第06讲 等式性质与不等式性质-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第06讲 等式性质与不等式性质 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．理解不等式的概念,能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 2．梳理等式的性质,掌握不等式的性质,并能运用这些性质解决有关问题． 3．理解两实数大小关系的基本事实,初步学会用作差法比较两实数的大小． 一．不等关系 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系,不等关系常用　     表示． 不等关系 a大于b a小于b a不大于b a不小于b a不等于b 符号表示 a　 b a　 b a　 b a　 b a　 b 二．两实数大小关系的基本事实 依据 a>b⇔　 ;a=b⇔　 ;a<b⇔　 结论 确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确定它们的　 与　 的大小关系 三．等式与不等式的性质 等式 不等式 对称性 a=b⇔b=a a>b⇔　 传递性 a=b,b=c⇒a=c a>b,b>c⇒　 加法 a=b⇒a±c=b±c a>b⇒　 a>b,c>d⇒　 乘法 a=b⇒ac=bc; a=b,c≠0⇒ = a>b,c>0⇒　 ;a>b,c<0⇒　 a>b>0,c>d>0⇒　   a>b>0⇒　  (n∈N,n≥2) 概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1．若>1,则a>b． (     　) 2．a与b的差是非负实数,可表示为a-b>0． (     　) 3．∀x∈R,都有x2>x-1． (     　) 4．a,b,c为实数,在等式中,若a=b,则ac=bc;在不等式中,若a>b,则ac>bc． (     　) 5．a,b,c为实数,若ac2>bc2,则a>b． (　 　) 类型一　用不等式(组)表示不等关系 例1．下列说法正确的是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A．某人的月收入x元不高于2000元可表示为“x<2000” B．小明身高x cm,小华身高y cm,则小明比小华矮可表示为“x>y” C．某变量x至少是a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≥a” 例2．某同学参加期末模拟考试,考后对自己的语文和数学成绩进行了估计:语文成绩x高于85分,数学成绩y不低于80分,用不等式组可以表示为(　　) A． B． C． D． 例3．一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车现在每天行驶的路程比原来多19km,那么现在在8天内它的行程将超过2200km,用不等式表示为　　　　　　　．  类型二 实数的大小比较　 例4．已知a1,a2∈{x|0<x<1},记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M=N D．不确定 例5．若x≠-2且y≠1,则M=x2+y2+4x-2y的值与-5的大小关系是(　　) A．M>-5 B．M<-5 C．M≥-5 D．M≤-5 例6．若x∈R,则与的大小关系为　　　　　　．  例7．设P=,Q=-,R=-,则将P,Q,R按从大到小的顺序排列为　　　　．  例8．某家庭准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案．甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠．乙旅行社的方案是:家庭旅游算集体票,可按七五折优惠．如果这两家旅行社一张全票的票价相同,那么该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算? 1．实数x,y,z满足x+y+z=0,xyz>0,若T=++,则(　　) A．T>0 B．T<0 C．T=0 D．T≥0 2．若p=-,q=-,其中a≥0,则p,q的大小关系是(　　) A．p<q B．p=q C．p>q D．不确定 3．已知a,b,x均为正数,且a>b,则　　　 ．(填“>”“<”或“=”) 4．已知a+b>0,则+与+的大小关系是　　　　　　　．  类型三　不等式的性质及应用 例9．已知a<0<b,则下列不等式恒成立的是(　　) A．a+b<0 B．<1 C．>1 D．> 例10． “<”是“b<a<0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例11．已知实数a,b,c满足0<a<b,0<c<1,则下列选项一定成立的是(　　) A．a+c>b+c B．ac>bc C．ac<b D．bc<a 例12．若<<0,则下列结论不正确的是(　　) A．a2<b2 B．ab<b2 C．a+b<0 D．|a|+|b|>|a+b| 例13．若a<0,-1<b<0,则下列各式中正确的是(　　) A．a>ab>ab2 B．ab>a>ab2 C．ab2>ab>a D．ab>ab2>a 1．下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b>0,则ac2>bc2 B．若a>b,则a2>b2 C．若a<b<0,则a2<ab<b2 D．若a<b<0,则> 2．(多选)若a>b>0,d<c<0,则下列不等式成立的是(　　) A．ac>bc B．a-d>b-c C．< D．a3>b3 3．(多选)已知实数a,b,c满足c<b<a且ac<0,则下列不等式一定成立的是(　　) A．ab>ac B．c(b-a)>0 C．ac(a-c)<0 D．cb2<ab2 4．(多选)设a,b为正实数,则下列命题正确的是(　　) A．若a2-b2=1,则a-b<1 B．若-=1,则a-b<1 C．若|-|=1,则|a-b|<1 D．若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab| 类型四　求代数式的取值范围 例14．设实数x,y满足3<x<4,1<y<2,则M=2x-y的取值范围是(　　) A．4<M<6 B．4<M<7 C．5<M<6 D．5<M<7 例15．已知12<a<60,15<b<36,则的取值范围为　　　　．  例16．已知2<a<4,3<b<5,那么M=2a+b的取值范围是　　　　．  例17．已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,求(a-b)c2的取值范围． 1．已知2<a+b<5,0<a-b<1,某同学得出了如下结论:①1<a<3;②1<b<2;③<b<;④-4<a-2b<-2;⑤-3<a-2b<-1;⑥1<2a-b<4．则以上结论中正确的是(　　) A．①③④ B．①②④ C．①②⑤ D．①③⑥ 2．已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则M=9x-y的取值范围是(　　) A．-7≤M≤26 B．-1≤M≤20 C．4≤M≤15 D．1≤M≤15 1．已知a,b都是正数,并且a≠b,求证:a5+b5>a2b3+a3b2． 2．已知不等式:①a2b<b3;②>0>;③a3<ab2．若a>0>b且a2>b2,则其中正确的不等式的个数是　　　　．  3．若实数m,n满足求3m+4n的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第06讲 适用学科 适用年级 新高一 一．不等关系 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系,不等关系常用①　不等式    表示. 不等关系 a大于b a小于b a不大于b a不小于b a不等于b 符号表示 a②　>    b a③　<    b a④    ≤    b a⑤    ≥    b a⑥    ≠    b 二．两实数大小关系的基本事实 依据 a>b⇔⑦    a-b>0    ;a=b⇔⑧    a-b=0    ; a<b⇔⑨    a-b<0     结论 确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确定它们 的⑩　差    与 　0    的大小关系 三．等式与不等式的性质 等式 不等式 对称性 a=b⇔b=a a>b⇔     b<a     传递性 a=b,b=c⇒a=c a>b,b>c⇒     a>c     加法 a=b⇒a±c=b±c a>b⇒     a+c>b+c     a>b,c>d⇒     a+c>b+d     等式 不等式 乘法 a=b⇒ac=bc; a=b,c≠0⇒  =  a>b,c>0⇒     ac>bc    ; a>b,c<0⇒     ac<bc     a>b>0,c>d>0⇒     ac>bd     a>b>0⇒     an>bn    (n∈N,n≥ 2) 概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1. (    ✕　) 2.  (    ✕　) 3.  (    ✕　) 4 (    ✕　) 5.  (　√　) 类型一　用不等式(组)表示不等关系 例1 C 例2 A 例3 8(x+19)>2 200 类型二　实数的大小比较 例4 B 例5 A 例6 ≤ 例7 P>R>Q 例8设该家庭除户主外,还有x(x∈N*)人参加旅游,甲、乙两家旅行社收费总金额分别为y1元、y2元,一张全票的票价为a元,则只需按两家旅行社的优惠方案分别计算出y1,y2的值,再比较y1,y2的大小即可. ∵y1=a+0.55ax,y2=0.75(x+1)a,而y1-y2=a+0.55ax-0.75(x+1)a=0.2a(1.25-x), ∴当x>1.25时,y1<y2;当x<1.25时,y1>y2. 又x为正整数,所以当x=1时,y1>y2,即两口之家应选择乙旅行社;当x>1(x∈N*)时,y1<y2,即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社. 1B 2A 3< 4　+≥+ 类型三　不等式的性质及应用 例9 B 例10、 B 例11 C 例12 D 例13 D 1 D 2 BD 3 ABC 4 AD 类型四　求代数式的取值范围 例14 B 例15、 例16 {M|7<M<13} 例17 解析　∵-3<b<a<-1, ∴-3<b<-1,-3<a<-1,b<a, ∴1<-b<3,a-b>0, ∴-3+1<a-b<-1+3,即-2<a-b<2, ∴0<a-b<2. ∵-2<c<-1,∴1<c2<4,∴0×1<(a-b)c2<2×4,∴0<(a-b)c2<8. 1 D 2 B 1证明　(a5+b5)-(a2b3+a3b2) =(a5-a3b2)+(b5-a2b3) =a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a3-b3)(a2-b2) =(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2). ∵a,b都是正数,∴a+b>0,a2+ab+b2>0, 又∵a≠b,∴(a-b)2>0, ∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0, 即a5+b5>a2b3+a3b2. 2 2 3 解析　令3m+4n=x(2m+3n)+y(m-n)=(2x+y)m+(3x-y)n, 则解得 因此3m+4n=(2m+3n)+(m-n). 由-1≤2m+3n≤2得-≤(2m+3n)≤. 由-3<m-n≤1得-<(m-n)≤, 所以--<3m+4n≤+, 即-2<3m+4n≤3. $$