第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式-【暑假预科讲义】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【人教A版2019】 ·模块一 一元二次不等式 ·模块二 三个“二次”的关系 ·模块三 课后作业 模块一 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【考点1 不含参的一元二次不等式的解法】 【例1.1】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二下·新疆喀什·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【变式1.1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【变式1.2】（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【考点2 含参的一元二次不等式的解法】 【例2.1】（23-24高一上·海南海口·期中）若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一上·河南南阳·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一上·河南开封·期中）关于x的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．或 【变式2.2】（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式的解集为（    ）. A． B． C．或 D．或 【考点3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3.1】（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【例3.2】（23-24高一上·新疆·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高一上·甘肃·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4.1】（23-24高一上·重庆·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高一上·山东·期中）已知不等式的解集是或，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【变式4.1】（23-24高一上·河南·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高一上·广东茂名·期中）关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 或 【考点5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5.1】（23-24高一上·青海西宁·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【例5.2】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若不等式对恒成立，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【考点6 一元二次不等式有解问题】 【例6.1】（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高一上·北京·阶段练习）若存在,有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块二 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【考点1 二次函数的图象分析与判断】 【例1.1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【例1.2】（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集为,则函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一上·江苏苏州·开学考试）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【考点2 三个“二次”关系的应用】 【例2.1】（23-24高二上·河南·阶段练习）二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【例2.2】（23-24高一·全国·课后作业）已知二次函数的对称轴为，且有两个实数根、，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式2.1】（23-24高一上·山西吕梁·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 模块三 课后作业 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 7．（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集是，关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·全国·单元测试）下列结论错误的是（ ） A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为R； B．不等式在上恒成立的条件是且； C．若关于x的不等式的解集为，则； D．不等式的解为. 10．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知关于的不等式的解集为，，，则（　　） A． B． C．的解集是 D．的解集是或 三、填空题 11．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若是假命题，则实数的取值范围为 ． 12．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为 ． 四、解答题 13．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（1）解不等式； （2）解关于的不等式. 14．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 15．（23-24高一上·江西新余·期中）设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且对任意恒成立，求的取值范围． 16．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶. (1)据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ (2)为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【人教A版2019】 ·模块一 一元二次不等式 ·模块二 三个“二次”的关系 ·模块三 课后作业 模块一 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【考点1 不含参的一元二次不等式的解法】 【例1.1】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】因为， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B. 【例1.2】（23-24高二下·新疆喀什·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】求解不等式，判断选项 【解答过程】由，则，故，故不等式的解集为. 故选：B. 【变式1.1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】将不等式化简成一元二次不等式的标准形式，即可求得结果. 【解答过程】由不等式可得， 即，可得， 因此不等式的解集是. 故选：C. 【变式1.2】（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【解题思路】把不等式的二次项系数化为正数，然后因式分解以便确定相应方程的根，从而写出不等式的解集． 【解答过程】原不等式可化为，即．∴． 故选：C． 【考点2 含参的一元二次不等式的解法】 【例2.1】（23-24高一上·海南海口·期中）若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据得到，从而写出的解集. 【解答过程】因为，所以， 所以的解集为. 故选：D. 【例2.2】（23-24高一上·河南南阳·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知可得且，将化为求解即可. 【解答过程】由于关于的不等式的解集是， 所以则有且， 所以等价于， 解得，即不等式的解集为． 故选：D. 【变式2.1】（23-24高一上·河南开封·期中）关于x的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】将原不等式化为，再分类讨论的取值情况进行求解. 【解答过程】由题意，原不等式可化为 当时，原不等式为，解得，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 故不可能的解集为或. 故选：D. 【变式2.2】（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式的解集为（    ）. A． B． C．或 D．或 【解题思路】由一元二次不等式的解法求解. 【解答过程】原不等式可化为即，而，故， 图象开口向下，故原不等式的解集为. 故选：A. 【考点3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3.1】（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据分式不等式的解法求得正确答案. 【解答过程】， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：C. 【例3.2】（23-24高一上·新疆·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由绝对值的几何意义可得. 【解答过程】 或， 由绝对值几何意义知，无解， 由，解得， 综上可得不等式的解集是. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高一上·甘肃·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将分式不等式转化成整式不等式求解即可. 【解答过程】, 即且， 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式3.2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】解绝对值不等式和分式不等式，得到解集，由真包含关系得到答案. 【解答过程】， ， 等价于，解得， 其中为的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【考点4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4.1】（23-24高一上·重庆·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】含参解一元二次不等式，分类讨论的范围确定整数解即可. 【解答过程】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去； 当时，不等式的解集为，此时若有个整数解， 此时，解集中的三个整数分别为、、，则需； 当时，不等式的解集为，此时若有个整数解， 此时，解集中的三个整数分别为、、，则需 综上：所以或， 故选：A． 【例4.2】（23-24高一上·山东·期中）已知不等式的解集是或，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【解题思路】根据不等式的解集确定不等式的形式为一元二次不等式，再利用根与系数关系求解. 【解答过程】根据不等式解集可确定，不等式为一元二次不等式，且， 令，方程两根，， 根据根与系数关系有，， 则有解得，所以. 故选：A. 【变式4.1】（23-24高一上·河南·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可. 【解答过程】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则， 因此，解得． 故选：A． 【变式4.2】（23-24高一上·广东茂名·期中）关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 或 【解题思路】根据一元二次不等式的解，即可求解. 【解答过程】由可得； 若，则不等式解集为空集； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为2、3，则； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为；所以； 综上或， 故选：A. 【考点5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5.1】（23-24高一上·青海西宁·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【解题思路】利用二次不等式恒成立问题的解法，分类讨论与即可得解. 【解答过程】因为在上恒成立， 当时，得，显然成立； 当时，要使问题成立则，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 【例5.2】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意有恒成立，则，解不等式即可. 【解答过程】已知命题“，使”是假命题， 则，都有， 得，解得. 故选：D. 【变式5.1】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解. 【解答过程】由题意，对于都有成立， ∴，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：B. 【变式5.2】（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若不等式对恒成立，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】解不等式，转化为不等式的解集为的子集可得答案. 【解答过程】解不等式得， 不等式对恒成立， ，可得，解得， 根据选项可得只有C选项符合. 故选：C. 【考点6 一元二次不等式有解问题】 【例6.1】（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【解答过程】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 【例6.2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分离参数结合二次函数的单调性求最值即可. 【解答过程】存在，使得不等式成立，等价于． 令，，当时，，所以． 故选：B. 【变式6.1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解. 【解答过程】由使得不等式成立是真命题， 即不等式在有解， 因为，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 【变式6.2】（23-24高一上·北京·阶段练习）若存在,有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】参数分离可得，设，将存在问题转化为，求出函数的最大值，即可得到实数a的取值范围. 【解答过程】因为，所以将原不等式参数分离可得，设， 已知存在，有成立，则， 令，则，， 由对勾函数知在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以，即， 故选：B. 模块二 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【考点1 二次函数的图象分析与判断】 【例1.1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解的关系，再代入函数，即可分析函数的图象. 【解答过程】因为的解集为，所以方程的两根分别为和，且，则，， 故函数的图象开口向下，且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 【例1.2】（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集为,则函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【解答过程】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且. 则有，变形可得， 故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和. 对照四个选项，只有C符合. 故选：C． 【变式1.1】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出. 【解答过程】由题可得和是方程的两个根，且， ，解得， 则， 则函数图象开口向下，与轴交于. 故选：C. 【变式1.2】（23-24高一上·江苏苏州·开学考试）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】分类讨论，和时，由一次函数的单调性与二次函数图象的开口方向，排除一些选项，再由的的正负，确定二次函数对称轴的位置，从而可得最后结果. 【解答过程】若，则一次函数为增函数， 二次函数的开口向上，故可排除A； 若，则一次函数为减函数， 二次函数的开口向下，故可排除D； 对于选项C，由直线可知，，从而， 而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除C. 故选：B. 【考点2 三个“二次”关系的应用】 【例2.1】（23-24高二上·河南·阶段练习）二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【解题思路】根据，确定二次函数的图象开口方向，再由二次方程的两根为2，，写出不等式的解集. 【解答过程】因为二次方程的两根为2，， 又二次函数的图象开口向上， 所以不等式的解集为或 ， 故选：B. 【例2.2】（23-24高一·全国·课后作业）已知二次函数的对称轴为，且有两个实数根、，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【解题思路】利用二次函数的对称轴方程可求得的值，然后利用韦达定理可求得的值. 【解答过程】由于二次函数的对称轴方程为，可得， 又因为方程的两根分别为、，由韦达定理得. 故选：C. 【变式2.1】（23-24高一上·山西吕梁·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一元二次不等式，一元二次方程和二次函数的关系求解. 【解答过程】因为不等式的解集为，所以相应的二次函数的图象开口向下，所以，故A错误； 易知和，是方程的两个根，则有，又，故，故BC正确； 由二次函数的图象可知，当时，，故D正确. 故选：A. 【变式2.2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二次不等式的解集，求得a,b,c的关系，由此判断二次函数的图像与性质，从而判断出的大小关系. 【解答过程】由于二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根，即 即. 则，，其图像开口向上，且对称轴为 ， 所以 故选：A. 模块三 课后作业 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】求解不等式化简，再用充分必要条件判定得答案. 【解答过程】或， 或， 则，反之不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一元二次不等式的解法计算可得. 【解答过程】不等式，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由二次函数性质可直接得到结果. 【解答过程】为开口方向向下，对称轴为的二次函数， 的单调递减区间为. 故选：B. 4．（23-24高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案. 【解答过程】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确. 故选：D. 5．（23-24高一上·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由一元二次不等式解集求参数，代入目标不等式，应用一元二次不等式的解法求解集. 【解答过程】由题设是的两个根，则， 所以，即， 故不等式解集为. 故选：B. 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】对不等式因式分解，分，，三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数得到不等式，求出答案. 【解答过程】， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，不合要求， 故实数的取值集合为或. 故选：D. 7．（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 【解题思路】先对的取值进行分类讨论，在时，需结合二次函数的图象分析，得到与之等价的不等式组，求解即得. 【解答过程】因不等式对任意的实数x恒成立，则 ①当时，不等式为，恒成立，符合题意； ②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：. 综上可得：实数k的取值范围为. 故选：C. 8．（23-24高一上·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集是，关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意先计算出、，再代入不等式中求解分式不等式即可得. 【解答过程】由题意可得， 即、，则有， 即求， 解得或，即解集为. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高一上·全国·单元测试）下列结论错误的是（ ） A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为R； B．不等式在上恒成立的条件是且； C．若关于x的不等式的解集为，则； D．不等式的解为. 【解题思路】根据一元二次不等式与对应二次函数的关系，结合各选项的描述判断A、B、C正误即可，对于D将不等式化为求解集即可. 【解答过程】A：函数不存在零点，若则不等式解集为 ，若则不等式解集为解集为空集，A错误； B：由条件有不等式对应的二次函数图象开口向下，所以 且函数图象至多与x轴有一个交点，故，B正确； C：当时不等式解集为，显然不符合题意，当时由二次函数的性质知：，解得，C正确； D：化不等式为分式不等式，解得，D错误. 故选：AD. 10．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知关于的不等式的解集为，，，则（　　） A． B． C．的解集是 D．的解集是或 【解题思路】由题意可得1和5是方程的两根，且，利用韦达定理可得与的关系，然后逐项判断可得答案. 【解答过程】由题意可得和5是方程的两根，且， 由韦达定理可得，得， 对于A，因为，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，不等式，即，即，得， ∴不等式的解集是，故C正确； 对于D，由不等式，得，即， 则，得或，即解集为 或，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 11．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若是假命题，则实数的取值范围为 或 ． 【解题思路】根据给定，利用一元二次不等式恒成立求出的范围，再求其补集得解. 【解答过程】若原命题为真，由，即，得，解得， 所以该命题为假，故实数的取值范围是或. 故答案为：或. 12．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为 ． 【解题思路】根据题意，可得一元二次不等式的解集是，由此列式算出实数的值． 【解答过程】，即，解集是， 所以，且是方程的两个实数根， 于是由韦达定理可得， 解得不符合题意，舍去）． 故答案为：． 四、解答题 13．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（1）解不等式； （2）解关于的不等式. 【解题思路】（1）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【解答过程】（1）不等式，可化为， 即，即，解得或， 所以不等式组的解集为或. （2）①当时，原不等式化为，解集为； ②当时，原不等式化为，解集为； ③当时，原不等式化为； 当时，，原不等式的解集为空集； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为. 14．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 【解题思路】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【解答过程】（1）由题意知和是方程的两个根且， 由根与系数的关系得，解得； （2）由、，不等式可化为， 即，则该不等式对应方程的实数根为和． 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为空集， 当时，，解得，即不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 15．（23-24高一上·江西新余·期中）设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且对任意恒成立，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据一元二次不等式和其对应一元二次方程根的关系确定，解得答案. （2）变换得到，根据均值不等式计算最值得到答案. 【解答过程】（1）不等式的解集为，则，解得. （2）若，则， 对任意，都有恒成立，即， （当且仅当时等号成立），故， 即. 16．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶. (1)据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ (2)为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润. 【解题思路】（1）设提价元，则每瓶饮料利润为元，由此算出月销量，得到总利润的表达式，根据月总利润不低于原来的月总利润得到关于的不等式，即可求出的范围，进而求解； （2）由题意可得每瓶利润为元，得出月销量，从而得到月总利润的函数解析式，最后利用基本不等式求解. 【解答过程】（1）设提价元，由题意知每瓶饮料利润为元， 则月销量为万瓶， 所以提价后月总销售利润为万元， 因为原来月销售总利润为万元，且要求月总利润不低于原来的月总利润， 所以，即，解得， 所以售价最多为元， 故该饮料每瓶售价最多为元； （2）由题意，每瓶利润为元， 月销售量为万瓶， 设下月总利润为，， 整理得：， ， ， 当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当时取等号， 故当售价元时，下月的月总利润最大为万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$