专题14 圆-2024年全国初中数学重点高中自招竞赛试题

专题14 圆（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在直角中，与都相切，且圆心在斜边上，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、三角形的面积公式，解题的关键是利用“面积法”可以简便地得到答案． 连接，利用即可得到答案． 【详解】如图，设与相切于点E、F，连接， 则． 设， ∵，， 且， ∴， 解得：． 故答案为：． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，若点在优弧上运动，点在劣弧上运动，则四边形的最大面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，根据三角形的面积推得时，四边形的面积最大是解题的关键． 根据三角形的面积公式可推得时，四边形的面积最大，根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可得，即可求解． 【详解】解：连接，过点作交于点，过点作交于点，如图： 则四边形的面积为； ∵四边形是的内接四边形， ∴的最大值是的直径， 即点与点重合时，四边形的面积最大， 此时， 如图：连接、、、， ∵， ∴， ∵， ∴，， 故四边形的最大面积为． 故答案为：． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，的平分线交的外接圆于点，点E是的内心，连接，则 度． 【答案】55 【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的内心、外心的性质及圆周角定理，熟知相关性质是正确解决本题的关键．根据求出的度数，再利用角平分线的定义及圆周角定理求出的度数． 【详解】解： ， 平分， ， ， 点E是的内心， ， 故答案为：． 4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知一个圆的直径与边长为的等边三角形的高相等，与相切于点，与相交于点，则弦的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和垂径定理，过点A作，连接，过点作于点，求得，得，再求出,得，由勾股定理得，再根据垂径定理得． 【详解】解：过点A作，连接，过点作于点，如图， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵与相切， ∴ ∴ ∴ ∴， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：3． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图，为的外接圆，的延长线上有一点，使得，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数值、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质．连接，由于，那么可求，利用圆周角定理可求，而，那么是等边三角形，从而有，利用垂径定理可知是的垂直平分线，那么，而，则，于是有，，在中，利用三角函数值可求，在中利用的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ，是半径， ，，， 是的垂直平分线， ，， 在中，， 在中，． 故答案为： 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 7．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，是直径，是切线，点C、O的连线交于点的延长线交于点的延长线交于点F，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、圆的切线的性质、圆周角定理等知识，证明是解题的关键．连接，证明，则，证明，得到．由得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径，是切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ． ， ， ， 解得（舍）或， ． 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，为直径，长为，点为的三等分点，在同一侧的圆周上有不同的两点，使得，且，连接，则与的面积之和为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，根据题意可证，过点作，垂足为点，连接，可求得和，过点作，垂足为点，则，可得，则有，结合即可求得． 【详解】解：延长交于点，连接，如图， ∵， ∴， ∵点为的三等分点， ∴， 由对称性得， ∵， ∴， 则， 过点作，垂足为点，连接，则， ∵， ∴， 则， 过点作，垂足为点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线和熟悉三角形所涉及的性质． 9．（2024九年级·全国·竞赛）如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的内切圆和外接圆，连接，，，取中点，连接，过作于点，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，最大值为，然后由勾股定理求出的值即可，解题的关键是熟练掌握切线长定理，三角形中位线性质定理和勾股定理的应用． 【详解】解：如图，连接，，，取中点，连接，过作于点， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵为的中点， ∴， 则点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点三点共线时，最大，为的值， ∵为的内心，过作于点，于点， ∴四边形为正方形， 由直角三角形的内切圆半径为，即， ∴， 取的中点G，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴最大值为， 故答案为：． 10．（2024九年级·全国·竞赛）已知的半径为，是一个动圆，如果与有且只有一个公共点，且，则的半径为 ． 【答案】2或14 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，分类讨论：当在的外面时和当在的里面时，根据圆的位置关系即可求解，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：当在的外面时， 依题意得：的半径为：， 当在的里面时， 依题意得：的半径为：， 综上，的半径为或， 故答案为：2或14． 11．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，直径，位于点两侧且垂直于直径的两条弦长分别为，，若点为直径上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，，根据两点之间线段最短，的长度即为所求，在中应用勾股定理，即可求解，本题考查了垂径定理，两点之间线段最短，已知弦长半径求弦心距，勾股定理，解题的关键是：找到的等长线段． 【详解】解：连接，交于点，过点作的垂线，垂足为点， ，是直径， 垂直平分弦， ， 的最小值， 弦心距， 弦心距， ，， ， 故答案为：． 二、单选题 12．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知四边形为的内接四边形，点为上一点，其中的半径为，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题连接、，连接交于点，作于点，连接，根据等腰三角形性质得到即、、三点共线，利用垂径定理得到，，利用圆内接四边形性质和等腰三角形性质证明，推出，垂直平分于点，再结合圆周角定理证明，利用全等三角形性质，即可解题． 【详解】解：连接、，连接交于点，作于点，连接， ， ， ， ，即、、三点共线， ， ， ， 四边形为的内接四边形，点为上一点， ，， ， ， ， ，即， ， 垂直平分于点， ，， ， ， ， 的半径为， ． 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理、圆内接四边形性质、等腰三角形性质、垂直平分线性质和判定、圆周角定理、全等三角形性质和判定，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 13．（2024九年级·全国·竞赛）如图，两半圆的圆心点分别在直角的两直角边上，直径分别为，如果两半圆相外切，且，那么图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求图形面积，不规则图形的面积一般要转化为一些规则图形的面积的和差来求解．利用勾股定理求出的半径，证明弓形，弓形，利用割补法将阴影部分面积转化成，即可求解． 【详解】解： 如图，连接，，， 设半径为，则， 是等腰直角三角形， ，， 两半圆相外切， ， 在中，由勾股定理得， 解得：， ，、为两半圆直径， ， ，， 弓形，弓形， ． 故答案为：D． 14．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知的直径的度数为，它的另一边交于点，点为弧的中点，点为直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键． 如图，作点关于直径的对称点，连接，，则，，由，可知当三点共线时，此时的值最小，由点为弧的中点，可求，则，由勾股定理求，进而可得结果． 【详解】解：如图，作点关于直径的对称点，连接，， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，此时的值最小， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故选：B． 15．（2024九年级·全国·竞赛）在中，一条弦把圆周分成的两段弧的长度比为，如果的半径为，那么这条弦的长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题主要考查弦、弧、圆心角的关系，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，作于点C，先求出弦所对的圆心角的度数，用含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理解求出，最后利用垂径定理即可求解． 【详解】 解：如图，作于点C，    弦把分成的两段弧的长度比为， ， ， ， ， ， ， 故选D． 16．（2024九年级·全国·竞赛）在中，半径为，弦上有一点，如果，那么的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 由可得，，过点作于点，连接，由垂径定理可得，从而根据勾股定理在中，，在中，． 【详解】∵， ∴， 过点作于点，连接， ∴， 在中，， ∵， ∴在中，． 故选：C 17．（2024九年级·全国·竞赛）如图，与水平面相切于点，过点作的内接矩形，已知的半径为2，且，在保证不滑动的情况下，使在水平面上沿直线向右滚动，当滚动的路程为时，与地面相切的切点所在的弧为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、圆周角定理、圆的周长公式、图形类规律探究，根据题意得到圆转动的周数，利用圆的周长公式求解即可．本题得到圆转动的周数是求解的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接矩形， ∴，， ∴所对的弧是半圆， ∵圆的周长为，又， ∴滚动503回到点后又滚动了的路程， ∵，， ∴， 即， ∴与地面相切的切点所在的弧为在上． 故选：C． 18．（2024九年级·全国·竞赛）已知的直径为，设点到直线的距离为，圆周上到直线的距离为的点的个数为，则下列命题正确的个数有（    ）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，分五种情况：若，直线与圆相离；若，直线与圆相离；若；若，直线与圆相交；若，直线与圆相交；分别画出图形，即可得出答案，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：①如图，若，直线与圆相离， 此时，故圆周上到直线的距离为的点的个数为，即，故①正确，符合题意； ②如图，若，直线与圆相离， 此时，故圆周上到直线的距离为的点的个数为，即，故②正确，符合题意； ③如图，若， 由图可得，此时，故③错误，不符合题意； ④如图，若，直线与圆相交， ， 由图可得，此时，故④不正确，不符合题意； ⑤如图，若，直线与圆相交， 由图可得，此时，故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②⑤，共个， 故选：B． 三、解答题 19．（2024九年级·全国·竞赛）已知直线与轴交于点，与轴交于点经过点和原点． (1)若点在上，交于点，如图1，求弦的长度； (2)若与直线相切于点，且与轴的另一交点为点，如图2，求圆心点的坐标； (3)若点在的外角的平分线上，且与轴的另一交点为点，如图3，求半径的长． 【答案】(1)弦 (2)点 (3) 【分析】（1）先得出和，再根据勾股定理算出，知道为直径，根据圆周角定理，得，由等面积法列式代数计算，得，结合勾股定理即可作答． （2），根据圆周角定理，得为的直径，结合勾股定理得，代入数值计算得，因为点是的中点，且，即可作答． （3）结合圆周角定理以及角平分线的定义，得，则，再根据勾股定理列式计算，，解得，因为，即可作答． 【详解】（1）解：对直线，令，则， 点； 令，则， 点， ， ， 连接， 点在上， 为直径， ， 由等面积法, 即 得， 弦． （2）解：连接 ∴ 为的直径， 点在上，且为的中点， 与直线相切于点， ， ∴在和中， ， 即， 解得， ∵点是的中点，且 ∴ 点； （3）解：连接 为的直径， 点在上，且为的中点， 且， 点在的平分线上， ∴在和中， ， 在中，， ，解得， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、、角的平分线性质以及全等三角形的判定与性质；本题难度较大，综合强，特别是（3）中，根据三角形全等得出求出，再根据勾股定理才能求出答案． 20．（2024九年级·全国·竞赛）如图，是的外接圆，以为边作等边三角形，且点和点在的两侧，连接． (1)如图1，若点在上，求证：； (2)在（1）的条件下，若，则____________； (3)如图2，交于点，交于点，若，直接写出的长度：____________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）在上取点E，使得，连接．由等边与圆周角定理可证得是等边三角形，从而，进而证得，因此，即可得证； （2）过点B作，交的延长线于点F，则，根据圆周角定理得，再由三角形的内角和定理得到，，因此，设，由，得到，，，即可求解； （3）由等边和等腰是三角形，可求得，，，连接，则，．在上取点H，使，连接，设，则，，由圆周角定理和三角形外角的性质得到，，，求解即可解答． 【详解】（1）在上取点E，使得，连接． ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． （2）过点B作，交的延长线于点F． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ∴， ， ∴． 故答案为： （3）∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 连接， ∵， ∴， ∴． 在上取点H，使，连接， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形的内角与外角，勾股定理，含角的直角三角形的性质等．解题的关键是在含内角的三角形中，正确作出辅助线，根据与，角的关系求解． 21．（2024九年级·全国·竞赛）如图，外接圆的圆心在边上，为的内心，交于，交于，连接交于，交于． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先证明，再证明，，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）如图，连接，，，过作于，证明，，可得，再证明，可得，同理可得：，结合，可得四边形为正方形，证明，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵外接圆的圆心在边上， ∴， ∴， ∵为的内心， ∴，， ∴． （2）如图，连接，，，过作于， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵为的内心， ∴， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与内心的性质，圆周角定理的应用，三角形的平分线的含义，内角和定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，为直径，弦，垂足为点，以为直径的圆交于点，连接的延长线交于点，连接，若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】阴影部分的面积为 【分析】本题考查不规则图形面积的计算，圆周角定理以及勾股定理，掌握扇形面积的计算，直径所对的圆周角是直角以及勾股定理是正确解答的关键．根据直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：， ， 为小圆的直径， ， ， ， ， 解得， 即的半径为． ， ∵点是中点，，即， ∴是的中位线， ∴，则， 为的直径， ， ， 阴影部分的面积为． 23．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，过点E作，垂足为点的延长线与的延长线相交于点G． (1)求证：直线为的切线； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接，则，，由，可得，则，，进而可证，进而结论得证； （2）如图1，连接，则，，由勾股定理得，，由，可求，由勾股定理得，，由，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接，则，                    图1 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是半径， 直线为的切线． （2）解：如图1，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴，即， 由勾股定理得，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，正弦等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，正弦是解题的关键． 24．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为等腰直角斜边的中点，与分别相切于点，交于点的延长线交的延长线于点，已知． (1)求的长； (2)求证：； (3)求由和所围成的图形（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、求弧长、扇形面积公式、圆周角定理、三角形外角的定义及性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由题意得出，且半径，证明四边形为正方形，得出，，再由弧长公式计算即可得出答案； （2）证明得出，由圆周角定理结合对顶角相等得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得证； （3）由（1）（2）可得，求出，，，连接，再由阴影部分的面积为计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 点分别为与的切点， ，且半径， 为等腰直角的斜边， ，， 四边形为正方形， ，， ； （2）解：， ， ， 而， ， ， ， 又， ； （3）解：由上述结论可知，， ， ， ， 连接， 则， 阴影部分的面积为． 25．（2024九年级·全国·竞赛）在中，弦，连接，若，求的半径． 【答案】的半径为． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质以及直径所对的圆周角是直角，勾股定理，先连接并延长，交于点，连接，再得出，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，连接， 则， 又 ， 在直角中，， 的半径为． 26．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，是的外接圆，且以为直径． (1)设的中点为点，求的长度； (2)设劣弧的中点为点，求的长度． 【答案】(1) (2)厘米 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质： （1）连接运用垂径定理得，再根据勾股定理得出； （2）过点作，垂足为点，连接，证明，求出，再根据勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：连接 如图， 为直径，点为的中点， ，且， ； （2）解：过点作，垂足为点，连接，则， 为直径， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 27．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点，交y轴负半轴于点为的直径． (1)求图象经过点A、B、C的二次函数的解析式； (2)设点D为（1）中二次函数图象的顶点，求直线的函数解析式； (3)判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线与相切 【分析】（1）先证明，利用相似三角形的性质求出的长，得出点C的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出顶点D的坐标，然后用待定系数法求解即可； （3）连接，，根据勾股定理逆定理求出即可． 【详解】（1）连接，则， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， （舍），或， ∵点C在y轴负半轴， ∴点． 设图象经过点A、B、C的二次函数的解析式为， 则，解得， ，即． （2）， ∴顶点， 设直线的解析式为， 则，解得， ． （3）连接，， ∵， ∴， 为直角三角形，． 故直线与相切． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，切线的证明方法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 28．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中有两点，以点A为圆心，1为半径作，直线与在第二象限内相切于点C，求直线的函数解析式． 【答案】 【分析】过点C作轴，垂足为点D，连接，则，先求出，得出，求出，得出点，利用待定系数法求出一次函数解析式． 【详解】解：如图，过点C作轴，垂足为点D，连接，则， 为公共边， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ∴点， 设直线的函数解析式为， 则， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，求一次函数解析，解题的关键是熟练掌握圆的性质求出点C的坐标． 29．（2024九年级·全国·竞赛）如图，为的直径，弦，点为弦上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由等边对等角可知，由垂径定理可知，得，进而可知，即可证明结论； （2）由，得，结合（1）可知，，求得，即可解得． 【详解】（1）证明：， ， 弦直径， ， ， ， 又， ． （2）， ， ， ， ，解得， ． 30．（2024九年级·全国·竞赛）如图1，为的直径，弦垂直平分，在的延长线上取一点，使得． (1)求证：是的切线； (2)如图2，若，点在上，且的内心是上的点，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，根据弦垂直平分，可得，再证为等边三角形，推出，结合和三角形外角的性质可得，进而推出，即可证明是的切线； （2）先证点、、共线，推出为的直径，，再根据直角三角形内切圆半径公式计算出的半径，进而根据含30度角的直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵弦垂直平分， ∴， ∴为等边三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：如图，是的内切圆，切点为K，N，H，与交于点M， 由（1）知为等边三角形，则， ∵，， ∴，， ∵上的点为的内心， ∴平分， 又∵平分， ∴点、、共线， ∴为的直径，， ∴，， ∴的内切圆的半径为， 即， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，等边三角形的判定的性质，三角形外角的定义和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的内切圆，圆周角定理等，涉及知识点较多，第2问有一定难度，解题的关键是求出内切圆的半径． 31．（2024九年级·全国·竞赛）如图，为半圆的直径，点为圆心，点为半圆上一点，点为延长线上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)过点A作的切线交的延长线于点，若的半径为，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据为半圆的直径，得出，证明，从而可以证明结论； （2）根据已知条件先求出，，根据勾股定理求出，设，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， 为半圆的直径， ， ， ，即， 为的切线． （2）解：的半径为， ， ， ， 都为切线， ， 设， 则根据勾股定理得：， 解得， ∴的长度为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 32．（2024九年级·全国·竞赛）如图，是的直径，点是圆上两点，且平分交于． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过证明，判定； （2）连接，交于，结合垂径定理和勾股定理求得，的长，然后结合相似三角形的性质推理计算． 【详解】（1）证明：平分 ， ， 又， ∴； （2）解：连接，交于， 则， ， ， ， ， ， 由（1）知， ，即， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，理解垂径定理和勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 圆（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在直角中，与都相切，且圆心在斜边上，则的半径为 ． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，若点在优弧上运动，点在劣弧上运动，则四边形的最大面积为 ． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，的平分线交的外接圆于点，点E是的内心，连接，则 度． 4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知一个圆的直径与边长为的等边三角形的高相等，与相切于点，与相交于点，则弦的长为 ． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图，为的外接圆，的延长线上有一点，使得，若，则 ． 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 7．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，是直径，是切线，点C、O的连线交于点的延长线交于点的延长线交于点F，若，则的值为 ． 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，为直径，长为，点为的三等分点，在同一侧的圆周上有不同的两点，使得，且，连接，则与的面积之和为 ． 9．（2024九年级·全国·竞赛）如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为 ． 10．（2024九年级·全国·竞赛）已知的半径为，是一个动圆，如果与有且只有一个公共点，且，则的半径为 ． 11．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，直径，位于点两侧且垂直于直径的两条弦长分别为，，若点为直径上任意一点，则的最小值为 ． 二、单选题 12．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知四边形为的内接四边形，点为上一点，其中的半径为，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 13．（2024九年级·全国·竞赛）如图，两半圆的圆心点分别在直角的两直角边上，直径分别为，如果两半圆相外切，且，那么图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 14．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知的直径的度数为，它的另一边交于点，点为弧的中点，点为直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（2024九年级·全国·竞赛）在中，一条弦把圆周分成的两段弧的长度比为，如果的半径为，那么这条弦的长度为（    ）． A． B． C． D． 16．（2024九年级·全国·竞赛）在中，半径为，弦上有一点，如果，那么的长为（    ）． A． B． C． D． 17．（2024九年级·全国·竞赛）如图，与水平面相切于点，过点作的内接矩形，已知的半径为2，且，在保证不滑动的情况下，使在水平面上沿直线向右滚动，当滚动的路程为时，与地面相切的切点所在的弧为（    ） A． B． C． D． 18．（2024九年级·全国·竞赛）已知的直径为，设点到直线的距离为，圆周上到直线的距离为的点的个数为，则下列命题正确的个数有（    ）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 三、解答题 19．（2024九年级·全国·竞赛）已知直线与轴交于点，与轴交于点经过点和原点． (1)若点在上，交于点，如图1，求弦的长度； (2)若与直线相切于点，且与轴的另一交点为点，如图2，求圆心点的坐标； (3)若点在的外角的平分线上，且与轴的另一交点为点，如图3，求半径的长． 20．（2024九年级·全国·竞赛）如图，是的外接圆，以为边作等边三角形，且点和点在的两侧，连接． (1)如图1，若点在上，求证：； (2)在（1）的条件下，若，则____________； (3)如图2，交于点，交于点，若，直接写出的长度：____________． 21．（2024九年级·全国·竞赛）如图，外接圆的圆心在边上，为的内心，交于，交于，连接交于，交于． (1)求的度数； (2)求证：． 22．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，为直径，弦，垂足为点，以为直径的圆交于点，连接的延长线交于点，连接，若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 23．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，过点E作，垂足为点的延长线与的延长线相交于点G． (1)求证：直线为的切线； (2)求的值． 24．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为等腰直角斜边的中点，与分别相切于点，交于点的延长线交的延长线于点，已知． (1)求的长； (2)求证：； (3)求由和所围成的图形（阴影部分）的面积． 25．（2024九年级·全国·竞赛）在中，弦，连接，若，求的半径． 26．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，是的外接圆，且以为直径． (1)设的中点为点，求的长度； (2)设劣弧的中点为点，求的长度． 27．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点，交y轴负半轴于点为的直径． (1)求图象经过点A、B、C的二次函数的解析式； (2)设点D为（1）中二次函数图象的顶点，求直线的函数解析式； (3)判断直线与的位置关系，并说明理由． 28．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中有两点，以点A为圆心，1为半径作，直线与在第二象限内相切于点C，求直线的函数解析式． 29．（2024九年级·全国·竞赛）如图，为的直径，弦，点为弦上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 30．（2024九年级·全国·竞赛）如图1，为的直径，弦垂直平分，在的延长线上取一点，使得． (1)求证：是的切线； (2)如图2，若，点在上，且的内心是上的点，求线段的长度． 31．（2024九年级·全国·竞赛）如图，为半圆的直径，点为圆心，点为半圆上一点，点为延长线上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)过点A作的切线交的延长线于点，若的半径为，求的长度． 32．（2024九年级·全国·竞赛）如图，是的直径，点是圆上两点，且平分交于． (1)求证：； (2)若，求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$