精品解析：广东省广州市增城区东江外语实验学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

2024年春季开学检测试题 八年级数学试卷 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列长度的线段能组成三角形的是（　） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如果分式的值为0，那么x的值为（ ） A. B. C. D. 5. 2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息.将数字0.000003用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列变形从左到右一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知5，则分式的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为，则顶角的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 12. 要使分式有意义，x的取值应满足_________． 13. 如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形是________边形． 14. 如图，点，在的边上，，分别垂直平分，，连接，，若，则_______． 15. 如果多项式是一个完全平方式，那么的值是______． 16. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 三、解答题： 17. 已知：如图，OA＝OD，OB＝OC．求证：△OAB≌△ODC． 18. 计算：3﹣1+（π﹣2021）0+|﹣|． 19. 设． （1）化简A； （2）若是一个完全平方式，求A的值． 20. 如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标． （2）求的面积． （3）在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 21. 某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同． （1）求两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？ 22. （1）如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接， ①猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； ②求的度数； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数； ②线段之间的数量关系为__________．（不用证明，直接写出结果即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季开学检测试题 八年级数学试卷 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列长度的线段能组成三角形的是（　） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐个判断即可． 【详解】因为，所以这三条线段不能组成三角形，则A不符合题意； 因为，所以这三条线段不能组成三角形，则B不符合题意； 因为，所以这三条线段能组成三角形，则C符合题意； 因为，所以这三条线段不能组成三角形，则D不符合题意． 故选：C． 2. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，判断点所在的象限，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点关于x轴对称的点的坐标即可得到答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，点在第三象限， 故选：C． 4. 如果分式的值为0，那么x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式值为零的条件得到且，求解即可． 【详解】解：根据题意得： 且， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 5. 2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息.将数字0.000003用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，其中1≤<10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法一般形式为a×10n，其中1≤<10，确定a和n的值是解题关键． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除．需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】解：选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ，故A错误． 选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故B正确． 选项C：，故C错误． 选项D：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故D错误． 故选：B． 7. 下列变形从左到右一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是根据分式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：A选项：分式的分子、分母同时减去同一个数，分式的值不一定与原分式的值相等，故A选项错误； B选项：当时，，当时，这个等式不成立，故B选项错误； C选项：例如：当时，，则，故C选项错误； D选项：根据分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为的数或整式，分式的值不变，可得：成立，故D选项正确． 故选：D． 8. 已知5，则分式的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由5，得x﹣y＝﹣5xy，进而代入求值，即可． 【详解】∵5， ∴5，即x﹣y＝﹣5xy， ∴原式1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的求值，掌握等式的基本性质以及分式的约分，是解题的关键． 9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为，则顶角的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分顶角为锐角和顶角为钝角两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为，则顶角为； 当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为； 综上：顶角为或； 故选C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等及直角三角形两锐角互余是解题的关键．在没有图的情况下，要注意分类讨论． 10. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴平分，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 12. 要使分式有意义，x的取值应满足_________． 【答案】x≠2 【解析】 【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不为0，可知x-2≠0， 解得x≠2. 故答案为x≠2. 13. 如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形是________边形． 【答案】十二 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形，由题意得， 解得， ∴这个多边形是十二边形． 故答案为：十二． 14. 如图，点，在的边上，，分别垂直平分，，连接，，若，则_______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再根据，即可得到，依据三角形内角和定理即可得到． 【详解】解：∵，分别垂直平分，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15. 如果多项式是一个完全平方式，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，正确理解完成平方式的结构是解题的关键．根据完全平方公式，将多项式与的形式比较，通过系数关系求解的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式，可表示为， 比较系数，得， 所以；， 所以， 中间项系数满足， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 因此，的值为。 故答案为：． 16. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：， 解得：， 关于的分式方程解为正数， ， 又 的取值范围是且； 故答案为：且． 三、解答题： 17. 已知：如图，OA＝OD，OB＝OC．求证：△OAB≌△ODC． 【答案】 证明：在△OAB和△ODC中 ， ∴△OAB≌△ODC（SAS）． 【解析】 【分析】利用SAS判定△OAB≌△ODC即可． 【详解】略 【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理. 18. 计算：3﹣1+（π﹣2021）0+|﹣|． 【答案】2 【解析】 【分析】利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质和绝对值的性质进行计算，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的性质和绝对值的性质是解答本题的关键． 19. 设． （1）化简A； （2）若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】（1） （2）的值是或 【解析】 【分析】（1）根据分式的性质，分式的混合运算法则即可求解； （2）根据完全平方公式的形式，由此即可求解． 【小问1详解】 解： ∴． 【小问2详解】 解：是一个完全平方式， ∴或， ∴或， ∴当时，； 当时，， ∴的值是或． 【点睛】本题主要考查分式，乘法公式的综合，掌握分式的混合运算，乘法公式，配方法的运算是解题的关键． 20. 如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标． （2）求的面积． （3）在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 即为所作： （2）5 （3） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出面积； （3）作点关于轴的对称点，则，由两点之间线段最短即可确定此时点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积：； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点． 21. 某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同． （1）求两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？ 【答案】（1）购买种书架需要100元，种书架需要80元；（2）最多可购买10个种书架． 【解析】 【分析】（1）根据题意以书架个数为等量关系列出分式方程求解即可； （2）根据题意用代数式表示总费用，小于等于1400，列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）设种书架的单价为元，根据题意，得 解得 经检验：是原分式方程的解 答：购买种书架需要100元，种书架需要80元． （2）设准备购买个种书架，根据题意，得 解得 答：最多可购买10个种书架． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意列出方程和不等式． 22. （1）如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接， ①猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； ②求的度数； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数； ②线段之间的数量关系为__________．（不用证明，直接写出结果即可） 【答案】 （1）①解：， 证明如下：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴ ． 在和中， ， ∴． ∴ ②； （2）①； ② 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①证明，即可得到结论；②由全等三角形的性质得到．求出，得出，从而证； （2）①证明，得出，进一步得到；②由全等三角形的性质得到再证明，即可得到． 【详解】（1）解：①略 ②∵ ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． （2）解：① ∵和均为等腰直角三角形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． ②∵ ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ∴． 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $