第02讲 由SAS、ASA、AAS证明三角形全等-2024年暑假八年级数学上册自学课系列（苏科版）

第02讲 由SAS、ASA、AAS证明三角形全等 【苏科版】 ·模块一 “边角边” 判定三角形全等 ·模块二 “角边角”判定三角形全等 ·模块三 “角角边”判定三角形全等 ·模块四 课后作业 模块一 “边角边” 判定三角形全等 全等三角形的判定 边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 【考点1 “边角边” 判定三角形全等】 【例1.1】（2023八年级·山东威海·期末）如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．以上三个选项都可以 【例1.2】（2023八年级·浙江台州·期末）如图，已知，则的根据是（    ） A． B． C． D． 【例1.3】（2023八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等边三角形，分别在和上，，连接交于P点，则的度数是（   ） A．90° B．100° C．120° D．150° 【变式1.1】（2023八年级·山东泰安·期末）如图，，，要根据“”说明，则还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023八年级·江苏常州·期中）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °． 【变式1.3】（2023八年级·河北廊坊·期中）如图，是的中线，点，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法不一定正确的是（    ）      A． B．和的面积相等 C． D． 【考点2 “边角边” 证明三角形全等】 【例2.1】（2023八年级·河南三门峡·期末）如图，，，，求证：．    【例2.2】（2023八年级·浙江温州·期中）看图填空：如图，已知，，试说明． 证明：∵ ∴ （两直线平行，同位角相等） ∵ ∴ ； 即： 在和中 ∴（ ）． 【例2.3】（2023八年级·山西长治·期中）如图，将绕顶点A逆时针旋转至．连接．    (1)若，，求的度数． (2)若，求证． 【变式2.1】（2023八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，，延长至点，使，过点作，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2.2】（2023八年级·河北保定·期中）如图，在和中，，，且，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)写出与的数量关系，并证明你的结论． 【变式2.3】（2023八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知正方形，点E是上的一点，连接，以为一边，在的上方作正方形，连接． 求证： (1)； (2)． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·山东临沂·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2 【题型2】（2023八年级·山东德州·期中）在和中，，，，，则这两个三角形的关系是（ ） A．不一定全等 B．不全等 C．根据全等 D．根据全等 【题型3】（2023八年级·江苏南京·期末）在中，，中线，则边AB的取值范围是 ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·河南周口·期中）如图，在四边形中，，，．求证：． 【题型2】（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，△ABC中，∠BAC=2∠C，BD为∠ABC的平分线，BC=7.6，AB=4.4，则AD= . 【题型3】（2023八年级·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，． (1)，与之间的数量关系是____________． (2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使） (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种． 模块二 “角边角” 判定三角形全等 全等三角形的判定 角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 【考点1 “角边角” 判定三角形全等】 【例1.1】（2023八年级·陕西安康·期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023八年级·河南周口·期末）如图，要测量河岸相对两点的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，使，再过点作的垂线段，使点在一条直线上，测出米，则的长是（    ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 【例1.3】（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，点是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023八年级·全国·假期作业）如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（    ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 【变式1.2】（2023八年级·河北石家庄·期末）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　）    A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【变式1.3】（2023八年级·河南信阳·期末）已知是的边上一点，交于点，，，若，，则的长为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【考点2 “角边角” 证明三角形全等】 【例2.1】（2023八年级·广西河池·期末）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【例2.2】（2023八年级·山东临沂·期末）如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：． 【例2.3】（2023·陕西西安·八年级·期末）如图，在中，，在边上顺次取点，，使．作，，分别与，的延长线交于点，．求证：．    【变式2.1】（2023·陕西西安·八年级·期末）如图，点在外部，点在边上，若，，，求证：． 【变式2.2】（2023八年级·山东济南·期中）如图，已知点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2.3】（2023八年级·湖北·期末）如图，为测量河宽，小军站在河岸的O处调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面的Q处，然后沿所在直线后退到B处（保持之前的姿势），这时他的视点恰好落在O处，同时他让小华测量他此时所站的B处与O处之间的距离为．你能帮忙算出河宽吗？请说明理由． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·全国·竞赛）如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】（2023八年级·广东清远·期中）如图，小明和小月两家位于A，B两处，要测得两家之间的距离，小明设计方案如下： ①从点A 出发沿河岸画一条射线 ②在射线上截取 ； ③过点E作， 使 B， F，C在一条直线上； ④的长就是A，B 间的距离． (1)请你说出小明的方案的原理，小明的方案是否可行？如果可行，请进行说理证明． (2)如果不借助测量仪，小明的设计中哪一步难以实现？（直接写出答案） 【题型3】（2023八年级·安徽·专题练习）如图，在中，，，的平分线交于，的延长线于点，求证： 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·江苏泰州·期末）如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．，与不全等 C．与不全等， D．与全等，与不全等 【题型2】（2023八年级·江西吉安·期末）如图，的面积为，平分，过点A作于点，则的面积为 ． 【题型3】（2023八年级·重庆沙坪坝·期中）如图， 中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点H． 求证： (1)； (2)． 模块三 “角角边” 判定三角形全等 全等三角形的判定 角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 【考点1 “角角边”判定三角形全等】 【例1.1】（2023八年级·山西吕梁·期中）如图，，要依据“”判定，则还需要添加的条件是 ．    【例1.2】（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是 cm． 【例1.3】（2023八年级·山东淄博·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为 ． 【变式1.1】（2023八年级·甘肃·期中）如图，已知的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是 . 【变式1.2】（2023八年级·福建龙岩·期中）如图，已知与相交于点，，点为中点，若，，则 ．    【变式1.3】（2023八年级·河北邢台·期中）在一次数学活动中，为了测一堵墙上点的高度，嘉淇设计了如下方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得 °，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量地面上线段 的长度，即为点的高度． 若测得，，直杆下滑的高度 m． 【考点2 “角角边”证明三角形全等】 【例2.1】（2023八年级·四川成都·期中）如图，点、在上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【例2.2】（2023·江苏无锡·八年级·期末）如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【例2.3】（2023八年级·陕西西安·期末）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度．    【变式2.1】（2023八年级·浙江湖州·期末）如图，已知，，．求证： ．    【变式2.2】（2023八年级·云南普洱·期末）如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2.3】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若＝16,求的长． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，已知在中，，，，．求证：． 【题型2】（2023八年级·湖北十堰·期末）已知：如图，，．    (1)若中，，为上的一点，与相交于点F，求证：． (2)若中，，在的延长线上，交的延长线相交于点E，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由． 【题型3】（2023八年级·湖北武汉·期中）如图所示，中，，，，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作于点D，于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·四川广安·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动．如图2，A表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从A处摆动到B处，此时过点B作于点D，当小球摆动到C处时，与恰好垂直，过点C作于点E．试说明（图中的点在同一平面内）． 【题型2】（2023八年级·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ． 【题型3】（2023八年级·山东临沂·期末）张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等．） 模块四 课后作业 1．（2023八年级·江苏苏州·期末）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（　　） A． B． C． D． 2．（2023八年级·湖北武汉·期中）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（　　） A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE 3．（2023八年级·新疆阿克苏·期末）如图，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为（    ） A． B． C． D． 4．（2023八年级·广东汕头·期中）如图，四边形是正方形，和都是直角，且点E，A，B三点共线，，则阴影部分的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2023·河北石家庄·八年级·期末）为测量一池塘两端A，B间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案． 甲：如图1，先过点B作的垂线，再在射线上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E．则测出的长即为A，B间的距离； 乙：如图2，先确定直线，过点B作射线，在射线上找可直接到达点A的点D，连接，作，交直线于点C，则测出的长即为间的距离，则下列判断正确的是（    ） A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行 C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行 6．（2023八年级·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 7．（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为 ． 8．（2023八年级·吉林长春·期中）如图所示的5个三角形中： ， ． 9．（2023八年级·安徽六安·期末）如图，点在线段上，，，，，，则的长为 ． 10．（2023八年级·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ． 11．（2023·陕西西安·八年级·期末）如图，在四边形中，，连接，点E在上，，连接，．求证：． 12．（2023八年级·天津宁河·期中）如图，已知 连接． (1)求证： ； (2)若 求的度数． 13．（2023·四川宜宾·八年级·期末）如图，点E在边上，，，． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 14．（2023·陕西渭南·八年级·期末）如图，点A为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是______； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 15．（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期末）阅读与思考： 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是内一点，且平分，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作交延长线于点交于点E， 平分 ， ， 在和中， ， （依据1） （依据2），， ，，…… (1)任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，____________； (2)任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； (3)应用：如图3，在中，，平分交于点D，过点C作交延长线于点E，若，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 由SAS、ASA、AAS证明三角形全等 【苏科版】 ·模块一 “边角边” 判定三角形全等 ·模块二 “角边角”判定三角形全等 ·模块三 “角角边”判定三角形全等 ·模块四 课后作业 模块一 “边角边” 判定三角形全等 全等三角形的判定 边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 【考点1 “边角边” 判定三角形全等】 【例1.1】（2023八年级·山东威海·期末）如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．以上三个选项都可以 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据角平分线的定义得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， 故选：C． 【例1.2】（2023八年级·浙江台州·期末）如图，已知，则的根据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有．根据题中已知，及公共角，利用证明即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， 故选：D． 【例1.3】（2023八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等边三角形，分别在和上，，连接交于P点，则的度数是（   ） A．90° B．100° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质；证明三角形全等得出角相等是解决问题的关键，先由等边三角形的性质，得再证明，再进行角的等量代换，即可作答． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C． 【变式1.1】（2023八年级·山东泰安·期末）如图，，，要根据“”说明，则还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查添加条件证明三角形全等，根据要求利用“”说明，角度给定，且给定一边，只要找到夹角的另一边即可． 【详解】解：根据题意知利用“”证明， ∵，， ∴添加即可． 故选：A． 【变式1.2】（2023八年级·江苏常州·期中）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °． 【答案】90 【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：如图，由题意得：， ， ， ， ， ， 故答案为：90． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 【变式1.3】（2023八年级·河北廊坊·期中）如图，是的中线，点，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法不一定正确的是（    ）      A． B．和的面积相等 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的面积相等．根据“”证明得到，，推出，可对选项AC进行判断；根据三角形中线的性质可对选项B进行判断； 【详解】解：为的中线， ， 在和中， ， ， ∴，故选项A说法正确，不符合题意； ∴， ∴，故选项C说法正确，不符合题意； 是的中线， ， 和面积相等，故选项B说法正确，不符合题意； 不一定相等，故选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 【考点2 “边角边” 证明三角形全等】 【例2.1】（2023八年级·河南三门峡·期末）如图，，，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，首先根据，然后得到，然后证明出． 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】∵， ∴，即， 又∵，， ∴． 【例2.2】（2023八年级·浙江温州·期中）看图填空：如图，已知，，试说明． 证明：∵ ∴ （两直线平行，同位角相等） ∵ ∴ ； 即： 在和中 ∴（ ）． 【答案】A；；；；；． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由，可得，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 故答案为：A；；；；；．． 【例2.3】（2023八年级·山西长治·期中）如图，将绕顶点A逆时针旋转至．连接．    (1)若，，求的度数． (2)若，求证． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查旋转的性质及全等三角形的判定，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）由旋转可知，则有，然后根据三角形内角和及旋转的性质可进行求解； （2）由旋转可知，，然后问题可求证． 【详解】（1）解：由旋转可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由旋转可知，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式2.1】（2023八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，，延长至点，使，过点作，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）首先根据题意得到，然后利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2.2】（2023八年级·河北保定·期中）如图，在和中，，，且，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)写出与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）先证明，再利用证明两个三角形全等即可； （2）先证明，再结合，从而可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 即． 又， （2），理由如下： ， ． 设、相交于点， 则． ， 即． 【变式2.3】（2023八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知正方形，点E是上的一点，连接，以为一边，在的上方作正方形，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据四边形，均为正方形，可得，，，进而可得，即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等可得，等量代换可得． 【详解】（1）证明：四边形，均为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得， ， ． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·山东临沂·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据题意得，，则，由于，根据全等三角形的判定方法，当，时可判断，即，；当，时可判断，即，，然后分别求出对应的的值即可． 【详解】解：根据题意得，，，则， ， 当，时，， 即，， 解得：，； 当，时，， 即，， 解得：，， 综上所述，当与全等时，的值是2或3． 故选：C． 【题型2】（2023八年级·山东德州·期中）在和中，，，，，则这两个三角形的关系是（ ） A．不一定全等 B．不全等 C．根据全等 D．根据全等 【答案】D 【分析】由角度数量关系与三角形内角和定理可得，，由线段的数量关系可得，，进而可证明三角形全等． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， 得， 得：， ∴在和中， ∵ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定．解题的关键在于找出三角形全等的条件． 【题型3】（2023八年级·江苏南京·期末）在中，，中线，则边AB的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出图形，延长AD至E，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围． 【详解】如图，延长AD至E，使， 是的中线， ， 在和中，， ≌， ， ， ， ，， ， 即． 故答案为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·河南周口·期中）如图，在四边形中，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】连接，证明，得出， 再证，即可． 【详解】连接，BD 在与中，， ∴， ， 在与中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键． 【题型2】（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，△ABC中，∠BAC=2∠C，BD为∠ABC的平分线，BC=7.6，AB=4.4，则AD= . 【答案】3.2 【详解】如图，在BC上截取BE=AB， 则CE=BC−BE=7.6−4.4=3.2， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△EBD中, ， ∴△ABD≌△EBD(SAS)， ∴AD=DE，∠BED=∠A， ∵∠BAC=2∠C，∠BED=∠C+∠CDE， ∴∠C=∠CDE， ∴CE=DE=BC−AB=3.2， ∴AD=DE=3.2， 故答案为3.2. 点睛：证明或求线段相等的方法通常有：全等三角形的对应边相等；等腰三角形中等角对等边；角平分线上的点到角的两边距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；根据题目条件选择适当方法解决. 【题型3】（2023八年级·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，． (1)，与之间的数量关系是____________． (2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使） (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种． 【答案】(1) (2)12000元 (3)千克 【分析】（1）由直接可以得到； （2）延长至点，使，证得，得到，，进而证明解题； （3）利用（2）中结论可得，运用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：； （2）如图，延长至点，使，连接． . 在与中， ， ，. ，即. 在与中， ， ， （米）． 五边形的周长为（米）， （元）． 答：建造木栅栏共需花费12000元. （3）千克 ， 需小麦种数量为：(千克）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解决一条线段长等于两条线段和的问题常用方法“截长或补短”． 模块二 “角边角” 判定三角形全等 全等三角形的判定 角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 【考点1 “角边角” 判定三角形全等】 【例1.1】（2023八年级·陕西安康·期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图形可知三角形的两边和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形．此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：B． 【例1.2】（2023八年级·河南周口·期末）如图，要测量河岸相对两点的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，使，再过点作的垂线段，使点在一条直线上，测出米，则的长是（    ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 【答案】C 【分析】由均垂直于，即可得出，即可证出，由此即可得出，此题得解． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴米， 故选C 【点睛】考查了三角形全等的判定和性质，解题是熟练判定方法，本题属于三角形全等的判定应用. 【例1.3】（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，点是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作交于点，使得，得，再根据的三边的关系即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，使得， ∵是的平分线， ∴，是公共边，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴在中，，即， ∴的长不可能是， 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的关键． 【变式1.1】（2023八年级·全国·假期作业）如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（    ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【详解】③④满足利用ASA证明全等. 【变式1.2】（2023八年级·河北石家庄·期末）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　）    A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时要根据已知条件进行选择运用． 【详解】解：想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是①④或③④， 满足的为①④， 故选D． 【变式1.3】（2023八年级·河南信阳·期末）已知是的边上一点，交于点，，，若，，则的长为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用ASA证明和全等，进而得出，即可求出的长． 【详解】解：， ． ，， （ASA）． ． 又， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类题的常用方法． 【考点2 “角边角” 证明三角形全等】 【例2.1】（2023八年级·广西河池·期末）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）由，依据“两只相平行，同位角相等”得到，结合已知根据“”可判定全等； （2）根据全等三角形的性质得到，依据“同位角相等，两只相平行”可进行求证． 【详解】（1）∵， ， 在和中， ， （2）， 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【例2.2】（2023八年级·山东临沂·期末）如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由题意可得出，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即． 在和中，， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 【例2.3】（2023·陕西西安·八年级·期末）如图，在中，，在边上顺次取点，，使．作，，分别与，的延长线交于点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据推出，根据，，得出，结合，利用证明，即可得出，熟练掌握利用证明三角形全等是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式2.1】（2023·陕西西安·八年级·期末）如图，点在外部，点在边上，若，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得证． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ． 【变式2.2】（2023八年级·山东济南·期中）如图，已知点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）先由平行线的性质得到，再利用即可证明； （2）利用全等三角形的性质得到，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 【变式2.3】（2023八年级·湖北·期末）如图，为测量河宽，小军站在河岸的O处调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面的Q处，然后沿所在直线后退到B处（保持之前的姿势），这时他的视点恰好落在O处，同时他让小华测量他此时所站的B处与O处之间的距离为．你能帮忙算出河宽吗？请说明理由． AI 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用，证明即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵B处与O处之间的距离为， ∴河宽． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·全国·竞赛）如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明，根据可证明． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵ ∴， 又， ∴ ∴选项D正确； 而选项A、B、C都无法证明三角形全等， 故选：D． 【题型2】（2023八年级·广东清远·期中）如图，小明和小月两家位于A，B两处，要测得两家之间的距离，小明设计方案如下： ①从点A 出发沿河岸画一条射线 ②在射线上截取 ； ③过点E作， 使 B， F，C在一条直线上； ④的长就是A，B 间的距离． (1)请你说出小明的方案的原理，小明的方案是否可行？如果可行，请进行说理证明． (2)如果不借助测量仪，小明的设计中哪一步难以实现？（直接写出答案） 【答案】(1)运用了全等三角形（边角边）原理，方案可行 (2)第③步难以实现 【分析】本题考查全等三角形的应用，由实际问题抽象出几何图形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理求解； （2）如果不借助测量仪，难以作一条直线的平行线，由此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴小明和小月运用了全等三角形（边角边）原理， 小明的方案可行； （2）解：如果不借助测量仪，小明无法使得． 因此第③步难以实现． 【题型3】（2023八年级·安徽·专题练习）如图，在中，，，的平分线交于，的延长线于点，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明，得出，证明得出，进而即可得证． 【详解】证明：如图所示，延长、相交于点． ， ． 又， ， 在和中 ， ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·江苏泰州·期末）如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．，与不全等 C．与不全等， D．与全等，与不全等 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， 在和中， ，， ∵， ∴， ∴与不全等， 故选：． 【题型2】（2023八年级·江西吉安·期末）如图，的面积为，平分，过点A作于点，则的面积为 ． 【答案】7.5/ 【分析】根据已知条件证得≌，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ≌(ASA)， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，能够根据已知条件证得≌得到，进而得到，是解决问题的关键． 【题型3】（2023八年级·重庆沙坪坝·期中）如图， 中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点H． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是证明线段相等的重要手段． ①首先计算出，进而得到，然后再计算出，然后证明可得； ②首先证明，然后证明，进而得到，再利用等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 又、分别平分、， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 模块三 “角角边” 判定三角形全等 全等三角形的判定 角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 【考点1 “角角边”判定三角形全等】 【例1.1】（2023八年级·山西吕梁·期中）如图，，要依据“”判定，则还需要添加的条件是 ．    【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，熟记判定三角形全等是解本题的关键，本题添加即可． 【详解】解：∵，， ∴添加， ∴； 故答案为：． 【例1.2】（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是 cm． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，将实际生活与全等三角形的知识结合是解题关键． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴ ∴ ∵支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是， ∴小明离地面的高度是： 故答案为： 【例1.3】（2023八年级·山东淄博·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为 ． 【答案】5 【分析】如图，作辅助线；首先证明，得到，；其次证明，求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点； ， ， ； 由题意得：； 在与中， ， ， ，； 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造全等三角形；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答. 【变式1.1】（2023八年级·甘肃·期中）如图，已知的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是 . 【答案】乙丙. 【分析】甲不符合三角形全等的判断方法，乙可运用SAS判定全等，丙可运用AAS证明两个三角形全等． 【详解】由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等， 乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等， 丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等， 根据全等三角形的判定得，乙丙正确. 故答案为乙丙. 【点睛】此题考查三角形全等的判定方法，解题关键在于掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 【变式1.2】（2023八年级·福建龙岩·期中）如图，已知与相交于点，，点为中点，若，，则 ．    【答案】4 【分析】根据平行线的性质和线段中点，证明，得到，再根据，即可求出的长． 【详解】解：， ，， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【变式1.3】（2023八年级·河北邢台·期中）在一次数学活动中，为了测一堵墙上点的高度，嘉淇设计了如下方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得 °，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量地面上线段 的长度，即为点的高度． 若测得，，直杆下滑的高度 m． 【答案】 【分析】测一堵墙上点的高度，可构造，则，即的长度就是点的高度，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，，，通过构造直角三角形与直角三角形全等， ∴， ∵利用“角角边”构造， ∴， ∴测量的长即为墙上点的高度， ∵， ∴m，m，， ∴m． 【点睛】本题主要考查全等三角形性质的应用，构造三角形全等是解题的关键． 【考点2 “角角边”证明三角形全等】 【例2.1】（2023八年级·四川成都·期中）如图，点、在上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)∠D的度数是 【分析】（1）由，推导出，由，证明，即可根据“”证明； （2）由，，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得，，求得． 此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出，，进而证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ，， ， ， 的度数是． 【例2.2】（2023·江苏无锡·八年级·期末）如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ∵， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知：， ， ， ． 【例2.3】（2023八年级·陕西西安·期末）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度．    【答案】博智楼的高度是18米 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据，得出，，结合角的等量代换得出，即可证明，然后进行边的运算，即可作答． 【详解】解：由题意，得． ∵，， ∴． 在与中， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即． 答：博智楼的高度是18米． 【变式2.1】（2023八年级·浙江湖州·期末）如图，已知，，．求证： ．    【答案】见解析 【分析】利用，证明 即可． 【详解】∵， ∴， 即， 又∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理，是解题的关键． 【变式2.2】（2023八年级·云南普洱·期末）如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， 的长为5． 【变式2.3】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若＝16,求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了根据三角形的中线求线段长度、全等三角形综合,根据条件写全步骤是解决本题的关键． （1）中线可得，通过两个垂直可以判断两个角都为，还有对顶角,通过即可证明两个三角形全等,进而得证． （2）通过观察可发现根据（1）中的全等可拆分为，从而得出答案． 【详解】（1）证明：是的边上的中线， ， ， ．    在和中, ， ， ． （2）由（1）知， ， ， ， ， ∴． 故． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，已知在中，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了平行线性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，根据两直线平行同位角相等，得到，结合题意以及三角形内角和可得，利用证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【题型2】（2023八年级·湖北十堰·期末）已知：如图，，．    (1)若中，，为上的一点，与相交于点F，求证：． (2)若中，，在的延长线上，交的延长线相交于点E，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，找出角度之间的关系是解题的关键． （1）求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）作出图形，与（1）的证明思路相同进行证明即可． 【详解】（1）解：证明： ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ； （2）明：结论成立． 证明如下：如图，      ， ， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【题型3】（2023八年级·湖北武汉·期中）如图所示，中，，，，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作于点D，于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 【答案】或7或10 【分析】分，，以及四种情况进行讨论，利用全等三角形的判定，进行求解即可． 【详解】解：∵，， 从运动到需要：，从运动到需要：， ∴运动的总时间为：， 从运动到需要：，从运动到需要：， ∴运动的总时间为：， ∴当时：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时： ， 即：， ∴（不合题意，舍去）； 当：时，，， 当重合时，，即：，， ∴，解得：； 当：时，，， ∵，， ∴当时： ， 即：，解得：； 当：时，，， ∵，， ∴当时： ， 即：，解得：； 综上：当的值为或7或10． 故答案为：或7或10． 【点睛】本题考查全等三角形中的动点问题．熟练掌握全等三角形的判定，根据动点的位置，进行分类讨论，是解题的关键． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·四川广安·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动．如图2，A表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从A处摆动到B处，此时过点B作于点D，当小球摆动到C处时，与恰好垂直，过点C作于点E．试说明（图中的点在同一平面内）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用证明，可得结论． 【详解】解：∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 【题型2】（2023八年级·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 在与， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型3】（2023八年级·山东临沂·期末）张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等．） 【答案】(1)全等，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 由题意可知，， ， ∴． ∴． 在和中， ， ∴. （2）解：∵， ∴，． ∵，， ∴． ∵， ∴． 答：爸爸是在距离地面的地方接住张华的． 模块四 课后作业 1．（2023八年级·江苏苏州·期末）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．结合题意，利用“角边角”定理可作出完全一样的三角形，即可确定答案． 【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：A． 2．（2023八年级·湖北武汉·期中）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（　　） A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE 【答案】C 【分析】证出∠ABC＝∠DEF，由SAS即可得出结论． 【详解】解：补充BE＝CF，理由如下： ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， 若要利用SAS判定，B、D选项不符合要求， 若A：AC=DF，构成的是SSA，不能证明三角形全等，A选项不符合要求， C选项：BE=CF， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知“SAS”的判定的特点． 3．（2023八年级·新疆阿克苏·期末）如图，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，利用求得，进而可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解： 是，的中点， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选B． 4．（2023八年级·广东汕头·期中）如图，四边形是正方形，和都是直角，且点E，A，B三点共线，，则阴影部分的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明得出，即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵和都是直角， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故选：D． 5．（2023·河北石家庄·八年级·期末）为测量一池塘两端A，B间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案． 甲：如图1，先过点B作的垂线，再在射线上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E．则测出的长即为A，B间的距离； 乙：如图2，先确定直线，过点B作射线，在射线上找可直接到达点A的点D，连接，作，交直线于点C，则测出的长即为间的距离，则下列判断正确的是（    ） A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行 C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定和性质分别证明，即可判断可行性． 【详解】解：甲：由题意得，，， ， 在和中， ， ， ； 测出的长即为A，B间的距离； 乙：已知，， 不能判定和能全等， ； 测出的长不一定为，间的距离， ∴只有甲同学的方案可行， 故选：A． 6．（2023八年级·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为． 【详解】解：∵， ∴， 若，则 在和中 ∴， 故答案为：． 7．（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为 ． 【答案】110 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，三角形外角的性质．根据，可得，再证明，即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：110． 8．（2023八年级·吉林长春·期中）如图所示的5个三角形中： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定；根据证明，，即可求解． 【详解】解：在中， ∴ 在中 ∴， 故答案为：；． 9．（2023八年级·安徽六安·期末）如图，点在线段上，，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是根据题意，，则，根据全等三角形的判定，则，则，，最后根据，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（2023八年级·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明是解题的关键．先根据与等高，底边值为，得出与面积比为1∶2，再证，即可得出和的面积和，即可选出答案． 【详解】标记角度如下： ∵在等腰中，，， ∴与等高，底边比值为 ∴与的面积比为， ∵的面积为18 ∴的面积为6，的面积为12， ∵,即， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴与的面积相等， ∴， 故答案为：12． 11．（2023·陕西西安·八年级·期末）如图，在四边形中，，连接，点E在上，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用互补的性质可得，据此证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 12．（2023八年级·天津宁河·期中）如图，已知 连接． (1)求证： ； (2)若 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）根据题意由，可得，即可求证； （2）由，可得，再由内角和为即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（2023·四川宜宾·八年级·期末）如图，点E在边上，，，． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，可得．进而可证． （2）由（1）知，则，，，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． （2）解：由（1）知， ∴，， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键． 14．（2023·陕西渭南·八年级·期末）如图，点A为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是______； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)过程见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定； （1）根据题意添加的条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理即可得到证明． 【详解】（1）解：． （2）证明：∵， ∴， 即． 在和中，， ，， ∴， ∴． 15．（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期末）阅读与思考： 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是内一点，且平分，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作交延长线于点交于点E， 平分 ， ， 在和中， ， （依据1） （依据2），， ，，…… (1)任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，____________； (2)任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； (3)应用：如图3，在中，，平分交于点D，过点C作交延长线于点E，若，求的面积． 【答案】(1)，全等三角形的对应边相等； (2)见解析； (3)9． 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形判定和性质即可得到答案； （2）先推出，得出，，进而可得，即可得到答案； （3）延长、交于点，先推出，得到，再推出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）上述解答过程中的依据1是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或）， 依据2是：全等三角形的对应边相等； （2）∵ ． 即 ； （3）延长交于点F． 平分 在和中 ， 在中， 在中， 在和中 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$