高考模拟测试卷08（考前增强信心卷）-2024年高考数学最后冲刺题型秒杀专项训练（上海专用）

2024年上海市高考模拟测试卷08（考前增强信心卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，则 ． 2．为虚数单位，复数的共轭复数对应的点位于第 象限 . 3．不等式的解集是 ． 4．已知，是两两垂直的单位向量，则 ． 5．已知函数，则的值为 6．某班人参加暑期社会实践，结束时的综合能力测试成绩近似服从正态分布，若，则综合能力测试成绩在分以上的人数大约为 ． 7．已知圆的面积为，则 ． 8．二项式的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 9．已知数列是首项为2公差不为0的等差数列，且其中、、三项成等比数列，则数列的通项公式 ． 10．已知，是椭圆：（)的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则 . 11．采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为 12．已知正整数，满足，若关于的方程有实数解，则符合条件的共有 对. 2、 选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分每题有且只有一个正确选项.) 13．“抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，） C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg 15．袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（    ） A．甲与乙是对立事件 B．甲与乙是互斥事件 C．丙与丁相互独立 D．甲与丁相互独立 16．在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（    ）． A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分. 三棱柱中，平面，且，为中点．    (1)求四面体的体积： (2)求平面与所成锐二面角的余弦值． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分. 在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，. (1)若，求A和外接圆半径R的值； (2)若三角形的面积，求c. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分. 某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，） 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 (1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； (2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望． 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题（i）6分，第2小题（ii）满分6分. 已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题①满分6分，第2小题②满分8分. 对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示. (1)已知函数，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性. (2)现定义一个新的数列：在取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列” ①若函数（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式. ②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上海市高考模拟测试卷08（考前增强信心卷） 一、填空题 1．已知集合，则 ． 【答案】/ 【分析】根据交集的概念进行求解. 【解析】. 故答案为： 2．为虚数单位，复数的共轭复数对应的点位于第 象限 . 【答案】四 【解析】分析：先利用复数的运算法则化简，由共轭复数的定义求出共轭复数，利用复数的几何意义即可得结果. 详解：因为， 所以数的共轭复数，对应坐标为， 复数的共轭复数对应的点位于第四象限，故答案为四. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】由已知结合分式不等式的求法即可求解． 【解析】由,可得， 即， 解得或． 故答案为：或． 4．已知，是两两垂直的单位向量，则 ． 【答案】 【分析】用向量的模的定义直接运算即可得出答案. 【解析】因为，是两两垂直的单位向量， 所以，则. 故答案为：. 5．已知函数，则的值为 【答案】/ 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解. 【解析】由函数，因为，所以. 故答案为：. 6．某班人参加暑期社会实践，结束时的综合能力测试成绩近似服从正态分布，若，则综合能力测试成绩在分以上的人数大约为 ． 【答案】5 【分析】根据正态分布关于对称轴的对称区间概率相等求解即可 【解析】由题意知， 所以， 所以（人），即分以上的人数大约为人． 故答案为：5 7．已知圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据圆的一般方程得出圆的半径，然后根据已知列出方程，求解即可得出答案. 【解析】由已知可得，圆的半径. 所以，圆的面积为， 所以，，解得. 故答案为：. 8．二项式的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】15 【分析】先写出二项展开式的通项公式，即可求出展开式中的系数. 【解析】因为二项式的展开式的通项为， 令得， 所以展开式中的系数为. 故答案为 【点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型. 9．已知数列是首项为2公差不为0的等差数列，且其中、、三项成等比数列，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式和等比中项的性质列方程，解方程得到，然后求通项即可. 【解析】设数列的公差为，则，即，解得或0（舍去）， 所以. 故答案为：. 10．已知，是椭圆：（)的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则 . 【答案】3 【分析】根据椭圆的定义得：，然后用勾股定理解三角形，表示三角形的面积可求解. 【解析】 由椭圆的定义知，又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ∴. 故答案为：3 11．采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为 【答案】 【分析】根据题意，得到，求得，利用导数求得函数的单调性与最大值点，即可求解. 【解析】由题意，圆锥的体积为 因为，可得， 所以， 可得， 令，可得；令，可得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，当处，函数取得极大值，也时最大值， 所以炸药包埋在深处. 故答案为：. 12．已知正整数，满足，若关于的方程有实数解，则符合条件的共有 对. 【答案】 【分析】根据题意，将方程化简可得，从而可得，然后分类讨论相加，即可得到结果. 【解析】因为，所以，同理可得， 又，所以， 所以，，其中， 从而，即. ①若， 取，则即为方程的解， 此时共有种； ②若， 设取，则即为方程的解， 此时共有种； ③若模余， 则，从而， 由①②可知此时共有种； ④若模余，则，从而， 模余的是，由①知可以；模余的是，由②不可以， 故此时共有种； 综上所述符合条件的共有对. 故答案为： 二、选择题 13．“抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】∵抛物线的标准方程为，其准线方程为 ∴ ∵双曲线的 ∴焦点为 ∵抛物线即为 ∴抛物线的焦点为，则 ∴ ∴“抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的充分不必要条件 故选A 14．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，） C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg 【答案】D 【解析】根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确； 回归直线过样本点的中心（），B正确； 该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确； 该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误． 故选D． 15．袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（    ） A．甲与乙是对立事件 B．甲与乙是互斥事件 C．丙与丁相互独立 D．甲与丁相互独立 【答案】BD 【分析】先求出事件对应的概率，再由互斥事件的概念及概率和是否为1判断A、B选项，再由独立事件的概率公式判断C、D选项即可. 【解析】设甲、乙、丙、丁事件分别对应，则，，丁包含的基本事件有， 则，，；对于A、B，显然甲乙事件不能同时发生，又，则A错误；B正确； 对于C，，则，则C错误；对于D，，则，D正确. 故选：BD. 16．在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（    ）． A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【分析】根据空间中线、面的垂直关系结合长方体的特征及特殊情况一一判定即可. 【解析】 如图所示，假设在长方形中必存在使得， 又易知平面，平面， 所以， 因为平面，所以平面， 又，则平面， 因为平面，所以，即存在使得， 但若，如下图所示，不妨设， 过作交直线于P，过作， 易得，所以， 又，则， 则在延长线上，此时①不成立； 易知与不垂直，，所以与不垂直， 又平面，所以不垂直于平面，即②成立 故选：C 三、解答题 17．三棱柱中，平面，且，为中点．    (1)求四面体的体积： (2)求平面与所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等体积法，再根据条件，即可求出结果； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果. 【解析】（1）因为平面，又面，所以， 又，，面，所以面， 因为面，所以到面的距离即, 又，， 所以. （2）如图，建立空间直角坐标系，因为，， 则， 所以 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 设平面的一个法向量为， 则由，得到，取，则，所以， 设平面与所成锐二面角为， 则.    18．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，. (1)若，求A和外接圆半径R的值； (2)若三角形的面积，求c. 【答案】(1)，； (2)或. 【分析】（1）由题可得，利用正弦定理即求； （2）利用三角形面积公式可得，再利用同角关系式及余弦定理即求.a 【解析】（1）因为，则，且. 由正弦定理，得，即， 即，， 因为，所以， 因此，； （2）由得， 于是. 当时，由余弦定理，得. 当时，由余弦定理，得. 所以，或. 19．某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，） 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 (1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； (2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列见解析， 【分析】（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解． 【解析】（1）解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为． （2）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率， 随机变量的可能值为， 可得：， ， ， 所以随机变量的分布为： 0 1 2 所以的数学期望． 20．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的焦点三角形，即可结合余弦定理求解， （2）（i）联立直线与椭圆的方程可得韦达定理，即可根据中点坐标公式可得，从而即可得证；（ii）进一步根据向量的坐标运算即可得证. 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得. 因为，，. 在中，由余弦定理得， 解得，则，故椭圆的方程为； （2）（i） 当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为， 联立得. 因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交. 设，由韦达定理得， 所以. 因为为线段中点， 所以，此时，则. 要证，只需证明， 而， 所以点轨迹方程为； （ii）联立得，则. 不妨设，所以，. 不妨设，由得 ， 即. 因为，， 所以. ∵，所以，即， 则点在定直线上. 当直线斜率为0时，轴，此时,. 因为，所以，则， 故点在定直线上； 当直线无斜率时，此时直线方程为，易知轴， 所以点在轴上，则. ∵，所以，即，则点在定直线上. 综上可得：点在定直线上. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点；若直线方程为 (为定值),则直线过定点 21．对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示. (1)已知函数，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性. (2)现定义一个新的数列：在取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列” ①若函数（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式. ②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可） 【答案】(1)，单调性见解析 (2)①；②存在，证明见解析 【分析】（1）求导再次求导得到，再求导讨论和两种情况，得到单调区间. （2）求导得到，计算，，取求导得到，确定，验证得到答案. 【解析】（1），函数定义域为， ，，， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，取，则， 设，，则恒成立， 且，故存在唯一的满足， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 综上所述： 时，在上单调递增； 时，存在唯一的满足， 时，函数单调递减，时，函数单调递增. （2）①，则，，，， ，故，； ②存在，取，，则，则， 即，， 数列严格减数列且为无穷数列，满足条件. 【点睛】关键点睛：本题考查了导数的新定义，数列的性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中充分理解新定义的隐含条件，转化为所学知识是解题的关键，此类能力需要多练多思考多总结. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$