第11章 解三角形（考点串讲）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

苏教版(2019) 必修二 第11章 解三角形 考点大串讲 串讲03 第11章 解三角形 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 4大常考点：知识梳理、思维导图 20个题型典例剖析+技巧点拨 精选14道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点1． 正弦定理、余弦定理 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a2＝ ； b2＝ ； c2＝_________________ b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 考点1． 正弦定理、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝ ， c＝ ； (2)sin A＝ ， sin B＝ ，sin C＝ ； (3)a∶b∶c＝__________________ cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝____________ 2Rsin B 2Rsin C sin A∶sin B∶sin C 考点2．三角形解的判断 2.三角形解的判断   A为锐角 A为钝角或直角 图形         关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 考点3． 三角形中常用的面积公式 (2)S＝ ＝ ＝ ； (3)S＝ (r为三角形的内切圆半径). 考点4． 三角形中常用的面积公式 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. ⁠ 1.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B. 2.三角形中的三角函数关系 （1）sin（A＋B）＝sin C；（2）cos（A＋B）＝－cos C； （3）sin＝cos；（4）cos＝sin. 3.三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 4.在△ABC中，S＝＝. 题型剖析 02 PART 题型1.利用正、余弦定理解三角形 ⁠ 【例1】　 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C＋csin A＝0，c＝2，b＝4，则a＝ 　　　　⁠；  解析　（1）∵acos C＋csin A＝0，∴由正弦定理得sin Acos C＋sin Csin A＝0，又sin A≠0，∴tan C＝－，∵0＜C＜π，∴C＝.由余弦定理c2＝b2＋a2－2abcos C，得（2）2＝42＋a2－2×4×a×cos ，化简得a2＋4a－12＝0，解得a＝2或a＝－6（舍去），故a＝2. 答案　 2　 ｜解题技法｜ 应用正弦、余弦定理的解题技巧 （1）求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A等求解；   （2）求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理变形公式cos A＝等求解；   （3）利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 题型2.判断三角形的形状 【例2】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝7，b＝8，从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断△ABC是否为钝角三角形，并说明理由. ①cos C＝；②cos B＝. 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解　若选①，在△ABC中，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得c2＝72＋82－2×7×8×＝9，所以c＝3. 因为c＜a＜b，所以B是△ABC的最大角. 在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得cos B＝＝＝－＜0，所以B是钝角， 所以△ABC是钝角三角形. 法一：在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得82＝72＋c2－2×7c×， 化简，得（c－5）（c＋3）＝0，解得c＝5或c＝－3（舍去）， 所以c＜a＜b，所以B是△ABC的最大角. 因为cos B＝＞0，所以B是锐角， 所以△ABC不是钝角三角形. 若选②， 法二：在△ABC中，因为cos B＝， 所以sin B＝＝. 在△ABC中，由正弦定理＝， 得sin A＝＝＝. 因为cos B＝＞0，所以B是锐角. 又a＜b，所以A＜B，所以A是锐角. 因为sin A＝，所以cos A＝＝，所以cos C＝cos（π－A－B）＝－cos（A＋B）＝sin Asin B－cos Acos B＝×－×＝＞0，所以C是锐角. 综上，△ABC不是钝角三角形. ｜解题技法｜ 判定三角形形状的两种常用途径 提醒　“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系. ⁠ 　 题型3.三角形中与面积有关的问题 【例3】　在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD＝5，CE＝3，且△EDC的面积为3. （1）求边DE的长； 解　（1）在△CDE中，因为CD＝5，CE＝3，且△EDC的面积为3， 所以CD·CEsin∠DCE＝3， 得×5×3×sin∠DCE＝3，于是有sin∠DCE＝. 又∠DCE为锐角，所以cos∠DCE＝＝， 在△CDE中，由余弦定理得DE2＝CD2＋CE2－2CD·CEcos∠DCE＝52＋32－2×5×3×＝28， 所以DE＝2. （2）若AD＝3，求△ACD的面积. 解　（2）因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＝90°－∠DCE， 所以sin∠ACD＝sin（90°－∠DCE）＝cos∠DCE＝， 在△ACD中，由正弦定理＝，及CD＝5，AD＝3， 得＝，于是有sin∠CAD＝. 在△ACD中，∠ADC＝180°－∠CAD－∠ACD， 所以sin∠ADC＝sin（∠CAD＋∠ACD）＝×＋×＝， 则S△ACD＝AD·CD sin∠ADC＝×3×5×＝＋. ｜解题技法｜ 1.求三角形面积的方法 （1）若已知三角形的一个角（角的大小或该角的正、余弦值）及该角的两边长度，代入公式求面积； （2）若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积.总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键. 2.已知三角形面积求边、角的方法 （1）若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； （2）若求边，就寻求与该边（或两边）有关联的角，利用面积公式列方程求解. 题型4.与三角形有关的证明问题 【例4】 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin（A－B）＝sin B·sin（C－A）. （1）证明：2a2＝b2＋c2； 解　（1）证明：法一：由sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）可得，sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A， 结合正弦定理＝＝可得accos B－bccos A＝bccos A－abcos C， 即accos B＋abcos C＝2bccos A. （*） 由余弦定理可知accos B＝，abcos C＝，2bccos A＝b2＋c2－a2，代入（*）式整理得2a2＝b2＋c2. 法二：因为A＋B＋C＝π， 所以sin Csin（A－B）＝sin（A＋B）sin（A－B）＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A（1－sin2B）－（1－sin2A）sin2B＝sin2A－sin2B， 同理有sin Bsin（C－A）＝sin（C＋A）sin（C－A）＝sin2C－sin2A， 所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A， 由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. （2）若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长. 解　（2）由（1）及a2＝b2＋c2－2bccos A得，a2＝2bccos A，所以2bc＝31. 因为b2＋c2＝2a2＝50，所以（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9， 所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14. ｜解题技法｜ 证明与三角形有关等（不等）式的一般思路 （1）利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等（不等）式转化为以角为研究对象的三角等（不等）式或以边为研究对象的代数等（不等）式； （2）充分利用三角形中隐含条件：①A＋B＋C＝π；②A＞B⇔sin A＞sin B；③a－b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导证明. 题型5.平面图形中的计算问题 【例5】　如图，在圆内接△ABC中，∠CAB，∠ABC，∠ACB所对的边分别为a，b，c，且acos∠ACB＋ccos∠CAB＝2bcos∠ABC. （1）求∠ABC的大小； 解　（1）由题意知sin∠CABcos∠ACB＋sin∠ACB·cos∠CAB＝2sin∠ABCcos∠ABC， ∴sin（∠CAB＋∠ACB）＝sin∠ABC＝2sin∠ABC·cos∠ABC， ∵0＜∠ABC＜π，∴sin∠ABC＞0. ∴cos∠ABC＝，∵0＜∠ABC＜π，∴∠ABC＝. （2）若点D是劣弧AC上一点，a＝2，c＝3，sin∠CAD＝，求线段AD的长. 解　（2）在△ABC中，由余弦定理可得AC＝＝， 由∠ABC＝，得∠ADC＝，故∠ACD＝－∠CAD. 由sin∠CAD＝，且∠CAD为锐角， 得cos∠CAD＝＝， sin∠ACD＝sin＝×－×＝， 在△ADC中，由正弦定理可得＝，∴AD＝1. ｜解题技法｜ 利用正、余弦定理解决平面图形问题的策略 （1）将所给平面图形分拆成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理建立边角关系进行求解； （2）充分注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使用公共条件进行求解； （3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用； （4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解. 押题预测 03 PART ⁠ 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cos B＝ （　　） A. B. C. D. 解析：C　因为a＝b，A＝2B，所以由正弦定理可得＝，所以＝，所以cos B＝. 2.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2，B＝45°，C＝75°，则b＝ （　　） A.2 B. C.2 D.3 解析：C　由题意A＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理＝，得b＝＝＝2，故选C. 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a＋b）（sin A－sin B）＝c（sin C＋sin B），b＋c＝4，则△ABC的面积的最大值为 （　　） A. B. C.1 D. 解析：D　根据正弦定理知（a＋b）（sin A－sin B）＝c（sin C＋sin B）可化为（a＋b）（a－b）＝c（c＋b），即a2＝b2＋c2＋bc，故cos A＝＝－，因为A∈（0，π），故A＝，则sin A＝.因为b＋c＝4，b＋c≥2，所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，此时△ABC的面积S＝bcsin A＝，故△ABC的面积的最大值为.故选D. ⁠ 4.在△ABC中，＝sin2 （a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为 （　　） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：A　由sin2 ＝，得＝，即cos B＝. 法一：由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等. 法二：由正弦定理得cos B＝，又sin A＝sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C，所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，所以cos C＝0，又C为三角形的内角，所以C＝，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等. 5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知acos B＋bcos A＝3ccos C，asin A－csin C＋bsin A＝0，则＝ （　　） A. B. C. D. 解析：A　在△ABC中，由acos B＋bcos A＝3ccos C，得c＝3ccos C，∴cos C＝；由正弦定理及asin A－csin C＋bsin A＝0，得a2－c2＝－ab.又由余弦定理得cos C＝＝＝，∴＝. √ 又因为0°<C<180°，c>a，A＝45°，所以C＝60°或120°. 7.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a－b＝ccos B－ccos A，则△ABC的形状一定是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 √ 因为a－b＝ccos B－ccos A， 所以由正弦定理得 sin A－sin B＝sin Ccos B－sin Ccos A， 因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C－sin Acos C－cos Asin C＝sin Ccos B－ sin Ccos A， 整理得sin Bcos C－sin Acos C＝0， 所以(sin B－sin A)cos C＝0， 所以sin B＝sin A或cos C＝0， 即△ABC的形状一定是等腰或直角三角形. ⁠ 8.在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是（　　） A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 解析：C　由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝＞1.∴B不存在，即满足条件的三角形不存在. ⁠ 9.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝ 　　　　⁠.  解析：由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2. 答案：2 10.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝asin，则A＝ 　　　　⁠.  解析：因为b＝asin＝a（sin C＋cos C），所以sin B＝sin A（sin C＋cos C），即sin（C＋A）＝sin Asin C＋sin Acos C，所以sin Ccos A＝sin Asin C，因为sin C≠0，所以cos A＝sin A，又0＜A＜π，所以A＝. 答案： 11.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2bcos C＝a＋2ccos B，b＝c，则cos C＝ 　　　　⁠.  解析　（2）因为2bcos C＝a＋2ccos B，所以由余弦定理得2b×＝a＋2c×，整理得a2＋2c2－2b2＝0，又b＝c，所以a2＝2c2，即a＝c，所以cos C＝＝＝. 答案　（2） 12.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若5asin A＋5bsin B＋8asin B＝5csin C，则cos C＝ 　　　　⁠.  解析：利用正弦定理，得5a2＋5b2＋8ab＝5c2，即a2＋b2－c2＝－ab，所以由余弦定理，得cos C＝＝＝－. 答案：－ 13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，b＝4，a＝2，则B＝ 　　　　⁠，△ABC的面积等于 　　　　⁠.  解析：由正弦定理＝，得sin B＝＝＝1，因为0＜B＜π，所以B＝，所以△ABC为直角三角形，c＝＝2，所以S△ABC＝ac＝2. 答案：　2 14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足①C＝2B，②bcos A＝acos B，③b2－c2＝a2－ac. （1）从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立； 解：（1）①③⇒②. 由③及余弦定理，得cos B＝＝， 因为B∈（0，π），所以B＝. 所以由①C＝2B，可得C＝，所以A＝＝B，则有a＝b，所以bcos A＝acos B，故②成立. ①②⇒③. 由②及正弦定理，得sin Bcos A＝sin Acos B，所以sin（A－B）＝0， 因为A，B∈（0，π），所以A－B＝0，即A＝B. 所以由①C＝2B及A＋B＋C＝π，得C＝，A＝B＝. 由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accos B＝ac，即b2－c2＝a2－ac，故③成立. ②③⇒①. 由③及余弦定理，得cos B＝＝，因为B∈（0，π），所以B＝. 由②及正弦定理，得sin Bcos A＝sin Acos B，所以sin（A－B）＝0， 又A，B∈（0，π），所以A－B＝0，即A＝B＝，所以C＝＝2B，故①成立. （2）若D为线段AB上一点，且∠BCD＝B，CD＝4，求△BCD的面积. 注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 解：（2）由（1）可知，B＝，所以∠BCD＝B＝，则∠BDC＝. 所以S△BCD＝BC·CDsin∠BCD＝2BCsin ＝·sin ＝8sin sin ＝8sin cos ＝4sin ＝4. ＝ ＝ ＝2R acsin B bcsin A r(a＋b＋c) (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； absin C (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . 因为a＝1，c＝，A＝45°， 所以由正弦定理可得sin C＝＝＝， 6.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝，A＝45°，则C等于 A.30° B.60° C.120° D.60°或120° 因为A，B，C∈(0，π)，所以A＝B或C＝， $$