第15讲 不等式单元复习-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第15讲 不等式单元复习 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．梳理等式的性质,掌握不等式的性质,并能运用这些性质解决有关问题 2．掌握基本不等式及其变形的应用,能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小 3．会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数,了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系 考点1 等式性质与不等式性质 【知识要点】 1．作差法比较两个实数大小 基本事实：a>b⇔ ，a＝b⇔ ，a<b⇔ ． 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc． 3．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么 ；如果b<a，那么a>b．即a>b⇔ ． (2)传递性：如果a>b，b>c，那么 ．即a>b，b>c⇒ ． (3)加法法则：如果a>b，那么 ． (4)乘法法则：如果a>b，c>0，那么 ；如果a>b，c<0，那么 ． (5)同向相加法则：如果a>b，c>d，那么 ． (6)异向相减法则：如果,那么 ． (7)同向正不等式相乘法则：如果a>b>0，c>d>0，那么 ． 1．已知实数a，b，c，其中a＞b，则下列不等式一定正确的是（　　） A． B．ac2＞bc2 C．a2＞b2 D．a3＞b3 2．已知a，b∈R且a＞b，下列不等式正确的是（　　） A． B．1 C．a﹣b＞0 D．a+b＞0 3．（多选）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（　　） A．c2＜cd B．a﹣c＜b﹣d C．ac＞bd D．0 4．（多选）若，则下列不等式正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．a＜b C．a+b＜ab D．a3＞b3 考点2 基本不等式 【知识要点】 1．重要不等式与基本不等式 注意：基本不等式a＋b2≥ab(a>0，b>0) (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立， 即a＝b⇒a＋b2＝ab； ②仅当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立， 即a＋b2＝ab⇒a＝b． (3)区分均值不等式和重要不等式的成立条件 2．最值定理 设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当 时，积xy有最大值，且这个值为s24． 设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当 时，和x＋y有最小值，且这个值为2p． 3．基本不等式求最值的条件（七字真言） (1)一正：x，y必须是 ； (2)二定：求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为 ． (3)三相等：等号成立的条件是否满足． 1．已知x，y为正实数，且xy＝4，则x+4y的最小值是（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 2．若x＜0，则x的最大值为（　　） A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣2 3．函数取最小值时x的值为 ． 4．已知实数x＞3，则的最小值是（　　） A．24 B．12 C．6 D．3 5．若x＞0，则f（x）的最小值为 ． 6．若正数x，y满足2x+y＝1，则的最小值为（　　） A．4 B．3+2 C．9 D．8 7．已知正实数a，b满足2a+3b＝1，则的最小值为（　　） A．15 B． C．16 D． 8．若mn＞0，3，则m+n的最小值为（　　） A．2 B．6 C．3 D．9 9．已知a＞0，b＞0，a+4b＝2，则的最小值为（　　） A．32 B．16 C．8 D．4 10．已知a＞0，b＞0，a+4b＝4，则的最小值为 ． 11．已知：a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列说法正确的是（　　） A．ab有最大值 B．ab有最小值 C．有最大值4 D．有最小值 12．（多选）已知正数x，y满足x+y＝2，则下列结论正确的是（　　） A．xy的最大值是1 B．的最小值是2 C．x2+y2的最小值是4 D．的最小值是 13．（多选）下列结论正确的是（　　） A．当x＞0时， B．当x＞2时，的最小值是2 C．当时，的最大值是1 D．设x＞0，y＞0，且x+y＝2，则的最小值是 考点3 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识要点】 1．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 注意 (1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 1．不等式（x+1）（4﹣x）≤0的解集为（　　） A．{x|﹣1≤x≤4} B．{x|x≥4或x≤﹣1} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|x＞4或x＜﹣1} 2．一元二次不等式2x2+x﹣6≥0的解集为（　　） A． B． C． D． 3．求下列不等式的解集： （1）（x+4）（﹣x﹣1）＜0； （2）﹣3x2+x＞2； （3）4x2﹣4x+1＞0； （4）﹣x2+5x+6≥0． 4．不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＞0的解集为（　　） A．{x＜﹣1或x} B． C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x＜﹣2或x＞1} 5．不等式ax2+bx+2＞0的解集是（，），则a﹣b等于（　　） A．﹣4 B．14 C．﹣10 D．10 6．若不等式ax2+bx+c＞0的解集是，则cx2+bx+a＜0的解集是（　　） A． B． C． D． 7．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） C． D． 8．（多选）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|﹣2＜x＜3}，则（　　） A．a＞0 B．不等式ax+c＞0的解集为{x|x＜6} C．a+b+c＞0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为 9．不等式ax2+ax﹣4＜0的解集为R，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣16，0） B．（﹣16，0] C．[﹣8，0] D．（﹣8，0] 10．关于x的不等式x2﹣ax+1＞0的解集是R，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C．（﹣2，2） D．[﹣2，2] 11．若不等式ax2+ax﹣1≤0的解集为实数集R，则实数a的取值范围为 ． 12．不等式（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x﹣1＜0的解集为R，则实数a的取值范围为 ． 1．设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为 ． 2．已知不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　） A．{x|x＜1} B．{x＜﹣1或x} C．{x|﹣1＜x} D．{x|x或x＞1} 3．若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式成立的是（　　） A．1 B．2 C． D．a2+a＜b2+b 4．已知x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 5．已知x＞0，y＞0，4x+y＝3． （1）求xy的最大值； （2）求的最小值． 6．已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣a﹣1，a∈R． （1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求a的值； （2）解关于x的不等式f（x）≤0． 1．二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x}，则ab的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 2．已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（　　） A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1 3．若实数a，b满足，则ab的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 4．（多选）给出四个选项能推出的有（　　） A．b＞0＞a B．0＞a＞b C．a＞0＞b D．a＞b＞0 5．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}． （1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0 （2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R． 6．（1）已知x＜2，求f（x）x的最大值； （2）已知x，y是正实数，且x+y＝9，求的最小值． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第15讲 适用学科 数学 适用年级 新高一 1．【解答】解：当a＝3，b＝﹣1，满足＞b，但不成立，故A错误， 当c＝0时，ac2＞bc2不成立，故B错误， 当a＝1，b＝﹣1，满足＞b，但a2＞b2不成，故C错误， ∵f（x）＝x3是增函数， ∴当a＞b时，由a3＞b3成立，故D正确， 故选：D． 2．【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，当a＝2，b＝1时，a＞b但，A错误， 对于B，当a＝2，b＝﹣1时，a＞b但0，B错误， 对于C，若a＞b，必有a﹣b＞0，C正确， 对于D，当0＞a＞b时，a+b＜0，D错误， 故选：C． 3．【解答】解：因为a＞b＞0＞c＞d，所以a＞b＞0，0＞c＞d， 对于A，因为0＞c＞d，由不等式的性质可得c2＜cd，故选项A正确； 对于B，取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，则a﹣c＝3，b﹣d＝3，所以a﹣c＝b﹣d，故选项B错误； 对于C，取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，则ac＝﹣2，bd＝﹣2，所以ac＞bd，故选项C错误； 对于D，因为ad＜0，bc＜0，因为a＞b＞0，d＜c＜0，则ad＜bc，所以，故，故选项D正确． 故选：AD． 4．【解答】解：由已知若可得：b＜a＜0，故B错误， 则|a|＜|b|，A错误，而a+b＜0，ab＞0，所以a+b＜ab，C正确， 因为a＞b，所以a3＞b3，D正确， 故选：CD． 1．【解答】解：∵x＞0，y＞0 ∴x+4y≥28， 当且仅当x＝4y且xy＝4，即x＝4，y＝1时取等号， ∴x+4y的最小值为8． 故选：B． 2．【解答】解：因为x＜0，则﹣x＞0， 则x[（﹣x）+（）]4， 当且仅当﹣x，即x＝﹣2时取等号，此时取得最大值﹣4． 故选：C． 3．【解答】解：， 当且仅当x+2＝4即x＝2时等号成立， 故答案为：2． 4．【解答】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0， 4（x﹣3）12≥12+224， 当且仅当4x﹣12时，取得最小值24． 故选：A． 5．【解答】解：x＞0，则f（x）x2， 当且仅当x时取等号，此时f（x）取得最小值2． 故答案为：2． 6．【解答】解：∵2x+y＝1， ∴（）（2x+y）＝22≥4+2 4+2×2＝8，当且仅当，即y＝2x时，等号成立． ∴的最小值为8． 故选：D． 7．【解答】解：∵a＞0，b＞0，2a+3b＝1， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为：． 故选：D． 8．【解答】解：∵mn＞0，3，∴m＞0，n＞0， ∴3（m+n）＝（m+n）（）＝5， 当且仅当n＝2m＝2时，取等号， 所以m+n的最小值为3． 故选：C． 9．【解答】解：∵，， ∴，当且仅当4b＝3a时取等号． ∴的最小值为32． 故选：A． 10．【解答】解：因为， ，当且仅当a＝1，b时，等号成立． 所以． 故答案为：16． 11．【解答】解：a＞0，b＞0，a+b＝1， ∴1＝a+b≥2， ∴ab，当且仅当a＝b时取等号， 22+22+2＝4，当且仅当a＝b时取等号， 故选：A． 12．【解答】解：由x+y＝2，得，所以xy≤1（当且仅当x＝y＝1时取等号），故A正确； （当且仅当x＝y＝1时取等号）故B正确； ∵2（x2+y2）≥（x+y）2＝4， ∴x2+y2≥2（当且仅当x＝y＝1时取等号），故C错误； （当且仅当时取等号），故D正确． 故选：ABD． 13．【解答】解：选项A，22，当且仅当，即x＝1时，等号成立，故选项A正确； 选项B，y在（2，+∞）上单调递增，∴y＞2，即选项B错误； 选项C，设y（4x﹣5）3， 令t＝4x﹣5∈（﹣∞，0），则y＝t3＝﹣（﹣t）+3≤﹣23＝1，当且仅当﹣t，即t＝﹣1时，等号成立， ∴的最大值为1，即选项C正确； 选项D，（）（x+y）（1+4）（5+2）， 当且仅当，即x，y时，等号成立， ∴的最小值为，即选项D错误． 故选：AC． 1．【解答】解：不等式（x+1）（4﹣x）≤0可化为（x+1）（x﹣4）≥0， 解得x≤﹣1或x≥4； 所以该不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥4}． 故选：B． 2．【解答】解：不等式2x2+x﹣6≥0可化为（x+2）（2x﹣3）≥0， 解得x≤﹣2或x， 所以该不等式的解集为（﹣∞﹣2]∪[，+∞）． 故选：A． 3．【解答】解：（1）不等式（x+4）（﹣x﹣1）＜0化为（x+4）（x+1）＞0， 解得x＞﹣1或x＜﹣4， ∴不等式的解集为（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，+∞）． （2）不等式﹣3x2+x＞2化为3x2﹣x+2＜0， ∵△＝1﹣4×3×2＜0， ∴x无解，解集为∅． （3）不等式4x2﹣4x+1＞0化为（2x﹣1）2＞0， ∴x， ∴不等式的解集为（﹣∞，）∪（，+∞）． （4）不等式﹣x2+5x+6≥0化为x2﹣5x﹣6≤0，即（x﹣6）（x+1）≤0， 解得﹣1≤x≤6， ∴不等式的解集为[﹣1，6]． 4．【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}， ∴﹣1，2是方程ax2+bx+2＝0的两个实数根，且a＜0， ∴，解得a＝﹣1，b＝1； ∴不等式2x2+bx+a＞0化为2x2+x﹣1＞0， 解得x＜﹣1或x ∴不等式2x2+bx+a＞0的解集为{x＜﹣1或x} 故选：A． 5．【解答】解：因为 所以是方程ax2+bx+2＝0的根， 所以 a＝﹣12，b＝﹣2 所以a﹣b＝﹣10 故选：C． 6．【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是， 所以和2是方程ax2+bx+c＝0的两实数解，且a＜0； 由根与系数的关系知，， 解得c＝﹣a，ba； 所以不等式cx2+bx+a＜0化为﹣ax2ax+a＜0， 即为2x2+3x﹣2＜0， 解得﹣2＜x， 所以不等式的解集为（﹣2，）． 故选：D． 7．【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣3，2）， 所以对应方程ax2+bx+c＝0的解是﹣3和2，且a＜0； 由根与系数的关系知，； 解得b＝a，c＝﹣6a， 所以不等式cx2+bx+a＞0可化为﹣6ax2+ax+a＞0， 即6x2﹣x﹣1＞0， 即（3x+1）（2x﹣1）＞0， 解得x或x； 所以所求不等式的解集是（﹣∞，）∪（，+∞）． 故选：D． 8．【解答】解：由已知可得﹣2，3是方程ax2+bx+c＝0的两根， 则由韦达定理可得：，且a＜0，解得c＝﹣6a，b＝﹣a，所以A错误， 选项B：ax+c＞0化简为x﹣6＜0，解得x＜6，B正确， 选项C：a+b+c＝a﹣a﹣6a＝﹣6a＞0，C正确， 选项D：cx2﹣bx+a＜0化简为：6x2﹣x﹣1＜0，解得，D正确， 故选：BCD． 9．【解答】解：当a＝0时，不等式ax2+ax﹣4＜0化为﹣4＜0，对任意的x∈R恒成立，满足题意； 当a≠0时，不等式ax2+ax﹣4＜0的解集为R，应满足，解得﹣16＜a＜0； 综上知，实数a的取值范围是（﹣16，0]． 故选：B． 10．【解答】解：由已知可得不等式x2﹣ax+1＞0在R上恒成立， 则只需△＝a2﹣4＜0， 解得﹣2＜a＜2，所以实数a的范围为（﹣2，2）， 故选：C． 11．【解答】解：a＝0时，不等式ax2+ax﹣1≤0化为﹣1＜0，不等式的解集为实数集R； a≠0时，不等式ax2+ax﹣1≤0的解集为实数集R时， 应满足，解得﹣4≤a＜0； 所以实数a的取值范围是[﹣4，0]． 故答案为：[﹣4，0]． 12．【解答】解：设函数f（x）＝（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x﹣1，由题意知关于x的不等式（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x﹣1＜0的解集为R， 所以对任意的x属于R，都有f（x）＜0； 当a≠1时，函数f（x）是关于x的抛物线，抛物线必开口向下，且与x轴无交点； 应满足， 解得0＜a＜1； 当a＝1时，f（x）＝﹣1，满足f（x）＜0； 综上知，a的取值范围是（0，1]． 故答案为：（0，1]． 1．【解答】解：3x2+x﹣2＜0，将3x2+x﹣2分解因式即有： （x+1）（3x﹣2）＜0；（x+1）（x）＜0； 由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边” 可得：﹣1＜x； 即：{x|﹣1＜x}；或（﹣1，）； 故答案为：（﹣1，）； 2．【解答】解：不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}， 所以﹣1，2是方程ax2+bx+2＝0的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系知，解得a＝﹣1，b＝﹣1； 所以不等式2x2+bx+a＜0化为2x2﹣x﹣1＜0， 解得x＜1； 所以不等式2x2+bx+a＜0的解集为{x|x＜1}． 故选：A． 3．【解答】解：a＝﹣4，b＝﹣2，满足a＜b，A显然不成立； 当a＝﹣4，b＝2时，满足a＜b，B显然不成立； 因为0， 所以，C成立； a2+a﹣b2﹣b＝（a﹣b）（a+b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）符号不确定，D不成立． 故选：C． 4．【解答】解：x＞0，y＞0，且，则x+y＝（x+y）（）＝33+23+2， 当且仅当，即x＝1，y＝2时取等号， 故选：D． 5．【解答】解：（1）∵， ∴，当且仅当4x＝y时取等号，即时取等号， 即， 所以xy的最大值为． （2）由4x+y＝3可得，则， 当且仅当时取等号，即时取等号， 所以的最小值为16． 6．【解答】解：（1）函数f（x）＝x2﹣ax﹣a﹣1，不等式f（x）≤0化为x2﹣ax﹣a﹣1≤0， 因为不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，所以方程x2﹣ax﹣a﹣1＝0的根为﹣1和2， 所以，解得a＝1． （2）由x2﹣ax﹣a﹣1＝0，得（x﹣a﹣1）（x+1）＝0， 所以方程的两根为x＝a+1或x＝﹣1． 当a+1＞﹣1时，即a＞﹣2时，不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，a+1]； 当a+1＝﹣1时，即a＝﹣2时，不等式f（x）≤0的解集为{﹣1}； 当a+1＜﹣1时，即a＜﹣2时，不等式f（x）≤0的解集为[a+1，﹣1]． 综上所述：当a＞﹣2时，不等式的解集为[﹣1，a+1]； 当a＝﹣2时，不等式的解集为{﹣1}； 当a＜﹣2时，不等式的解集为[a+1，﹣1]． 1．【解答】解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x}， ∴a＜0， ∴原不等式等价于﹣ax2﹣bx﹣1＜0， 由韦达定理知﹣1，﹣1×3， ∴a＝﹣3，b＝﹣2， ∴ab＝6． 故选：D． 2．【解答】解：当k＝0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0化为8≥0恒成立， 当k＜0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0不能恒成立， 当k＞0时，要使不等式kx2﹣6kx+k+8≥0恒成立， 需△＝36k2﹣4（k2+8k）≤0， 解得0≤k≤1， 故选：A． 3．【解答】解：∵， ∴a＞0，b＞0， ∵（当且仅当b＝2a时取等号）， ∴， 解可得，ab，即ab的最小值为2， 故选：C． 二．多选题（共1小题） 4．【解答】解：⇔⇔ab（a﹣b）＞0， A，ab＜0，a﹣b＜0，ab（a﹣b）＞0成立 B，ab＞0，a﹣b＞0，ab（a﹣b）＞0成立 C．ab＜0，a﹣b＞0，ab（a﹣b）＜0，不成立， D．ab＞0，a﹣b＞0，ab（a﹣b）＞0成立 故选：ABD． 三．解答题（共2小题） 5．【解答】解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6＝0的两根， ∴，解得a＝3． ∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x． ∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x}； （2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0， 若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6． 6．【解答】解：（1）因为x＜2，则f（x）x﹣2+2＝2﹣（）4， 当且仅当2﹣x即x＝﹣1时取等号，此时取得最大值﹣4； （2）∵x，y是正实数，且x+y＝9， 则（）（x+y）（4）， 当且仅当且x+y＝9即x，y时取等号，此时取得最小值． $$