第12讲 幂函数-【暑假预科讲义】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第12讲 幂函数 【人教A版2019】 ·模块一 幂函数的概念 ·模块二 幂函数的图象与性质 ·模块三 课后作业 模块一 幂函数的概念 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 【考点1 对幂函数的概念的理解】 【例1.1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1.1】（23-24高一上·江西吉安·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 【考点2 求幂函数的函数值、解析式】 【例2.1】（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）已知幂函数的图象过点,则等于（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【例2.2】（23-24高一上·四川成都·期中）幂函数的图象过点，则此函数的解析式为（    ） A．（） B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式2.2】（23-24高二上·辽宁·开学考试）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 模块二 幂函数的图象与性质 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 3．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为； (3)函数的值域为(-,-2]∪[2,+). (4)奇偶性：，函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在 (-1,0)，(0,1)上单调递减. 【考点1 求幂函数的定义域、值域】 【例1.1】（23-24高一上·北京延庆·期末）下列函数中定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2024高一·全国·专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式1.2】（23-24高一上·河北衡水·期中）幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【考点2 幂函数的图象】 【例2.1】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）幂函数的图象如图，则将的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一上·四川成都·期中）若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2.1】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取，，，四个值，与曲线、、、相应的依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2.2】（23-24高一上·山东青岛·期中）在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（    ） A．    B．   C．    D．   【考点3 由幂函数的图象与性质求参数】 【例3.1】（23-24高一上·湖北襄阳·期末）当时，函数为减函数的m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（   ） A．或 3 B．1 或 C． D．3 【变式3.1】（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则实数的值（    ） A．2 B． C．2或 D．不存在 【变式3.2】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值是（    ） A．1 B．-3 C．1或-3 D．2 【考点4 比较幂值的大小】 【例4.1】（23-24高一上·天津·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2024·四川泸州·一模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【考点5 利用幂函数的性质解不等式】 【例5.1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知幂函数在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【例5.2】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 【变式5.1】（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知幂函数在定义域内单调递增． (1)求的解析式； (2)求关于x的不等式的解集． 【变式5.2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数. (1)求和的值； (2)求满足的的取值范围. 模块三 课后作业 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）若函数是幂函数，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·云南临沧·期末）幂函数的图象过点，则关于该幂函数的下列说法正确的是（   ） A．经过第一象限和第三象限 B．只经过第一象限 C．是奇函数 D．是偶函数 5．（23-24高一·全国·课堂例题）幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·上海·阶段练习）下列幂函数中，是奇函数，且在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·吉林白山·期末）已知幂函数在上是减函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．当时， D．当时， 10．（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．幂函数 始终经过点和 D．若幂函数图像关于轴对称，则 三、填空题 11．（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数是幂函数，则的值为 ． 12．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 四、解答题 13．（2024高一上·上海·专题练习）比较下列各组数的大小. (1)与； (2)与. 14．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 15．（23-24高一上·广西钦州·期中）已知是幂函数. (1)求、的值； (2)若，求实数的取值范围. 16．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 幂函数 【人教A版2019】 ·模块一 幂函数的概念 ·模块二 幂函数的图象与性质 ·模块三 课后作业 模块一 幂函数的概念 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 【考点1 对幂函数的概念的理解】 【例1.1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的定义直接得出结果. 【解答过程】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D. 【例1.2】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解题思路】由幂函数的定义即可求解. 【解答过程】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 【变式1.1】（23-24高一上·江西吉安·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的定义判断可得出结论. 【解答过程】由幂函数的定义可知，B选项中的函数为幂函数，ACD选项中的函数都不是幂函数. 故选：B. 【变式1.2】（23-24高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 【解题思路】利用幂函数的简单性质判断即可． 【解答过程】解：幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确； 当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确； 由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确； 函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确. 故选：B. 【考点2 求幂函数的函数值、解析式】 【例2.1】（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）已知幂函数的图象过点,则等于（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【解题思路】利用待定系数法求出函数解析式,再计算的值. 【解答过程】设,因为幂函数的图象过点, 所以解得 故选：D. 【例2.2】（23-24高一上·四川成都·期中）幂函数的图象过点，则此函数的解析式为（    ） A．（） B． C． D． 【解题思路】设出幂函数解析式，将点的坐标代入即可求解. 【解答过程】设幂函数，将点代入得，所以. 所以幂函数的解析式为，要使函数有意义，则， 故函数的解析式为（）. 故选：A. 【变式2.1】（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【解题思路】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值 【解答过程】由题意令，由于图象过点，得，，所以，得 故选：D. 【变式2.2】（23-24高二上·辽宁·开学考试）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由幂函数的定义可以求出，然后将点的坐标代入即可求出，由此即可得解. 【解答过程】由幂函数的定义可知，解得； 将点代入，得，解得； 所以． 故选：B． 模块二 幂函数的图象与性质 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 3．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为； (3)函数的值域为(-,-2]∪[2,+). (4)奇偶性：，函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在 (-1,0)，(0,1)上单调递减. 【考点1 求幂函数的定义域、值域】 【例1.1】（23-24高一上·北京延庆·期末）下列函数中定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案. 【解答过程】，定义域为，故A错误； ，定义域为，故B错误； ，定义域为，故C正确； ，定义域为，故D错误， 故选：C. 【例1.2】（2024高一·全国·专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【解答过程】由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，定义域、值域相同； 由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，，定义域、值域不相同. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【解题思路】根据幂函数的定义域求得正确答案. 【解答过程】①的定义域为，不符合. ②的定义域为，符合. ③的定义域为，不符合. ④的定义域为，符合. ⑤的定义域为，不符合. 所以符合的是②④. 故选：C. 【变式1.2】（23-24高一上·河北衡水·期中）幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可. 【解答过程】设， 代入点得 ， 则，令， 函数的值域是. 故选：C. 【考点2 幂函数的图象】 【例2.1】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）幂函数的图象如图，则将的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可. 【解答过程】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则， 所以， 当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则， 所以， 因为当时，指数越大，图象越高，所以， 综上，， 故选：B. 【例2.2】（23-24高一上·四川成都·期中）若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】函数，代入图像经过的点，求得的值，分析函数性质，选择函数图像. 【解答过程】设幂函数，因为图像经过点， 所以，解得，则此幂函数的表达式为． 幂函数，函数定义域为，在上单调递减， ，函数为偶函数，图像关于轴对称， 只有D选项符合. 故选：D. 【变式2.1】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取，，，四个值，与曲线、、、相应的依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【解题思路】根据函数图象在第一象限的单调性和增长速度得到和的值，再将代入和，比较出大小，得到答案. 【解答过程】由图象可知，曲线在第一象限单调递增， 且增长速度越来越快，故，所以， 曲线在第一象限单调递增，且增长速度越来越慢，故，故， 曲线和在第一象限均单调递减，故， 其中当时，，，而， 故为的图象，为的图象. 故选：A. 【变式2.2】（23-24高一上·山东青岛·期中）在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（    ） A．    B．   C．    D．   【解题思路】分、，、四种情况及二次函数幂函数的性质，逐一判断即可得答案. 【解答过程】解：因为二次函数的对称轴为， 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递增， 对于C，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为直线，故不正确； 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递减， 对于D，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，满足题意，故正确； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递减， 对于B，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，不满足题意，故不正确； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递增， 对于A，由题意可得此时，得以，所以幂函数，当时，图象在直线下方，不满足题意，故不正确； 故选：D. 【考点3 由幂函数的图象与性质求参数】 【例3.1】（23-24高一上·湖北襄阳·期末）当时，函数为减函数的m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的性质以及一元二次不等式的解法求解. 【解答过程】当时，因为函数在为减函数， 所以，解得； 当时，因为函数在为减函数， 所以函数在为增函数， 所以，解得或（舍）； 综上m的取值范围为， 故选：C. 【例3.2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（   ） A．或 3 B．1 或 C． D．3 【解题思路】根据幂函数的性质即可求解. 【解答过程】因为是幂函数， 则，则或， 当，，不符合题意， 当，，则在区间上是单调递增函数，符合题意，则； 故选：D. 【变式3.1】（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则实数的值（    ） A．2 B． C．2或 D．不存在 【解题思路】由幂函数的图像特征及函数的奇偶性，单调性可求解. 【解答过程】由幂函数为偶函数，即且为偶数， 解得，所以，且在上单调递减，满足题意， 故选：B. 【变式3.2】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值是（    ） A．1 B．-3 C．1或-3 D．2 【解题思路】先根据幂函数的定义得： 或，然后再根据函数在上单调性进行取舍. 【解答过程】∵为幂函数，∴ 或； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，不满足题意. 综上可知：. 故选：A. 【考点4 比较幂值的大小】 【例4.1】（23-24高一上·天津·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对应的幂函数单调性进行求解. 【解答过程】由题意得函数在上单调递增， 因为，所以得：，故A项正确. 故选：A. 【例4.2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小. 【解答过程】因为，，， 又在第一象限内是增函数，， 所以，即. 故选：D. 【变式4.1】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数单调性及，比较出大小关系. 【解答过程】因为，所以在上单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 【变式4.2】（2024·四川泸州·一模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【解题思路】首先根据幂函数所过的点求解幂函数解析式并判断函数单调性，然后通过自变量大小关系结合函数单调性判断函数值大小关系即可 【解答过程】已知幂函数经过点，可得：，解得：. 即，易知在上为单调递减函数. 由于，可得：，即； 又因为，，可得：，即； 综上所述：. 故选：B. 【考点5 利用幂函数的性质解不等式】 【例5.1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知幂函数在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据幂函数的定义和单调性即可求得. （2）构造函数，根据其单调性即可求出实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为幂函数在上单调递减，所以，即， 则（舍去），所以. （2）因为，，则， 因为在上单调递增，所以，则， 所以实数的取值范围为. 【例5.2】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 【解题思路】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解； （2）利用的单调性与定义域即可得解. 【解答过程】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上是增函数，故， ，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又，的定义域为， ，解得， 的取值范围是． 【变式5.1】（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知幂函数在定义域内单调递增． (1)求的解析式； (2)求关于x的不等式的解集． 【解题思路】（1）取，再验证单调性得到答案. （2）根据函数的单调性和定义域得到不等式，解得答案. 【解答过程】（1）幂函数在定义域内单调递增， 故，解得或， 当时，在上单调递减，在上单调递增，不满足； 当时，在上单调递增，满足； 故. （2）在上单调递增，， 故，解得或，即. 【变式5.2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数. (1)求和的值； (2)求满足的的取值范围. 【解题思路】（1）按题意列方程即可求解. （2）由函数的单调性即可求解. 【解答过程】（1）∵幂函数，∴，解得或1， 又因为幂函数在上是减函数，∴，解得， ∵，∴或，又因为幂函数图象关于轴对称， 当时，，图象关于轴对称，符合题意； 当时，，图象关于原点对称，不合题意， 综上，或1，； （2）由（1）可得，∴原不等式可化为 而函数在和上分别为减函数， 所以不等式可化为：或或， 解得或. 模块三 课后作业 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】首先将代入表达式求得参数，进一步将代入函数表达式即可求解. 【解答过程】由题意，解得，所以. 故选：A. 2．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）若函数是幂函数，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据幂函数的定义求解即可. 【解答过程】因为是幂函数，所以，解得， 故选：D. 3．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【解答过程】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B. 4．（23-24高一上·云南临沧·期末）幂函数的图象过点，则关于该幂函数的下列说法正确的是（   ） A．经过第一象限和第三象限 B．只经过第一象限 C．是奇函数 D．是偶函数 【解题思路】根据题意求出幂函数的解析式，作出该函数的图象，即可得出合适的选项. 【解答过程】设，因为幂函数的图象过点，则，解得， 所以，，该函数的定义域为， 当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的图象只经过第一象限，不经过第三象限，且该函数是非奇非偶函数. 故选：B. 5．（23-24高一·全国·课堂例题）幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论． 【解答过程】在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”， 所以幂函数在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为， 在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为. 故选：D. 6．（23-24高一上·上海·阶段练习）下列幂函数中，是奇函数，且在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】A选项，不满足单调性；CD选项，不满足为奇函数，B选项满足要求. 【解答过程】A选项，中，，故在上单调递减，A错误； B选项，中，故在上单调递增， 又定义域为R，， 故为奇函数，满足要求，B正确； C选项，的定义域为，故不是奇函数，C错误； D选项，的定义域为R，，故为偶函数，D错误. 故选：B. 7．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用幂函数的单调性判定即可． 【解答过程】由单调递增， 则可知， 由单调递增， 又，可得 所以． 故选：C． 8．（23-24高一上·吉林白山·期末）已知幂函数在上是减函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据是幂函数且在上是减函数求出的值，再将所求不等式两边同时平方求出的范围. 【解答过程】 是幂函数， ，解得或， 当时，不满足在上是减函数， 当时，满足在上是减函数， ， 将不等式的两边同时平方得，，解得， 的解集为. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．当时， D．当时， 【解题思路】根据题意，求得幂函数为，利用奇偶性的定义，以及幂函数的图象与性质，结合指数幂的运算性质，逐项判定，即可求解. 【解答过程】设幂函数的解析式为， 因为幂函数的图象过点，可得，解得，即， 所以函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数， 且在上单调递增，所以A正确，B不正确； 当时，可得，所以C正确； 当时， ， 因为，所以，所以D正确. 故选：ACD. 10．（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．幂函数 始终经过点和 D．若幂函数图像关于轴对称，则 【解题思路】A选项，代入点的坐标，得到；B选项，判断出为偶函数，且在上单调递减，故在上单调递增；C选项，因为，所以，，故C正确；D选项，先根据函数为幂函数和图像关于轴对称，得到，再判断出，结合函数单调性比较出大小. 【解答过程】A选项，设，将代入，，即， 解得，故解析式为，A错误； B选项，因为，所以在上单调递减， 又定义域为，， 故为偶函数，故在上单调递增，B错误； C选项，因为，所以，， 故幂函数 始终经过点和，C正确； D选项，由题意得，解得或， 当时，为偶函数，满足图像关于轴对称， 当时，为奇函数，不满足图像关于轴对称，舍去， 其中恒成立， 故， 又在上单调递增，故，D正确. 故选：CD. 三、填空题 11．（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数是幂函数，则的值为 或 ． 【解题思路】根据幂函数的定义求出m的值即可. 【解答过程】由题意知，，解得或. 故答案为：或. 12．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 【解题思路】利用幂函数的性质判断的大小即可得解. 【解答过程】对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 所以. 故答案为：. 四、解答题 13．（2024高一上·上海·专题练习）比较下列各组数的大小. (1)与； (2)与. 【解题思路】（1）根据题意，结合幂函数的单调性，即可求解； （2）根据题意，结合函数的单调性，即可求解. 【解答过程】（1）解：由幂函数在定义域为单调递减函数， 因为，所以. （2）解：由幂函数的定义域为， 且在为单调递减函数，又由， 所以函数为奇函数，所以在为递减函数， 又因为，所以. 14．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 【解题思路】（1）根据题意结合幂函数的定义和性质分析求解； （2）由（1）可得：，列表、描点、连线作图. 【解答过程】（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则，图象关于原点对称，符合题意； 若，则，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可得：，则的定义域为， 可得 1 2 3 2 3 1 则的图象为： 15．（23-24高一上·广西钦州·期中）已知是幂函数. (1)求、的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据幂函数的定义列出关于的方程组，由此求解出的值； （2）分析的定义域和单调性，然后列出关于的不等式组，由此求解出结果. 【解答过程】（1）因为是幂函数， 所以，解得； （2）由（1）可知，定义域为，且， 所以是上的单调递增函数， 又因为， 所以，解得， 所以的取值范围是. 16．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由幂函数的概念与性质直接列式求解; （2）分离参数，利用基本不等式求最值即可求解. 【解答过程】（1）因为幂函数在上单调递减， 则，解得，故 （2）由（1）可知，对任意的恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，，因此，实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$