江西省南昌市第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题

南昌一中朝阳校区2023-2024学年第二学期高二年级第二次月考 数学试题 一、单项地择愿：本题共8小题，每小题5分，共40分。在年小愿给出的四个选项中，只有一项符合恩 意的。 .设案合4=>B={号s0,则(4n8=() A.Q,3) B.,3] C.3,4) D.[3,4) 2.没c,也，aeR,则“52=a玩”是“b为8，c的答比中项"的、) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.设a,b∈R,且a>b则下列不等式一定成立的是() A.日哈 B.ac<bc c.4>吲 D.d'>b 4.下列函数中，是偶函数且在(Q,四)上单调递减的是() A倒-2-！B.f倒=是 C.f(r)= D.f(x)=inxl 5.已知正数a,b满足上+=1，则b+3功的最小值为() A.8 B.9 C.10 D.12 [1x>0 6 i 已知符号函数s四()={0，x=0则函数f)=sgm(2血x)-血(2x-1)的母点个数为（) -x<0 A.1 B.2 C.3 D.4 7.在整数桌Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类"，记为[k],即[]=5n+k|n∈☑，k=0, 1,2,3,4,则下面选项正确的为（) A2025e3): D-2e[: CZ=0U]U[2Ur3U[④： D整数a、b属于同一“类"的充分不必要要条件是“a-b∈[0”. 8.北来科学家沈后在《荟溪笔谈》中记载了“惊积宋“，提出长方台形梁叙的一殷求和公式如图，由大小 相同的小球堆成的一个长方台形垜积的第一层有驰个小球，第二层有(+1)（亿+）个小球，第三层有 (a+2)(b+2)个小球…依此类推，最底层有d个小球，共有n层，由“®积术"可得这些小球的总 个数为[20+da+2d+Dc+c-严，若由小球堆成的莱个长方台形操积共8层，小球总个数为240， 则该垛积的第一层的小球个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 二、多项选择恩：本题共3小恩年小题6分，共18分，在年小恩给出的近项中，有多项符合恩目妥求， 全部进对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中，说法正确的是( A.函数∫(4)的定义域为(0,3)，则函数y=+的定义城是(-小U2) x-1 B.函数y=1在(0，-1U(-1+切上单调递减 x+1 C.命题“x>1,x2+x十1>0"的否定为xs1x2+x十1s0” D.函数y=x在(o,1)上单调递增，则a的取值范围是2，o) 10.二次函数y=2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)的自变盘x与函数值y的部分对应值如下表： 且当x=时，对应的函数征y<0.下列说注不止确的有( A.abc>0 B.mn>100 9 C.关于x的方程d2+c+6=0一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在-分和0之同 D.(+2,)和月(-2为)在该二次函数的图象上，则当实数1<时，为>为 11.设4和4是满足以下三个条件的有理数集Q的两个子集： (1)4和4都不是空桌； (2)4U4=2: (3)若a,s4,马e,则a<%, 我们称序对(4,4)为一个分割， 下列选项中，正确的是（) A若A={xEx<3引，4={xeCx25到，则对(4,4)是-个分剖 B.若4{x6￠x<0或x≤3}，={xx>0且x>3,则序对(4，)是-个分 C.若序对(4,4)为一个分剖，则4必有一个最大元景，4必有一个众小元茶 D.若序对(4,4)为一个分割，则可以是4没有最大元系，人有一个最小元 三、填空恩：本题共3小思，每小题5分，共15分， 12.已知f(NF-1)=x+2+2,则f()= (写出定义域) 世内-化：高内(e树上或周家蛋及 4设逼数网-阳5P,则路通数，问为内的p界是旅，者给定毫数内文-2x-1, p,f(x)>p p=2,则f,f2)]= 四、解容题：本翘共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步深。 15.(本小题13分)函数f(x)=2x-2m+3,其中aeR. (1)当a=2时，求不等式f(x)>6x-9的解巢1 (2)当x∈[-13]时，了x)的最小值为0，求a的值. 16.(本小题15分)如图，在三梭锥A-BCD中，AB,BC,CD两两互相垂直，M,N分别是AD,BC的中 (I)证明：NLBC: 2)设BC=2,D=25,MN和平面BCD所成的角为元，求点D到平面ABC的距离。 17.(本小题15分)已知公差不为零的等整数列{a,},马7，a和a的密比中项与4和a,的等比中项相 铲 (若数列色，}满足6，=。，求数列色，}的前n项和工： aa 2)若数列{}满足G=1,(a.-l)c,=(a.+3c（neN),求数列{c}的通项公式 18.(本小题17分)某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是篮球定点投篮测试，每位学 生投两次篮，每次投篮若投中得2分，没投中得0分：第二轮是四个人踢避子，互相传递测试. （1)已知某位学生定点投篮投中的概率为2，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望！ (2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢避子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时， 赐出者都等可能将壁子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到。 记第n次甲踢到链子的概率为Pn,则？=1. 正：聚列-}为比数 ② 比较第k次与第k+2(k∈N)次踢到壁子者是甲的可能性大小. 19.(本小题17分)已知函数f(x)=x’+3x2+1. (1)求f(x)的极值： (2)设g(x)是西数g()的导函数，若对任意的x∈R,都有g'(-g()=亡，且g(0)=1. ①求函数g(x)的解折式： ②若函数()满足：g(x)h(x)=∫[g(],且存在，<).使得h(:)=h(:),求证 芮+为<-血2. 南昌一中2023-2024学年度下学期5月份月考试卷 高二数学参考答案： 1.B 因为A={x|x>3},所以CA={xx≤3列， 又由号0，得到1≤r<4,即8=sx<4。 所以(CA)nB={x1≤x≤3}， 故选：B. 2.C 当b2=ac时，若a=b=0,此时b不是a和c的等比中项，即充分性不成立： 当b为a和c的等比中项时，可得b2=ac,即必要性成立， 所以“b2=ac”是“b为a和c的等比中项”的必要不充分条件， 故选：C 3.D 取a=61时，a>b,合>行小-内故AC错误 当c=0时，ac2=bc2,故B错误， 因为a>b,所以a>b2,故D正确， 故选：D. 4.B 对于A,由题意可知f(x)的定义域为R,f(-x)=(-x)--x=x2-|x=f(x),所以fx)是偶函数 且在(0，+∞)上不是单调递减，不符合题意：故A错误： 对于B,由愿意可知四的定义城为R,心司京侧，所以网是偶活数且在 (0,+∞)上单调递减，符合题意：故B正确： 对于C,由题意可知f(x)的定义域为R,f(-x)=e4=e=了(x),所以f(x)是偶函数且在 (0,∞)上单调递增：不符合题意：故C错误： 对于D,f(x)lnx的定义域为(O,o∞)，不是偶函数，不符合题意：故D错误： 故选：B. 5.B 因为方1，所以=a+, 所以b+动=a+=6+8》+g52=9, a b 当且仅当a=3,b=2时，等号成立，所以b+3站的最小值为9， 2 故选：B 6.c 答案第1页，共9页 令fx)=0,则sgn(2nx)=ln(2x-l) f1,x>1 y=sgn(2Inx)=0,x=1 -1,0<x<1 当x>1时，若ln(2x-)=l,得x=e+,符合： 2 当x=1时，若ln(2x-1)=0,得x=1,符合： 当0<r<1时，若2x-)=-,得x=20+2符合： 故函数f(x)=sgn(2lnx)-ln(2x-l)的零点个数为3. 故选：C 7.C B-2=-1×5+3e[3】,错误： cZ=[0U]U[2U[3U[4U[],对： 每个整数除以5后的余数只有0,1,2,3,4，没有其他余数，故原命题成立. D整数a、b属于同一“类"的充要条件是“a-b∈[O]”,错： 证明④：（充分性）a,b∈[m],m=0,1,2,3,4, 不妨a=5n1+m,m1∈Z,b=5m2+m,n2∈Z, ∴a-b=5(m-n)e[0] (必要性)a-be[0].a-b=5p,peZ 即a,b除以5后余数相同，.a,b属于同一“类 故选：B 8.由题意知，n=8,于是得最底层小球的数量为cd=(a+7)b+7),即c=a+7,d=b+7. 从而有8-[2b+h+7a+26+14+ba+)+7刃240， 6 整理得(2b+b+7)a+(2b+14+b)(a+7)+7=180, (3b+7)a+(3b+14)(a+7)=173, 3ab+7a+3ab+14a+21b+98=173, 6ab+21a+21b=75,2ab+7a+7b=25, 由于a,b皆为正整数，所以 (i)当a=1,b=1时，211+7l+7-1=16<25, 当a=1,b=2时，2-12+71+7.2=25， (ii)当a=1,b=3时，213+7-1+7.3=34>25， (iv)当a=2,b=2时，2.2-2+7-2+7.2=36>25 只有a=1,b=2符合题意，即ab的值为2. 故选：B. 9.AD 对于A,因为函数了)的定义域为0,3)，则对于y=x+,由 0<x+1<3 x-1 x-1≠0 答案第2页，共9页 解得-1<x<2且x≠1，即y=+的定义域为(-U2,故A正确 x-1 对于B,中分别在(-小.(+)上单调递减，故B错误： 对于C,命题“x>1,x2+r+1>0”的否定为“3x>1,x2+x十1≤0”，故C错误： 对于D,函数y=2”在定义域内单调递增，因为抛物线y=-产+ax的对称轴为直线x= 图象开口向下， 要使y=2m在(-o,1)上单调递增，则号21，解得a≥2，故D正确。 故选：AD 10.BCD [a+b+c=2 将(0,2)，(1,2)代入y=ar2+bx+c得 (b=-a c-2 ,解得 (c-2' 所以二次函数y=ar2-ar+2,当x=名时，对应的函数值y<0, 所以学0-0+2<0，解得a<-号所以6=-a> 8 3 所以a(0.b)0,c>0,所以abc<0,故A错误： 当x=-1时，m=a+a+2=2a+2,当x=2时，n=4a-2a+2=2a+2, 所以m=☑+2=46+，因为a长-号所以>g,故B正瑞： 因为二次函数y=ar2-ax+2过(0,2)h(2),所以其对称轴为x=2 又当x=时，对应的函数值<0， 根据二次函数的对称性知，当x=-号时，对应的函数值y<0, 而当x=0时，y=2>0,所以二次函数与x轴负半轴的交点横坐标在-和0之间， 2 所以关于x的方程2+c+c=0一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在-和0之间， 故C正确： 因为P(1+2,另)和(1-2，y2)在该二次函数的图象上， 所以y=al+2)-at+2+2,乃=a(-2)°-a-2)+2, 若片>片2，则a1+2)-a(t+2)+2>a(t-2-a(t-2)+2, 因为a<0,所以(+2-+2到<1-2(1-2斗，解得1<行，故D正确 故选：BCD 答案第3页，共9页 11.BD对于A,因为A={x∈gx<3,A={x∈gx25, 所以AU4={x∈x<3或x25},显然4U4≠2，故A说法错误： 对于B,因为A={x∈gx<0或x2≤3}={x∈x≤5,4={xegx>0且 x2>3}={xegx>5. 所以4和4都不是空集，4U4=Q,若a∈4，ae4,则a,≤5，a,>5,故a,<a, 所以序对(A,A)是一个分割，故B说法正确： 对于C,由选项B中的例子可知，A没有最小元素，但(A,A)是一个分割，故C说法错误： 对于D,令A={x∈Qx<},A,={x∈gx≥，显然(4，A)是一个分割，而且A没有最 大元素，A有一个最小元素1，故D说法正确。 故选：BD 12.f(x)=x2+4x+5定义域[-l,+o∞) 设1=√-1.t2-1 所以∫(NF-=x+2+2=(N-)2+4W+1=(W-)2+4F-)+5, 可变形为：∫()=2+4+5 所以：f(x)=x2+4x+5,定义域[-l,+o) 13. [2,3) [3-a>0 因为函数在(-0，∞)）上递增，所以： a>1 →2≤a<3. (3-a)×1-1≤log.l 14.由f(x)=x2-2x-1≤2，即x2-2x-3≤0，解得-1≤x≤3， 所以，()= [x2-2x-1-1sxs3 2,x(-l或x)3 ,[5(2]=5(-)=1+2-1=2, 15解(1)当a=2时，不等式f(x)>6x-9, 即x2-5x+6>0,解得x<2或x>3,(2分) 答案第4页，共9页 所以不等式∫(x)>6x-9的解集为{xx<2或x>3}:(4分) (2)易知∫(x)=2x2-2ar+3的对称轴为x=日 (6分)》 ①当-1时，函数f()在1上单调递增， 则/八)=5+2如=0，得a=-子符合题意： (8分) ②当-1<号<3时，函数/()在-1上单调递减，在号列上单调递增。 则/=月=3-号-0. 解得a=√6或a=-√6（舍)片…(10分) @当≥3时，函数了)在-1上单调递减， 则f心)=f3)=21-6a=0,解得a=,不符合题意，(2分) 综上所述，a的值为-多或6.3分) 2 16.解(1)解法一：取BD的中点P,连接MP,NP 因为M,N分别是AD,BC的中点， 所以MP/1AB,NP/CD,(2分) 又AB⊥BC,BC⊥CD,所以BC⊥MP,BC⊥NP,(4分) 又MP∩NP=P,且MP,NPC平面MNP,从而BC⊥平面MNP,(6分) 又MNC平面MNP,所以MN⊥BC(7分) 解法二：因为AB⊥BC,AB⊥CD,BC∩CD=C,BC,CDc平面BCD,所以ABL平面BCD 过点B在平面BCD内作Bx//CD,因为CD⊥BC,所以Bx⊥BC. 故可以B为原点，分别以直线Bx,BC,BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）， 设AB=acD=aBc=c,则40ao.c0so.D(bc0.M(2}N00 答案第5页，共9页 从而丽-传0-引c-包e0) 因为MN.BC=0,所以MN⊥BC (2)解法一：因为AB⊥CD,BC⊥CD,ABOBC=B,AB,BCc平面ABC, 所以CD⊥平面ABC,即CD的长为点D到平面ABC的距离(9分) 同理可得AB⊥平面BCD,进而有AB⊥BD, 连接BM(图参考第一问法一易知BM=方AD=5 (11分） 在RteMNB中，MN=√BM2-BW2=√5-I=2, 因为MP//AB,所以MP⊥平面BCD, 故∠nP是WN和平面BCD所成的角，即∠MNP=名，(13分) 且NP=MNcos∠MNP=V5,于是CD=2NP=2√5(14分) 故点D到平面ABC的距离为2√5(15分) 解法二：因为AB⊥BC,AB⊥CD,BC∩CD=C,BC,CDC平面BCD,所以ABL平面BCD 过点B在平面BCD内作BE//CD,因为CD⊥BC,所以BE⊥BC 故可以B为原点，分别以直线Bx,BC,BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图参考第一 问法二). AB=a,CD=b,BC=c,A(0.0,a),C(0,c,0),D(-b,c,0),M 从而M示 易知i=(0,0,)是平面BCD的一个法向量. 因为MW和平面BCD所成的角为君， 所以si加 MN.n 6 +,即6=3 在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=4+b2, 在Rt△ABD中，AD=AB+BD=a2+4+B=4+6, 3 即4+4b2=20,解得b=25. 因为AB⊥CD,BC⊥CD,ABBC=B,AB,BCC平面ABC, 所以CD⊥平面ABC,即CD的长为点D到平面ABC的距离. 故点D到平面ABC的距离为2√3 17(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)， a,与a,的等比中项与a,与a,的等比中项相等，即：aa,=a2a4,(1分) 所以a,(a,+6d)=(a+d)(a,+3d)台2a,=3d,…(3分) 答案第6页，共9页