精品解析：2024年云南省昆明市五华区九年级中考模拟数学试题

2023-2024学年下学期学业质量监测 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己收好，以便讲评． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 九年级（1）班期末考试数学的平均成绩是80分，小亮得了90分，记作分，如果小明的成绩记作分，那么他得了（ ） A. 95分 B. 90分 C. 85分 D. 75分 2. 苏步青是中国著名的数学家，被誉为“数学之王”，为纪念其贡献，国际上将一颗距地球约218000000千米的小行星命名为“苏步青星”，将218000000用科学记数法表示为的形式（其中，n是正整数），则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 用4个高和直径相同的圆柱体组成如图所示的立体图形，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 能使下列某个式子有意义，这个式子是（ ） A. B. C. D. 6. 数学活动课上，李老师给出一组按一定规律排列的数：2，，8，，32，…，第n个数是（ ） A. B. C. D. 7. 卷云纹是我国独特传统装饰纹样，古代玉璧上的卷云纹纹饰优雅，寓意美好，下列四个选项中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知直线，点C，A分别在直线上，以点C为圆心、长为半径画弧，交直线于点B，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 2024年4月23日，第三届全民阅读大会在昆明开幕，以“共建书香社会，共享现代文明”为主题，持续深化全民阅读活动，进一步涵育爱读书、读好书、善读书的社会风尚．经统计，某班学生每天的阅读时间（单位：分钟）如下表： 阅读时间/分钟 50 60 70 80 90 人数 5 15 10 6 5 该班学生每天阅读时间的众数和中位数分别是（ ） A. 60，60 B. 60，70 C. 70，65 D. 70，75 10. 如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角，闸机的通道宽度为（ ） A. B. C. D. 11. 如图是根据甲、乙两名同学五次数学测试成绩绘制的折线统计图．比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（ ） A. 甲同学成绩的平均分高，方差大 B. 甲同学成绩的平均分高，方差小 C. 乙同学成绩的平均分高，方差大 D. 乙同学成绩的平均分高，方差小 12. 如图， △内接于⊙O,是⊙O的直径，∠.则∠的度数是 （ 　） A. B. C. D. 13. 已知，估计c的值所在的范围是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，，是的两条中线，连接．若，则阴影部分的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 15. 如图，一个棱长为15的正方体木块，从它的八个顶点处依次截去棱长分别为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，最后得到的几何体的表面积是（ ） A B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：=______． 17. 如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角为，则n的值是______． 18. 下表是几组y与x的对应值，则y关于x的函数解析式为______． x … 1 2 3 … y … 3 4.5 9 … 19. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，高为，则该吊灯外罩的侧面积是______．（结果保留） 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，AD⊥AE，AB⊥AC，AD＝AE，AB＝AC.求证：△ABD≌△ACE． 22. 某校开设智能机器人编程的活动课，购买了两种型号的机器人模型．型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用2800元购买型机器人模型和用2000元购买型机器人模型的数量相同．型、型机器人模型的单价分别是多少元？ 23. 每年4月至5月，昆明的蓝花楹陆续盛开．一条条平日里不起眼的街道在披上了蓝紫色的轻纱后摇身一变，成了大家纷纷前往打卡的“网红”路．游客小迅从住宿的A地出发，要先经B地再到“网红”路C地游览．如图，从A地到B地共有三条路线，长度分别为，，，从B地到C地共有两条路线，长度分别为，． （1）小迅从A地到B地所走路线长为概率为______； （2）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求小迅从A地经B地再到C地所走路线总长度为的概率． 24. 为调动实习员工工作的积极性，某公司出台了两种工资方案，实习员工任选其中一种方案与公司签订合同．方案一：月工资y（单位：元）与生产的产品数量x（单位：件）的函数关系如图所示；方案二：每生产一件产品可得25元． （1）选择了工资方案一的实习员工甲，第一个月生产了60件产品，他该月得到的工资是多少元？ （2）某月实习员工乙发现，他选择方案一比选择方案二月工资多450元，求乙员工该月生产产品数量． 25. 如图，菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 26. 如图，内接于，过点C作射线，使得，与的延长线交于点P，D是的中点，与交于点E． （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，求证：． 27. 如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点就是一个定点．对于一次函数（是常数，），由于，当即时，无论为何值，一定等于，我们就说直线一定经过定点．设抛物线（是常数，）经过的定点为点，顶点为点． （1）抛物线经过的定点的坐标是______； （2）是否存在实数，使顶点在轴上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，在的图像上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短．求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年下学期学业质量监测 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己收好，以便讲评． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 九年级（1）班期末考试数学的平均成绩是80分，小亮得了90分，记作分，如果小明的成绩记作分，那么他得了（ ） A. 95分 B. 90分 C. 85分 D. 75分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法，整数和负数的定义，解题的关键是掌握正数和负数表示具有相反意义的量，以及有理数的加法法则．根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：（分）， 故选：D． 2. 苏步青是中国著名的数学家，被誉为“数学之王”，为纪念其贡献，国际上将一颗距地球约218000000千米的小行星命名为“苏步青星”，将218000000用科学记数法表示为的形式（其中，n是正整数），则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，计算求值即可； 【详解】解： ， ∴n的值为8， 故选：C． 3. 用4个高和直径相同的圆柱体组成如图所示的立体图形，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看，是一行三个圆． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，关键是找准俯视图所看的方向． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、完全平方公式的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行准确地计算．运用合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、完全平方公式进行逐一计算辨别． 【详解】解：， 选项A符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C不符合题意； 和不是同类项，不能合并， 选项D不符合题意， 故选：A． 5. 能使下列某个式子有意义，这个式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：根号下的数大于等于零，是解题的关键，根据二次根式有意义的条件逐一判断即可得到答案． 【详解】A、有意义的条件是，且，则，能使式子有意义，故此选项符合题意； B、有意义的条件是，则，不能使式子有意义，故此选项不符合题意； C、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意； D、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意； 故选：A． 6. 数学活动课上，李老师给出一组按一定规律排列的数：2，，8，，32，…，第n个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出各数之间的变化规律是解题的关键．从题目中找出各数之间的变化规律，尤其要关注各数的符号，即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知： 一组按一定规律排列的数：2，，8，，32，， 第个数是：， 故选：D 7. 卷云纹是我国独特的传统装饰纹样，古代玉璧上的卷云纹纹饰优雅，寓意美好，下列四个选项中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，已知直线，点C，A分别在直线上，以点C为圆心、长为半径画弧，交直线于点B，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和平行线的性质，由题可知，结合等腰三角形的性质得，由，可求得，再结合平行线的性质即可求解． 【详解】解：由题可知， ， ， ， ， ， 故选：B． 9. 2024年4月23日，第三届全民阅读大会在昆明开幕，以“共建书香社会，共享现代文明”为主题，持续深化全民阅读活动，进一步涵育爱读书、读好书、善读书的社会风尚．经统计，某班学生每天的阅读时间（单位：分钟）如下表： 阅读时间/分钟 50 60 70 80 90 人数 5 15 10 6 5 该班学生每天阅读时间的众数和中位数分别是（ ） A. 60，60 B. 60，70 C. 70，65 D. 70，75 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”和中位数的定义“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，熟记定义是解题关键．根据众数和中位数的定义求解即可得． 【详解】解：在该班学生每天阅读时间中，60出现的次数最多， 所以该班学生每天阅读时间的众数是60， 因为将该班学生每天阅读时间按从小到大排序后，第21个数即为中位数， 所以该班学生每天阅读时间的中位数是70， 故选：B． 10. 如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角，闸机的通道宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到闸机的通道宽度． 【详解】解：如图所示过作于，过作于， 则中，，， ， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 闸机的通道宽度为， 故选：B． 11. 如图是根据甲、乙两名同学五次数学测试成绩绘制的折线统计图．比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（ ） A. 甲同学成绩的平均分高，方差大 B. 甲同学成绩的平均分高，方差小 C. 乙同学成绩的平均分高，方差大 D. 乙同学成绩的平均分高，方差小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均数、方差的计算方法，从统计图中获取数据，是正确计算的前提．分别求出甲、乙的平均数、方差，比较得出答案． 【详解】解：乙同学的平均分是：， 甲同学的平均分是：， 因此乙的平均数较高； ， 乙的方差大，不稳定，甲的方差小，比较稳定； 故选：C 12. 如图， △内接于⊙O,是⊙O的直径，∠.则∠的度数是 （ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先连接BD，由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠CBD的度数，继而求得∠D的度数，然后由圆周角定理，求得∠A的度数． 详解】连接BD， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CBD＝90°， ∵∠BCD＝54°， ∴∠D＝90°−∠BCD＝36°， ∴∠A＝∠D＝36°． 故选A． 【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 13. 已知，估计c的值所在的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．先估算的大小，然后根据不等式性质估算的大小，从而得到答案即可． 【详解】解：，即， ， ， 的值所在的范围是：， 故选：A 14. 如图，，是的两条中线，连接．若，则阴影部分的面积是（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可． 【详解】解：是的中线，， ， 是的中点， ， 故选：B 15. 如图，一个棱长为15的正方体木块，从它的八个顶点处依次截去棱长分别为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，最后得到的几何体的表面积是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了截一个几何体的知识，此题解答的关键在于注意考虑当截取的棱长为8和7的小正方体相邻时，剩下部分的表面积最少．一般情况下，正方体八个顶点截取小正方体，表面积不会变．但当截取的棱长为8和7的小正方体相邻时，表面积就会有变化，少掉2个边长为7的正方形的面积．至于其它6个顶点不可能割穿，所以不用考虑． 【详解】解：如题图，一个棱长为15的正方体木块，从它的八个顶点处依次截去棱长分别为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体， 一般情况下，正方体八个顶点截取小正方体，表面积不会变，最后得到的几何体的表面积是； 或当截取的棱长为8和7的小正方体相邻时，表面积就会有变化，少掉2个边长为7的正方形的面积，最后得到的几何体的表面积是． 故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：=______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式＝． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 17. 如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角为，则n的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义及性质和外角和．先根据题意画出图形，再根据已知条件求出和的度数，然后根据正多边形的性质和外角和，求出正多边形的边数即可． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ， ， 正多边形每个外角都相等， ， 正多边形的外角和为， 它的边数为：， 的值为5， 故答案为：5． 18. 下表是几组y与x的对应值，则y关于x的函数解析式为______． x … 1 2 3 … y … 3 4.5 9 … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是从表格中发现与的规律关系．观察表格得，，可得关于的函数解析式． 【详解】解：观察表格得，， ， 故答案为：． 19. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，高为，则该吊灯外罩的侧面积是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥母线长，以及扇形面积公式． 先求出底面半径，再求出圆锥的母线长，最后根据扇形，即可解答． 【详解】解：∵该圆锥底面周长为， ∴该圆锥底面半径为， 根据勾股定理可得：该圆锥母线， ∴该吊灯外罩的侧面积， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角度锐角三角函数的混合运算．先将零次幂，算术平方根，特殊角度锐角三角函数，负整数幂，绝对值化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 21. 如图，AD⊥AE，AB⊥AC，AD＝AE，AB＝AC.求证：△ABD≌△ACE． 【答案】证明见解析 【解析】 详解】证明：∵AD⊥AE，AB⊥AC， ∴∠CAB＝∠DAE＝90°. ∴∠CAB＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE. △ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． 22. 某校开设智能机器人编程的活动课，购买了两种型号的机器人模型．型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用2800元购买型机器人模型和用2000元购买型机器人模型的数量相同．型、型机器人模型的单价分别是多少元？ 【答案】型机器人模型的单价是700元，型机器人模型的单价是500元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，根据用2800元购买型机器人模型和用2000元购买型机器人模型的数量相同建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：型机器人模型的单价是700元，型机器人模型的单价是500元． 23. 每年4月至5月，昆明的蓝花楹陆续盛开．一条条平日里不起眼的街道在披上了蓝紫色的轻纱后摇身一变，成了大家纷纷前往打卡的“网红”路．游客小迅从住宿的A地出发，要先经B地再到“网红”路C地游览．如图，从A地到B地共有三条路线，长度分别为，，，从B地到C地共有两条路线，长度分别为，． （1）小迅从A地到B地所走路线长为的概率为______； （2）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求小迅从A地经B地再到C地所走路线总长度为的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小安从地到地所走路线总长度为的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 由题意得，小迅从地到地所走路线长为的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小讯从地到地所走路线总长度为的结果有：，，，共3种， 小迅从地到地所走路线总长度为的概率为． 24. 为调动实习员工工作的积极性，某公司出台了两种工资方案，实习员工任选其中一种方案与公司签订合同．方案一：月工资y（单位：元）与生产的产品数量x（单位：件）的函数关系如图所示；方案二：每生产一件产品可得25元． （1）选择了工资方案一的实习员工甲，第一个月生产了60件产品，他该月得到的工资是多少元？ （2）某月实习员工乙发现，他选择方案一比选择方案二月工资多450元，求乙员工该月生产产品的数量． 【答案】（1）1800元 （2）70个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确求出解析式是解题关键． （1）由待定系数法求出方案一中，当时，月工资y(元)与生产产品(件)的关系式为，根据代入即可解决问题； （2）根据选择方案一比选择方案二月工资多450元，列出一元一次方程，解方程即可 【小问1详解】 设当时，月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为， 由图象知点，， 代入得：， 解得：， 月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为， 当时 ， 答：他该月得到的工资是1800元． 【小问2详解】 解：由题意可知，当时，不满足题意； 当时，， 解得：， 所以该实习员工生产产品的件数为70件． 25. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质和勾股定理： （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等；熟练掌握以上知识是解题的关键． 26. 如图，内接于，过点C作射线，使得，与的延长线交于点P，D是的中点，与交于点E． （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，求证：． 【答案】（1）直线与相切．理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定定理，添加恰当的辅助线是解题的关键． （1）连接并延长，交于点，连接，利用圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质得到，延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，再利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 解：直线与相切． 证明：连接并延长，交于点，连接，如图， 则为的直径， ， ， ， ． ， ， ， ． 为的直径， 直线与相切； 【小问2详解】 证明：，， ， ， ． ， ， ． 延长至点，使，连接，如图， D是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 27. 如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点就是一个定点．对于一次函数（是常数，），由于，当即时，无论为何值，一定等于，我们就说直线一定经过定点．设抛物线（是常数，）经过的定点为点，顶点为点． （1）抛物线经过的定点的坐标是______； （2）是否存在实数，使顶点在轴上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，在的图像上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短．求的取值范围． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，含参数的二次函数问题的求解等知识点，结合二次函数的图像探究函数图像经过的定点以及定点对函数自变量取值范围是解题的关键． （）将抛物线的解析式进行整理得，可得“定点”的坐标为； （）根据判断即可； （）先求出，再根据的图像上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，得点、、三点共线，从而根据当过点和过点，即可求解的取值范围为． ． 【小问1详解】 解：， 当，即时，， ∴无论为何值一定等于， ∴抛物线一定过定点． ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：不存在，理由如下： ∵抛物线的顶点在轴上， ∴， ∴不存在实数，使顶点在轴上， 【小问3详解】 解：∵当时，， ∴， ∵，在的图像上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短， ∴点、、三点共线， ∵在直线上， ∴当过点时得， ， 解得， 当过点时得， ， 解得， ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$