第09讲 函数的概念及其表示-【暑假预科讲义】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第09讲 函数的概念及其表示 【人教A版2019】 ·模块一 函数的概念 ·模块二 函数的相等 ·模块三 函数的表示法 ·模块四 课后作业 模块一 函数的概念 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法； 【考点1 函数的概念的理解】 【例1.1】（23-24高一上·四川资阳·期中）图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（    ）    A．② B．①④ C．②④ D．③④ 【例1.2】（23-24高一上·安徽淮南·期中）设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1.1】（23-24高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．函数的定义域和值域可以是空集 B．函数的定义域和值域一定是数集 C．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 【变式1.2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 求函数的定义域】 【例2.1】（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高一上·山西·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【考点3 求函数的值域】 【例3.1】（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高一上·江苏南京·期中）下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 【考点4 由函数的定义域或值域求参数】 【例4.1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高一上·全国·课后作业）若函数在区间上有意义，则实数a的可能取值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4.1】（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）若函数的定义域､值域都为,则实数满足（    ） A．或 B． C．且 D． 【变式4.2】（2024·全国·一模）函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A．[0，4] B．[4，6] C．[2，6] D．[2，4] 【考点5 求函数值或由函数值求参】 【例5.1】（23-24高一上·新疆·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【例5.2】（23-24高一上·全国·期末）函数的定义域为，若，，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式5.1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数，若，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（23-24高一上·北京海淀·期中）已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（    ） x m 8 4 n A．， B．， C．， D．， 模块二 函数的相等 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【考点1 判断两个函数是否相等】 【例1.1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1.1】（23-24高一上·北京东城·期中）下列各组函数中，两个函数相等的是 （     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1.2】（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）下列四组函数中，与表示同一函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 模块三 函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【考点1 函数的表示法】 【例1.1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如下图所示，则（    ） 0 1 4 2 6 9 A．2 B．6 C．9 D．0 【例1.2】（23-24高一上·北京房山·期中）小明离开家去学校上学，刚开始步行一段时间后感觉要迟到，改为跑步完成余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下面四个图形中较符合该学生走法的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（22-23高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 -1      A．-1 B．0 C．3 D．4 【变式1.2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式，函数由下表给出，则的值为（    ） 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【考点2 函数解析式的求解】 【例2.1】（2024高一·全国·专题练习）二次函数的图象的顶点为，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(    ) A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一上·云南·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2024高二上·新疆·学业考试）已知，则的解析式可取为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高一上·天津南开·期中）已知，则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【考点3 分段函数】 【例3.1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【例3.2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·全国·模拟预测）设，若，则（    ） A．14 B．16 C．2 D．6 【变式3.2】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块四 课后作业 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）设，则=（    ） A．3 B．5 C．-1 D．1 5．（23-24高一上·北京·期中）若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（    ） A．   B． C．   D． 6．（23-24高三上·西藏林芝·期末）已知是定义在上的函数且，当时，，则（    ） A． B．0 C．4 D．8 7．（2024·辽宁沈阳·一模）已知函数，若且，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（22-23高二下·安徽亳州·期末）已知，则=（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·广东江门·期中）已知函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的值域为 三、填空题 11．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 ． 12．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的值域为 . 四、解答题 13．（23-24高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域 (1) (2) (3) 14．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）已知函数. (1)若，求的值； (2)求函数的值域. 15．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．    (1)写出函数的解析式、定义域和值域； (2)求，的值． 16．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数满足，函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的值域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 函数的概念及其表示 【人教A版2019】 ·模块一 函数的概念 ·模块二 函数的相等 ·模块三 函数的表示法 ·模块四 课后作业 模块一 函数的概念 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法； 【考点1 函数的概念的理解】 【例1.1】（23-24高一上·四川资阳·期中）图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（    ）    A．② B．①④ C．②④ D．③④ 【解题思路】根据函数的定义判断即可. 【解答过程】根据函数的定义，每个都有一个对应的唯一确定的函数值， 故只有③④符合条件. 故选：D. 【例1.2】（23-24高一上·安徽淮南·期中）设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】逐项分析定义域和值域的对应情况，由此判断出结果. 【解答过程】对于A：定义域为，定义域是的真子集，故错误； 对于B：定义域为，值域为，且图像也满足函数定义，故正确； 对于C：不满足“从定义域中任意取一个有唯一的与之对应”，故错误； 对于D：定义域为，定义域是的真子集，故错误； 故选：B. 【变式1.1】（23-24高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．函数的定义域和值域可以是空集 B．函数的定义域和值域一定是数集 C．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 【解题思路】根据函数定义域和值域为非空数集可知AB正误；通过反例可说明CD错误. 【解答过程】对于AB，函数的定义域和值域均为非空数集，A错误，B正确； 对于C，函数中，，即值域中的数字在定义域中有两个数字与之对应，C错误； 对于D，函数与的定义域和值域均相同，但对应关系不相同，D错误. 故选：B. 【变式1.2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用函数的定义判断即可. 【解答过程】对于A，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，A能； 对于B，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，B能； 对于C，对于集合的元素，在中没有元素与之对应，C不能； 对于D，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，D能. 故选：C. 【考点2 求函数的定义域】 【例2.1】（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分母不为零且偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可. 【解答过程】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【例2.2】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据抽象函数定义域之间的关系即可得到结论. 【解答过程】因为函数的定义域是， 所以，解得， 故函数的定义域是． 故选：A. 【变式2.1】（23-24高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【解答过程】∵函数的定义域为， ∴要使函数有意义， 则有，解得， ∴，即函数的定义域为. 故选：D. 【变式2.2】（23-24高一上·山西·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出抽象函数的定义域，然后求复合函数的定义域即可得解. 【解答过程】若函数的定义域为， 则，即的定义域为， 所以的定义域满足，解得 所以函数的定义域为． 故选：B. 【考点3 求函数的值域】 【例3.1】（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可． 【解答过程】，对称轴为，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，由对称性可得， 所以函数的值域是. 故选：D. 【例3.2】（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【解答过程】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 【变式3.1】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出定义域，进而根号下配方求出值域. 【解答过程】令得，，故定义域为， . 故选：A. 【变式3.2】（23-24高一上·江苏南京·期中）下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据值域的定义结合函数解析式逐项分析判断. 【解答过程】对于选项A：当时，，即值域有0，故A错误； 对于选项B，因为，即值域没有1，故B错误； 对于选项C：函数的定义域为，所以函数值域不连续，故C错误． 对于选项D：因为的取值范围是，所以函数的值域为，故D正确． 故选：D． 【考点4 由函数的定义域或值域求参数】 【例4.1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【解答过程】由题意得对任意恒成立， 当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意； 当时，由该不等式恒成立可得 ，解之得， 综上，实数的取值范围是 故选：A. 【例4.2】（23-24高一上·全国·课后作业）若函数在区间上有意义，则实数a的可能取值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】分，，，求出不等式的解，即可得出答案. 【解答过程】当时， 由可得，或，在区间上有意义，满足； 当时， 函数，显然在区间上有意义，满足题意； 当时， 由可得，或， 要使函数在区间上有意义，则应有， 所以，，所以. 综上所述，. 故选：A. 【变式4.1】（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）若函数的定义域､值域都为,则实数满足（    ） A．或 B． C．且 D． 【解题思路】根据题意表示一次函数，可得出系数的特征，即可求出结论. 【解答过程】若，表示二次函数，值域不为，不合题意. 所以为一次函数，解得. 故选:D. 【变式4.2】（2024·全国·一模）函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A．[0，4] B．[4，6] C．[2，6] D．[2，4] 【解题思路】因为函数的图象开口朝上，由 ，结合二次函数的图象和性质可得的取值范围. 【解答过程】函数的图象是开口朝上， 且以直线为对称轴的抛物线， 故， 函数的定义域为,值域为， 所以， 即的取值范围是, 故选D. 【考点5 求函数值或由函数值求参】 【例5.1】（23-24高一上·新疆·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】代入解析式求值即可. 【解答过程】由，得. 故选：C. 【例5.2】（23-24高一上·全国·期末）函数的定义域为，若，，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】利用赋值法求值即可. 【解答过程】因为，， 所以令，得，得， 所以令，得，得. 故选：C. 【变式5.1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数，若，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】通过解方程求得的值. 【解答过程】由，得，解得. 故选：A. 【变式5.2】（23-24高一上·北京海淀·期中）已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（    ） x m 8 4 n A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据表格列出关于等式并解出，代入求出即可. 【解答过程】由表知，，，解得， 所以， 所以. 故选：B. 模块二 函数的相等 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【考点1 判断两个函数是否相等】 【例1.1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据同一函数满足定义域与解析式相同判断即可. 【解答过程】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，的定义域为，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D. 【例1.2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】 根据相同函数的定义，依次判断选项即可. 【解答过程】A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意； B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意； C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意； D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意. 故选：A. 【变式1.1】（23-24高一上·北京东城·期中）下列各组函数中，两个函数相等的是 （     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】判断两个函数是否相等，只需看定义域和对应法则是否都相同，由此即可逐一判断每一个选项. 【解答过程】对于A，与定义域都是全体实数，且，故A满足题意； 对于B，的定义域是非负实数，的定义域是全体实数，故B不满足题意； 对于C，的定义域是全体实数，的定义域是非负实数，故C不满足题意； 对于D，的定义域是全体实数，的定义域是不为0的全体实数，故D不满足题意. 故选：A. 【变式1.2】（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）下列四组函数中，与表示同一函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】对于ABC而言，说明两函数的定义域不同即可排除，对于D而言由绝对值的定义可以得到两函数的定义域、对应法则一样，由此即可得解. 【解答过程】对于A，，的定义域分别为，故A不符题意； 对于B；，的定义域分别为，故B不符题意； 对于C，，的定义域分别为，故C不符题意； 对于D，因为，其定义域、对应法则都是一样的，故D符合题意. 故选：D. 模块三 函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【考点1 函数的表示法】 【例1.1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如下图所示，则（    ） 0 1 4 2 6 9 A．2 B．6 C．9 D．0 【解题思路】根据函数图象求得，再根据对应关系表即可求解的值. 【解答过程】由图可知， 由表格可知． 故选： 【例1.2】（23-24高一上·北京房山·期中）小明离开家去学校上学，刚开始步行一段时间后感觉要迟到，改为跑步完成余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下面四个图形中较符合该学生走法的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意进行排除和判断即可. 【解答过程】因为纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间， 且小明离开家去学校上学，所以纵坐标随横坐标增加而减少，故排除C和D； 由题意得，图象斜率的绝对值先小后大，故排除B. 故选：A. 【变式1.1】（22-23高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 -1      A．-1 B．0 C．3 D．4 【解题思路】根据函数的定义及图表计算即可. 【解答过程】由图象可知，而由表格可知，所以. 故选：A. 【变式1.2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式，函数由下表给出，则的值为（    ） 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】先求出，从而得到的值. 【解答过程】由表格可得，故. 故选：B. 【考点2 函数解析式的求解】 【例2.1】（2024高一·全国·专题练习）二次函数的图象的顶点为，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(    ) A． B． C． D． 【解题思路】设出二次函数解析式，代入点，求出解析式，判断出正确答案. 【解答过程】由题意得，设二次函数解析式为， 将代入解析式，可得，故二次函数的解析式为， 故可以为，其他均不合要求. 故选：B. 【例2.2】（23-24高一上·云南·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件代入直接求解解析式即可. 【解答过程】因为，所以，，，. 故选：A. 【变式2.1】（2024高二上·新疆·学业考试）已知，则的解析式可取为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用配凑法求得的解析式. 【解答过程】由于， 所以. 故选：C. 【变式2.2】（23-24高一上·天津南开·期中）已知，则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用配凑法先求出函数，再整体代入即可求出函数的表达式. 【解答过程】因为 所以 所以，即. 故选：C. 【考点3 分段函数】 【例3.1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【解题思路】根据分段函数解析式计算可得. 【解答过程】因为，所以， ， 所以. 故选：A. 【例3.2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，分别求得当时与当时，的值域，即可得到结果. 【解答过程】当时，， 则当时，，当时，，则； 当时，； 综上所述，. 故选：C. 【变式3.1】（2023·全国·模拟预测）设，若，则（    ） A．14 B．16 C．2 D．6 【解题思路】根据的定义域可得，分和两种情况，结合题意解得，代入求解即可. 【解答过程】因为的定义域为，则，解得， 若，则，可得，不合题意； 若，则，可得，解得； 综上所述：. 所以. 故选：A. 【变式3.2】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分段函数的解析式、的值域、的图象来求得的取值范围. 【解答过程】当时，， 值域为当时，由，得， 由，得，解得或， 作出的图象如下图所示， 由图象可得：，即实数的取值范围是. 故选：C. 模块四 课后作业 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用同一个函数的条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断. 【解答过程】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数. 故选:A. 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二次根式和分式的意义建立不等式组，解之即可求解. 【解答过程】由，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3．（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解. 【解答过程】由题意，函数（）， 令，则，可得， 故（）的值域为． 故选：A. 4．（23-24高一上·北京·期中）设，则=（    ） A．3 B．5 C．-1 D．1 【解题思路】根据分段函数的定义区间和解析式，求函数值. 【解答过程】，则. 故选：A. 5．（23-24高一上·北京·期中）若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（    ） A．   B． C．   D． 【解题思路】 根据各选项一一判断其定义域与值域，即可得解. 【解答过程】对于A：函数的定义域为，但是值域不是，故A错误； 对于B：函数的定义域不是，值域为，故B错误； 对于C：函数的定义域为，值域为，故C正确； 对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D错误. 故选：C. 6．（23-24高三上·西藏林芝·期末）已知是定义在上的函数且，当时，，则（    ） A． B．0 C．4 D．8 【解题思路】根据题意可得，代入运算即可. 【解答过程】因为， 令，可得：. 故选：A. 7．（2024·辽宁沈阳·一模）已知函数，若且，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件确定，从而抛物线开口向上，，通过排除法得出选项. 【解答过程】由且，得， 所以函数是二次函数，图象开口向上，排除A，C； 又，所以排除B；只有D符合. 故选：D. 8．（22-23高二下·安徽亳州·期末）已知，则=（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】利用换元法求解函数解析式，即可得答案. 【解答过程】令，则 ，则， 所以， 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设，则， 所以，解得或， 则或． 故选：AD. 10．（23-24高一上·广东江门·期中）已知函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的值域为 【解题思路】对于ABC：根据分段函数解析式运算求解；对于D通过特值可排除，即可得到答案. 【解答过程】对于选项A：因为， 所以，故A正确； 对于选项B，因为，所以，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C正确； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 11．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 且 ． 【解题思路】依据条件列出不等式组求解即可. 【解答过程】要使函数有意义， 只需，解得：且. 故答案为：且. 12．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的值域为 . 【解题思路】令，换元求出函数的解析式，进而可得值域. 【解答过程】令，则 ，所以函数的值域为. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域 (1) (2) (3) 【解题思路】求定义域就是求使式子有意义的实数的集合. 【解答过程】（1）要使分式有意义，则， 由任意，恒成立， 故函数的定义域为； （2）要使式子各部分有意义，则，解得，且. 故的定义域为； （3）要使分式有意义，则， 当时，，则在恒有意义； 当时，，则，无意义； 综上可知，的定义域为. 14．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）已知函数. (1)若，求的值； (2)求函数的值域. 【解题思路】（1）代入解方程即可； （2）求出二次函数最小值，再利用不等式性质求出值域即可. 【解答过程】（1）函数， 由，得， 即，所以. （2）函数的定义域为R， ，当且仅当时取等号， 因此， 所以的值域为. 15．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．    (1)写出函数的解析式、定义域和值域； (2)求，的值． 【解题思路】（1）根据图象结合待定系数法计算解析式，定义域和值域即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. 【解答过程】（1）根据题意及图象可知：当时，可设线段解析式为， 将点代入解析式可得，即； 当时，图象为抛物线一部分，可设解析式为， 由图象可知其顶点为且过点，所以， 即， 则， 结合图象，所以的定义域为，值域为； （2）由上可知，， 即，. 16．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数满足，函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的值域． 【解题思路】（1）利用换元法求出的解析式，利用解方程组法求出的解析式； （2）利用换元法求函数的值域. 【解答过程】（1）令，即，所以，即， 因为①，②， 由①②解得，. （2）因为， 令， 所以， 因为，所以， 所以该函数的值域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$