精品解析：辽宁省辽阳市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

辽阳市2023—2024学年下学期期中考试 8年级数学试题 （范围：第一章至第五章） 满分120分，时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 下列各式：，，，，，，其中分式共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义和形式是解题的关键． 形如的形式，是整式，中含有字母，则是分式，由此即可求解． 【详解】解：，分母中不含字母，不是分式； ，是分式； ，是整式，不是分式； ，是分式； ，是分式； ，是单项式，属于整式，不是分式，是常数； ∴分式共有3个，  故选： B． 3. 如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，全等三角形的判定和性质，掌握图形平移的性质是解题的关键． 根据图形平移是改变图形的位置，不改变其大小，对应边相等，对应角相等，由此即可求解． 【详解】解：根据平移，，则A正确，不符合题意； 根据对应角相等，则，则B正确，不符合题意； 根据平移的性质，，则，C正确，不符合题意； 根据平移可得，，与不一定相等，则D错误，符合题意；   故选： D． 4. 牛顿曾说过：反证法是数学家最精良武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设（ ） A. 三角形中有一个内角是直角 B. 三角形中有两个内角是直角 C. 三角形中有三个内角是直角 D. 三角形中不能有内角是直角 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时， 第一步先假设三角形中有两个内角是直角， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质及运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式的性质，分式的分子、分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数（或式子），分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、当时，，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项正确，符合题意；   故选：D ． 6. 用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方和公式的几何意义，根据图形，结合选项即可得到答案，数形结合，熟记相关代数公式是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，四个图形拼成了正方形，他们面积相等，则 ， 故选：B． 7. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的方法，掌握分式的性质，去分母的方法是解题的关键． 【详解】解：， 整理得， 等式两边同时乘以去分母得，， 整理得，，   故选：C ． 8. 如图，正比例函数(k是常数，)的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得点P的横坐标，再写出直线在直线下方时所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点P，点P的纵坐标是4， ∴， ∴，即， 由图可得，不等式的解集是． 故选B． 【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点坐标解不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 9. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，正确进行分式的减法运算是关键．首先表示出原来与现在每天的用水量，然后求差即可． 【详解】解：原来每天用水量：吨， 改用喷灌方式后的每天用水量：吨， 则现在比原来每天节约用水：吨． 故选：A． 10. 在的正方形网格中，点、、均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边上的高．现有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（ ） 方案Ⅰ ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，； ②分别以点，圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接，交边于点，即为所求 方案Ⅱ ①取图中小正方形的顶点； ②连接交边于点．则即为所求．- A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，网格线的特征证明三角形全等进行判断即可． 【详解】解：方案I是过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，故方案I可行， 如图，有网格特性可知，, ∴, ∴ ∵, ∴, ∴ 故方案II可行， 故选：C． 【点睛】本题考查了基本作图思想，掌握网格线的特征和过直线外一点作已知直线的垂线的基本做法是解题的关键． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知分式（其中为常数）满足表格中的信息： 的取值 分式 无意义 值 值为 则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据表格信息，分别把代入分式，可求出的值，再把的值代入，根据解分式方程的方法即可求解． 【详解】解：当时，分式无意义，则， 解得，； 当时，， 解得，； ∴当时，，且 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴是分式方程的解， 故答案为： ． 12. 已知在家庭电路中电灯两端的电压U为，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过．设所选用灯泡的电阻为R（），则R的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，代入公式，列不等式计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得． 的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解决问题的关键是理解题意，列出不等式． 13. 如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是___________． 【答案】85 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 14. 定义一种新运算“*”：．如：．则下列结论：①；②的解是；③的解是；④若，则．其中错误的结论是______（填序号）． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算，整式的运算，解分式方程，理解定义新运算的规则，掌握整式的混合运算法则，解（分式）方程的方法是解题的关键． 根据定义新运算的规则，整式的运算可判定①；根据解分式方程的方法解判定②③④； 【详解】解：∵， ∴， ∴①（），计算正确，不符合题意； ②， 解得，， 检验，当，原分式方程有意义， ∴原分式方程的解为，故原式计算错误，符合题意； ③，， ∴，解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴原分式方程的解为，故计算正确，不符合题意； ④， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为零， ∴是原分式方程的解，原式计算错误，符合题意； 综上所述，错误的有②④，   故选：②④ ． 15. 如图，在中，，，，点为边上一点，点与点关于直线对称，连接，若是直角三角形，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查对称的性质，勾股定理的综合，掌握以上知识，图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 根据情况分三种情况讨论，当时，根据对称可得，设，运用勾股定理即可求解；当时，可构造四边形是矩形，运用勾股定理即可求解；当时，根据题意可得该情况不符合题意；由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 第一种情况，如图所示，当时，是直角三角形， ∵点是点关于的对称点， ∴，， 当时，， ∴点三点共线， ∴，， ∴， ∵对称， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，； 第二种情况，如图所示，当，是直角三角形，延长，过点作的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∵对称， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 第三种情况，如图所示，当时，是直角三角形， ∵对称， ∴，， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，与点在上矛盾， ∴此情况不符合题意； 综上所述，的长为或， 故答案为： 或． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）解不等式组：； （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元一次不等式组的解法直接求解即可得到答案； （2）先提公因式，再由完全平方差公式因式分解即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得； 解不等式②得； 原不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：解： ． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组及因式分解，涉及一元一次不等式组的解法、提公因式法因式分解、公式法因式分解、完全平方差公式等知识，熟记不等式组及因式分解的解法是解决问题的关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，二次根式的运算，负指数幂的运算，掌握分式的性质，分式的化简方法，乘法公式的运用是解题的关键． 根据分式的性质，乘法公式的运算方法先化简，再根据二次根式的性质，负指数幂的运算得到的值，代入计算即可求解． 【详解】解： ， 当， ∴原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移个单位后得到对应的，请画出； （2）把绕原点旋转后得到对应的，请画出； （3）观察图形：判断与是否成中心对称？如果是，请直接写出它们的对称中心的坐标；如果不是，请说明理由； （4）请求出的面积． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3）是中心对称，对称中心为 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形平移，旋转，中心对称的性质，割补法求面积的方法是解题的关键． （1）根据图形的平移规律作图即可； （2）根据图形旋转的性质作图即可； （3）根据中心对称图形的定义和性质即可求解； （4）运用割补法求几何图形的面积即可． 【小问1详解】 解：根据平移的性质，作图如下， 【小问2详解】 解：根据旋转的性质，作图见图示； 【小问3详解】 解：根据中心对称图形的性质，连接对应点的连线交于点， ∴与是中心对称图形，对称中心的坐标为； 【小问4详解】 解：， ∴的面积为． 19. “垃圾分类一小步，低碳生活一大步”，某单位积极响应垃圾分类的号召，从批发市场购进了甲、乙两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知乙品牌垃圾桶比甲品牌垃圾桶每个贵50元，用3200元购买甲品牌垃圾桶的数量是用2600元购买乙品牌垃圾桶数量的2倍． （1）购买一个甲品牌、一个乙品牌的垃圾桶各需多少元？ （2）若该单位决定再用不超过5800元购进甲、乙两种品牌垃圾桶共60个，恰逢批发市场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整；甲品牌比上一次购买时售价提高了，乙品牌按上一次购买时售价的八折出售，那么该单位此次最少购买多少个甲品牌垃圾桶？ 【答案】（1）购买一个甲品牌的垃圾桶需要80元，购买一个乙品牌的垃圾桶需要130元 （2）该单位此次最少购买28个甲品牌垃圾桶 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设一个甲品牌的垃圾桶需要元，则一个乙品牌的垃圾桶需要元，根据“用3200元购买甲品牌垃圾桶的数量是用2600元购买乙品牌垃圾桶数量的2倍”列出分式方程，求解即可得出答案； （2）设该单位此次购买个甲品牌垃圾桶，则购买个乙品牌垃圾桶，根据“该单位决定再用不超过5800元购进甲、乙两种品牌垃圾桶共60个”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设一个甲品牌的垃圾桶需要元，则一个乙品牌的垃圾桶需要元． 根据题意，得， 解得：， 经检验，是该分式方程的解． ∴． 答：购买一个甲品牌的垃圾桶需要80元，购买一个乙品牌的垃圾桶需要130元． 【小问2详解】 解：设该单位此次购买个甲品牌垃圾桶，则购买个乙品牌垃圾桶． 根据题意，得， 解得： ∵取整数， ∴的最小值为28． 答：该单位此次最少购买28个甲品牌垃圾桶． 20. （1）小明同学用三角尺可以画角平分线；如图所示，在已知的两边上分别取、使、再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线相交于点，那么时线就是的平分线．请你证明这一结论． （2）小华同学认为直线也是线段的垂直平分线．你认为小华同学的判断正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）正确；证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据作图可得，根据，，可证，结合全等三角形的性质即可求证； （2）根据题意可得为等腰三角形，根据等腰三角形的性质“三线合一”即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴射线为的平分线； （2）解：正确． 理由：连接，交于点D， ∵， ∴为等腰三角形， ∵为的平分线， ∴垂直平分， 即直线是线段的垂直平分线． 21. 甲、乙两辆摩托车从相距的两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： （1）哪辆摩托车的速度较快？ （2）求甲、乙两辆摩托车从相遇到两辆摩托车之间距离再次小于的这段时间的取值范围？ 【答案】（1）乙的速度较快 （2）甲、乙两辆摩托车从相遇到两辆摩托车之间距离再次小于的这段时间的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由图可得，甲、乙行驶的路程相等，乙用的时间短，即可得出答案； （2）利用待定系数法求出，的解析式，再求出甲、乙两辆摩托车相遇的时间，然后根据两辆摩托车之间距离再次小于列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图可得，甲、乙行驶的路程相等，乙用的时间短，故乙的速度较快； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为：， 将代入上式得：，则， 则直线的表达式为：， 同理可得，直线的表达式为：， 根据题意，得， 解得：， 根据题意，得， 解得：， ∴甲、乙两辆摩托车从相遇到两辆摩托车之间距离再次小于的这段时间的取值范围为． 22. 在教科书第四章《因式分解》中，我们学会了利用提公因式法和公式法进行因式分解，课外兴趣小组活动时，数学王老师提出了如下新问题： 将因式分解． 【观察】经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用． 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【应用】 （2）已知a，b，c为等腰的三边长，且，求的周长； （3）如图1，小长方形的长为a，宽为b，用5个图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形中，且大长方形的周长为16． 根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值． 【答案】（1） （2）的周长为7； （3），25 【解析】 【分析】（1）根据题意用分组分解法因式分解即可； （2）用分组分解法因式分解得到，，再根据等腰三角形的性质结合三角形三边关系求出c的值，即可求出的周长； （3）将原式变形为，将看作整体，利用完全平方公式因式分解，根据图形中边关系得：，即可求解． 【详解】解：（1）原式 （2）由已知得，即， 解得：，， ∵为等腰三角形， 或， 不能构成三角形，能构成三角形， ∴，，， ∴的周长为7； （3）原式 根据图形中边关系得：，即， ∴原式． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，等腰三角形的性质，三角形三边关系，多项式乘多项式与图形面积，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 23. 在数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （1）【问题初探】如图1，在等腰中，，点在其内部，，，，求的长； 经过同学们的观察、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，探究三边之间的数量关系，…根据以上分析过程______． （2）【类比分析】如图2，在等边中，点在其内部，且，，．求的度数． （3）【拓展应用】①如图3，在中，，点在其内部，是等腰三角形，且．若，，求的长． ②如图4，在中，，，点为平面内一点，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）2 （2） （3）①；或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质即可求解； （2）将绕点逆时针旋转，得，是等边三角形，是直角三角形，由此即可求解； （3）①将绕点顺时针旋转，得，连接，可证，过点作于点，可得，运用勾股定理即可求解；②分类讨论，第一种情况，如图所示，点在外面，将绕点顺时针旋转，得，可证是直角三角形，即，根据锐角三角形函数的计算方法即可求解；第二种情况，如图所示，点在内部，将绕点顺时针旋转，得，连接，可证，可得是直角三角形，结合三角形函数的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：已知将绕点按逆时针方向旋转，得到， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，则， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，将绕点逆时针旋转，得， ∴， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：已知是等腰三角形，， ∴， ①如图所示，将绕点顺时针旋转，得，连接， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， 如图所示，过点作于点， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②已知中，， ∴， 第一种情况，如图所示，点在外面，，，则，将绕点顺时针旋转，得， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，点内部，，，，则，将绕点顺时针旋转，得，连接， ∴， ∴，，，， ∴，则， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即是直角三角形， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定，含的直角三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算，掌握旋转的性质，合理作出辅助线，图形结合分析，分类讨论思想结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽阳市2023—2024学年下学期期中考试 8年级数学试题 （范围：第一章至第五章） 满分120分，时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2 下列各式：，，，，，，其中分式共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设（ ） A. 三角形中有一个内角是直角 B. 三角形中有两个内角是直角 C. 三角形中有三个内角是直角 D. 三角形中不能有内角是直角 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正比例函数(k是常数，)的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 9. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（ ） A. B. C. D. 10. 在的正方形网格中，点、、均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边上的高．现有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（ ） 方案Ⅰ ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，； ②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接，交边于点，即为所求 方案Ⅱ ①取图中小正方形的顶点； ②连接交边于点．则即为所求．- A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知分式（其中为常数）满足表格中的信息： 的取值 分式 无意义 值为 值为 则的值为______． 12. 已知在家庭电路中电灯两端电压U为，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过．设所选用灯泡的电阻为R（），则R的取值范围是______． 13. 如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是___________． 14. 定义一种新运算“*”：．如：．则下列结论：①；②的解是；③的解是；④若，则．其中错误的结论是______（填序号）． 15. 如图，在中，，，，点为边上一点，点与点关于直线对称，连接，若是直角三角形，则长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）解不等式组：； （2）因式分解：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移个单位后得到对应的，请画出； （2）把绕原点旋转后得到对应的，请画出； （3）观察图形：判断与是否成中心对称？如果是，请直接写出它们的对称中心的坐标；如果不是，请说明理由； （4）请求出的面积． 19. “垃圾分类一小步，低碳生活一大步”，某单位积极响应垃圾分类的号召，从批发市场购进了甲、乙两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知乙品牌垃圾桶比甲品牌垃圾桶每个贵50元，用3200元购买甲品牌垃圾桶的数量是用2600元购买乙品牌垃圾桶数量的2倍． （1）购买一个甲品牌、一个乙品牌的垃圾桶各需多少元？ （2）若该单位决定再用不超过5800元购进甲、乙两种品牌垃圾桶共60个，恰逢批发市场对这两种品牌垃圾桶售价进行调整；甲品牌比上一次购买时售价提高了，乙品牌按上一次购买时售价的八折出售，那么该单位此次最少购买多少个甲品牌垃圾桶？ 20. （1）小明同学用三角尺可以画角平分线；如图所示，在已知的两边上分别取、使、再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线相交于点，那么时线就是的平分线．请你证明这一结论． （2）小华同学认为直线也是线段的垂直平分线．你认为小华同学的判断正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由． 21. 甲、乙两辆摩托车从相距的两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： （1）哪辆摩托车的速度较快？ （2）求甲、乙两辆摩托车从相遇到两辆摩托车之间距离再次小于的这段时间的取值范围？ 22. 在教科书第四章《因式分解》中，我们学会了利用提公因式法和公式法进行因式分解，课外兴趣小组活动时，数学王老师提出了如下新问题： 将因式分解． 【观察】经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用． 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【应用】 （2）已知a，b，c为等腰的三边长，且，求的周长； （3）如图1，小长方形的长为a，宽为b，用5个图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形中，且大长方形的周长为16． 根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值． 23. 数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （1）【问题初探】如图1，在等腰中，，点在其内部，，，，求的长； 经过同学们的观察、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，探究三边之间的数量关系，…根据以上分析过程______． （2）【类比分析】如图2，在等边中，点在其内部，且，，．求的度数． （3）【拓展应用】①如图3，在中，，点在其内部，是等腰三角形，且．若，，求的长． ②如图4，在中，，，点为平面内一点，若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $