专题13 四边形-2024年全国初中数学重点高中自招竞赛试题汇编

专题13 四边形（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．（2024八年级·全国·竞赛）如图所示，六边中，平行且等于，平行且等于，平行且等于，对角线．已知，．则六边形的面积是 ． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，顶点在反比例函数的图像上，是反比例函数图像上点右侧的一点，以为边作正方形，若恰好在轴上，则的坐标为 ．    3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在边长为的正方形中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，与相交于点，则的长度为 ．    4．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在梯形中，，，分别以、、为边向梯形外作正方形，其面积分别是、、，且，已知的长度为7，则CD的长度为 ． 5．（2024八年级·全国·竞赛）如图，三个正方形的边长分别为，若，则阴影部分的面积为 ．    6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，正方形的边长为2，点为的中点，点分别为上的动点，且，当与以点为顶点的三角形相似时， ． 7．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 8．（2024九年级·全国·竞赛）两个边长都为30厘米的正方形与正方形按如图所示的方式摆放，使得顶点三点共线，那么两个正方形的重叠部分（图中阴影部分）的面积为 平方厘米． 9．（2024八年级·全国·竞赛）如图，分别以的边为边向外作正方形，连接，若，，则 ． 10．（2024八年级·全国·竞赛）如图，直线l上依次摆放着七个正方形，其中正放的四个正方形的面积分别是1、2，3，4，斜放的三个正方形的面积之和是 ． 11．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知，，，若，，则的度数可表示为 ．    12．（2024八年级·全国·竞赛）根据裁缝的需要，现将一块长厘米、宽厘米的长方形布料按如图所示的虚线、、、剪开，得到四块小布料．已知厘米，厘米，如果布料的面积为平方厘米，那么布料的面积为 平方厘米．    13．（2024八年级·全国·竞赛）如图，，，，是同一平面内的四条平行线，且每相邻两条平行直线间的距离为，正方形的顶点分别在这四条直线上，若正方形的面积为5，则= ． 二、单选题 14．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将边长为正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，边相交于点，则四边形的面积为（    ）． A． B． C． D． 15．（2024九年级·全国·竞赛）如图，正方形的边长为，把分别绕点按顺时针方向旋转得到，的延长线交于点，现有下列结论：①四边形为菱形；②四边形的面积为正方形面积的一半；③．其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 16．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在平行四边形中，点是的中点，相交于点，则图中阴影部分的面积与平行四边形的面积之比为（    ）． A． B． C． D． 17．（2024九年级·全国·竞赛）某同学的卧室地面形状是一个如图所示的四边形，现在量得，若点到的距离为4米，则该同学的卧室地面的面积为（    ）． A． B． C． D． 18．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 19．（2024八年级·全国·竞赛）四边形一组对边中点的连线长为d，另一组对边（不平行）的长分别为a和b，则d与的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 20．（2024七年级·全国·竞赛）如图，将矩形沿对角线折叠，使得点落在点处，若恰好平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 21．（2024八年级·全国·竞赛）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为，再以的中点为顶点，把平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形沿虚线剪出一个直角，那么剪出的直角全部展开铺平后得到的平面图形一定是（    ）．    A．正三角形 B．直角三角形 C．正方形 D．正六边形 三、解答题 22．（2024九年级·全国·竞赛）已知在四边形中，点分别在边上，相交于点G． (1)如图a，如果四边形是矩形，且，求证：； (2)如图b，如果四边形是平行四边形，且，那么是否仍然成立？证明你的结论； (3)如图c，若，求的值． 23．（2024九年级·全国·竞赛）如图1，已知四边形和都为正方形，且边在边上，连接，． (1)猜想与有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (2)将正方形绕点按逆时针方向旋转，使得顶点落在边的延长线上，如图2，连接，，那么（1）中的结论是否仍然成立？说明理由． 24．（2024九年级·全国·竞赛）如图，和都为等腰直角三角形，，点E在上且与的中点O不重合，连接，求证：． 25．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在五边形中，，点F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 26．（2024九年级·全国·竞赛）如图1，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，使得点E落在上，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点H，取的中点I，连接，探究和的数量关系，说明理由； (3)如果，求的长． 27．（2024九年级·全国·竞赛）如图，四边形为正方形，点分别在边上，如果的周长为．求正方形的边长．    28．（2024九年级·全国·竞赛）如图，四边形为正方形，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，连接． (1)求证：与的外接圆相切； (2)当时，判断和有怎样的数量关系？并说明理由； (3)在（2）的条件下，求与的比值． 29．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在矩形中，，过上的动点（点与端点不重合）作，交于点，再把沿翻折，点的对应点为点，设，与矩形重叠部分的面积为． (1)求当为何值时，点落在边上？ (2)求出与之间的函数关系式，并求出当为何值时，？ 30．（2024八年级·全国·竞赛）如图，的边，分别以为边向外作正方形，求图中三个阴影部分的面积之和的最大值． 31．（2024七年级·全国·竞赛）如图，平行四边形中，平分交于点，且，是直角．求证：平分． 32．（2024八年级·全国·竞赛）如图所示，五边形中，，且，求该五边形的周长和面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 四边形（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．（2024八年级·全国·竞赛）如图所示，六边中，平行且等于，平行且等于，平行且等于，对角线．已知，．则六边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，不规则图形面积的计算方法，掌握以上知识的判定和性质是解题的关键． 如图所示，连接交于，连接交于，可得四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，，将多变边的面积转换为平行四边形与三角形的面积，根据边形的面积平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于，连接交于， ∵平行且等于，平行且等于， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，垂足为点，，垂足为点， ∵平行且等于，平行且等于， ∴在中， ， ∴， ∵是边上高，是边上高， ∴， ∴ ， ∴六边形的面积为， 故答案为：． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，顶点在反比例函数的图像上，是反比例函数图像上点右侧的一点，以为边作正方形，若恰好在轴上，则的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 作轴于P，轴于Q，轴于M，于N，设，则，，证，求出D的坐标，然后代入反比例函数，求出a的方程，得出D的坐标；设同理证，则，，求出b的方程，得出的坐标． 【详解】解：作轴于P，轴于Q，轴于M，于N，如图所示， 则，， ，，， 设，则，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， D的坐标为， 把D的坐标代入中， ， 解得： ，（不符合题意舍去）， ， 设， 四边形是 正方形， 同理可证， ， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 的坐标为， 故答案为：． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在边长为的正方形中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，与相交于点，则的长度为 ．    【答案】/ 【分析】根据正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由此得D、E、B 三点共线，进而可求出的长，再证 ，根据勾股定理即可求出的长度． 本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质，以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形，且边长为， ，，， ， ∵将绕点按顺时针方向旋转后得到， ，， ∴D、E、B 三点共线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在梯形中，，，分别以、、为边向梯形外作正方形，其面积分别是、、，且，已知的长度为7，则CD的长度为 ． 【答案】14 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、平行线性质，以及勾股定理，过点B作，得到，证明四边形平行四边形，推出，，得到，结合，推出，得到，即可解题． 【详解】解：如图所示，过点B作， ， ， ， ， ， 四边形平行四边形， 则，，， 又，即， ， ， 又，则． 故答案为：． 5．（2024八年级·全国·竞赛）如图，三个正方形的边长分别为，若，则阴影部分的面积为 ．    【答案】82 【分析】本题主要考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，矩形、梯形的判定和性质，三角形、梯形面积公式，割补法求图形面积，是解决问题的关键． 设三个正方形分别为、、，延长交边于点K，证明四边形和四边形都是矩形，得到，，，，结合，求得． 【详解】如图，设三个正方形分别为、、，延长交边于点K， ∵， ∴， ∵， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴ ． 故答案为：82．    6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，正方形的边长为2，点为的中点，点分别为上的动点，且，当与以点为顶点的三角形相似时， ． 【答案】或 【分析】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是注意分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．由正方形的边长是2，E为的中点，即可求得的值，分别从若与若，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 若， 则， 即：， 解得：； 若， 则， 即：， 解得：； ∴当或时，与以点为顶点的三角形相似． 故答案为：或． 7．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，从而可求出．连接，构造全等三角形，即，从而得出．根据含度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出的长，从而可求出，最后利用计算面积即可． 【详解】如图，连接， 由题意可知， ∴， ∵在与中，， ∴， ∴，． ∵在中，，，， ∴ 解得：（舍去负值）， ∴， ∴． ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理．正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键． 8．（2024九年级·全国·竞赛）两个边长都为30厘米的正方形与正方形按如图所示的方式摆放，使得顶点三点共线，那么两个正方形的重叠部分（图中阴影部分）的面积为 平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，由勾股定理求出，得出，再分别求出和的面积即可得出结论． 【详解】解：如图， 根据题意得， 由勾股定理得， ∴， ∴， 又 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 9．（2024八年级·全国·竞赛）如图，分别以的边为边向外作正方形，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】过A作于M，过A作的垂线，分别过F、E作的垂线，垂足分别为H、G，过E作于N；由正方形的性质可分别证明，则有；由勾股定理可求得的长；再在中，由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：如图，过A作于M，过A作的垂线，分别过F、E作的垂线，垂足分别为H、G，过E作于N； ∵四边形是正方形， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理：， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造全等三角形是解题的关键． 10．（2024八年级·全国·竞赛）如图，直线l上依次摆放着七个正方形，其中正放的四个正方形的面积分别是1、2，3，4，斜放的三个正方形的面积之和是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了全等三角形的判断与性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是证明． 【详解】解：如下图： 由题意得：， ， ， ， ， ， ，即第一正方形的面积是3， 同理可证：第二正方形的面积是，第三正方形的面积是， 所以斜放的三个正方形的面积之和是， 故答案为：15． 11．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知，，，若，，则的度数可表示为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边的性质和全等三角形的性质是解题的关键，根据题意易得四边形为平行四边形，进而易得，利用等量代换即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．（2024八年级·全国·竞赛）根据裁缝的需要，现将一块长厘米、宽厘米的长方形布料按如图所示的虚线、、、剪开，得到四块小布料．已知厘米，厘米，如果布料的面积为平方厘米，那么布料的面积为 平方厘米．    【答案】 【分析】此题考查了不规则图形的面积，连接，，设到，的距离分别为，，则到，的距离分别为，，由布料面积为，求出即可解题的关键是是熟练掌握求不规则图形的面积． 【详解】如图，连接，，    设到，的距离分别为，，则到，的距离分别为，， 则布料面积为， 整理得：， ∴布料的面积为， 故答案为：． 13．（2024八年级·全国·竞赛）如图，，，，是同一平面内的四条平行线，且每相邻两条平行直线间的距离为，正方形的顶点分别在这四条直线上，若正方形的面积为5，则= ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，根据平行线的性质可设，则，由勾股定理得出，再根据三角形的面积公式求得正方形的边长，从而求得正方形的面积，再根据面积为5可求出h的值． 【详解】解：∵，，，是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h， ∴设，则， ∴， ， 解得， ， ∴， ∵正方形面积是5， ∴， ∴， 故答案为：． 二、单选题 14．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将边长为正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，边相交于点，则四边形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，判断出点共线是解答本题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形， ∴， ∴点共线，且， ， ∴四边形的面积为 ． 故选C． 15．（2024九年级·全国·竞赛）如图，正方形的边长为，把分别绕点按顺时针方向旋转得到，的延长线交于点，现有下列结论：①四边形为菱形；②四边形的面积为正方形面积的一半；③．其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的性质．①根据旋转角是以及正方形的四个角都是直角可得，然后证明，据此即可证明四边形是菱形；②先求得点到的距离，然后根据正方形的面积公式以及菱形的面积即可证明；③先求出的长度，再根据菱形的对边相等，减去正方形的边长即可． 【详解】解：①根据题意，， 四边形是正方形， ， ， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形， （正方形的边长相等）， 四边形是菱形，故①正确； ②，， 点到的距离是：， ， ， ，故②正确； ③点是的中点， ， ，故③正确． 故选：A． 16．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在平行四边形中，点是的中点，相交于点，则图中阴影部分的面积与平行四边形的面积之比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、与中点有关的三角形的面积，设平行四边形的面积为，则，由点是的中点，得出，由平行四边形的性质可得，从而得出，，由相似三角形的性质可得，求出，，从而得出，即可得解． 【详解】解：设平行四边形的面积为，则， 点是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ，， ， ， 故选：A． 17．（2024九年级·全国·竞赛）某同学的卧室地面形状是一个如图所示的四边形，现在量得，若点到的距离为4米，则该同学的卧室地面的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，正方形的判定． 过点B作于点E，则，，过点B作，交的延长线于点F，则，从而，四边形是矩形，，因此，得到，进而通过“”证明，得到，矩形是正方形，． 【详解】过点B作于点E，则，， 过点B作，交的延长线于点F，则 ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∵， ∴． 故选：C 18．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，解答本题的关键是掌握三角形的内角和定理以及角平分线定理． 根据，可得，然后根据为角平分线，可求出的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵为角平分线， ∴ ∴ 即：． 故答案为：C． 19．（2024八年级·全国·竞赛）四边形一组对边中点的连线长为d，另一组对边（不平行）的长分别为a和b，则d与的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三边关系，构造三角形的中位线是解答本题的关键，设G，F分别是，的中点，连结，取中点E，连接，，根据三角形的中位线定理可得，，由三角形的三边关系可得，即，结合与不平行，即得答案． 【详解】如图，设G，F分别是，的中点，连结，取中点E，连接，， 是的中点，是的中点， ，， 即， 又与不平行， 所以． 故选：C． 20．（2024七年级·全国·竞赛）如图，将矩形沿对角线折叠，使得点落在点处，若恰好平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、矩形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、矩形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．先根据矩形的性质可得，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用平行线的性质可得，然后利用折叠的性质可得，，，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠得：，， ，， ∵恰好平分， ， ∴， ， ， 故选：C． 21．（2024八年级·全国·竞赛）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为，再以的中点为顶点，把平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形沿虚线剪出一个直角，那么剪出的直角全部展开铺平后得到的平面图形一定是（    ）．    A．正三角形 B．直角三角形 C．正方形 D．正六边形 【答案】A 【分析】本题考查了矩形折叠问题，等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，先求出，再根据直角三角形两锐角互余沿折痕展开依次进行判断即可得解． 【详解】解：平角三等分， ， . 剪出的直角三角形沿折痕展开一次得到底角是的等腰三角形， 再沿另一折痕展开得到有一个角是的直角三角形， 最后沿折痕展开得到等边三角形，即正三角形， 故选：A． 三、解答题 22．（2024九年级·全国·竞赛）已知在四边形中，点分别在边上，相交于点G． (1)如图a，如果四边形是矩形，且，求证：； (2)如图b，如果四边形是平行四边形，且，那么是否仍然成立？证明你的结论； (3)如图c，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)当四边形是平行四边形，且时，仍然成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用． （1）根据矩形的性质，证明即可得证． （2）在的延长线上取点H，使，证明，等量代换证明即可． （3）过点C作于点M，作于点N，连接，设，利用三角形全等，相似和勾股定理，解得即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ． （2）当四边形是平行四边形，且时，仍然成立，证明如下： 在的延长线上取点H，使，则． ， ， ， 又， ， 即， ，即． （3）过点C作于点M，作于点N，连接，设， ， 四边形为矩形，， 为公共边， ， ， ， ，即， ， 在中，， 即， 解得（舍），或， ， ， ， ， ． 23．（2024九年级·全国·竞赛）如图1，已知四边形和都为正方形，且边在边上，连接，． (1)猜想与有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (2)将正方形绕点按逆时针方向旋转，使得顶点落在边的延长线上，如图2，连接，，那么（1）中的结论是否仍然成立？说明理由． 【答案】(1)，且，证明见解析 (2)仍然成立．证明见解析 【分析】（1）延长交于点，证明，即可解决问题； （2）延长交于点，证明，即可解决问题． 【详解】（1）解： ，且．证明如下： 延长交于点， ， ， 而， ， ∴ ，即． 综上得，且． （2）解∶ 仍然成立．证明如下： 如图，延长交于点， ，， ， ， 而， ， ∴， ，即． 综上得，且 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 24．（2024九年级·全国·竞赛）如图，和都为等腰直角三角形，，点E在上且与的中点O不重合，连接，求证：． 【答案】详见解析 【分析】将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则，根据证明得，然后证明四边形为平行四边形即可求解． 【详解】证明：将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接， 则为等腰直角三角形，，下面再证明． 连接，则， ， ， ， ， ∵点O是中点， ∴，， ， ∵， ∴， ∴即， ∴四边形为平行四边形， ， 所以． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平心四边形的判定与性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 25．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在五边形中，，点F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、多边形的内角和，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得证； （2）先求出，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）解：， ， ， ， ， 由（1）已证：， ， ， 又， ． 26．（2024九年级·全国·竞赛）如图1，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，使得点E落在上，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点H，取的中点I，连接，探究和的数量关系，说明理由； (3)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了旋转与矩形、全等三角形的判定及性质、勾股定理： （1）根据矩形及旋转的性质得，，进而可得，在根据角的数量关系即可求证结论； （2）过点B作交于点M，连接，利用可得，进而可得，可得，再利用得，可得，可得，进可求解； （3）根据矩形及旋转的性质得，由（2）得，在中和在中，利用勾股定理可求得，再根据即可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：矩形是由矩形旋转得到， ，， ， ， ， ， 即． （2）解：，理由见解析： 如图，过点B作交于点M，连接， 则，由（1）知， 在和中， ， ， ， 矩形是由矩形旋转得到， ，， ， 又，， ． ， 是的中点， 为的中位线， ， ． ． （3）矩形是由矩形旋转得到，， ， 由（2）得：， ， 在中，，，， ， 由（2）得：， ，， 在中，，，， ， ． 27．（2024九年级·全国·竞赛）如图，四边形为正方形，点分别在边上，如果的周长为．求正方形的边长．    【答案】 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，如图，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，证明，再结合全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，，，，    ∴，，三点共线， ， ， ， ， 又， ， ，即 的周长为， ， ， ， ∴， ， ， 即正方形的边长为． 28．（2024九年级·全国·竞赛）如图，四边形为正方形，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，连接． (1)求证：与的外接圆相切； (2)当时，判断和有怎样的数量关系？并说明理由； (3)在（2）的条件下，求与的比值． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查切线的判定，全等石匠判定与性质，直角三角形的性质等知识： （1）证明得，由得，取的中点，连接，证明即可得出结论； （2）证明，得出进一步得出结论； （3）设，可求出，从而可得结论． 【详解】（1）证明：如图， 四边形为正方形， ， 又， ， ， 取的中点，连接， 则为外接圆的半径， ， ， ， 所以与的外接圆相切． （2）解：．理由如下： ， ， 而 ， ． （3）解：设，则， ， 由（2）知， ． 29．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在矩形中，，过上的动点（点与端点不重合）作，交于点，再把沿翻折，点的对应点为点，设，与矩形重叠部分的面积为． (1)求当为何值时，点落在边上？ (2)求出与之间的函数关系式，并求出当为何值时，？ 【答案】(1) (2)，当时， 【分析】（1）设，先算出，则，解得，即可作答． （2）当点落在矩形内部或边上时，与矩形重叠部分的面积即为的面积，整理得，当点落在矩形外部时， 设分别交于点，此时，并结合图形以及线段的和差运算，得，代入数值进行计算，分析，解得或，结合取值范围进一步分析，即可作答． 【详解】（1）解：当点落在边上时，把沿翻折，点的对应点为点，再把沿翻折，点的对应点为点， ， ∵四边形是矩形 ∴ ， ， 即， 解得． （2）解：当点落在矩形内部或边上时，与矩形重叠部分的面积即为的面积， 则 ． 当点落在矩形外部时， 设分别交于点，此时，如下图： ， ， ， ， 即当时，． 综上，与之间的函数关系式为 ， 而当时，随的增大而增大，，即此时不可能得到； 当时，由得， 解得或， 而不满足 ∴舍去， ． 综上，当时， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折性质、锐角三角函数、公式法解一元二次方程，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容以及熟练运用数形结合思想是解题的关键． 30．（2024八年级·全国·竞赛）如图，的边，分别以为边向外作正方形，求图中三个阴影部分的面积之和的最大值． 【答案】18 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，把绕点C顺时针旋转得到，然后判断出A、C、三点共线，再根据等底等高的三角形的面积相等可得，即，同理可得，，从而得到阴影部分的面积的和，再根据三角形的面积公式，当时，面积最大列式计算即可得解． 【详解】解：如图，把绕点C顺时针旋转得到， ∵四边形是正方形， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， 同理可得，， ∴阴影部分的面积的和， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为， ∴三个阴影部分的面积之和的最大值为． 故答案为：18． 31．（2024七年级·全国·竞赛）如图，平行四边形中，平分交于点，且，是直角．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的外角性质等；由角平分线的定义和平行线的性质得，从而可判定是等边三角形，由等边三角形的性质及平行四边形的性质可得，等量代换得，即可求证；掌握判定方法及性质，证出是解题的关键． 【详解】证：平分， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ∴，， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 32．（2024八年级·全国·竞赛）如图所示，五边形中，，且，求该五边形的周长和面积． 【答案】周长是36，面积是 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，分割法求面积，分别延长且相交于点，延长相交于点，证明均为正三角形，后计算即可． 【详解】解：如图所示，分别延长且相交于点，延长相交于点． ∵， ， ∴, ∴均为正三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 五边形的周长为． 五边形的面积为，，，， 故五边形的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$