第12章 复数（考点串讲）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

苏教版(2019) 必修二 第12章 复数考点大串讲 串讲04 第12章 复数 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 11大常考点：知识梳理、思维导图 20个题型典例剖析+技巧点拨 精选9道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点1．复数的有关概念 （1）复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a，b分别是它的 　实部　⁠和 　虚部　⁠.当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；当b≠0时，a＋bi为虚数；当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数； （2）复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ 　a＝c且b＝d　⁠（a，b，c，d∈R）； （3）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ 　a＝c，b＝－d　⁠（a，b，c，d∈R）； （4）复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝ . 实部　 虚部　 a＝c且b＝d　 a＝c，b＝－d　 考点1．复数的有关概念 1.复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中　　是实部，____是虚部，i为虚数单位. (2)复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 实数(b　　0)， 虚数(b　　0)(当a　　0时为纯虚数). a b ＝ ≠ ＝ （1）复数z＝a＋bi⁠⁠复平面内的点Z（a，b）； （2）复数z＝a＋bi⁠⁠平面向量 提醒　复数z＝a＋bi（a，b∈R）的对应点的坐标为（a，b），而不是（a，bi）. 考点2．复数的几何意义 考点3． 复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ； (a＋c)＋(b＋d)i ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ； ③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ； (a－c)＋(b－d)i (ac－bd)＋(ad＋bc)i （1）复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. （2）复数加法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝ 　z2＋z1　⁠； ②结合律：（z1＋z2）＋z3＝ 　z1＋（z2＋z3）　⁠. z2＋z1　 z1＋（z2＋z3）　 考点3． 复数的四则运算 ①交换律：z1z2＝ 　z2z1　⁠； ②结合律：（z1z2）z3＝ 　z1（z2z3）　⁠； ③乘法对加法的分配律：z1（z2＋z3）＝ 　z1z2＋z1z3　⁠. （3）复数乘法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数乘法满足以下运算律： z2z1　 z1（z2z3）　 z1z2＋z1z3　 考点3． 复数的四则运算 考点4．复数的几何意义 几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即 ＝ ， ＝ . 考点4．复数的几何意义 2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*). 3.i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*). 4.复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆. 题型剖析 02 PART 【例题1】若复数z满足z(1＋i)＝－2＋i(i是虚数单位)，则|z|等于 √ 依题意，z(1＋i)＝－2＋i， 题型1. 复数的概念 ⁠ 【例题2】 设（1＋2i）a＋b＝2i，其中a，b为实数，则 （　　） A.a＝1，b＝－1 B.a＝1，b＝1 C.a＝－1，b＝1 D.a＝－1，b＝－1 解析：A　由题意知a＋b＋2ai＝2i，所以解得故选A. ｜练后悟通｜ 解决复数概念问题的两个注意事项 A.－i B.i C.0 D.1 √ 题型2. 复数的四则运算 题型2. 复数的四则运算 【例题4】若z＝－1＋i，则＝ （　　） A.－1＋i B.－1－i C.－＋i D.－－i 解析：C　＝＝＝－＋i，故选C. ｜练后悟通｜ 复数代数形式运算的策略 √ 题型3. 复数的几何意义 题型3. 复数的几何意义 【例题6】复数在复平面内对应的点所在的象限为 （　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　（1）＝＝＝＋i，故选A. 答案　（1）A　 ｜解题技法｜ 对复数几何意义的再理解 （1）复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi（a，b∈R）⇔Z（a，b）⇔； （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 押题预测 03 PART 1.已知复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为 √ 设z＝x＋yi(x，y∈R)， 所以(x－2)2＋y2＝1， 即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：(x－2)2＋y2＝ 1，如图， 返回 2.若复数z满足（1＋2i）z＝4＋3i，则＝ （　　） A.－2＋i B.－2－i C.2＋i D.2－i 解析：C　由题意，得z＝＝＝＝2－i，所以＝2＋i，故选C. 3.复数z＝（3＋i）（1－4i），则复数z的实部与虚部之和是 　　　　⁠.  解析：z＝（3＋i）（1－4i）＝7－11i，则z的实部为7，虚部为－11，故实部与虚部的和是7－11＝－4. 答案：－4 3.若i（1－z）＝1，则z＋＝ （　　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 解析：D　因为i（1－z）＝1，所以z＝1－＝1＋i，所以＝1－i，所以z＋＝（1＋i）＋（1－i）＝2.故选D. 4.若z＝1＋i，则｜iz＋3｜＝ （　　） A.4 B.4 C.2 D.2 解析　（2）因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3｜＝｜2－2i｜＝＝2.故选D. 答案　（2）D ⁠ 5.在复平面内，复数2i，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且＝，则点C对应复数的共轭复数是 （　　） A.1＋2i B.2＋i C.2－i D.1－2i 解析：C　由题意知，A（0，2），B（4，0），∵＝，∴点C为线段AB的中点，∴C（2，1），点C对应的复数z＝2＋i，∴z的共轭复数＝2－i，故选C. 6.设复数z满足｜z－2i｜＝1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是 （　　） A.1 B. C. D.3 解析：D　法一：由题意可知，在复平面内复数z对应的点为复平面内一动点到定点（0，2）的距离为1的点的集合，即以（0，2）为圆心，1为半径的圆，圆心（0，2）到原点的距离为2，所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2＋1＝3，故选D. 法二：设复数z＝x＋yi（x，y∈R），则x2＋（y－2）2＝1，所以－1≤y－2≤1，即1≤y≤3，所以x2＋y2＝4y－3≤9，所以≤3，即在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是3.故选D. ⁠ 7.已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则 （　　） A.a＝1，b＝－2 B.a＝－1，b＝2 C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2 解析：A　由题意知＝1＋2i，所以z＋a＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋a＋b＝0，所以a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以解得故选A. 8.已知复数z＝（a2－4）＋（a－3）i（a∈R），则“a＝2”是“z为纯虚数”的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　因为复数z＝（a2－4）＋（a－3）i（a∈R）为纯虚数，等价于即a＝±2，由充分条件和必要条件的定义知“a＝2”是“a＝±2”的充分不必要条件，所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件.故选A. 9.若复数z是x2＋x＋1＝0的根，则|z|等于 √ ∵x2＋x＋1＝0， 综上，|z|＝1. 10.(2＋2i)(1－2i)等于 A.－2＋4i B.－2－4i C.6＋2i D.6－2i √ (2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i. 11.（多选）已知复数z对应的向量为（O为坐标原点），与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z可能为 （　　） A.1＋i B.2 C.－1－i D.－1＋i 解析：CD　设复数z＝x＋yi（x，y∈R），∵向量与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，∴当z在第二象限时，x＝｜｜cos 120°＝2×＝－1，y＝｜｜sin 120°＝2×＝，∴z＝－1＋i；当z在第三象限时，x＝｜｜cos（－120°）＝2×＝－1，y＝｜｜sin（－120°）＝2×＝－，∴y＝－1－i.故选C、D. 13.（多选）已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1－i，则下面说法正确的是 （　　） A.z2＝ B.｜z1｜＝ C.｜z1＋z2｜≥2 D.＝－i 解析：ABD　因为z1z2＝i，z1＝1－i，所以z2＝＝，故A正确；｜z1｜＝＝，｜z2｜＝＝，所以｜z1｜＝，故B正确；因为｜z1＋z2｜＝︱︱＝＜2，故C错误；＝（1＋i）×＝－i，故D正确.故选A、B、D. 14.（多选）若复数z满足＝i，则 （　　） A.＝1＋i B.｜z｜＝ C.z在复平面内对应的点位于第四象限 D.z2为纯虚数 解析：BD　设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝＝i，a＋（b－1）i＝i·[（a＋1）＋bi]＝－b＋（a＋1）i，所以解得所以z＝－1＋i，故＝－1－i，A错误；｜z｜＝，B正确；z在复平面内对应的点为（－1，1），位于第二象限，C错误；z2＝（－1＋i）2＝－2i，则z2为纯虚数，D正确. 15.i是虚数单位，使（1＋i）n为实数的最小正整数n＝ 　　　　⁠.  解析：∵（1＋i）2＝2i，（1＋i）3＝2i－2，（1＋i）4＝－4，∴使（1＋i）n为实数的最小正整数n是4. 答案：4 16.复数z满足｜z－1｜2－｜z＋1｜2＝4，则复数z在复平面内对应的点所在的轨迹方程是 　　　　⁠.  解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），则（a－1）2＋b2－[（a＋1）2＋b2]＝4，整理，得a＝－1，∴复数z在复平面内对应的点所在的轨迹方程是x＝－1. 答案：x＝－1 ＋i ④除法：＝＝＝ (c＋di≠0). － ＋ 1.(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. z＝＝ ＝＝－＋i， 所以|z|＝＝. A. B. C. D. 因为z＝＝ ＝＝－i， 所以＝i，即z－＝－i. 【例题3】已知z＝，则z－等于 【例题5】棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，若复数z满足z·6＝|1＋i|，则复数z对应的点Z落在复平面内的 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 根据棣莫弗公式可知，z·＝z·＝，即  z·(－1＋i)＝2， 则z＝＝＝－1－i，复数z对应的点Z(－1，－1) 落在复平面内的第三象限. z·6＝|1＋i|， 因为|z－2|＝|x－2＋yi|＝＝1， 又|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝， 所以|z－i|表示圆C上的动点到定点A(0,1)的距离，所以|z－i|min＝CA－1＝－1. A.1 B.－1 C.＋1 D.3 ∴由求根公式得x＝＝， 即z＝， ∴当z＝－＋i时，|z|＝＝1， 当z＝－－i时，|z|＝＝1. A. B.1 C.2 D.3 $$