精品解析：广东省广州市增城区东江外语实验学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

2024年春季开学检测试题九年级数学科目 一．选择题 1. 下列图形中，中心对称图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由中心对称图形的特征可直接判断各个选项图形得到答案． 【详解】解：选项A图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意； 选项B图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意； 选项C图形有中心对称点，是中心对称图形，符合题意； 选项D图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的特征是解题的关键． 2. 广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次.将15233000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法表示即可． 【详解】15233000=, 故选C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示,关键在于熟练掌握科学记数法的表示方法． 3. 已知一组数据：12、17、13、11、15，这组数据的中位数是（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】先把这一组数据从小到大排列，再根据中位数的定义，即可求解． 【详解】解：把这一组数据从小到大排列为：11、12、13、15、17，位于正中间的是13， ∴这组数据的中位数13． 故选：A 【点睛】本题主要考查了求中位数，熟练掌握把这一组数据从小到大（或从大到小）排列后，位于正中间的一个数或两个数的平均数是中位数是解题的关键． 4. 如图，△ABC中，∠ABC=90°沿BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中不一定成立的是（　　） A. EC=CF B. ∠DEF=90° C. AC＝DF D. ACDF 【答案】A 【解析】 【分析】由平移的性质得出对应边平行且相等，对应角相等，即可得出结论． 【详解】解：∵Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF， ∴∠ACB＝∠DFE，∠DEF＝∠ABC＝90°，AC＝DF，BC＝EF， ∴AC∥DF，BC﹣CE＝EF﹣CE，即BE＝CF， ∴选项B、C、D正确，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 5. 一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，求得，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，解得， 故选：D 【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，以及二次根式的化简，解题的关键是正确求得的值并掌握二次根式的化简． 6. 如图，将ABC绕点A逆时针方向旋转得到△AB′C′.当点B′刚好落在BC边上，∠B = 40°，则∠BAB′的度数为（　　　）. A. 120° B. 100° C. 80° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据AB′＝AB′，∠B＝40°，得∠AB'B＝40°，从而旋转角∠BAB'＝180°-∠B-∠AB'B＝100°． 【详解】解：由旋转性质可知 ∴AB＝AB'， ∴∠B＝∠AB'B＝40°， ∴旋转角∠BAB'＝180°﹣∠B﹣∠AB'B＝100°， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的旋转，涉及等腰三角形性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质，熟练应用三角形内角和定理． 7. 根据统计数据提示：广州市2019年地区生产总值为2.36万亿元，2021年地区生产总值为2.82万亿元如果广州市地区生产总值的年平均增长率为x，那么下列方程正确的是（　　　） A. 2.36（l + x） = 2.82 B. 2.36（1 + 2x） = 2.82 C. D. 2.36（1+x）2 = 2.82 【答案】D 【解析】 【分析】利用2021年地区生产总值＝2019年地区生产总值×（1＋增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：2.36（1+x）2 = 2.82， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 函数与在同一直角坐标系中大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次函数图象确定的符号，然后判断反比例函数的图象是否相符． 【详解】A．，则∴反比例函数的图象应该位于二四象限，故该选项正确，符合题意； B．令x=0，则y=1，∴二次函数的图象与轴的交点在正半轴，故该选项错误，不符合题意； C．由二次函数的图象可得：，此时，∴反比例函数的图象应该位于一三象限，故该选项不正确，不符合题意； D．令x=0，则y=1，∴二次函数的图象与轴的交点在正半轴，故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 9. 在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，随机取出两个球，取出1个黑球1个白球的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所摸到1黑1白的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：依题意画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，所摸到的球恰好为1黑1白的有4种情况， ∴所摸到的球恰好为1黑1白的概率是：； 故选：A． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 10. 如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，由勾股定理得出，由平行四边形的性质得出，，则最短也就是最短，作垂直于，证明，求出的长即可得出答案． 【详解】解：设和相交于点O ∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴最短也就是最短， 作垂直于， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 二．填空题 11. 使在实数范围内有意义的应满足的条件是________． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵式子在实数范围内有意义，∴x-1≥0,解得x≥1. 故答案为x≥1. 【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 12. 已知直线与直线交于点（2，4），则关于x，y的方程组的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征确定两直线的交点坐标，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∵两直线和的交点坐标就是方程的解， ∴方程的解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解题的关键是掌握函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 13. 若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】抛物线与x轴只有一个公共点，则对应的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知抛物线与x轴只有一个公共点，则对应的一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键． 14. 在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同， 方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是________（填“甲”、“乙”中的一个） 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解． 【详解】解：∵，，，且平均成绩相同 ∴射击成绩较稳定的运动员是乙， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 15. 已知一个圆锥的底面直径是10厘米，高是12厘米，则该圆锥的侧面积是________平方厘米．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】圆锥的底面直径是10厘米 圆锥的底面半径是5厘米 高是12厘米 母线长 该圆锥的侧面积（平方厘米） 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及圆锥的侧面积公式，即，熟练掌握知识点是解题的关键． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________． 【答案】 【解析】 【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论． 【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN， ∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°， ∴△BQN是等边三角形， ∴BQ=QN， ∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN， ∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小， 此时，如图2，连接MC ∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM， ∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM， ∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形， ∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM， ∵BM=CM，AB=AC， ∴AM垂直平分BC， ∵AD⊥BC，∠BQD=60°， ∴BD=QD， ∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2， ∴x=， ∴x=3+， ∴PD=3+． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题． 三．解答题 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）先去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得出答案； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解； 小问2详解】 解： ，，， ， ∴，． 18. 某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？ 【答案】分配40名工人生产螺栓，50名工人生产螺帽. 【解析】 【详解】解：设x人生产螺栓，y人生产螺母刚好配套，根据题意可得： ， 解得：． 答：40人生产螺栓，50人生产螺母刚好配套． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，反比例函数的图象经过点和点，且点为的中点． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）将代入得，，计算求解即可； （2）由题意知，点横坐标为，则点横坐标为，当，，可知，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得，，解得； ∴的值为12； 【小问2详解】 解：由题意知，点横坐标为， ∴点横坐标为， 当，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为9． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．解题的关键在于求出坐标． 20. 如图，在中，D，E分别是边，连接，且． （1）求证：； （2）如果E是的中点，，求 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用相似三角形的判定即可得证； （2）先求出，再根据相似三角形的性质即可得． 【小问1详解】 证明：在和中，， ． 【小问2详解】 解：是的中点， ， 由（1）已证：， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 21. 如图，是的直径，点C、D是上的点，且，分别与、相交于点E、F． （1）求证：点D为的中点； （2）若，，求的长； （3）若的半径为5，，点P是线段上任意一点，试求出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）证明为△ACB的中位线得到，然后计算即可； （3）作C点关于的对称点，交于P，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值． 【小问1详解】 ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点D为的中点； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 而， ∴为的中位线， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作C点关于的对称点，交于P，连接，如图， ∵， ∴， ∴此时的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵点C和点关于对称， ∴， ∴， 作于H，如图， 则， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路径问题、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相关的定理内容并灵活应用是解题的关键． 22. 已知抛物线． （1）当时，求的值； （2）点是抛物线上一点，若，且时，求的值； （3）当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，设抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，请求出的取值范围． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令当时，则，再解方程即可； （2）由二次函数性质结合点是抛物线上一点，且时，，可得抛物线的顶点纵坐标是，从而可得答案； （3）先写出抛物线平移后的解析式，结合图象进行解得即可． 【小问1详解】 解：当时，则， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的开口向下， ∵点是抛物线上一点，且时，， ∴抛物线的顶点纵坐标是， 而抛物线的对称轴为直线：， ∴当时，， 解得：． 【小问3详解】 当时，抛物线为， ∴抛物线的顶点坐标为：， 把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线H为：， ∵抛物线与轴的一个交点的坐标为，且， ∴当时，， 解得：， 又∵新抛物线H与x轴有交点， ∴． 如图， ∴结合图象可得：． 【点睛】本题考查的是求解抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的性质，求解抛物线的解析式，抛物线的平移，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季开学检测试题九年级数学科目 一．选择题 1. 下列图形中，中心对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次.将15233000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据：12、17、13、11、15，这组数据中位数是（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 17 4. 如图，△ABC中，∠ABC=90°沿BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中不一定成立的是（　　） A. EC=CF B. ∠DEF=90° C. AC＝DF D. ACDF 5. 一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　　） A. B. C. D. 6. 如图，将ABC绕点A逆时针方向旋转得到△AB′C′.当点B′刚好落在BC边上，∠B = 40°，则∠BAB′的度数为（　　　）. A. 120° B. 100° C. 80° D. 60° 7. 根据统计数据提示：广州市2019年地区生产总值为2.36万亿元，2021年地区生产总值为2.82万亿元如果广州市地区生产总值的年平均增长率为x，那么下列方程正确的是（　　　） A. 2.36（l + x） = 2.82 B. 2.36（1 + 2x） = 2.82 C. D. 2.36（1+x）2 = 2.82 8. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，随机取出两个球，取出1个黑球1个白球的概率是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题 11. 使在实数范围内有意义应满足的条件是________． 12. 已知直线与直线交于点（2，4），则关于x，y的方程组的解是____________． 13. 若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为______． 14. 在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同， 方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是________（填“甲”、“乙”中的一个） 15. 已知一个圆锥的底面直径是10厘米，高是12厘米，则该圆锥的侧面积是________平方厘米．（结果保留π） 16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________． 三．解答题 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，边在轴上，反比例函数的图象经过点和点，且点为的中点． （1）求值； （2）求的面积． 20. 如图，在中，D，E分别是边，连接，且． （1）求证：； （2）如果E是的中点，，求 21. 如图，是直径，点C、D是上的点，且，分别与、相交于点E、F． （1）求证：点D为的中点； （2）若，，求的长； （3）若的半径为5，，点P是线段上任意一点，试求出的最小值． 22. 已知抛物线． （1）当时，求的值； （2）点是抛物线上一点，若，且时，求的值； （3）当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，设抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，请求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$