第10章 三角恒等变换（考点串讲）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

苏教版(2019) 必修二 第10章 三角恒等变换 考点大串讲 串讲02 第10章 三角恒等变换 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 3大常考点：知识梳理、思维导图 9个题型典例剖析+技巧点拨 精选13道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）cos（α－β）＝ 　cos αcos β＋sin αsin β　⁠（C（α－β））；  （2）cos（α＋β）＝ 　cos αcos β－sin αsin β　⁠（C（α＋β））；  （3）sin（α－β）＝ 　sin αcos β－cos αsin β　⁠（S（α－β））；  （4）sin（α＋β）＝ 　sin αcos β＋cos αsin β　⁠（S（α＋β））；  （5）tan（α－β）＝ 　　⁠（T（α－β））； （6）tan（α＋β）＝ 　　⁠（T（α＋β））. cos αcos β＋sin αsin β　 cos αcos β－sin αsin β　 sin αcos β－cos αsin β　 sin αcos β＋cos αsin β　 　 　 考点2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝ . (2)公式C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ . (3)公式T2α：tan 2α＝ . 2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α 考点3. 二倍角公式的变形公式 半角正切公式的有理化 1.二倍角公式的变形公式 2.半角正切公式的有理化 ⁠ 1.公式的常用变式：若α＋β＝，则（1＋tan α）（1＋tan β）＝2；tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan αtan β）；tan α·tan β＝1－＝－1. 2.常用拆角、拼角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝－＝（α＋2β）－（α＋β）；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；＋α＝－等. 3.辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin（α＋φ）. 题型剖析 02 PART 题型1.公式的直接应用 1.已知角α的终边过点A（1，），则cos＝ （　　） A.－ B.0 C. D. 解析：B　∵角α的终边过点A（1，），∴sin α＝＝，cos α＝＝，则cos＝cos α－sin α＝×－×＝0，故选B. ｜练后悟通｜ 三角函数公式的应用策略 （1）使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”； （2）使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. 题型2.公式的逆用及变形用 【例2】若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2cossin β，则（　　） A.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1 C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1 解析 由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×（cos α－sin α）sin β，整理，得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin（α－β）＋cos（α－β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选C. 答案　 C　 ｜解题技法｜ 三角函数公式的活用技巧 （1）逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式； （2）tan αtan β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan（α＋β）（或tan（α－β））三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用. 提醒　（1）公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系； （2）注意可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的. 题型3.角的变换 【例3】　已知α，β∈，sin（α＋β）＝－，sin＝，则cos＝ 　　　　⁠.  解析　由题意知，α＋β∈，sin（α＋β）＝－＜0，所以cos（α＋β）＝，因为β－，所以cos＝－，cos＝cos＝cos（α＋β）cos＋sin（α＋β）sin＝－. 答案　－ ｜解题技法｜ 三角公式求值中变角的解题思路 （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 题型4.名的变换 【例4】　若cos＝，则sin＝ （　　） A.－ B. C. D.－ 解析　法一：sin＝－cos＝－cos＝－cos＝－＝－＝－，故选A. 法二：cos2＝＝，解得cos＝，所以sin＝－cos＝－cos＝－，故选A. 答案　A ｜解题技法｜ 三角函数名的变换技巧 　　明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数的基本关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦. 题型5.三角函数式的化简 【例5】　化简：（1）； 解　（1）＝ ＝＝4sin α. 题型5.三角函数式的化简 【例5】　化简：（1）； 解　（1）＝ ＝＝4sin α. ｜解题技法｜ 三角函数式的化简要遵循“3看”原则 题型6.给角求值 【例6】　计算＝ （　　） A.1 B. C. D.2 解析　＝＝＝＝，故选C. 答案　C ｜解题技法｜ 给角求值问题的基本思路 　　观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为： （1）特殊角的三角函数值； （2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值； （3）可约分的项和特殊角的三角函数值等. 题型7.给值求值 【例7】　已知tan＝，且－＜α＜0，则＝ （　　） A.－ B.－ C.－ D. 解析　因为tan＝＝，所以tan α＝－，因为tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，α∈，所以sin α＝－.所以＝＝＝2sin α＝2×＝－.故选A. 答案　A ｜解题技法｜ 给值求值问题的解题策略 （1）此类问题的解法规律是将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行恒等变换，使其转化为所求函数式能够使用的条件，然后用代入法求出三角函数式的值，也可以将所求的函数式经过适当的变形，再利用条件求值； （2）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把“所求角”用“已知角”表示. 题型8.给值求角 【例8】　已知角α∈，tan＝，则α＝ 　　　　⁠.  解析　tan＝＝，整理得sin＝cos，即sin＝sin，因为α∈，所以α－，所以α－＝，所以α＝. 答案　 ｜解题技法｜ 　　“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数.   A.c>a>b B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c √ 题型9. 三角恒等变换的综合应用 所以c＝sin θtan θ>b＝sin2θ>a＝sin θcos θ. 返回 题型9 三角恒等变换的综合应用 ｜解题技法｜ 三角恒等变换综合问题的求解策略 （1）进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用； （2）形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin（x＋φ），可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.   押题预测 03 PART ⁠ 1.tan 87°－tan 27°－tan 27°tan 87°＝ （　　） A.2 B. C.－2 D.－5 解析：B　tan 87°－tan 27°－tan 27°tan 87°＝tan（87°－27°）（1＋tan 27°tan 87°）－tan 27°tan 87°＝（1＋tan 27°tan 87°）－tan 27°tan 87°＝. 2.已知tan＝3，则tan 2α＝ （　　） A.－4 B.－ C.4 D. 解析：A　由tan＝＝3，求得tan α＝－，则tan 2α＝＝－4.故选A. 3.（2021·全国甲卷）若α∈，tan 2α＝，则tan α＝ （　　） A. B. C. D. 解析：A　因为α∈，所以tan 2α＝＝⇒＝⇒2cos2α－1＝4sin α－2sin2α⇒2sin2α＋2cos2α－1＝4sin α⇒sin α＝⇒tan α＝. ⁠ 5.已知sin＝，则cos＝ （　　） A.－ B. C.－ D. 解析：A　由sin＝，得cos＝1－2sin2＝，cos＝cos＝－cos＝－.故选A. 5.在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B＝ （　　） A. B. C. D. 解析　 ∵C＝120°，∴tan C＝－.∵A＋B＝180°－C，∴tan（A＋B）＝－tan C.∴tan（A＋B）＝，tan A＋tan B＝（1－tan Atan B），又∵tan A＋tan B＝，∴tan Atan B＝. 答案　 B 6.已知sin α＝，α∈，则tan＝（　　） A.－7 B.－ C. D.7 解析：D　因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，tan α＝＝－，所以tan＝＝7，故选D. ⁠ 7.·＝ （　　） A.－sin α B.－cos α C.sin α D.cos α 解析：D　原式＝ ＝＝cos α. 8.已知λcos 50°－tan 40°＝，则λ的值为 （　　） A.2 B.2 C.4 D.3 解析：C　由已知，λsin 40°－＝，则＝，从而λsin 40°cos 40°－sin 40°＝cos 40°，sin 80°＝cos 40°＋sin 40°＝2＝2sin（60°＋40°）＝2sin 100°＝2sin 80°⇒＝2⇒λ＝4. 9.（多选）下列各式中，值为的是 （　　） A. B.tan 15°cos215° C.cos2－sin2 D. 解析：ACD　∵＝tan 45°＝，tan 15°cos215°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，cos2－sin2＝cos ＝，＝sin 30°＝，故选A、C、D. 10.已知0＜α＜＜β＜π，tan α＝，cos（β－α）＝，则sin α＝ 　　　　⁠，cos β＝ 　　　　⁠.  解析：因为0＜α＜，且tan α＝，所以sin α＝，cos α＝，由0＜α＜＜β＜π，则0＜β－α＜π，又因为cos（β－α）＝，则sin（β－α）＝，所以cos β＝cos[（β－α）＋α]＝cos（β－α）cos α－sin（β－α）sin α＝×－×＝－. 答案：　－ 11.已知tan（α＋β）＝，tan（α－β）＝，则tan（π－2α）＝ 　　　　⁠.  解析：因为tan（π－2α）＝－tan 2α，由结论2可知tan 2α＝＝＝1，所以tan（π－2α）＝－1. 答案：－1 12.已知cos＝，θ∈，则sin＝ 　　　　⁠.  解析：由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.因为cos＝＞0，θ∈，所以0＜θ＜，2θ∈，根据同角三角函数的基本关系式，可得cos 2θ＝，由两角差的正弦公式，可得sin＝sin 2θcos－cos 2θsin＝×－×＝. 答案： ⁠ 　13.已知向量a＝，b＝，函数f（x）＝a·b. （1）求函数f（x）的最大值，并指出f（x）取最大值时x的取值集合； 解：（1）f（x）＝cos2－sin2＋2sin cos ＝cos x＋sin x＝2sin， 当x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时， f（x）有最大值为2，此时x的取值集合为{x︱x＝＋2kπ，k∈Z}. （2）若α，β为锐角，cos（α＋β）＝，f（β）＝，求f的值. 解：（2）由α，β为锐角，cos（α＋β）＝，得sin（α＋β）＝， 由f（β）＝得，sin＝， ∵0＜β＜，∴＜β＋＜， 又sin＝， ∴＜β＋＜，∴cos＝， ∴cos＝cos ＝cos（α＋β）cos＋sin（α＋β）sin＝， ∴f＝2sin＝2sin＝2cos＝. tan ＝＝. (1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式) (2)1±sin α＝2.(升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式) 【例题9】已知<θ<，若a＝， b＝－cos 2θ，c＝－cos θ， 则a，b，c的大小关系是 b＝(1－cos 2θ)＝sin2θ， c＝－cos θ＝＝sin θtan θ， 又<θ<，则sin θ∈， 且tan θ>1>sin θ>>cos θ>， a＝＝＝sin θcos θ， $$