专题15 相交线、平行线-2024年全国初中数学重点高中自招竞赛试题汇编

专题15� 相交线、平行线（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．（2024七年级·全国·竞赛）如图，直线，则 度．    【答案】260 【分析】本题主要考查平行线的性质，以及三角形内角和等于，熟记这些性质是解题的关键．把看作一个整体，再利用平行线和三角形内角和的性质即可求得答案． 【详解】解：如图，    因为； 所以； 因为； 所以； 即； 故答案为：260． 2．（2024七年级·全国·竞赛）如图，，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，过点作，过点作，证明再根据平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，过点作，过点作．    又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知直线直线，如果与的角平分线的交点到线段的距离为，那么直线与直线之间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，掌握相关性质正确推理是解题关键． 过点O作，交于点，作，根据点到直线与点到直线的距离相等，都等于点到线段的距离分析求解． 【详解】解：过点O作，交于点，作， ∵，且 ∴， ∴， ∵与的角平分线的交点到线段的距离为， ∴ ∴直线与直线之间的距离为， 故答案为：4 4．（2024七年级·全国·竞赛）已知线段（不共线），且、在点的同一侧，对于、与这三个角之间的等量关系，某同学有以下结论：①；②；③；④．其中可能正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和、三角形的内角和是180°、两直线平行，同位角相等是解题的关键． 根据题意将线段、与点的位置进行分类讨论，结合平行线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图1： ∵， ∴， 在中，， 即；①正确； 如图2： ∵， ∴， 在中，， 即；②正确； 如图3： ∵， ∴， 在中，， 即；③正确； 如图4：延长与交于点； ∵， ∴， 在中，， ， 即， 故；④正确； 故答案为：①②③④． 5．（2024七年级·全国·竞赛）如图，平行线分别交射线于点，交射线于点，点在射线上，且不与点、或重合．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，过作，与相交于点，由得到，进而得到，，即，再由即可求解，掌握平行公理的推论及平行线的性质是解题的关键． 【详解】过作，与相交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（2024七年级·全国·竞赛）如图，在一片高新技术经济开发区的旁边修了一条公路，已知公路的第一个拐角，第二个拐角，第三个拐角记为，如果公路段与公路段恰好平行，那么的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查了平行线的性质定理及三角形的外角性质，先延长，交于点，根据平行线的性质，得出，再根据，可得，根据进行计算即可，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，交于点， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024七年级·全国·竞赛）如图，直线，直线与相交，若，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题主要考查了邻补角的性质、平行线的性质等知识点，掌握两直线平行、同位角相等是解题的关键． 先根据邻补角的性质求得，再根据两直线平行、同位角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知，且，则 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查求角度，涉及平行线判定与性质、角度之间和差倍分关系、解方程组等知识，设，数形结合，表示角度之间的和差倍分关系，联立方程组求解即可得到答案，数形结合，准确表示出各个角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 【详解】解：过作，过作，如图所示： ， ， ，， 设， ， ， ， ， ， ，即， 联立 ，解得， ． 故答案为： 9．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知，，，则 ．    【答案】/360度 【分析】本题考查了平行公理的推理，平行线的性质等知识．过作，再证明，先证明，，再证明，，分别代入原式即可得到一个周角，问题得解． 【详解】解：如图，过作．    ∵， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 10．（2024七年级·全国·竞赛）如图，是的三等分线，且，则 ． 【答案】/165度 【分析】本题考查了角等分线的性质、平行线的性质三角形的外角性质，解题的关键在于熟练掌握知识点．延长交于点，根据，得到，再根据三等分线得到，从而利用三角形的外角性质得到． 【详解】如图，延长交于点，则 是的三等分线． 故答案为：． 二、单选题 11．（2024七年级·全国·竞赛）如图，直线，交于点，连接，则、与之间的数量关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质；熟练掌握平行于同一直线的两直线互相平行、两直线平行，内错角相等、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 根据平行线的判定和性质可得，；结合题意可得；根据三角形的外角性质可得，即可求解． 【详解】解：过点作，延长交于点，则，如图： ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 即， ∴． 故选：C． 12．（2024七年级·全国·竞赛）下列说法正确的有（    ）个． ①两条直线所成的各角中必有一个锐角；②如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；③经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了命题，根据垂直的定义、平行线的性质、平行公理逐一判断即可求解，掌握垂直的定义、平行线的性质、平行公理是解题的关键． 【详解】解：当两条直线垂直时，所成的四个角都是直角，故错误； 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误； 同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误； ∴正确的说法有个， 故选：A． 13．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，过上一点且平行于边的直线将分成面积相等的两个部分，则的值为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．由可得出，利用相似三角形的性质结合，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选∶A 14．（2024七年级·全国·竞赛）已知三条直线相交于同一点，如图所示，根据图示信息，下列结论全对的一组是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等以及平角的定义，由题意求出，即可求解． 【详解】解：由图可知：， 由对顶角相等可得：，故A正确，B、C、D错误； 故选：A 15．（2024七年级·全国·竞赛）如图，，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质，角平分线的性质，垂直的性质，合理作出平行线是解题的关键． 如图所示，作交于，作，根据平行线的性质可求出的度数，根据垂直的性质可求出的度数，最后根据即可求解． 【详解】解：如图所示，作交于，作， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（2024七年级·全国·竞赛）如图，直线直线，则的值是（    ）． A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等．先根据平行线的性质得出，再求出，然后求出结果即可． 【详解】解：如图，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 三、解答题 17．（2024七年级·全国·竞赛）如图，点E是上一点，．与平行吗？证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定，三角形的内角和定理． 由可得，由，，得到，，进而证得，因此． 【详解】，证明如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ ， ∴． 18．（2024七年级·全国·竞赛）（1）如图1，，且，求证：；           　图1 （2）如图2，，且，求的值．           　图2 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】 本题考查了平行线的性质，熟练掌握和灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）作出辅助线，由平行线的性质可得角相等，结合条件即可证明； （2）作出辅助线，类比（1）的推导即可完成． 【详解】 （1）证明：作， ， ， ， ， ， ； （2）解：作， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， 又， 设，则， ， ． 19．（16-17七年级下·全国·课后作业）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质．作恰当的辅助线构造平行线是解题的关键． 作，延长交于点，利用平行线的性质与判定求解即可． 【详解】证：作，延长交于点， 则． ∵， ∴， ． ， ∴， ∴， ∴． 20．（2024七年级·全国·竞赛）如图，直线上有两点． 求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，掌握相关结论是解题关键． 【详解】证：， ，， ， ， ， ， ， 平分． 21．（2024七年级·全国·竞赛）已知， (1)如图，求； (2)如图，求； (3)如图，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据平行线的性质探究角的关系，旨在考查学生的“举一反三”能力．过“拐点”作已知平行直线的平行线是解题关键． （1）作，根据即可求解； （2）作，作，根据即可求解； （3）结合上述推理过程即可确定一般规律． 【详解】（1）解：如图，作， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，作，作， ∵ ∴， ∴ （3）解：如图，同（2）作平行线， ∴． 22．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知平分．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义；熟练掌握：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行内错角相等；角的平分线的定义等知识是解题关键．由,可得，，则，,，进而得到，再由平分，得到，从而得到的度数． 【详解】解：， 得出：，， ； ，； ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15� 相交线、平行线（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．（2024七年级·全国·竞赛）如图，直线，则 度．    2．（2024七年级·全国·竞赛）如图，，则 ．    3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知直线直线，如果与的角平分线的交点到线段的距离为，那么直线与直线之间的距离为 ． 4．（2024七年级·全国·竞赛）已知线段（不共线），且、在点的同一侧，对于、与这三个角之间的等量关系，某同学有以下结论：①；②；③；④．其中可能正确的有 ．（填序号） 5．（2024七年级·全国·竞赛）如图，平行线分别交射线于点，交射线于点，点在射线上，且不与点、或重合．若，则 ． 6．（2024七年级·全国·竞赛）如图，在一片高新技术经济开发区的旁边修了一条公路，已知公路的第一个拐角，第二个拐角，第三个拐角记为，如果公路段与公路段恰好平行，那么的度数为 ． 7．（2024七年级·全国·竞赛）如图，直线，直线与相交，若，则 ． 8．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知，且，则 ． 9．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知，，，则 ．    10．（2024七年级·全国·竞赛）如图，是的三等分线，且，则 ． 二、单选题 11．（2024七年级·全国·竞赛）如图，直线，交于点，连接，则、与之间的数量关系是（    ）． A． B． C． D． 12．（2024七年级·全国·竞赛）下列说法正确的有（    ）个． ①两条直线所成的各角中必有一个锐角；②如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；③经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A． B． C． D． 13．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，过上一点且平行于边的直线将分成面积相等的两个部分，则的值为（    ）．    A． B． C． D． 14．（2024七年级·全国·竞赛）已知三条直线相交于同一点，如图所示，根据图示信息，下列结论全对的一组是（    ）． A． B． C． D． 15．（2024七年级·全国·竞赛）如图，，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（2024七年级·全国·竞赛）如图，直线直线，则的值是（    ）． A．20 B．30 C．40 D．50 三、解答题 17．（2024七年级·全国·竞赛）如图，点E是上一点，．与平行吗？证明你的结论． 18．（2024七年级·全国·竞赛）（1）如图1，，且，求证：；           　图1 （2）如图2，，且，求的值．           　图2 19．（16-17七年级下·全国·课后作业）如图，，，求证：． 20．（2024七年级·全国·竞赛）如图，直线上有两点． 求证：平分． 21．（2024七年级·全国·竞赛）已知， (1)如图，求； (2)如图，求； (3)如图，求． 22．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知平分．求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$