第12讲 幂函数-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第12讲 幂函数 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式． 2．通过具体实例,结合y=x,y=x-1,y=x2,y= ,y=x3的图象,理解它们的变化规律． 3．能利用幂函数的单调性比较大小． 一、幂函数的概念 一般地,函数        叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数． 二、五个幂函数的性质 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=  y=x-1 图象           定义域 R R R 　      　      值域 R 　      R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 单调性 增 x∈[0,+∞)增, x∈(-∞,0)减 增 增 　      奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 公共点 都经过点　      概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1．幂函数的图象都过点(0,0),(1,1)． (     　) 2．幂函数的图象一定不能出现在第四象限,但可能出现在第二象限． (　 　) 3．当幂指数α取1,3, 时,幂函数y=xα是增函数． (　 　) 4．当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数． (     　) 5．当α=0时,幂函数y=xα的图象是一条直线． (     　) 6．若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大． (     ) 类型一　幂函数的概念 例1．下列函数是幂函数的是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A．y=2x2 B．y=x3+x C．y=3x D．y= 例2．已知幂函数y=f(x)的图象经过点,则f(2)=(　　) A． B．2 C． D． 例3．函数f(x)=(1-x+(2x-1)0的定义域是(　　) A．(-∞,1] B．∪ C．(-∞,-1) D． 例4．已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b)是幂函数,则a=　　　　，b=　　　　． 例5．已知函数f(x)=(m2+2m)·，m为何值时，函数f(x)是： (1)正比例函数?(2)反比例函数?(3)幂函数? 1．若f(x)是幂函数,且满足=4,则f =(　　) A．-4 B．4 C．- D． 2．函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是(　　) A．(0,1]∪[2,+∞) B．(0,1]∪[3,+∞) C．(0,]∪[2,+∞) D．(0,]∪[3,+∞) 4．对于幂函数f(x)=,若0<x1<x2,则f,的大小关系是(　　) A． f> B． f< C． f= D．无法确定 5．已知幂函数f(x)=(m2-3m+1)的图象不经过原点,则实数m的值为　　　　．  类型二 幂函数的图象及其应用 例6．函数y=的图象是(　　) 例7．如图所示,曲线C1和C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(　　) A．n<m<0 B．m<n<0 C．n>m>0 D．m>n>0 例8．在同一平面直角坐标系中,函数y=xa和y=ax+(a≠0)的图象可能是(　　) 类型三　幂函数的性质及其应用 例9．下列命题正确的是(　　) A．幂函数y=xn的图象都经过(0,0),(1,1)两点 B．当n=0时,函数y=xn的图象是一条直线 C．如果两个幂函数的图象有三个公共点,那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数,那么图象一定经过点(-1,1) 例10．如果幂函数f(x)=xα的图象过点(-2,4),那么f(x)的单调递增区间是(　　) A．(-∞,+∞) B．[0,+∞) C．(-∞,0] D．(-∞,0)∪(0,+∞) 例11．已知幂函数f(x)=(a2-2a-2)·xa在区间(0,+∞)上是单调递增函数,则a的值为(　　) A．3 B．-1 C．-3 D．1 例12．已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)·xm-1为偶函数． (1)求函数f(x)的解析式; (2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围． 1．若幂函数y=f(x)的图象经过点(-2,4),则f(x)在定义域内(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A．为增函数 B．为减函数 C．有最小值 D．有最大值 2．已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)x2m-3在区间(0,+∞)上是增函数,则m的值为(　　) A．4 B．3 C．-1 D．-1或4 3．已知函数f(x)=(2n-1),其中m∈N,若函数f(x)为幂函数且其在(0,+∞)上是单调递增的,并且在其定义域上是偶函数,则m+n=(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4．(多选)已知函数f(x)=xa的图象经过点(4,2),则(深度解析) A．函数f(x)在定义域内为增函数 B．函数f(x)为偶函数 C．当x>1时,f(x)>1 D．当0<x1<x2时,<f 5．(多选)已知幂函数f(x)=(m,n∈N*,m,n互质),下列关于f(x)的结论正确的是(　　) A．m,n是奇数时, f(x)是奇函数 B．m是偶数,n是奇数时, f(x)是偶函数 C．m是奇数,n是偶数时, f(x)是偶函数 D．0<<1时, f(x)在(0,+∞)上是减函数 6．若点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上． (1)求函数f(x)和g(x)的解析式; (2)定义h(x)=求函数h(x)的最大值及单调区间． 已知幂函数f(x)=(m∈N*)． (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若函数f(x)的图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第12讲 适用学科 适用年级 新高一 一．幂函数的概念 一般地,函数①    y=xα    叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 二．五个幂函数的性质 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=  y=x-1 图象           定义域 R R R ②　[0,+∞)     ③　(-∞,0)∪ (0,+∞)     值域 R ④　[0,+∞)     R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 单调性 增 x∈[0,+∞)增, x∈(-∞,0)减 增 增 ⑤    x∈(0,+∞)减,x∈(-∞,0)减     奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 公共点 都经过点⑥　(1,1)     概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1. (    ✕　) 2. (　√　) 3. (　√　) 4. (    ✕　) 5. (    ✕　) 6.  (    ✕) 例1 D 例2 A 例3 B 例4 　; 例5(1)若函数f(x)为正比例函数,则∴m=1. (2)若函数f(x)为反比例函数,则∴m=-1. (3)若函数f(x)为幂函数,则m2+2m=1, ∴m=-1±. 1 D 2 B 3 B 4 A 5 3 例6 A 例7 A 例8 B 例9 D 例10 B 例11 A 例12 (1)由题意得m2-5m+7=1, 即m2-5m+6=0,解得m=2或m=3. 又f(x)为偶函数,所以m=3, 即f(x)=x2. (2)由(1)知f(x)=x2,则g(x)=x2-ax-3. 因为g(x)=x2-ax-3在[1,3]上不是单调函数,所以1<<3,解得2<a<6, 即a的取值范围为(2,6). 变式 1 C 2 A 3 A 4 ACD 5 AB 6 (1)设f(x)=xα,因为点(,2)在幂函数f(x)的图象上,所以()α=2,解得α=2,即f(x)=x2. 设g(x)=xβ,因为点在幂函数g(x)的图象上,所以2β=,解得β=-1,即g(x)=x-1. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=x2和g(x)=x-1的图象,可得函数h(x)的图象如图所示(图中实线部分). 由题意及图象可知h(x)=根据函数h(x)的解析式及图象可知,函数h(x)的最大值为1,单调递增区间为(0,1],单调递减区间为(-∞,0)和(1,+∞). 课后 1(1)∵m∈N*, ∴m2+m=m(m+1)为偶数. 令m2+m=2k,k∈N*, 则f(x)=, ∴f(x)的定义域为[0,+∞),且f(x)在[0,+∞)上为增函数. (2)由题意可得 ==,∴m2+m=2,解得m=1或m=-2(舍去), ∴f(x)=. 由(1)知f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数, ∴f(2-a)>f(a-1)等价于2-a>a-1≥0,解得1≤a<,故实数a的取值范围为. $$