精品解析：安徽省黄山市屯溪第一中学2023-2024学年高二下学期期中测试数学试卷

屯溪一中2023-2024学年度第二学期期中测试 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 的展开式中的系数是（ ） A. 60 B. C. 120 D. 3. 用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着相同色的有（ ） A. 96种 B. 24种 C. 48种 D. 12种 4. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 同济大学为弘扬我国古代的“六艺文化”，计划在社会实践活动中每天开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程中的一门，不重复开设，连续开设六天，则课程“礼”与“乐”相邻，但均与“射”不相邻的不同排法共有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 240种 D. 252种 6. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用，，三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知，，正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，则只有和正常工作的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若A、B两人站在一起有24种方法 B. 若A、B不相邻共有72种方法 C. 若A在B左边有48种排法 D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法 10. 若，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则下列说法正确的是（   ） A. 定义域是 B. 时，图象位于x轴下方 C. 有且仅有两个极值点 D. 存在单调递增区间 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 12. 若，则正整数___________. 13. 安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为_________. 14. 若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球． （1）若取出的球必须是两种颜色，则有多少种不同的取法？ （2）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？ （3）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取4球的总分不低于5分，则有多少种不同的取法？ 16. 已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992. （1）求的值； （2）求展开式中的项； （3）求展开式中系数最大的项. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）求函数 的单调区间； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 18. 甲、乙两人组成“梦想队”参加“极速猜歌”比赛，比赛共两轮，每轮比赛从队伍中选出一人参与，参与比赛的选手从曲库中随机抽取一首进行猜歌名.若每轮比赛中甲、乙参与比赛的概率相同.甲首次参与猜歌名，猜对的概率为；甲在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为；甲在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为.乙首次参与猜歌名，猜对的概率为；乙在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为；乙在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为甲、乙互不影响. （1）求在两轮比赛中，甲只参与一轮比赛的概率； （2）记“梦想队”一共猜对了首歌名，求的分布列及期望. 19. 已知函数． （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 屯溪一中2023-2024学年度第二学期期中测试 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的运算法则和定义求解即可． 【详解】， ， ， ，， 故选：D． 2. 的展开式中的系数是（ ） A. 60 B. C. 120 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，作为一个二项式，展开求得含有的项，再在的展开式中确定项的系数，由乘法可得结论． 【详解】，展开式的第项为， 令，可得第4项为. 而的展开式的第项为，令，可得第3项为. 所以的展开式中，的系数是. 故选：B. 3. 用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着相同色的有（ ） A. 96种 B. 24种 C. 48种 D. 12种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理计算即可. 【详解】因为①③⑤着相同的颜色，可以有种，②④⑥按要求可随意着与①③⑤不同色的另外两种颜色，故有种，所以共有24种. 故选：B 4. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象判断其导数的正负情况，即可求得答案. 【详解】由函数的图象可知当或时，； 当时，， 等价于或， 故不等式的解集为， 故选：A 5. 同济大学为弘扬我国古代的“六艺文化”，计划在社会实践活动中每天开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程中的一门，不重复开设，连续开设六天，则课程“礼”与“乐”相邻，但均与“射”不相邻的不同排法共有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 240种 D. 252种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法计算可得. 【详解】依题意先将“御”“书”“数”三门课程全排列，有种排法； 再将“礼”与“乐”捆绑作为一个整体，与“射”插空到“御”“书”“数”所形成的个空中的个， 故有种排法， 按照分步乘法计数原理可知一共有种排法. 故选：B 6. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出发球1次、2次、3次所对应的概率，然后计算数学期望进行判断计算即可. 【详解】根据题意，发球次数为1的概率为， 发球次数为2的概率， 发球次数为3的概率， 则， 解得或，由可得. 故选：C. 7. 如图，用，，三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知，，正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，则只有和正常工作的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式求得系统正常工作和只有M和正常工作的概率，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】设事件A为系统正常工作，事件B为只有M和正常工作， 因为并联元件、能正常工作的概率为， 所以，又， 所以． 即只有M和正常工作的概率为. 故选：C． 8. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用导数求出函数的单调性和极值，并画出函数的图象，令，将题意转化为有两个不相等的根，且，，再根据函数图象列出不等式组，即可得到答案. 【详解】. 令，解得，. 所以，，为减函数， ，，为增函数， ，，为减函数. 当时，取得极小值，极小值为， 当时，取得极大值，极小值为， 且当时，，时，，的图像如图所示： 因为方程有四个不同的实数根， 设，等价于有两个不相等的根，且，. 令，所以， 解得. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，同时考查了数形结合的思想，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若A、B两人站在一起有24种方法 B. 若A、B不相邻共有72种方法 C. 若A在B左边有48种排法 D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法 【答案】BD 【解析】 【分析】利用捆绑法可判断A，利用插空法可判断B，C属于定序问题，利用间接法可判断D. 【详解】对于A，将看成一个整体，与全排列，有种排法，A错误； 对于B，将排好，然后将安排在空位中，有种排法，B正确； 对于C，5人全排列，有种排法，在左边与在右边的情况数目相同，则在左边的排法有60种，C错误； 对于D，不考虑限制条件，5人有种不同的排法，站在最左边的排法有种，站在最右边的排法有种， 站在最左边且站在最右边的排法种，则有种不同的排法，D正确； 故选：BD． 10. 若，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式展开式和系数的性质，逐项分析即可得出答案. 【详解】令可得，①，故A正确； 令可得：，② ①②可得：，故，故B正确； 令可得：，③ 令可得：，④ 把③代入④即可得出：，故C错误； 两边对求导得． 令可得，故D正确. 故选：ABD 11. 设函数，则下列说法正确的是（   ） A. 定义域是 B. 时，图象位于x轴下方 C. 有且仅有两个极值点 D. 存在单调递增区间 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数有意义的条件可求得函数的定义域判断A选项；当时，判断函数的符号可判断B选项； 利用导数判断出导函数的零点个数，可判断C选项； 解不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数有意义，有，解得且， 则函数的定义域为，A选项错误； 对于B选项，当时，，，则， 即当时，函数图象位于轴下方，B选项正确； 对于C选项，，令. 当时，，，则， 函数在区间上单调递减，无极值点； 当时，，函数在上单调递增， 由于， 由零点存在定理知，存在唯一的，使得. 当时，，；当时，，， 所以，函数存在唯一的极值点，C选项错误； 对于D选项，由C可知，函数在区间上单调递增，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：利用导数判断函数单调性，确定极值点个数，其中构造新函数是常用方法. 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 12. 若，则正整数___________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的运算性质直接计算即可. 【详解】因为， 所以， 解得：. 故答案为：8. 13. 安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲，乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案. 【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人， 当分为3,1,1人时，有种实习方案， 当分为2,2,1人时，有 种实习方案， 所以共有种实习方案， 其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种， 故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为 ， 故答案为： 14. 若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线方程，进而将有3条切线转化为方程有三个不等实数根，再转化为函数的图像有三个交点问题，利用导数作出的图象，数形结合，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 设切点坐标为，则切线斜率， 所以切线方程为， 将代入得. 因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根， 则方程有三个不等实数根等价于函数的图像有三个交点， 设，则， 当时，单调递增； 在和上，单调递减，， 当或时，， 画出的图象如图， 要使函数的图像有三个交点，需， 即，即的取值范围是， 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义表示出切线方程，根据切线条数可得有三个不等实数根，解答此类问题常用方法是转化为函数图象的交点问题，利用导数判断函数单调性或求得极值，进而作出图像，数形结合，解决问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球． （1）若取出的球必须是两种颜色，则有多少种不同的取法？ （2）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？ （3）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取4球的总分不低于5分，则有多少种不同的取法？ 【答案】（1）种 （2）种 （3）种 【解析】 【分析】（1）分三类：3红1白，2红2白，1红3白这三类，然后利用分类加法计数原理求解即可． （2）分三类：4红，3红1白，2红2白，然后利用分类加法计数原理求解即可． （3）由题意知，取4球的总分不低于5，只要取出的4个球中至少一个红球即可．然后求解即可． 【小问1详解】 分三类：3红1白，2红2白，1红3白这三类， 由分类加法计数原理有（种）． 【小问2详解】 分三类：4红，3红1白，2红2白，由分类加法计数原理共有： （种）． 【小问3详解】 由题意知，取4球的总分不低于5，只要取出的4个球中至少一个红球即可． 因此共有取法：（种）． 16. 已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992. （1）求的值； （2）求展开式中的项； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）代入求得各项系数和为，又二项式系数和为，根据二者相差可得方程，解方程求得；（2）根据展开式通项公式，令的幂指数等于，求得，进而可得所求项；（3）由展开式通项可知系数通项为，利用解得，进而求得系数最大的项. 【详解】（1）展开式各项系数的和为：；二项式系数的和为： 又各项系数的和比二项式系数的和大 ，即，解得 （2）展开式的通项公式为： 令，解得 展开式中的项为： （3）设第项的系数为，则 由，即 解得：，所以 展开式系数最大项为： 【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到二项式系数和、各项系数和的求解、特定项系数的求解以及最大项的求解问题，关键在于能够熟练运用展开式的通项公式，属于常规题型. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）求函数 的单调区间； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 函数的极大值为，无极小值；(2) 当时，在是增函数；当时，在是增函数，在是减函数;(3) 实数额取值范围为. 【解析】 【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，求出极值点，利用函数的单调性，求解函数的极值；（2）求出函数f（x）的定义域，函数的导数，通过当a≤0时，当a＞0时，分别求解函数的单调区间即可；（3）根据前两问得到的极大值即为的最大值即可. 详解： （1）当时，. ，列表 1 + 0 - ↗ 2 ↘ ∴函数的极大值为，无极小值； (2). ①当时，恒成立，故在是增函数； ②当时，对，是增函数， 对，是减函数. 综上，当时，在是增函数；当时，在是增函数，在是减函数. (3)恒成立，则. 由（2）可知，的极大值即为的最大值， ∴. ∴实数额取值范围为. 点睛：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数. 18. 甲、乙两人组成“梦想队”参加“极速猜歌”比赛，比赛共两轮，每轮比赛从队伍中选出一人参与，参与比赛的选手从曲库中随机抽取一首进行猜歌名.若每轮比赛中甲、乙参与比赛的概率相同.甲首次参与猜歌名，猜对的概率为；甲在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为；甲在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为.乙首次参与猜歌名，猜对的概率为；乙在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为；乙在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为甲、乙互不影响. （1）求在两轮比赛中，甲只参与一轮比赛的概率； （2）记“梦想队”一共猜对了首歌名，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 期望为【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得甲只参与一轮比赛的概率. （2）首先计算出“梦想队”一共猜对首歌名、首歌名的概率，然后利用对立事件概率计算公式，求得“梦想队”一共猜对首歌名的概率，由此求得分布列并求得数学期望. 【小问1详解】 依题意，每轮比赛中甲、乙参与比赛的概率相同， 甲只参与一轮比赛，即“参加第一轮，不参加第二轮”或“不参加第一轮，参加第二轮”， 所以甲只参与一轮比赛的概率为. 【小问2详解】 每轮由两人选一人参赛，每次参赛结果有两种，，所以： ； ； . 的分布列为 0 1 2 . 19. 已知函数． （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数定义与直线垂直斜率之间的关系计算即可得； （2）原问题可转化为在递增，构造相应函数求导计算即可得； （3）原问题等价于在上能成立，构造函数，借助导数分类讨论可得该函数单调性，结合函数单调性计算即可得. 【小问1详解】 由，得． 由题意曲线在处的切线斜率为3，即， 所以； 【小问2详解】 ， 对任意两个不等的正数，不妨设，都有恒成立， 则，即恒成立． 令，可得在递增， 由恒成立， 可得恒成立，由可得其最大值为4， 则，即的取值范围是； 【小问3详解】 不等式等价于， 整理得， 设， 则由题意可知只需在上存在一个，使得． ， 因为，所以，令，得， ①若，即时，令，解得， ②若，即时，在处取得最小值， 令，即， 可得，令， 即，因为，可得左端大于1，而右端小于等于1， 所以不等式不能成立， ③当，即时，在上单调递减， 只需，得， 又因为，则， 综上所述，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值的综合问题，最后一小问关键点在于借助时，，从而分，及进行讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $