3.2021年菏泽市初中学业水平考试（三） -2021年山东省菏泽市中考真题数学试题

３ ２０２１ 年菏泽市初中学业水平考试 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ １.Ｃ　 【解析】点 Ａ 表示的数为－３ꎬ－３的倒数为－ １ ３ ꎮ 故选Ｃꎮ ２.Ｄ　 【解析】Ａ.ａ３＋ａ３ ＝ ２ａ３ꎬ故本选项不符合题意ꎻＢ.ａ􀅰 ａ３ ＝ａ４ꎬ故本选项不符合题意ꎻＣ.(ａ－ｂ) ２ ＝ ａ２ －２ａｂ＋ｂ２ꎬ 故本选项不符合题意ꎻＤ.(－２ａ３) ２ ＝ ４ａ６ꎬ故本选项符合 题意ꎮ 故选 Ｄꎮ ３.Ａ　 【解析】解不等式 ｘ＋５<４ｘ－１ꎬ得 ｘ>２ꎮ ∵ 不等式组的解集为 ｘ>２ꎬ∴ ｍ≤２ꎮ 故选 Ａꎮ ４.Ｂ　 【解析】如图ꎬ用大写字母标注各顶点ꎮ ∵ ＡＢ∥ＣＤꎬ∴ ∠ＢＡＤ＝∠Ｄ＝ ３０°ꎮ ∵ ∠ＢＡＥ＝ ４５°ꎬ∴ ∠α＝ ４５°－３０° ＝ １５°ꎮ 故选 Ｂꎮ ５.Ｂ　 【解析】由三视图可得几何体是空心圆柱ꎬ其主视 图大圆半径为 ２ꎬ小圆半径为 １ꎬ则大圆面积为 π×２２ ＝ ４πꎬ小圆面积为 π×１２ ＝πꎬ故这个几何体的体积为 ６× ４π－６×π＝ ２４π－６π＝ １８πꎮ 故选 Ｂꎮ ６.Ａ　 【解析】根据题目给出的数据可得中位数是 １０ 次ꎬ 平均数是 １０.３ 次ꎮ ∵ １０ 出现了 ４ 次ꎬ出现的次数最 多ꎬ∴ 众数是 １０ 次ꎮ 方差是[(１２－ １０.３) ２ ＋ ３×(１１－ １０.３) ２＋４×(１０－１０.３) ２＋２×(９－１０.３) ２] × １ １０ ＝ ０.８１ꎮ 关 于这组数据的结论不正确的是 Ａꎮ 故选 Ａꎮ ７.Ｄ　 【解析】当 ｋ－１≠０ꎬ即 ｋ≠１ 时ꎬ此方程为一元二次 方程ꎮ ∵ 关于 ｘ 的方程(ｋ－１) ２ｘ２＋(２ｋ＋１)ｘ＋１＝ ０ 有实 数根ꎬ∴ Δ＝(２ｋ＋１) ２－４×(ｋ－１) ２ ×１ ＝ １２ｋ－３≥０ꎮ 解得 ｋ≥ １ ４ ꎮ 当 ｋ－１＝ ０ꎬ即 ｋ ＝ １ 时ꎬ方程为 ３ｘ＋１ ＝ ０ꎬ显然 有解ꎮ 综上ꎬｋ 的取值范围是 ｋ≥ １ ４ ꎮ 故选 Ｄꎮ ８.Ｃ　 【解析】如图ꎬ分别过点 ＢꎬＤ 作直线 ｙ ＝ ２ｘ ＋ １ 的平行线ꎬ交 ＡＤꎬＢＣ 于点 ＥꎬＦꎮ 由图象和题 意可得 ＡＥ ＝ ４－３ ＝ １ꎬＣＦ ＝ ８－７ ＝ １ꎬＢＥ＝ＤＦ ＝ ５ ꎬＢＦ ＝ＤＥ ＝ ７－４ ＝ ３ꎬ则 ＡＢ＝ ＢＥ２－ＡＥ２ ＝ ５－１ ＝ ２ꎬＢＣ＝ＢＦ＋ＣＦ＝ ３＋１ ＝ ４ꎮ ∴ 矩形 ＡＢＣＤ 的面积为 ＡＢ􀅰ＢＣ＝ ２×４＝ ８ꎮ 故选Ｃꎮ ９.１.４１×１０９ 　 【解析】１ ４１０ ０００ ０００＝ １.４１×１０９ꎮ １０.－ａ(ａ－１) ２ 　 【解析】原式＝－ａ(ａ２－２ａ＋１)＝ －ａ(ａ－１) ２ꎮ １１.８ ３ 　 【解析】∵ ＤꎬＥ 分别是 ＡＣꎬＢＣ 的中点ꎬ ∴ ＤＥ 是△ＡＢＣ 的中位线ꎮ ∴ ＤＥ∥ＡＢꎬＤＥ＝ １ ２ ＡＢꎮ∴ ＡＢ＝ ２ＤＥꎬＤＦ∥ＡＢꎮ 又∵ ＢＦ∥ＡＣꎬ∴ ＢＦ∥ＡＤꎮ ∴ 四边形 ＡＢＦＤ 是平行四边形ꎮ ∵ ＡＢ⊥ＢＥꎬ∴ Ｓ▱ＡＢＦＤ ＝ＡＢ􀅰ＢＥꎮ ∵ ＤＥ＝ ２ꎬ∴ ＡＢ＝ ２×２＝ ４ꎮ 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∵ ∠Ｃ＝ ３０°ꎬ∴ ＡＣ＝ ２ＡＢ＝ ２×４＝ ８ꎮ ∴ ＢＣ＝ ＡＣ２－ＡＢ２ ＝ ８２－４２ ＝ ４ ３ ꎮ ∴ ＢＥ＝ １ ２ ＢＣ＝ ２ ３ ꎮ ∴ Ｓ▱ＡＢＦＤ ＝ ４×２ ３ ＝ ８ ３ ꎮ １２.１ ∶ ３　 【解析】∵ 四边形 ＥＦＧＨ 和四边形 ＨＧＮＭ 均是 正方形ꎬ∴ ＥＦ＝ＥＨ＝ＨＭꎬＥＭ∥ＢＣꎮ ∴ △ＡＥＭ∽△ＡＢＣꎮ ∴ ＡＰ ＡＤ ＝ＥＭ ＢＣ ꎮ ∴ ５－ＥＦ ５ ＝ ２ＥＦ １０ ꎮ ∴ ＥＦ＝ ５ ２ ꎮ ∴ ＥＭ＝ ５ꎮ ∵ △ＡＥＭ∽△ＡＢＣꎬ∴ Ｓ△ＡＥＭ Ｓ△ＡＢＣ ＝ ( ＥＭＢＣ ) ２ ＝ １ ４ ꎮ ∴ Ｓ四边形ＢＣＭＥ ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＥＭ ＝ ３Ｓ△ＡＥＭꎮ ∴ △ＡＥＭ 与四边形 ＢＣＭＥ 的面积比为１ ∶ ３ꎮ １３.①②③　 【解析】由特征数的定义可得特征数为[ｍꎬ １－ｍꎬ２－ｍ]的二次函数的表达式为 ｙ＝ｍｘ２＋(１－ｍ) ｘ＋ ２－ｍꎮ ∵ 函数图象的对称轴为直线 ｘ ＝ － ｂ ２ａ ＝－１ －ｍ ２ｍ ＝ ｍ－１ ２ｍ ꎬ∴ 当 ｍ＝ １ 时ꎬ对称轴为直线 ｘ ＝ ０ꎬ即 ｙ 轴ꎮ 故 ①正确ꎻ∵ 当 ｍ＝２ 时ꎬ此二次函数的表达式为 ｙ＝ ２ｘ２－ ｘꎬ令 ｘ ＝ ０ꎬ则 ｙ ＝ ０ꎬ∴ 函数图象过原点ꎮ 故②正确ꎻ ∵ 当ｍ>０ 时ꎬ二次函数图象开口向上ꎬ∴ 函数有最小 值ꎬ故③正确ꎻ∵ ｍ< ０ꎬ∴ 对称轴ｘ＝ ｍ－１ ２ｍ ＝ １ ２ － １ ２ｍ > １ ２ ꎬ抛物线开口向下ꎮ ∴ 在对称轴的右侧ꎬｙ 随 ｘ 的 增大而减小ꎬ即 ｘ> １ ２ － １ ２ｍ 时ꎬｙ 随 ｘ 的增大而减小ꎮ 故④错误. １４. ２ ０２２ ＋ ２ ０２１ 　 【解析】如图ꎬ分别过点 ＡꎬＡ１ꎬＡ２ 作 ｘ 轴的垂线ꎬ垂足分别为 ＣꎬＤꎬＥꎮ ∵ 一次函数 ｙ＝ｘ 与反比例函 数 ｙ＝ １ ｘ (ｘ>０)的图象交于 点 Ａꎬ∴ 联立 ｙ＝ ｘꎬ ｙ＝ １ ｘ ꎮ{ 解得 ｘ＝ １ꎬｙ＝ １ꎮ{ ∴ Ａ(１ꎬ１)ꎮ ∴ ＡＣ＝ＯＣ＝ １ꎬ∠ＡＯＣ＝ ４５°ꎮ ∵ ＡＢ⊥ＯＡꎬ∴ △ＯＡＢ 是等腰直角三角形ꎮ ∴ ＯＢ＝ ２ＯＣ＝ ２ꎮ ∵ Ａ１Ｂ∥ＯＡꎬ∴ ∠Ａ１ＢＤ＝ ４５°ꎮ 设 ＢＤ＝ｍꎬ则 Ａ１Ｄ＝ｍꎬ∴ Ａ１(ｍ＋２ꎬｍ)ꎮ ∵ 点 Ａ１ 在反比例函数 ｙ＝ １ ｘ 的图象上ꎬ∴ ｍ(ｍ＋２)＝ １ꎮ 解得 ｍ１ ＝－１＋ ２ ꎬｍ２ ＝－１－ ２ (负值舍去)ꎮ ∴ Ａ１( ２ ＋１ꎬ ２ －１)ꎮ ∵ Ａ１Ｂ１⊥Ａ１Ｂꎬ∴ ＢＢ１ ＝ ２ＢＤ＝ ２ ２ －２ꎮ ∴ ＯＢ１ ＝ ２ ２ ꎮ ∵ Ａ２Ｂ１∥Ａ１Ｂꎬ∴ ∠Ａ２Ｂ１Ｅ＝ ４５°ꎮ 设 Ｂ１Ｅ＝ ｔꎬ则 Ａ２Ｅ＝ ｔꎬ∴ 点Ａ２( ｔ＋２ ２ ꎬｔ)ꎮ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —８— ∵ Ａ２ 在反比例函数 ｙ＝ １ ｘ 的图象上ꎬ∴ ｔ( ｔ＋２ ２ )＝ １ꎮ 解得 ｔ１ ＝－ ２ ＋ ３ ꎬｔ２ ＝－ ２ － ３ (负值舍去)ꎮ ∴ 点Ａ２( ３ ＋ ２ ꎬ ３ － ２ )ꎬ 同理可得点Ａ３(２＋ ３ ꎬ２－ ３ )ꎬ 以此类推ꎬ可得点 Ａ２ ０２１的横坐标为 ２ ０２２＋ ２ ０２１ꎮ １５.解:原式＝ １－(２ ３ －３)＋４× ３ ２ －４ ＝ １－２ ３ ＋３＋２ ３ －４＝ ０ꎮ １６.解:原式＝ １＋ ｍ－ｎ ｍ－２ｎ 􀅰 (ｍ－２ｎ) ２ －(ｍ－ｎ)(ｍ＋ｎ) ＝ １－ ｍ－２ｎ ｍ＋ｎ ＝ｍ ＋ｎ ｍ＋ｎ －ｍ －２ｎ ｍ＋ｎ ＝ ３ｎ ｍ＋ｎ ꎮ ∵ ｍ ３ ＝ － ｎ ２ ꎬ∴ ｍ＝－ ３ ２ ｎꎮ ∴ 原式＝ ３ｎ － ３ ２ ｎ＋ｎ ＝ ３ｎ － １ ２ ｎ ＝－６ꎮ １７.证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是菱形ꎬ ∴ ＡＤ＝ＣＤ＝ＡＢ＝ＢＣꎬ∠Ａ＝∠Ｃꎮ 在△ＡＭＤ 和△ＣＮＤ 中ꎬ ∠Ａ＝∠Ｃꎬ ＡＤ＝ＣＤꎬ ∠ＡＤＭ＝∠ＣＤＮꎬ { ∴ △ＡＭＤ≌△ＣＮＤ(ＡＳＡ)ꎮ ∴ ＡＭ＝ＣＮ.∴ ＡＢ－ＡＭ＝ＢＣ－ＣＮꎬ即 ＢＭ＝ＢＮꎮ １８.解:如图ꎬ过点 Ｃ 作 ＣＤ⊥ＢＡ 的延 长线于点 Ｄꎮ 由题意可得∠ＣＡＤ ＝ ６０°ꎬ∠ＣＢＤ ＝ ３０°＝∠ＤＣＡꎮ ∴ ∠ＢＣＡ ＝∠ＣＡＤ－∠ＣＢＤ ＝ ６０° － ３０° ＝ ３０°ꎬ即∠ＢＣＡ ＝ ∠ＣＢＤ.∴ ＡＣ ＝ ＡＢ ＝ ２００ 海里ꎮ 在Ｒｔ△ＣＤＡ中ꎬ ＣＤ ＝ ｓｉｎ∠ＣＡＤ × ＡＣ ＝ ３ ２ × ２００ ＝ １００ ３ (海里) ꎮ 在 Ｒｔ△ＣＤＢ 中ꎬＢＣ＝ ２ＣＤ＝ ２００ ３ (海里)ꎮ ∴ 位于 Ａ 处的济南舰距 Ｃ 处的距离为 ２００ 海里ꎬ位于 Ｂ 处的西安舰距 Ｃ 处的距离为 ２００ ３ 海里ꎮ １９.解:设这种水果每千克降低 ｘ 元ꎬ超市每天可获得销 售利润 ３ ６４０ 元ꎮ 由题意ꎬ得(３８－ｘ－２２) ( １６０＋ ｘ３ ×１２０ ) ＝ ３ ６４０ꎮ 整理ꎬ得 ｘ２－１２ｘ＋２７＝ ０ꎮ 解得 ｘ＝ ３ 或 ｘ＝ ９ꎮ ∵ 要尽可能让顾客得到实惠ꎬ∴ ｘ＝ ９ꎮ ∴ 售价为 ３８－９＝ ２９(元)ꎮ ∴ 这种水果的销售价为每千克 ２９ 元ꎮ ２０.解:(１)∵ 四边形 ＯＡＢＣ 是矩形ꎬＯＡ ＝ ＢＣ ＝ ２ꎬＯＣ ＝ ４ꎬ ∴ 点 Ｂ 的坐标为(４ꎬ２)ꎮ 由中点坐标公式可得点 Ｄ 的坐标为(２ꎬ１)ꎮ ∵ 反比例函数 ｙ＝ ｋ１ ｘ (ｘ>０)的图象经过线段 ＯＢ 的中 点 Ｄꎬ ∴ ｋ１ ＝ ２×１＝ ２ꎮ ∴ 反比例函数的表达式为 ｙ＝ ２ ｘ ꎮ 令 ｙ＝ ２ꎬ则 ｘ＝ １ꎻ令 ｘ＝ ４ꎬ则 ｙ＝ １ ２ ꎮ 故点 Ｅ 的坐标为(１ꎬ２)ꎬ点 Ｆ 的坐标为 ( ４ꎬ １２ ) ꎮ 将点 ＥꎬＦ 的坐标代入一次函数的表达式ꎬ 得 ２＝ ｋ２＋ｂꎬ １ ２ ＝ ４ｋ２＋ｂꎮ{ 解得 ｋ２ ＝－ １ ２ ꎬ ｂ＝ ５ ２ ꎮ ì î í ï ï ïï ∴ 一次函数的表达式为 ｙ＝－ １ ２ ｘ＋ ５ ２ ꎮ (２)如图ꎬ作点 Ｅ 关于 ｘ 轴的对 称点 Ｅ′ꎬ连接 Ｅ′Ｆ 交 ｘ 轴于点 Ｐꎬ则此时 ＰＥ＋ＰＦ 的值最小ꎮ 由点 Ｅ 的坐标可得对称点 Ｅ′的 坐标为(１ꎬ－２)ꎮ 设直线Ｅ′Ｆ 的表达式为 ｙ＝ｍｘ＋ｎꎬ 代入点 Ｅ′ꎬＦ 的坐标ꎬ得 －２＝ｍ＋ｎꎬ １ ２ ＝４ｍ＋ｎꎮ{ 解得 ｍ＝ ５ ６ ꎬ ｎ＝－ １７ ６ ꎮ ì î í ï ï ïï ∴ 直线 Ｅ′Ｆ 的表达式为 ｙ＝ ５ ６ ｘ－ １７ ６ ꎮ 令 ｙ＝ ０ꎬ则 ｘ＝ １７ ５ ꎮ ∴ 点 Ｐ 的坐标为 ( １７５ ꎬ０ ) ꎮ ２１.解:(１)抽取的学生人数为 １２÷４０％ ＝ ３０ꎬ 则优秀的学生人数为 ３０－１２－９－３＝ ６ꎮ 补全条形统计图如下: １５ 米折返跑条形统计图　 　 　 (２)合格等级所占百分比为 ９÷３０×１００％ ＝ ３０％ ꎬ不合 格等级所对应的扇形圆心角的度数为 ３６０°× ３ ３０ ＝ ３６°. (３)优秀等级的学生有 ６ 人ꎬ分别为 ＡꎬＢꎬＣꎬＤꎬＥꎬＦꎬ 画树状图如下: 共有 ３０ 种等可能的结果ꎬ恰好抽到 ＡꎬＢ 两位同学的 结果有 ２ 种ꎬ∴ 恰好抽到 ＡꎬＢ 两位同学的概率为 １ １５ ꎮ ２２.(１)证明:如图ꎬ连接 ＯＥꎮ ∵ ＯＡ＝ＯＥꎬ∴ ∠ＥＡＯ＝∠ＡＥＯꎮ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —９— ∵ ＣＤ⊥ＡＢꎬ∴ ∠ＡＨＰ＝ ９０°ꎮ ∵ ＥＦ ＝ ＦＰꎬ ∴ ∠ＦＰＥ ＝ ∠ＦＥＰꎮ ∵ ∠Ａ ＋∠ＡＰＨ ＝ ∠Ａ ＋∠ＦＰＥ ＝ ９０°ꎬ∴ ∠ＦＥＰ ＋ ∠ＡＥＯ ＝ ９０° ＝ ∠ＦＥＯꎮ ∴ ＯＥ⊥ＥＦꎮ 又∵ ＯＥ 是☉Ｏ 的半径ꎬ ∴ ＥＦ是☉Ｏ 的切线ꎮ (２)解:∵ ∠ＦＨＧ＝∠ＯＥＧ＝ ９０°ꎬ ∴ ∠Ｇ＋∠ＥＯＧ＝ ９０° ＝∠Ｇ＋∠Ｆꎮ ∴ ∠Ｆ＝∠ＥＯＧꎮ ∴ ｓｉｎ∠ＥＯＧ＝ ＥＧ ＯＧ ＝ｓｉｎ Ｆ＝ ３ ５ ꎮ 设 ＥＧ＝ ３ｘꎬＯＧ＝ ５ｘꎮ ∴ ＯＥ＝ ＯＧ２－ＥＧ２ ＝ ２５ｘ２－９ｘ２ ＝ ４ｘꎮ ∵ ＯＥ＝ ８ꎬ∴ ｘ＝ ２ꎮ ∴ ＯＧ＝ １０ꎮ ∴ ＢＧ＝ １０－８＝ ２ꎮ ２３.(１)证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形ꎬ ∴ ＡＤ∥ＢＣꎮ ∴ ∠ＤＥＦ＝∠ＰＦＥꎮ 由翻折变换可知ꎬ∠ＤＥＦ＝∠ＰＥＦꎬ ∴ ∠ＰＥＦ＝∠ＰＦＥꎮ ∴ ＰＥ＝ＰＦꎮ (２) 证明: 如 图 １ꎬ 连 接 ＡＣ 交 ＥＦ 于 点 Ｏꎬ 连 接 ＰＭꎬＰＯꎮ ∵ ＡＥ∥ＣＦꎬ∴ ∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯꎮ ∵ ＡＥ＝ＣＦꎬ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦꎬ ∴ △ＡＥＯ≌△ＣＦＯ(ＡＡＳ)ꎮ ∴ ＯＥ＝ＯＦꎮ ∵ ＰＥ＝ＰＦꎬ∴ ＰＯ 平分∠ＥＰＦꎮ ∵ ＡＤ＝ＢＣꎬＡＥ＝ＣＦꎬ∴ ＤＥ＝ＢＦꎮ 由折叠的性质可知 ＤＥ＝ＥＨꎬ∴ ＢＦ＝ＥＨꎮ ∴ ＰＥ－ＥＨ＝ＰＦ－ＢＦꎮ ∴ ＰＢ＝ＰＨꎮ ∵ ∠ＰＨＭ＝∠ＰＢＭ＝ ９０°ꎬＰＭ＝ＰＭꎬ ∴ Ｒｔ△ＰＭＨ≌Ｒｔ△ＰＭＢ(ＨＬ)ꎮ ∴ ＰＭ 平分∠ＥＰＦꎮ ∴ ＰꎬＭꎬＯ 三点共线ꎮ ∵ ＰＯ⊥ＥＦꎬＯＥ＝ＯＦꎬ ∴ 点 Ｍ 在线段 ＥＦ 的垂直平分线上ꎮ 图 １ 　 　 图 ２ (３)解:如图 ２ꎬ连接 ＡＣꎬＢＤ 交于点 Ｏ.由题意知ꎬ点 Ｅ 由点 Ａ 移动到 ＡＤ 中点的过程中ꎬ点 Ｇ 运动的路径是 图中ＢＣ ( ꎮ 在 Ｒｔ△ＢＣＤ 中ꎬｔａｎ∠ＣＢＤ＝ ＣＤ ＢＣ ＝ ３ ３ ꎬ ∴ ∠ＣＢＤ＝３０°ꎮ ∴ ∠ＡＢＯ＝∠ＯＡＢ＝ ６０°ꎮ ∴ △ＡＯＢ是等边三角形ꎮ ∴ ＯＡ＝ＯＤ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＡＢ＝ ５ꎬ∠ＢＯＣ＝ １２０°ꎮ ∴ 点 Ｇ 运动的路线长＝ １２０×π×５ １８０ ＝ １０ ３ πꎮ ２４.解:(１)由题意ꎬ得 ａ－ｂ－４＝ ０ꎬ １６ａ＋４ｂ－４＝ ０ꎮ{ 解得 ａ＝ １ꎬ ｂ＝－３ꎮ{ 故抛物线的表达式为 ｙ＝ ｘ２－３ｘ－４ꎮ (２)由抛物线的表达式知ꎬ点 Ｃ(０ꎬ－４)ꎬ设点 Ｐ 的坐 标为(ｍꎬｍ２－３ｍ－４)ꎬ直线 ＢＰ 的表达式为 ｙ＝ ｋｘ＋ｈꎬ 则 ｍ２－３ｍ－４＝ ｋｍ＋ｈꎬ ０＝ ４ｋ＋ｈꎮ{ 解得 ｋ＝ｍ＋１ꎬ ｈ＝－４ｍ－４ꎮ{ ∵ ＣＱ∥ＢＰꎬ∴ 设直线 ＣＱ 的表达式为 ｙ ＝ (ｍ＋１) ｘ＋ｐꎮ 该直线过点 Ｃ(０ꎬ－４)ꎬ即 ｐ＝－４ꎮ 故直线 ＣＱ 的表达式为 ｙ＝(ｍ＋１)ｘ－４ꎮ 令 ｙ＝(ｍ＋１)ｘ－４＝ ０ꎬ解得 ｘ＝ ４ ｍ＋１ ꎬ 即点 Ｑ 的坐标为 ( ４ｍ＋１ꎬ０ ) ꎮ ∴ ＢＱ＝ ４－ ４ ｍ＋１ ＝ ４ｍ ｍ＋１ ꎮ 设△ＰＢＱ 面积为 Ｓꎬ 则 Ｓ ＝ １ ２ ×ＢＱ×( －ｙＰ) ＝ － １ ２ × ４ｍ ｍ＋１ ×(ｍ２ － ３ｍ－ ４) ＝ －２ｍ２＋８ｍꎮ ∵ －２<０ꎬ∴ Ｓ 有最大值.当 ｍ ＝ ２ 时ꎬ△ＰＢＱ 面积的最 大值为 ８ꎬ此时点 Ｐ 的坐标为(２ꎬ－６)ꎮ (３)存在ꎮ 将抛物线 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ－４ 向右平移经过点 ( １２ ꎬ０ ) ꎬ即点 Ａ经过平移变成点 ( １ ２ ꎬ０ ) 时ꎬ抛物线 向右平移了 １ ２ ＋１＝ ３ ２ 个单位长度ꎬ则抛物线的对称轴 也平移了 ３ ２ 个单位长度ꎬ即平移后的抛物线的对称轴为 直线 ｘ＝ ３ ２ ＋ ３ ２ ＝ ３ꎮ 故设点 Ｅ 的坐标为(３ꎬｎ)ꎬ设点 Ｆ( ｓꎬｔ)ꎮ ①当ＡＰ 是边时ꎬ则点 Ａ 向右平移 ３ 个单位长度、向下 平移 ６ 个单位长度得到点 Ｐꎬ同样点 Ｆ(Ｅ)向右平移 ３ 个单位长度、向下平移 ６ 个单位长度得到点 Ｅ(Ｆ) 且 ＡＥ＝ＦＰ(ＡＦ＝ＥＰ)ꎬ则 ｓ＋３＝ ３ꎬ ｔ－６＝ｎꎬ ４２＋ｎ２ ＝( ｓ－２) ２＋( ｔ＋６) ２ꎮ { 或 ｓ－３＝ ３ꎬ ｔ＋６＝ｎꎬ ( ｓ＋１) ２＋ｔ２ ＝(３－２) ２＋(ｎ＋６) ２ꎮ { 解得 ｎ＝－ １１ ２ ꎬ ｓ＝ ０ꎬ ｔ＝ １ ２ ì î í ï ï ï ï 或 ｎ＝ ２ꎬ ｓ＝ ６ꎬ ｔ＝－４ꎮ { 故点 Ｆ 的坐标为 ( ０ꎬ １２ )或(６ꎬ－４)ꎻ ②当 ＡＰ 是对角线时ꎬ由中点坐标公式和 ＡＰ ＝ ＥＦꎬ 得 ２－１＝ ３＋ｓꎬ －６＋０＝ｎ＋ｔꎬ (２＋１) ２＋(－６) ２ ＝( ｓ－３) ２＋( ｔ－ｎ) ２ꎮ { 解得 ｓ＝－２ꎬ ｔ＝－ ５ －３ꎬ ｎ＝－３＋ ５ { 或 ｓ＝－２ꎬ ｔ＝ ５ －３ꎬ ｎ＝－３－ ５ ꎮ { 故点 Ｆ 的坐标为(－２ꎬ－ ５ －３)或(－２ꎬ ５ －３)ꎮ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —０１— 综上所述ꎬ点 Ｆ 的坐标为 ( ０ꎬ １２ ) 或(６ꎬ－４)或(－２ꎬ － ５ －３)或(－２ꎬ ５ －３)ꎮ ４ ２０２３年牡丹区学业水平第一次阶段性质量检测 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ａ １.Ｂ　 【解析】∵ ａ＋ｂ＝ ０ꎬ∴ ａꎬｂ 互为相反数ꎮ ∴ ａ 到原点的距离小于 ｃ 到原点的距离ꎮ ∴ ａ < ｃ ꎮ 故 Ａ 选项不符合题意ꎻ ∵ ａ＋ｃ 取绝对值较大的数的符号ꎬ ∴ ａ＋ｃ>０ꎮ 故 Ｂ 选项符合题意ꎻ ∵ ａ<０<ｂ<ｃꎬ ∴ ａｂｃ<０ꎮ 故 Ｃ 选项不符合题意ꎻ ∵ ａ＋ｂ＝ ０ꎬ∴ ａꎬｂ 互为相反数ꎮ ∴ ａ ｂ ＝－１ꎮ 故 Ｄ 选项不符合题意ꎮ 故选 Ｂꎮ ２.Ｂ　 【解析】 ３ａ２ －ａ２ ＝ ２ａ２ꎬ即原式错误ꎬ故 Ａ 选项不符 合题意ꎻａ􀅰ａ－１ ＝ １(ａ≠０)ꎬ正确ꎬ故 Ｂ 选项符合题意ꎻ (－３ａｂ２) ２ ＝ ９ａ２ｂ４ꎬ即原式错误ꎬ故 Ｃ 选项不符合题意ꎻ (ａ＋ｂ) ２ ＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２ꎬ即原式错误ꎬ故 Ｄ 选项不符合题 意ꎮ 故选 Ｂꎮ ３.Ｄ　 【解析】∵ 黄金分割比为 －１＋　 ５ ２ ≈０.６１８ꎬ∴ 蝴蝶双 翅展开后的长度与其身长之比约为 ０.６１８ꎬ这体现了数 学中的黄金分割ꎮ 故选 Ｄꎮ ４.Ｂ　 【解析】∵ ＤＥ∥ＢＣꎬ∠Ｃ＝ ９０°ꎬ ∴ ∠ＤＡＣ＝∠Ｃ＝ ９０°ꎮ ∵ ∠ＢＡＣ＝ ３０°ꎬ ∴ ∠ＤＡＢ＝∠ＤＡＣ＋∠ＢＡＣ＝ １２０°ꎮ 故选 Ｂꎮ ５.Ｃ　 【解析】若某几何体的主视图是矩形ꎬ则这个几何 体可能是圆柱ꎮ 故选 Ｃꎮ ６.Ｃ　 【解析】由表中数据知ꎬ这组数据的众数为 ２３.５ ｃｍꎬ 则影响鞋店这一决策的统计量是众数ꎮ 故选 Ｃꎮ ７.Ａ　 【解析】由题意ꎬ得方程 ｋｘ２ ＋ｂｘ－１ ＝ ０ 的两个根为 ｘ１ꎬｘ２ꎮ ∴ ｘ１＋ｘ２ ＝－ ｂ ｋ ꎮ ∵ ｘ１＋ｘ２ ＝ ０ꎬ∴ － ｂ ｋ ＝ ０ꎬ即 ｂ＝ ０ꎮ ∴ 直线为 ｙ＝ ｋｘꎮ ∵ 双曲线 ｙ＝ １ ｘ 与正比例函数 ｙ＝ｋｘ(ｋ≠０)的图象交于 Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬ ∴ Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)关于原点对称ꎮ ∴ ｙ１＋ｙ２ ＝ ０ꎮ 故选 Ａꎮ ８.Ａ　 【解析】在 Ｒｔ△ＡＢＯ 中ꎬＡＢ＝ １０ 米ꎬＯＢ＝ ６ 米ꎬ 根据勾股定理ꎬ得 ＯＡ＝ ＡＢ２－ＯＢ２ ＝８(米)ꎮ 若顶端 Ａ 下滑 ｘ 米ꎬＯＡ＝(８－ｘ)米ꎬ 根据勾股定理ꎬ得 ＯＢ＝ １０２－(８－ｘ) ２ ＝(６＋ｙ)米ꎮ 整理ꎬ得 ｙ＝ １００－(８－ｘ) ２ －６ꎮ 当 ｘ＝ ０ 时ꎬｙ＝ ０ꎻ当 ｘ＝ ８ 时ꎬｙ ＝ ４ꎬ且不是直线变化的ꎮ 故选 Ａꎮ ９.６.８６５ ３×１０８ 　 【解析】６８ ６５３ 万吨 ＝ ６８６ ５３０ ０００ 吨 ＝ ６.８６５ ３×１０８吨ꎮ １０.３ (ａ－１) ２ 　 【解析】原式＝ ３(ａ２－２ａ＋１)＝ ３ (ａ－１) ２ꎮ １１.９∶ ４９　 【解析】∵ 以点 Ｏ 为位似中心ꎬ将△ＯＡＢ 放大 后得到△ＯＣＤꎬ ∴ △ＯＡＢ∽△ＯＣＤꎮ ∴ Ｓ△ＯＡＢ Ｓ△ＯＣＤ ＝ ＯＡ ＯＣ( ) ２ ＝ ３ ３＋４( ) ２ ＝ ９ ４９ ꎬ即△ＯＡＢ 与△ＯＣＤ 的面积之比为 ９ ∶ ４９ꎮ １２.④　 【解析】由题意知ꎬＦｌ ＝ １ ２００×０.５ ＝ ６００(Ｎ􀅰ｍ)ꎬ 则 Ｆ＝ ６００ ｌ ( ｌ>０)ꎬ ∴ Ｆ 与 ｌ 的积为定值ꎮ 说法①正确ꎬ故不符合要求ꎻ ∵ ６００>０ꎬ∴ Ｆ 随 ｌ 的增大而减小ꎮ 说法②正确ꎬ故不 符合要求ꎻ 当 ｌ＝ １.５ ｍ 时ꎬＦ＝ ６００ １.５ ＝ ４００(Ｎ)ꎮ 说法③正确ꎬ故不 符合要求ꎻ 由题意知ꎬＦ 关于 ｌ 的函数图象位于第一象限ꎮ 说法 ④错误ꎬ故符合要求ꎮ １３.(３ꎬ ３ )　 【解析】由作法ꎬ得 ＯＦ 平分∠ＢＯＣꎬ ∴ ∠ＢＯＧ＝∠ＣＯＧ＝ １ ２ ∠ＢＯＣꎮ ∵ Ｏ(０ꎬ０)ꎬＡ(０ꎬ３ ３ )ꎬＢ(３ꎬ０)ꎬ ∴ ＯＢ＝ ３ꎬＯＡ＝ ３ ３ ꎮ ∵ 四边形 ＡＯＢＣ 是矩形ꎬ ∴ ∠ＯＢＣ＝ ９０°ꎬＢＣ＝ＯＡ＝ ３ ３ ꎮ 在 Ｒｔ△ＯＢＣ 中ꎬ∵ ｔａｎ ∠ＢＯＣ＝ ＢＣ ＯＢ ＝ ３ ３ ３ ＝ ３ ꎬ ∴ ∠ＢＯＣ＝ ６０°ꎮ ∴ ∠ＢＯＧ＝ ３０°ꎮ 在 Ｒｔ△ＢＯＧ 中ꎬＢＧ＝ＯＢ􀅰ｔａｎ ∠ＢＯＧ＝ ３× ３ ３ ＝ ３ ꎬ ∴ 点 Ｇ 的坐标为(３ꎬ ３ )ꎮ １４.５２ ０２３ 　 【解析】∵ 小正方形 ＡＢＣＤ 的面积为 １ꎬ ∴ 正方形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的面积为１２＋２２ ＝ ５ꎻ 正方形Ａ２ Ｂ２ Ｃ２ Ｄ２ 的面积为( ５ ) ２ ＋(２ ５ ) ２ ＝ ５＋ ２０ ＝ ２５＝ ５２ꎻ 正方形Ａ３ Ｂ３ Ｃ３ Ｄ３ 的面积为５２ ＋ (２×５) ２ ＝ ２５ ＋ １００ ＝ １２５＝ ５３ꎻ 􀆺􀆺 正方形ＡｎＢｎＣｎＤｎ的面积为５ｎꎮ ∴ 正方形Ａ２ ０２３Ｂ２ ０２３Ｃ２ ０２３Ｄ２ ０２３的面积为５２ ０２３ꎮ １５.解:原式＝ １２ － ３ ＋２× ３ ２ ＝ ２ ３ － ３ ＋ ３ ＝ ２ ３ ꎮ １６.解:原式＝ ａ＋ｂ (ａ＋ｂ) ２ ＋ ｂ(ａ －ｂ) (ａ＋ｂ)(ａ－ｂ) é ë ê ù û ú ÷ １＋ｂ ａｂ ＝ １ ａ＋ｂ ＋ ｂ ａ＋ｂ( ) 􀅰 ａｂ １＋ｂ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —１１— — １３ — — １４ — — １５ — 一、选择题(本大题共 ８ 小题ꎬ每小题 ３ 分ꎬ共 ２４ 分ꎮ 在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项符合题目要求) １.如图ꎬ数轴上点 Ａ 所表示的数的倒数为 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ.－３ Ｂ.３ Ｃ.－ １ ３ Ｄ. １ ３ 第 １ 题图 　 　 　 第 ４ 题图 　 　 　 第 ５ 题图 ２.下列等式成立的是 (　 　 ) Ａ.ａ３＋ａ３ ＝ａ６ Ｂ.ａ􀅰ａ３ ＝ａ３ Ｃ.(ａ－ｂ) ２ ＝ａ２－ｂ２ Ｄ.(－２ａ３) ２ ＝ ４ａ６ ３.如果不等式组 ｘ＋５<４ｘ－１ꎬ ｘ>ｍ{ 的解集为 ｘ>２ꎬ那么 ｍ 的取值范围是 (　 　 ) Ａ.ｍ≤２ Ｂ.ｍ≥２ Ｃ.ｍ>２ Ｄ.ｍ<２ ４.一副三角板按如图方式放置ꎬ含 ４５°角的三角板的斜边与含 ３０°角的三角板的长直角边平行ꎬ则∠α 的 度数是 (　 　 ) Ａ.１０° Ｂ.１５° Ｃ.２０° Ｄ.２５° ５.如图是一个几何体的三视图ꎬ根据图中所标数据计算这个几何体的体积为 (　 　 ) Ａ.１２π Ｂ.１８π Ｃ.２４π Ｄ.３０π ６.在 ２０２１ 年初中毕业生体育测试中ꎬ某校随机抽取了 １０ 名男生的引体向上成绩ꎬ将这组数据整理后 制成如下统计表: 成绩 /次 １２ １１ １０ ９ 人数 １ ３ ４ ２ 关于这组数据的结论不正确的是 (　 　 ) Ａ.中位数是 １０.５ 次 Ｂ.平均数是 １０.３ 次 Ｃ.众数是 １０ 次 Ｄ.方差是 ０.８１ ７.关于 ｘ 的方程(ｋ－１) ２ｘ２＋(２ｋ＋１)ｘ＋１＝ ０ 有实数根ꎬ则 ｋ 的取值范围是 (　 　 ) Ａ.ｋ> １ ４ 且 ｋ≠１ Ｂ.ｋ≥１ ４ 且 ｋ≠１ Ｃ.ｋ> １ ４ Ｄ.ｋ≥１ ４ ８.如图 １ꎬ在平面直角坐标系中ꎬ矩形 ＡＢＣＤ 在第一象限ꎬ且 ＢＣ∥ｘ 轴ꎬ直线 ｙ ＝ ２ｘ＋１ 沿 ｘ 轴正方向平 移ꎬ在平移过程中ꎬ直线被矩形 ＡＢＣＤ 截得的线段长为 ａꎬ直线在 ｘ 轴上平移的距离为 ｂꎬａꎬｂ 间的函数 关系图象如图 ２ 所示ꎬ那么矩形 ＡＢＣＤ 的面积为 (　 　 ) 图 １ 　 　 　 　 　 图 ２ Ａ. ５ Ｂ.２ ５ Ｃ.８ Ｄ.１０ 二、填空题(本大题共 ６ 小题ꎬ每小题 ３ 分ꎬ共 １８ 分) ９.２０２１ 年 ５ 月 １１ 日ꎬ国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布:截至 ２０２０ 年 １１ 月 １ 日零时ꎬ全国人口共约１ ４１０ ０００ ０００人ꎮ 数据 １ ４１０ ０００ ０００ 用科学记数法表示为　 　 　 　 　 　 ꎮ １０.因式分解:－ａ３＋２ａ２－ａ＝ 　 　 　 　 　 　 ꎮ １１.如图ꎬ在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ｃ＝ ３０°ꎬＤꎬＥ 分别是 ＡＣꎬＢＣ 的中点ꎬＤＥ ＝ ２ꎬ过点 Ｂ 作 ＢＦ∥ＡＣꎬ交 ＤＥ 的延 长线于点 Ｆꎬ则四边形 ＡＢＦＤ 的面积为　 　 　 　 ꎮ 第 １１ 题图 　 　 　 第 １２ 题图 　 　 　 第 １４ 题图 １２.如图ꎬ在△ＡＢＣ 中ꎬＡＤ⊥ＢＣꎬ垂足为 ＤꎬＡＤ＝ ５ꎬＢＣ＝ １０ꎬ四边形 ＥＦＧＨ 和四边形 ＨＧＮＭ 均是正方形ꎬ且 点 ＥꎬＦꎬＧꎬＮꎬＭ 都在△ＡＢＣ 的边上ꎬ那么△ＡＥＭ 与四边形 ＢＣＭＥ 的面积比为　 　 　 　 ꎮ １３.定义:[ａꎬｂꎬｃ]为二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ(ａ≠０)的特征数ꎬ下面给出特征数为[ｍꎬ１－ｍꎬ２－ｍ]的二次 函数的一些结论:①当ｍ＝ １ 时ꎬ函数图象的对称轴为 ｙ 轴ꎻ②当 ｍ ＝ ２ 时ꎬ函数图象过原点ꎻ③当 ｍ>０ 时ꎬ函数有最小值ꎻ④如果 ｍ<０ꎬ当 ｘ> １ ２ 时ꎬｙ 随 ｘ 的增大而减小ꎮ 其中所有正确结论的序号 是　 　 　 　 ꎮ １４.如图ꎬ一次函数 ｙ＝ｘ 与反比例函数 ｙ＝ １ ｘ (ｘ>０)的图象交于点 Ａꎬ过点 Ａ 作 ＡＢ⊥ＯＡꎬ交 ｘ 轴于点 Ｂꎻ作 Ａ１Ｂ∥ＯＡꎬ交反比例函数图象于点 Ａ１ꎻ过点 Ａ１ 作 Ａ１Ｂ１⊥Ａ１Ｂ 交 ｘ 轴于点 Ｂ１ꎻ再作 Ａ２Ｂ１∥Ａ１Ｂꎬ交反比例 函数图象于点 Ａ２ꎬ依次进行下去􀆺􀆺则点 Ａ２ ０２１的横坐标为　 　 　 　 　 　 　 ꎮ 三、解答题(本大题共 １０ 小题ꎬ共 ７８ 分ꎮ 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) １５.(６ 分)计算:(２ ０２１－π) ０－ ｜ ３－ １２ ｜ ＋４ｃｏｓ ３０°－ ( １４ ) －１ ꎮ １６.(６ 分)先化简ꎬ再求值:１＋ ｍ －ｎ ｍ－２ｎ ÷ ｎ ２－ｍ２ ｍ２－４ｍｎ＋４ｎ２ ꎬ其中 ｍꎬｎ 满足ｍ ３ ＝ － ｎ ２ ꎮ １７.(６ 分)如图ꎬ在菱形 ＡＢＣＤ 中ꎬ点 ＭꎬＮ 分别在 ＡＢꎬＢＣ 上ꎬ且∠ＡＤＭ＝∠ＣＤＮꎮ 求证:ＢＭ＝ＢＮꎮ １８.(６ 分)某天ꎬ北海舰队在中国南海例行训练ꎬ位于 Ａ 处的济南舰突然发现北偏西 ３０°方向上的 Ｃ 处 有一可疑舰艇.济南舰马上通知位于正东方向 ２００ 海里 Ｂ 处的西安舰ꎬ西安舰测得 Ｃ 处位于其北偏 西 ６０°方向上ꎮ 请问此时两舰距 Ｃ 处的距离分别为多少? ３ ２０２１ 年菏泽市初中学业水平考试 (时间:１２０ 分钟　 总分:１２０ 分) — １６ — — １７ — — １８ — １９.(７ 分)列方程(组)解应用题: 端午节期间ꎬ某水果超市调查某种水果的销售情况ꎮ 下面是调查员的对话: 小王:该水果的进价为每千克 ２２ 元ꎻ 小李:当销售价为每千克 ３８ 元时ꎬ每天可售出 １６０ 千克ꎻ若每千克降低 ３ 元ꎬ每天的销售量将增加 １２０ 千克ꎮ 根据他们的对话ꎬ解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润 ３ ６４０ 元ꎬ又要尽可能让顾客得到实 惠ꎬ求这种水果的销售价为每千克多少元? ２０.(７ 分)如图ꎬ在平面直角坐标系中ꎬ矩形 ＯＡＢＣ 的两边 ＯＣꎬＯＡ 分别在坐标轴上ꎬ且 ＯＡ＝２ꎬＯＣ＝ ４ꎬ连接 ＯＢꎮ 反比例函数 ｙ＝ ｋ１ ｘ (ｘ>０)的图象经过线段 ＯＢ 的中点 Ｄꎬ并与 ＡＢꎬＢＣ 分别交于点 ＥꎬＦꎮ 一次函数 ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ 的图象经过 ＥꎬＦ 两点ꎮ (１)分别求出一次函数和反比例函数的表达式ꎻ (２)Ｐ 是 ｘ 轴上一动点ꎬ当 ＰＥ＋ＰＦ 的值最小时ꎬ点 Ｐ 的坐标为　 　 　 　 ꎮ ２１.(１０ 分)２０２１ 年 ５ 月ꎬ菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测ꎬ随机抽取了部分参 加 １５ 米折返跑学生的成绩ꎮ 学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级ꎬ学校绘制了如下 不完整的统计图ꎮ 根据图中提供的信息解答下列问题: (１)请把条形统计图补充完整ꎻ (２)合格等级所占百分比为　 　 　 　 ％ ꎻ不合格等级所对应的扇形圆心角的度数为　 　 　 　 度ꎻ (３)从所抽取的优秀等级的学生 ＡꎬＢꎬＣꎬＤꎬＥꎬＦ 中ꎬ随机选取两人去参加即将举办的学校运动会ꎬ 请利用列表或画树状图的方法ꎬ求出恰好抽到 ＡꎬＢ 两位同学的概率ꎮ １５ 米折返跑条形统计图 　 　 　 １５ 米折返跑扇形统计图 ２２.(１０ 分)如图ꎬ在☉Ｏ 中ꎬＡＢ 是直径ꎬ弦 ＣＤ⊥ＡＢꎬ垂足为 ＨꎬＥ 是ＢＣ ( 上一点ꎬＦ 是弦 ＤＣ 的延长线上一 点ꎬ连接 ＦＥ 并延长交直径 ＡＢ 的延长线于点 Ｇꎬ连接 ＡＥ 交 ＣＤ 于点 Ｐꎬ若 ＥＦ＝ＦＰꎮ (１)求证:ＥＦ 是☉Ｏ 的切线ꎻ (２)若☉Ｏ 的半径为 ８ꎬｓｉｎ Ｆ＝ ３ ５ ꎬ求 ＢＧ 的长ꎮ ２３.(１０ 分)在矩形 ＡＢＣＤ 中ꎬＢＣ ＝ ３ＣＤꎬＥꎬＦ 分别是边 ＡＤꎬＢＣ 上的动点ꎬ且 ＡＥ ＝ＣＦꎬ连接 ＥＦꎬ将矩形 ＡＢＣＤ 沿 ＥＦ 折叠ꎬ点 Ｃ 落在点 Ｇ 处ꎬ点 Ｄ 落在点 Ｈ 处ꎮ (１)如图 １ꎬ当 ＥＨ 与线段 ＢＣ 交于点 Ｐ 时ꎬ求证:ＰＥ＝ＰＦꎻ (２)如图 ２ꎬ当点 Ｐ 在线段 ＣＢ 的延长线上时ꎬＧＨ 交 ＡＢ 于点 Ｍꎬ求证:点 Ｍ 在线段 ＥＦ 的垂直平分 线上ꎻ (３)当 ＡＢ＝ ５ 时ꎬ在点 Ｅ 由点 Ａ 移动到 ＡＤ 中点的过程中ꎬ计算出点 Ｇ 运动的路线长ꎮ 图 １ 　 　 　 图 ２ 　 　 　 备用图 ２４.(１０ 分)如图ꎬ在平面直角坐标系中ꎬ已知抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－４ 交 ｘ 轴于 Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(４ꎬ０)两点ꎬ交 ｙ 轴于点 Ｃꎮ (１)求该抛物线的表达式ꎻ (２)Ｐ 是第四象限内抛物线上一点ꎬ连接 ＢＰꎬ过点 Ｃ 作 ＣＱ∥ＢＰ 交 ｘ 轴于点 Ｑꎬ连接 ＰＱꎬ求△ＰＢＱ 面 积的最大值及此时点 Ｐ 的坐标ꎻ (３)在(２)的条件下ꎬ将抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－４ 向右平移经过点 ( １２ ꎬ０ )时ꎬ得到新抛物线 ｙ＝ａ１ｘ ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１ꎬ 点 Ｅ 在新抛物线的对称轴上ꎬ在坐标平面内是否存在一点 Ｆꎬ使得以 ＡꎬＰꎬＥꎬＦ 为顶点的四边形是矩 形? 若存在ꎬ请直接写出点 Ｆ 的坐标ꎻ若不存在ꎬ请说明理由ꎮ 参考:若点 Ｐ１(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＰ２(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则线段 Ｐ１Ｐ２ 的中点 Ｐ０ 的坐标为 ( ｘ１＋ｘ２ ２ ꎬ ｙ１＋ｙ２ ２ )ꎮ 　 　 备用图