【师说】2015-2016学年高中数学必修2（课件+练习+单元检测）：第四章 圆与方程（12份）

目标导航 1．理解直线和圆的三种位置关系．(重点) 2．会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．(重点) 3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(易错点、难点) 1 新知识·预习探究 知识点一直线与圆的位置关系及判断 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2)) d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 【练习1】　直线3x＋4y－5＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是(　　) A．相离　　　　　　　　B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 答案：D 知识点二直线与圆相交时，弦长的求法 (1)几何法：如图，直线l与圆C交于A、B两点，设弦心距为d，圆半径为r，弦长为|AB|，则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2.即|AB|＝2eq \r(r2－d2). (2)代数法：①联立直线方程和圆的方程，解方程组得A、B点坐标，再由两点间的距离公式求弦长|AB|；②设直线l的方程为y＝kx＋b，联立直线l的方程和圆的方程，消去一个未知数得一个一元二次方程，利用根与系数的关系求解． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b. 则|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22) ＝eq \r(x1－x22＋kx1＋b－kx2－b2) ＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1－x22) ＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2). 【练习2】　直线l：y＝x与圆x2＋y2－2x－6y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝__________. 解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－3)2＝10. 圆心(1,3)到直线l：x－y＝0的距离d＝eq \f(|1－3|,\r(12＋－12))＝eq \r(2)，又圆的半径为eq \r(10)，∴弦长|AB|＝2eq \r(\r(10)2－\r(2)2)＝4eq \r(2). 答案：4eq \r(2) 知识点三圆的切线的求法 (1)点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0. (2)点在圆外时 ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 【练习3】　已知圆的方程为x2＋y2＝13，它与斜率为－eq \f(2,3)的直线相切，求该切线方程． 解析：法一：设圆的切线方程为y＝－eq \f(2,3)x＋b， 即2x＋3y－3b＝0， 因为圆x2＋y2＝13与直线2x＋3y－3b＝0相切， 所以圆心(0,0)到直线2x＋3y－3b＝0的距离d＝eq \f(|－3b|,\r(13))＝eq \r(13)，解得b＝±eq \f(13,3). 所以所求圆的切线方程为2x＋3y－13＝0或2x＋3y＋13＝0. 法二：设所求切线方程为y＝－eq \f(2,3)x＋b.列出方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－\f(2,3)x＋b，,x2＋y2＝13，))消去y，整理得eq \f(13,9)x2－eq \f(4b,3)x＋b2－13＝0，令Δ＝0，可求得b＝±eq \f(13,3). 所以所求圆的切线方程为2x＋3y－13＝0或2x＋3y＋13＝0. 2 新视点·名师博客 1.直线与圆位置关系的分类 ①直线与圆相切⇔圆心到直线的距离等于半径长⇔直线与圆只有一个公共点⇔直线和圆的方程组成的方程组只有一组解； ②直线与圆相交⇔圆心到直线的距离小于半径长⇔直线与圆有两个公共点⇔直线和圆的方程组成的方程组有两组解； ③直线与圆相离⇔圆心到直线的距离大于半径长⇔直线与圆无公共点⇔直线和圆的方程组成的方程组无解． 2．判断直线和圆的位置关系的方法 “用方程组解的个数”和“用圆心到直线的距离”，一般情况下后一种方法相对简单，但如果判断两圆相交并求交点坐标时，必须求方程组的解，这样用第一种方法可起到一举两得的作用. 3 新课堂·互动探究 考点一 直线与圆的位置关系 例