由对称轴为直线可判断①；由时，，且可判断②；由抛物线与对称轴的距离可判断③；由抛物线的顶点位置可判定④；由抛物线的最值即可判断⑤．关键是掌握二次函数的图象与性质，注意数形结合． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，且点到对称轴的距离最大，到对称轴的距离最小， ∴，故③错误； ∵，与轴交点在和之间， ∴， ∴，故④错误； ∵当时，函数有最大值， ∴当为任意实数时，， ∴（为任意实数），故⑤正确， 综上所述，正确的结论是①②⑤，共3个， 故选：B． 17．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在与之间（不包含这两点），抛物线的顶点为D，对称轴是直线．有下列结论：①；②若点；是抛物线上两点，则；③；④若，则是等边三角形．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数解析式的求法，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：∵图象的开口向下， ∴， ∵图象与y轴的交点为， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴①符合题意， ∵抛物线的对称轴为， ∴M关于对称轴的对称点为， ∵当时，y随着x的增大而增大， 又∵， ∴， ∴②符合题意， 由题意得：， ∵当时，较小的一个根为， ∴， 解得：， ∴③不合题意， 当时，抛物线的解析式为， ∴， 取，得， 解得，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴④符合题意， ∴符合题意的有①②④， 故选：C． 18．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，点在轴上，，则点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的综合应用．先用待定系数法求出抛物线的解析式，得出点的坐标，过点作于，设，求出，，在中，，，在中，，，由此得到等量关系，解出即可，再根据对称性可得另外一个点的坐标． 【详解】解：将，代入得， ， 解得， ， ， 过点作于， 设， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 由对称性知，点也满足题意． 故答案为：或． 19．（2024·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点D在线段上，坐标为，点E坐标为，过点E作x轴的垂线l，点D关于直线l的对称点为，连接，．若与抛物线有一个公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，二次函数与不等式等知识，利用轴对称性求出点的坐标为，根据与抛物线有一个公共点，得出，利用二次函数与不等式的关系求出m的取值范围即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∵在上， ∴ ∵点D坐标为，点E坐标为，过点E作x轴的垂线l，点D关于直线l的对称点为， ∴点的坐标为， ∵与抛物线有一个公共点， ∴ 令， 当时，，解得，， 画草图如下： ∴当时，， ∴的解集为； 同的解集为或， ∴， 故答案为：． 20．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及对称性，因为与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则，解出，即可作答． 【详解】解：依题意，设这个二次函数图象与x轴另一个交点的横坐标为， ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴， 解饿， 则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是， 故答案为：， 21．（2024·辽宁大连沙河口区·二模）如图，已知抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、．点在抛物线的对称轴上，点为抛物线上位于第四象限一点，满足．点在抛物线上，且满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】在上取一点，使得，过点作延长线于，分别过点、作轴的垂线，分别与过点平行于轴的直线交于点、，交轴于点，根据点在抛物线的对称轴上，，求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据相似三角形的判定与性质，证明，得出，结合图形与坐标，求出、，利用证明，证明，得出，求出、，根据图形与坐标，求出点的坐标，结合点的坐标，求出直线的解析式，结合抛物线的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，过点作延长线于，分别过点、作轴的垂线，分别与过点平行于轴的直线交于点、，交轴于点， ∴， ∵抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、， ∴当时，， ， 解得：，， 当时，， ∴，，， ∴，，， ∴， 设直线解析式为，则， 解得：， ∴直线解析式为， ∵点在抛物线的对称轴上，， ∴点的横坐标，点的横坐标点的横坐标， ∴点的横坐标， ∵当时，， ∴， ∴设直线解析式为，则， 解得：， ∴直线解析式为，当时，， ∴， ∴，， ∵直线解析式为，当时，， ∴点也在线段上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， ∴点的纵坐标，横坐标， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是直线与抛物线的交点， ∴令，整理得， 因式分解得：， 解得：，（为点的横坐标）， ∴点的横坐标，纵坐标， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、图形与坐标、一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握知识点、作辅助线推理、数形结合是解题的关键． 22．（2024·辽宁沈阳皇姑区·二模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为米，高度为米．则离地面米处的水平宽度（即的长）为 ． 【答案】米/ 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，数形结合．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出的值，即可得到的值． 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入， 得：， 解得： ， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， ， 故答案为：米． 23．（2024·辽宁大连·二模）在平面直角坐标系中，直线（）与x轴所夹角为，则在匀速变大的过程中，k关于的变化图像大致为（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图像性质；熟练掌握k与函数图像的关系是解题的关键．直线中，k的正负决定直线的倾斜方向，k的绝对值的大小决定直线的倾斜程度． 【详解】解：直线（） y随x 的增大而增大，k值变大，直线变陡，直线与x轴所夹角也在变大． 故选B． 24．（2024·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．利用平行四边形的性质即可得到答案． 【详解】解∶∵的顶点A，B，C的坐标分别为，，， ∴D和A的纵坐标相同，， ∴点D的坐标是， 故选：C． 25．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的特征、旋转变换与坐标规律问题、全等三角形的判定及性质，首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第一象限，过点作轴于点，作轴于，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，可得，，根据勾股定理及三角函数得，作点关于轴对称的点，连接，，则可得，进而可求解，找出旋转规律是解题关键． 【详解】解：将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，， 旋转6次后回到原来的位置， ， 第2023次旋转结束时，点C在第一象限，且为旋转第一次结束后的坐标， 过点作轴于点，作轴于，如图：   ， 四边形是菱形， ， ， ， ，， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ∴， ， 作点关于轴对称的点，连接，， ， ，， ， ， 第2023次旋转结束时，点C的坐标为， 故选A． 26．（2024·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段，点A的对应点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，由以原点O为位似中心，相似比为，根据位似图形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵A的坐标为，以原点O为位似中心，点A的对应点的坐标是， ∴相似比为， ∴的对应点的坐标是， 故答案为：． 题型五 一次函数及其应用 27．（2024·辽宁沈阳·二模）某超市的消费卡做促销活动．消费卡售价y（元）与面值x（元）之间满足一次函数关系，其图象经过原点和点A，如图所示，小张购买了该超市的一张面值是1000元的消费卡．使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． (1)求小张购买这张消费卡实际花费的钱数为多少元； (2)小张使用这张消费卡在该超市购买了某种大米20公斤，超市规定这种大米使用消费卡购买，每公斤在原价的基础上还可以优惠元．设小张购买的大米原价为m元/公斤，小张购买的20公斤大米实际花费的钱数为w元，求w与m的函数关系式． 【答案】(1)小张购买这张消费卡实际花费的钱数为850元； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）设，把代入中，利用待定系数法求出对应的解析式，进而求出当时，y的值即可得到答案； （2）先求出大米实际的单价，再乘以20即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 把代入中得：， 解得， ∴， 当时，， 答：小张购买这张消费卡实际花费的钱数为850元； （2）解：由题意得，． 28．（2024·辽宁抚顺·二模）过去几年，某公司经历了重重考验，也在挑战中不断成长，2024年该公司为促进生产，提供了两种付给员工周报酬的方案，两种方案员工得到的周报酬y（元）与员工生产的件数x（件）之间的关系如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)求方案二y关于x的函数表达式； (2)如果你是该公司的员工，你该如何根据自己的生产能力选择方案． 【答案】(1)； (2)若每周生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每周生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每周生产产品件数超过30件，则选择方案一． 【分析】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确信息和掌握待定系数法是解题的关键． （1）设方案二的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据图象根据方案一和方案二的交点求解即可． 【详解】（1）设方案二的函数表达式为 由图象可得该函数的图像经过点， 把，代入，得 ，解得 方案二的函数表达式为． （2）由图像可得， 若每周生产产品件数不足30件，则选择方案二； 若每周生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种； 若每周生产产品件数超过30件，则选择方案一． 29．（2024·辽宁营口·二模）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，CD为反比例函数图象的一部分． (1)当时，请求出y关于x的函数解析式； (2)数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于32？并说明理由． 【答案】(1) (2)经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，注意力指标数不低于32 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）分别求出注意力指数为32时的两个时间，再将两时间之差与23比较，大于23则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：由题意可知：， 点的坐标为， 设反比例函数解析式为， 将代入，得：， 解得， 反比例函数解析式为， 将代入，得， 点D的坐标为， 点A的坐标为， 设时，求与的函数关系式为， 由图可得点B的坐标为， 将，代入，得， 解得， 与的函数关系式为； （2）当时，解得， ，解得． 经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，注意力指标数不低于32． 30．（2024·辽宁大连·二模）如图，某人在两部手机电量为时开始充电，甲手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是线段．乙手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是折线． (1)当甲手机电量充至时，所需时间为多少？ (2)求甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式是解题的关键． （1）待定系数法求的解析式为，当时，，可求，然后作答即可； （2）待定系数法求的解析式为；将代入，可求；将代入，可求；根据，计算求解即可． 【详解】（1）解 ：设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的解析式为， 当时，， 解得，， ∴甲手机电量充至时，所需时间为； （2）解：设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的解析式为； 将代入得，， 解得，； 将代入得，， 解得，； ∵， ∴甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差为． 31．（2024·辽宁鞍山·二模）某学习小组同学在数学活动课上研究函数（，b为常数且）的图象性质及应用，请你解答同学们在活动中提出的以下问题： (1)若，，判断点是否在函数图象上，并说明理由？ (2)函数图象有最低点，请直接写出m与n的大小关系； (3)在（2）的条件下，函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若为等边三角形，且的面积为求函数的值． 【答案】(1)点在的图象上，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知，求出函数解析式，将点代入函数即可证明； （2）根据一次函数的性质即可解答； （3）根据题意，求出，由是等边三角形，利用正切的定义求出，再根据的面积求出，进而得到，代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：点在的图象上 ， 解得： 当时， 点在的图象上； （2）解：， 互为相反数， 当时，则， 此时，随x的增大而增大，，随x的增大而减小， 函数在处取到最小值； 当时，则， 此时，随x的增大而减小，，随x的增大而增大， 函数没有最小值； 当，函数，函数图象是一条平行于x轴的直线，没有最小值； 综上，时，函数有最小值； （3）解：当时， 则时，，时，， 互为相反数， ， 是等边三角形 在中 ， ， ． 【点睛】本题考查了一函数的性质，坐标与图形，解直角三角形，等边三角形的性质，理解题意，利用数形结合的思想是解题的关键． 32．（2024·辽宁辽阳·二模）“让农业成为有奔头的产业，让农民成为有吸引力的职业，让农村成为安居乐业的家园．”习近平总书记的话语寄托着对乡村振兴的殷切期望．某驻村干部指导农户进行奶油草莓种植和直播电商销售，通过直播电商销售将当地种植的奶油草莓销往全国各地，从而增加农民收入，助力乡村振兴．已知奶油草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，某天奶油草莓的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足的函数图象如图所示． (1)根据图象信息，求与的函数关系式； (2)求这一天销售奶油草莓获得的最大利润． 【答案】(1) (2)3840元 【分析】本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值． （1）分为和求解析式； （2）根据“利润（售价成本）销售量”列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大利润． 【详解】（1）解：当时，设， 则，解得：， 当时，， 当时，， ． （2）设利润为，则： 当时，， 开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 时，， 当时，， 随的增大而增大， 时，， ， 最大利润为3840元． 33．（2024·辽宁本溪·二模）某商户在线上投资销售A，B两种商品．已知销售A种商品可获得的月利润（万元）是该商品投资金额的40%，销售B种商品可获得的月利润（万元）与该商品投资金额x（万元）满足函数关系（其图象如图所示）． (1)求销售A种商品的月利润（万元）与该商品的投资金额x（万元）的函数关系式，并在图中画出其图象． (2)若只选择其中一种商品投资销售，根据函数图象求销售哪种商品获得的月利润更高？ (3)若该商户共投资10万元同时销售A，B两种商品，要获得月总利润最大，应怎样分配投资金额？并求出最大月总利润． 【答案】(1)；图象见解析 (2)当时，选择B种商品；当时，选A、B 均可；当时，选择A种商品 (3)投资销售B商品为3万元，A商品为7万元，月总利润为4.9万元 【分析】（1）由题意知，，然后作图象即可； （2）令，则，解得，，可知当时，两种产品的月利润相同，观察图象，比较的大小，然后作答即可； （3）设投资销售B商品为万元，A商品为万元，月总利润为，由题意知，，根据二次函数的性质求最大时的值，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知， ∴函数关系式为； 图象如下： （2）解：令，则 解得， ∴当时，两种产品的月利润相同； 由图象可知，当时，，此时销售种商品月利润更高； 当时，，此时销售种商品月利润更高； ∴当时，选择种商品；当时，均可；当时，选择种商品． （3）解：设投资销售B商品为万元，A商品为万元，月总利润为 由题意知， ∵ ∴时，最大，值为4.9万元 ∴应投资销售B商品为3万元，则A商品为7万元，月总利润为4.9万元． 【点睛】本题考查了一次函数解析式与图象，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数最值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型六 二次函数综合应用 34．（2024·辽宁抚顺·二模）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为，落在x轴上的点C处．      (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米）                                                                       请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【答案】(1) (2)小强的得分是90分 (3)危险，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用．若二次函数中有顶点坐标，设二次函数的解析式为顶点式，求解析式比较简便． （1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把的坐标代入可得二次函数的比例系数，进而可得二次函数的解析式； （2）取函数值为0，看球落地时的值为多少，根据点的位置，取正值即为球抛出去的距少，根据所给表格可判断应得分数； （3）取，代入（1）中所得的函数解析式，时的值是否大于即可判断是否危险． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点B的坐标为， 设该抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ， ， 抛物线的解析式为． （2）当时，， 解得，， 点C在x轴的正半轴， （舍去）， ， ， 小强的得分是90分． （3）危险 理由如下：当时，， ， 该小朋友有危险． 35．（2024·辽宁大连·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，抛物线上点A，B的坐标分别为，． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求m的取值范围； (3)过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，直线，交点为C，以为边作矩形． ①求； ②线段与x轴相交于点E，以为边作矩形，使矩形在x轴同侧，且．当矩形与矩形重合部分图形的面积是矩形面积的时，求m的值． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)或； (3)①；②m的值为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线与轴的交点坐标为和，再分①当时，；②当时，，两种情况讨论，据此求解即可； （3）①当点在第一象限，点在第四象限时，求得，，据此求解即可；当点在第四象限，点在第一象限时，同理可解； ②当点在第一象限，点在第四象限时，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，列式计算即可求解；当点在第四象限，点在第一象限时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴当时，； 当或时，； ①∵，，， ∴当时，，此时， ∴， ∵， ∴点在第四象限，即， ∴， ∴； ②当时，， 当点在第三象限，， ∴， ∴此时点在第四象限，即， ∴，不符合题意，舍去； 当点在第四象限，， ∴， ∵， ∴点在第一象限，即， 解得， ∴； 综上，或； （3）解：①∵点，在抛物线上， ∴，， 如图，当点在第一象限，点在第四象限时， ，， ∴； 如图，当点在第四象限，点在第一象限时， ，， ∴； ②中，， 设，， ∴， ∴， 如图，当点在第一象限，点在第四象限时， ， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）； 如图，当点在第四象限，点在第一象限时， 同理可知， 此时， ∴， 解得（舍去），． 综上，m的值为或． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、矩形的性质、线段的中点坐标的表示方法、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 36．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，二次函数图像与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为P，轴，垂足为Q，点C为中点，则直线叫做二次函数的“截中线”． 已知，二次函数的“截中线”与二次函数图象的另一个交点为D，连接，且顶点P在第一象限，； (1)当时； ①若直线的解析式为，求二次函数的解析式； ②求证：是等腰三角形； (2)当时，连接，若为直角三角形，且，求c与a之间的数量关系． 【答案】(1)①；②见解析 (2)为直角三角形时，c与a之间的数量关系为或 【分析】（1）①根据题意得，即可得到抛物线的对称轴为直线，进而求出点C的坐标，得到，即可得到，即，代入抛物线解析式求出a的值即可；②过点D作，垂足为， （2）根据题意设，得到，在直线上取点E，使得，过点作交于点F，推出，利用正切的定义得到，求出，将代入，易证点在二次函数的图象上，推出点E与点D重合，分，和，两种情况讨论即可． 【详解】（1）①解：由题意得：， 抛物线的对称轴为直线， 点C，点P横坐标为1， 当时，， ， ， 点为的中点， ， ， 点P在抛物线上， ， ， ； ②证明：过点D作，垂足为， 当时，， ， 为的中点， ， 当时，，即， 解得：， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立，即， ， 解得：， 当时，， ，， 等腰三角形； （2）解：， ， 设， 二次函数的解析式为 当时， ， ， 在直线上取点E，使得，过点作交于点F， ， ，轴 在和中 将代入，即 点在二次函数的图象上 点E与点D重合 当时， 在和中 ， 当时， 在中 ， 综上，为直角三角形时，c与a之间的数量关系为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图像上点的特征及二次函数图像上点的坐标的特征，二次函数与特殊三角形的综合应用，解直角三角形，熟练掌握分类讨论的思想是解决本题的关键． 37．（2024·辽宁营口·二模）新定义：我们把抛物线与抛物线（其中）称为“伴随抛物线”．例如：抛物线的“伴随抛物线”为．已知抛物线的“伴随抛物线”为． (1)求出的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； (2)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，于点M，N．当时，求点P的坐标； (3)当时，的最大值与最小值的差为，求a的值． 【答案】(1)； (2)或 (3)的值为或 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及新定义，二次函数的图象及性质； （1）根据“伴随抛物线”定义求抛物线的函数表达式和顶点坐标即可； （2）设点，则，，根据列方程求解即可； （3）分别求出顶点、、时函数值，再根据对称轴与的位置分类讨论，确定最大值和最小值，最后列方程求解即可． 【详解】（1）根据“伴随抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式； ， 顶点坐标为； （2）设点，因为，， ，，， ， 或， 当时，判别式， 方程无解； 当时，解得，， 或； （3）， 对称轴为，当时，． 当时，； 当时，； 根据题意可知，需要分三种情况讨论： I．当，即时， 若，即， 则；， ， 解得或（舍）或（舍）； 若，即时， ；， ， 解得或（舍）或（舍）； II．当，即时， ；． ， 解得（舍）或（舍）； III．当，即时，， ， 解得（舍去）或（舍去）， 综上所述，的值为或． 38．（2024·辽宁葫芦岛·二模）【提出问题】 小星学习二次函数后，查阅资料发现其中一个抛物线形门洞，门洞内的地面宽度为两侧距地面高处各有一盏灯．两灯间的水平距离为，未发现水泥门洞高度．他想知道这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米． 【分析问题】 数形结合思想是解决问题的重要思想．小星想到建立适当的平面直角坐标系．通过数据求出二次函数的表达式．利用表达式可以求得这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米． 【解决问题】 (1)小星根据二次函数图象的性质建立了如图所示的平面直角坐标系． ①求出抛物线的函数表达式； ②这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米？ (2)小星学习小组的小红发现，如果她家遥控飞机模型（如图）能飞过此门洞是非常有趣的一件事，飞机的机翼长（是指左右两侧翼尖之间的总长度）为，为保障飞行安全．飞机水平飞行时高度必须控制在多少米以下？ (3)为了造型更加美观，小星决定改造一下门洞，重新设计抛物线，其表达式为当时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围． 【答案】(1)①；②9米 (2)米以下 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）①由抛物线的对称性可知对称轴为y轴，点，设这条抛物线的解析式为，根据待定系数法即可求解； ②将代入中，求出值，即可求解； （2）由对称性可知机翼一侧的长为米，将代入中，求出值，即可求解； （3）由题意得，新抛物线的对称轴为直线，根据抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大，反之抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的y值越小．分情况讨论：①当时， ②当时，分别求解即可； 【详解】（1）①由抛物线的对称性可知对称轴为y轴，点， 设这条抛物线的解析式为， 将B，D代入得， 解得， 设这条抛物线的解析式为； ②将代入中，， 答：这个门洞内部顶端离底面的距离为9米． （2）由对称性可知机翼一侧的长为米， 所以将代入中，， 答：飞机飞行时高度必须控制在米以下． （3）由题意得，新抛物线的对称轴为直线， ，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大，反之抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的y值越小． 分情况讨论： ①当时，y的最小值在处取得，最小值为， 由题意，得，解得， ∴b的取值范围为， ②当时， y的最小值在处取得，最小值为， 由题意，得， 解得， ∴b的取值范围为， 综上所述，或， ∴b的取值范围为：． 39．（2024·辽宁沈阳·二模）【问题情境】 如图，正方形，点是边上一动点，点由点运动到点，动点在边上，且，连接，以为一边，在正方形内部作等边，连接，设的长为，的面积为． 【初步感知】 （）经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象，其顶点坐标是，请根据图象信息，求关于的函数表达式； 【延伸探究】 （）当的周长为时，求线段的长度； （）当是以为底的等腰三角形时， 小智同学根据学习函数的经验，想尝试结合函数相关知识求线段的长度． 根据点在上的不同位置，通过画图软件画出相应的图形，并测量线段的长度（同一单位），得到下表的几组对应的近似值： 将线段的长度作为自变量，和的长度分别为，，发现，都是的函数，在平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，请结合表格和图象信息，当是以为底的等腰三角形时，直接写出线段的长度；（结果精确到） 因为的方法得到的是线段长度的近似值，所以小慧同学还想求出线段长度的准确值，请你帮助小慧同学求出线段长度的准确值． 【答案】（）；（）或；（）；． 【分析】（）用顶点式假设函数的解析式，利用待定系数法解答即可求解； （）由图可知正方形的边长为，得，再利用等边三角形的性质得，根据勾股定理得，即，解方程即可求解； （）由图可知，有两个交点，可排除当时，；又根据图象知在之间两图象还有一个交点，由表可知，当时，，，据此即可由求解； 以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得，，，，过交的延长线于点，作轴于点，由等边三角形的性质可得，进而得为的中点，利用三角函数得，再证明，得到，可得，，即得，得到，利用中点坐标公式得，得到，又可得，根据构建方程，解方程即可求解． 【详解】解：（）设， ∵抛物线经过， ∴， 解得， ∴； （）∵，由图可知正方形的边长为， ∴， ∵的周长为，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴的长为或； （）由图可知，有两个交点， 当时，，但不存在，故此种情况不符，舍去； 在之间两图象还有一个交点， 由表可知，当时，，， ∴时，的长度为； 以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 过交的延长线于点，作轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 即， ∴， ∵， 又∵， ∴， 整理得， ∴或， ∴（不合，舍去），， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形三角形，勾股定理，坐标与图形，正确作出辅助线及看懂函数图象是解题的关键． 40．（2024·辽宁沈阳和平区·二模）【发现问题】 小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】 小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】 小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】 (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离； (3)小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，二次函数的图形及性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数以及二次函数的图形及性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可得解； （2）令得，解方程即可得解； （3）利用待定系数法先求得第二次弹起的抛物线，再求出时对应自变量的值即可求解． 【详解】（1）解：乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为，过点， 设． 代入，， 解得， ， （2）解：令，则 解得，（舍） ，乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离为． （3）解：乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为， 设． 代入， ． 解得，（舍） ． 当时，， 解得， 木板到斜坡底端的距离为的长度，当时，小强确保获胜． 41．（2024·辽宁大连沙河口·二模）定义：一般地，如果函数的图象经过点，（、），那么我们称函数为卡尔达诺函数，这对点叫做函数的一对最佳偏移点． (1)当对于函数，，时． ①求证：若为卡尔达诺函数，则； ②设函数为卡尔达诺函数，（）也为卡尔达诺函数，且、恒存在相同的一对最佳偏移点，求函数的函数解析式． (2)已知卡尔达诺函数的一个最佳偏移点为． ①当时，该函数的最大值与最小值之差为，求的值； ②已知点，，，当与的图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①见解析；② (2)①或或；② 【分析】（1）①设一对最佳偏移点为和，代入证明即可；②由①得，则函数，设、相同的一对最佳偏移点为和，分别代入和（），计算求出的值，即可得出函数的函数解析式； （2）①分“当”和“”两大类讨论，结合二次函数最值的情况，“”可细分“若”，“若”，“若”，结合函数的最大值与最小值之差为，多种情况讨论，最后得出答案即可；②求出当的图象经过点时，的值，结合函数图象，分析的不同取值范围，与的图象的公共点情况，得出答案即可． 【详解】（1）解：①∵为卡尔达诺函数， ∴设一对最佳偏移点为和， ∴， 得：， ∴； ②∵函数为卡尔达诺函数，（）也为卡尔达诺函数，且、恒存在相同的一对最佳偏移点， 由①得：， ∴函数，设、相同的一对最佳偏移点为和， ∴把代入，得：， 把和代入（），得：， ∴得：，即， ∴， ∴函数的函数解析式为； （2）解：①∵卡尔达诺函数的一个最佳偏移点为，当时，该函数的最大值与最小值之差为， ∵对称轴是，，另一个最佳偏移点为，， ∴，， ∴把代入得：， ∴，则， ∴， 时，， 当时，则， ∴当时，“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∵函数的最大值与最小值之差为， ∴，整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或； 当时，则， 若，即时，则“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∴，整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，则， 若，即时，则“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∴，整理得：， ∴， 解得：（舍去）或； 当时，则， 若，即时，则“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或（舍去）． 综上所述，的值为或或； ②∵由①得：， ∴当的图象经过点时，， 整理得：， ， ， ∴， 解得：，， 如图，当时，与的图象没有公共点， ； 如图，当时，与的图象有一个公共点， ； 如图，当时，与的图象有两个公共点， ； 如图，当时，与的图象有一个公共点， ； 如图，当时，与的图象没有公共点， ； 综上所述，当与的图象有两个公共点时，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、新定义的理解、二次函数最值的讨论，熟练掌握知识点推理证明、分类讨论、数形结合是解题的关键． 42．（2024·辽宁丹东·二模）如图1，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图2，将沿直线平移得到． ①当点落在抛物线上时，求点的坐标． ②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)①点的坐标为或；②点的坐标为或或或 【分析】（1）抛物线的表达式为：，即，解方程即可得到答案； （2）①将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；②根据题意，分为直角、为直角、为直角三种情况，由勾股定理分别列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线解析式为， 则，即， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：令，则，解得或，故点， 函数的对称轴为，故点； 设直线的表达式为：， 将点、的坐标代入得，解得， 直线的表达式为， 设点， ∵，则点， ①将点的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故点的坐标为或； ②点，点的坐标分别为、，则，，， 当为直角时，由勾股定理得，解得或， 故点的坐标为或； 当为直角时，由勾股定理得，解得， 故点的坐标为； 当为直角时，由勾股定理得，解得， 故点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定二次函数表达式、待定系数法确定一次函数表达式、勾股定理的运用等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏，熟练掌握二次函数图象与性质及二次函数综合问题解法是解决问题的关键． 43．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，已知矩形的顶点A在y轴上，顶点B的坐标是，抛物线（m是常数）的顶点是P． (1)求点P的坐标；（用含m的代数式表示） (2)若抛物线经过点A，则抛物线是否与线段有另一个交点E．若有，求出的正切值；若没有，请说明理由； (3)若抛物线被矩形所截，其在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)有， (3) 【分析】（1）先配成顶点式，利用性质求解即可； （2）利用抛物线经过点求得，，再分情况求解即可； （3）先求得抛物线经过点时，的值，画出相应的图象，利用数形结合的思想求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴顶点的坐标为； （2）解：∵矩形的顶点在轴上，且点的坐标是， ∴轴．点的坐标是． ∵抛物线经过点， ∴． 解得，， ①当时，抛物线的对称轴为直线， 根据对称性点关于对称轴对称的点为， ∴抛物线与线段没有另一个交点， ②当时，抛物线的对称轴为直线， 根据对称性点关于对称轴对称的点为， ∴抛物线与线段的另一个交点为； 当时，， 如图，过点作于点，连接， ，， ∴； （3）解：由（1）知顶点的坐标为， ∴抛物线的顶点在直线上． 由（2）可得抛物线经过点时，， 当抛物线经过点时，． 解得，． 在抛物线沿直线从左到右的运动中，其图象经历从图2到图5的过程，由图可知当时，抛物线被矩形所截，其在矩形内部的图象所对应的函数值随的增大而增大． 【点睛】本题是二次函数的综合运用，考查了求二次函数的对称轴，二次函数性质，二次函数的求值，求正切的函数值等知识，解决问题的关键是数形结合，理解题意． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$