精品解析：江西吉安市青原区2025-2026学年第二学期七年级数学期末测试

青原区2025－2026学年第二学期期末检测卷 七年级数学试卷 说明：1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，否则不给分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 光年是天文学中的距离单位，光年大约是，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 太阳从西边升起 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C. 通过路口时遇到红灯 D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级 4. 如图，在图（1）所示的边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形，在将其裁剪后拼成图（2）所示的平行四边形，通过计算两个图形阴影部分的面积，可以得到（ ） A. B. C. D. 5. 空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程s（单位：里）关于行走时间t（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①劣马比良马早出发12日；②点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马；③良马的速度比劣马的速度快80里/日．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知 ，，则=______． 8. 掷一枚质地均匀的骰子，掷到的点数大于4的概率是_____________． 9. 如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，若的周长为2，则的长是________．     10. 自行车的链条是由若干节链条连接而成，将其展直后链条的总长度随着链条节数（节）的变化而变化，如图，某品牌自行车每节链条的长度为，链条交叉重叠部分的圆的直径为，则与（为正整数）之间的关系式是___________． 11. 把整数代入得到，称为第一次操作，再将作为的值代入得到，称为第二次操作，以此类推，若，经过第次操作后得到的结果是_________． 12. 如图， 在中，，， 若以为一边画等腰三角形， 且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为_____________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解答题 （1）计算：； （2）如图平分，，．求的度数． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图，在中，，是边上的中点，交直线于点，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求画图． （1）在图1中，过点作边上的高； （2）在图2中，过点作的平行线． 16. 如图，在中，点D，E分别在，上，点F，G在上，与交于点O，，，试说明：． 17. 现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． （1）如果随机取出1个黑球，从  盒中抽取成功的机会大； （2）小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 【阅读材料】 整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的，有意识的整体处理的解题思路．例如：已知，求代数式的值．明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下：解：由得，，所以代数式的值为5． 【学以致用】 （1）若，求代数式的值； （2）已知当时，，求当时，代数式的值； 19. 定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”．例如：在中，，，，则为“准互余三角形”，与为“准互余角”． （1）若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数； （2）如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 20. 端午节至，景德镇市乐平举办了一年一次的赛龙舟比赛，由甲、乙两队参加，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，回答下列问题： （1）这次龙舟赛的全程是________米，________队先到达终点； （2）求甲与乙相遇时乙的速度； （3）求在乙队与甲队相遇之前，他们何时相距60米？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 问题呈现 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点A，B分别落在点，处．如果，那么是多少度？ 方法应用 （2）①如图2，将长方形分别沿，折叠，点A落在点处，点B，C分别落在上的点，处，则的度数为________． ②如图3，将长方形分别沿，折叠，使点B，C分别落在点，处，，不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分，若，求的度数． 22. 如图，，，点N、M分别在边、上，，过点A作，且点E在的延长线上． （1）证明：； （2）求证线段之间的数量关系； （3）若四边形的边长是4，求的周长． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 在三角形的几何探究中，作垂线与平行线、截取线段、延长线段是构造辅助线的三种常用方式，巧用辅助线可以转化图形条件、简化问题．现以与线段为探究载体，设置问题如下： 【初步探索】在中，点是边上一点，连接． （1）如图1，若平分，，，的面积为，求的面积； 【灵活运用】 （2）如图2，若，点在上，满足，过点作于点，交的延长线于点，若，求证：； 【拓展探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，已知，点，分别是线段，上的动点，连接、，当的最小值是时，直接写出线段的长．（用含，的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青原区2025－2026学年第二学期期末检测卷 七年级数学试卷 说明：1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，否则不给分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】选项，是轴对称图形． 选项，不是轴对称图形． 选项，是轴对称图形． 选项，是轴对称图形． 2. 光年是天文学中的距离单位，光年大约是，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：∵科学记数法要求，将原数转变为时，小数点向左移动位，得到， ∴． 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 太阳从西边升起 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C. 通过路口时遇到红灯 D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级 【答案】D 【解析】 【分析】先明确必然事件的定义，必然事件是一定条件下必然会发生的事件，再对四个选项逐一判断，即可得到结果． 【详解】根据必然事件的定义，必然事件是一定条件下一定发生的事件，对各选项分析如下： 选项，太阳从西边升起，是不可能发生的事件，属于不可能事件，不符合要求； 选项，随意翻书某页，页码为奇数，可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求； 选项，通过路口遇到红灯，可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求； 选项，从两个班级选三名学生，若每个班级最多选1名学生，最多只能选出2名，因此任选三名学生时，至少有两名来自同一个班级，该事件一定发生，是必然事件． 4. 如图，在图（1）所示的边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形，在将其裁剪后拼成图（2）所示的平行四边形，通过计算两个图形阴影部分的面积，可以得到（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 图甲中阴影的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，即，图乙中平行四边形底边为，高为，即面积，两面积相等所以等式成立． 【详解】解：∵两个图中的阴影部分的面积相等，甲的面积，乙的面积， ∴． 故选D． 5. 空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线性质和三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程s（单位：里）关于行走时间t（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①劣马比良马早出发12日；②点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马；③良马的速度比劣马的速度快80里/日．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，理解题意，看懂图象，从图象上获取准确信息是解答的关键．从图象中找到两马的起始时间可判断①；根据图象的交点可判断②；求出两马的速度可判断③，进而可得答案． 【详解】解：①由图象知，劣马比良马早出发12日，正确，符合题意； ②两图象的交点坐标为，则点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马，正确，符合题意； ③良马的速度为（里/日）， 劣马的速度为（里/日）， （里/日）， ∴良马的速度比劣马的速度快90里/日，原结论错误，不符合题意， 故正确的椒①②． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知 ，，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，逆用同底数幂相乘，底数不变，指数相加．根据逆用同底数幂乘法，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 8. 掷一枚质地均匀的骰子，掷到的点数大于4的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握简单随机事件的概率的计算公式：“随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．”是解题的关键． 一枚质地均匀的骰子有六个面，分别标有1，2，3，4，5，6，其中点数大于4的面有2个，结合概率公式可得答案． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷到的点数大于4的概率是：． 故答案为：． 9. 如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，若的周长为2，则的长是________．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，，再结合的周长为2即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵的周长为2， ∴， 故答案为：． 10. 自行车的链条是由若干节链条连接而成，将其展直后链条的总长度随着链条节数（节）的变化而变化，如图，某品牌自行车每节链条的长度为，链条交叉重叠部分的圆的直径为，则与（为正整数）之间的关系式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形得到链条的长度与节数之间的关系，即可得到与之间的关系式． 【详解】解：由图形可知，一节链条的长度为， 两节链条的长度为， 三节链条的长度为， ， 节链条的长度为， 整理可得：． 11. 把整数代入得到，称为第一次操作，再将作为的值代入得到，称为第二次操作，以此类推，若，经过第次操作后得到的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先观察数字，再找出数字变化规律，最后按照规律写出数字． 【详解】解：根据题意，将代入中， ， ， ， ， ， ， 观察数据可知，从第二次开始和不断循环出现， ∵， ∴经过第次操作后得到的结果是． 12. 如图， 在中，，， 若以为一边画等腰三角形， 且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为_____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是由等边对等角求出角的度数；分别按三边两两相等进行分情况讨论． 【详解】解：当时，顶角为； 当时，，顶角为； 当时，在边上，， 顶角； 当时，在边上，顶角为； 综上所述：顶角为：或或； 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解答题 （1）计算：； （2）如图平分，，．求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别化简负指数幂、零次幂后再进行有理数加减运算； （2）先由角平分线求出度数，再利用平行线同位角相等得到的度数． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则，单项式除以单项式法则化简，然后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 15. 如图，在中，，是边上的中点，交直线于点，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求画图． （1）在图1中，过点作边上的高； （2）在图2中，过点作的平行线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的高，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接交于点O，连接，延长交于点F，由，是边上的中点，可知，又由，则，则线段即为所求； （2）延长交的延长线于点O，连接，延长交于点G，作直线，由题意可得垂直平分，得出，利用等边对等角和角度和差易证，可证明，得出，则可得，则，则直线即为所求． 【小问1详解】 解：如图①中，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图②中，直线即为所求． 16. 如图，在中，点D，E分别在，上，点F，G在上，与交于点O，，，试说明：． 【答案】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定及性质，根据平行线的判定及性质证明即可． 【详解】略 17. 现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． （1）如果随机取出1个黑球，从  盒中抽取成功的机会大； （2）小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 【答案】（1）甲 （2） 小明的说法不正确， 理由：从甲盒中随机取出1个红球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个红球的概率为：， ， 此时想取出1个红球，选甲盒中抽取成功的机会大， 小明的说法不正确． 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解题关键在于掌握概率公式． （1）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲、乙两盒中随机取出1个黑球的概率，再对概率进比较即可解题； （2）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲盒、以及数量变化后的乙盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进比较即可解题； 【小问1详解】 解：从甲盒中随机取出1个黑球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个黑球的概率为：， ， 从甲盒中抽取成功的机会大； 故答案为：甲． 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 【阅读材料】 整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的，有意识的整体处理的解题思路．例如：已知，求代数式的值．明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下：解：由得，，所以代数式的值为5． 【学以致用】 （1）若，求代数式的值； （2）已知当时，，求当时，代数式的值； 【答案】（1）11 （2） 【解析】 【分析】本题考查整体代入法求代数式的值； （1）代数式变形为，再整体代入即可； （2）把代入代数式中得，再把代入代数式并整体代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵当时，， ∴， ∴当时， 原式 ； 19. 定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”．例如：在中，，，，则为“准互余三角形”，与为“准互余角”． （1）若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数； （2）如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】（1） （2）详情见解析 【解析】 【分析】（1）由“准互余三角形”的定义得出运算求解即可； （2）由角平分线的定义得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵和是“准互余角”， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”． 20. 端午节至，景德镇市乐平举办了一年一次的赛龙舟比赛，由甲、乙两队参加，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，回答下列问题： （1）这次龙舟赛的全程是________米，________队先到达终点； （2）求甲与乙相遇时乙的速度； （3）求在乙队与甲队相遇之前，他们何时相距60米？ 【答案】（1）1000；乙 （2）米/分 （3）在比赛开始后的第分钟或第分钟时，两队相距60米． 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够正确读懂函数图象． （1）由图中所给数据信息可知，这次龙舟赛的全程是1000米，乙队先到达终点； （2）根据题意乙行驶米，用时分钟，由此即可求得此时乙的速度； （3）根据题意可知在2分钟之前和之后，各存在一次甲、乙相距60米的时刻，由此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由图中信息可知，这次龙舟赛的全程是1000米，乙队先到达终点； 故答案为：1000；乙； 【小问2详解】 解：由题意得，乙和甲相遇时，乙的速度为：米/分； 【小问3详解】 解：由图中信息和（2）可知，甲的速度为：米/分， 乙在2分钟前的速度为：米/分， 乙在2分钟之后的速度为米/分， ∴在2分钟时，甲、乙间的距离为：（米）， ∴在2分钟之前和之后，各存在一次甲、乙相距60米的时刻， 设甲、乙在相遇之前，x分钟时相距60米，由题意可得： 或， 解得：或， 即甲、乙相遇前，在比赛开始后的第分钟或第分钟时，两队相距60米． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 问题呈现 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点A，B分别落在点，处．如果，那么是多少度？ 方法应用 （2）①如图2，将长方形分别沿，折叠，点A落在点处，点B，C分别落在上的点，处，则的度数为________． ②如图3，将长方形分别沿，折叠，使点B，C分别落在点，处，，不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠可知，再根据平角的定义即可求解； （2）①由折叠可知，，再根据平角的定义即可求解； ②根据，得出，由折叠可知，则，再根据即可求解． 【详解】解：（1）由折叠可知， 因为， 所以， 所以． （2）①由折叠可知， ∵， ∴． ②因为， 所以， 由折叠可知， 所以， 所以． 22. 如图，，，点N、M分别在边、上，，过点A作，且点E在的延长线上． （1）证明：； （2）求证线段之间的数量关系； （3）若四边形的边长是4，求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）,证明见解析 （3）周长为8 【解析】 【分析】（1）借助已知等角、正方形等边长、直角条件，用证明； （2）由第一组全等得边、角相等，结合推导出，再用证，通过线段代换得到； （3）将周长拆分为，代入第二问线段关系，整体化简后转化为正方形两条边长之和求值． 【小问1详解】 解：在和中， ， 【小问2详解】 证明： ， ． 在和中， ， ． ， ，又， ； 【小问3详解】 解：由（2）得，； ， ∵正方形的边长为4， ； 即周长为8． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 在三角形的几何探究中，作垂线与平行线、截取线段、延长线段是构造辅助线的三种常用方式，巧用辅助线可以转化图形条件、简化问题．现以与线段为探究载体，设置问题如下： 【初步探索】在中，点是边上一点，连接． （1）如图1，若平分，，，的面积为，求的面积； 【灵活运用】 （2）如图2，若，点在上，满足，过点作于点，交的延长线于点，若，求证：； 【拓展探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，已知，点，分别是线段，上的动点，连接、，当的最小值是时，直接写出线段的长．（用含，的代数式表示） 【答案】（1） （2）过点作，交于点，如图所示：    ∴，， ∵，即， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据，按照三角形面积公式分别计算即可． （2）根据三角形全等对应边相等即可证明． （3）根据轴对称图形性质和等腰直角三角形计算即可． 【小问1详解】 过点作于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 理由如下： 由（2）可知， 延长交于点K，则， 再倍长至点，过点作于点Q，交于点， 由轴对称得， ∴最小，即， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $