精品解析：2024年江苏省宿迁市沭阳如东实验学校九年级数学中考二模试题

2024年初中学业水平模拟考试 数学试卷 （本卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列整式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 2013年到2022年，中国与“一带一路”共建国家的累计双向投资超过3800亿美元．3800亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（　　） A. 对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 B. 为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100 C. 一组数据1，3，3，3，4，8的中位数和众数都是3 D. 若甲、乙两个射击选手的平均成绩相同，且，，则应该选乙参赛 6. 如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，下列说法中错误的是（ ） A. 甲乙两地相距 B. 点表示此时两车相遇 C. 慢车的速度为 D. 折线表示慢车先加速后减速最后到达甲地 7. 如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO=1．则四边形BEOF的面积为（　　） A. B. C. D. 8. 已知直线不经过第二象限，则关于x的方程的实数根个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 分解因式：_________． 10. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是____． 11. 设是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ______． 12. 若关于的分式方程有增根，则的值为________． 13. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则图中阴影部分的面积为 ______ 14. 已知，计算的值是______． 15. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是____. 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，动点在线段上（不与端点重合），点绕点顺时针旋转得到点，若点在反比例函数的图象上，则的取值范围是______． 17. 下列关于抛物线（m为常数）的结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的顶点在直线上；③抛物线与y轴的交点在原点的上方；④抛物线上有两点，若，则．其中正确结论的序号是 ______． 18. 四个村庄坐落在矩形的四个顶点上，公里，公里，在新农村建设中，要设立两个车站E，F，则的最小值为 ______公里． 三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 21. 如图，在四边形中，，E为上一点，的延长线交于点F，． （1）求证：； （2）若，直接写出和的周长之比． 22. 为改善民生；提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：表示“非常支持”，表示“支持”，表示“不关心”，表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次共抽取了________名居民进行调查统计，扇形统计图中，类所对应的扇形圆心角的大小是________； （2）将条形统计图补充完整； （2）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的类居民大约有多少人？ 23. 化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 24. 如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行到达D处，再沿着斜坡走到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到） （1）求斜坡的铅直高度和水平宽度． （2）求旗杆的高度．（参考数据：，，，） 25. 如图，在中，是钝角，以上一点O为圆心，为弦作． （1）在图中作出交于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若． ①求证：是的切线： ②，，求弦的长． 26. 为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元． （1）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？ （2）学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？ 27. 在平面直角坐标系中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”． （1）已知点，线段与线段组成的图形记为W； ①点中，图形W的“相合点”是　　　　　　； ②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围； （2）的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在外的一点P，使得点P为的相合点，直接写出r的取值范围． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点，，三点，其对称轴为． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，． 当时，求的长； 若，，的面积分别为，，，且满足，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平模拟考试 数学试卷 （本卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 下列整式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类项的合并，同底数幂的乘法、积的乘方、单项式乘单项式等知识，熟练掌握这些知识是关键．分别根据同类项合并法则、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则及单项式乘单项式的法则进行计算即可判断． 【详解】解：A、，故计算错误； B、，故计算错误； C、，故计算错误； D、，故计算正确； 故选：D． 3. 2013年到2022年，中国与“一带一路”共建国家的累计双向投资超过3800亿美元．3800亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：3800亿， 故选B． 4. 如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据得到，然后求出，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下列说法中正确的是（　　） A. 对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 B. 为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100 C. 一组数据1，3，3，3，4，8的中位数和众数都是3 D. 若甲、乙两个射击选手的平均成绩相同，且，，则应该选乙参赛 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查、抽样调查的意义，中位数、众数、方差的意义进行判断即可． 【详解】解：A、对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查，因此选项A不符合题意； B、为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100袋洗衣粉的质量，因此选项B不符合题意； C、一组数据1，3，3，3，4，8，处在中间位置的两个数都是3，因此中位数是3，出现次数最多的是3，因此众数也是3，因此选项C符合题意； D、若甲、乙两个射击选手的平均成绩相同，且，，由于，甲比较稳定，因此选甲参赛比较合适，所以选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查普查、抽样调查的意义，中位数、众数、方差，理解普查、抽样调查、方差的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提． 6. 如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，下列说法中错误的是（ ） A. 甲乙两地相距 B. 点表示此时两车相遇 C. 慢车的速度为 D. 折线表示慢车先加速后减速最后到达甲地 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，AB段表示两车逐渐相遇，到点B处两车相遇，BC段表示两车相遇后各自继续向前运动，点C处快车到达乙处，CD段表示慢车继续向前行驶，点D处慢车到达甲处． 【详解】由图形得，甲乙两地相距1000km，A正确 慢车共行驶了10h，速度为100km/h，C正确 根据分析，点B处表示两车相遇，B正确 折线B-C-D表示的是两车运动的状态，而非速度变化，D错误 故选：D 【点睛】本题考查一次函数图像与行程问题，解题关键是将函数图像中每一条线段与实际情况的一一匹配上． 7. 如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO=1．则四边形BEOF的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理求出AF=BF，CE=BE，，求出∠AOD=2∠C，求出∠AOD=2∠A，求出∠A=30°，解直角三角形求出OF和BF，求出OE、BE、BF，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：∵CD为直径，CD⊥AB， ∴， ∴∠AOD=2∠C， ∵CD⊥AB，AE⊥BC， ∴∠AFO=∠CEO=90°， 在△AFO和△CEO中 ∴△AFO≌△CEO（AAS）， ∴∠C=∠A， ∴∠AOD=2∠A， ∵∠AFO=90°， ∴∠A=30°， ∵AO=1， ∴OF=AO=，AF=OF=， 同理CE=，OE=， 连接OB， ∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O， ∴由垂径定理得：BF=AF=，BE=CE=， ∴四边形BEOF的面积S=S△BFO+S△BEO=××+=， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解此题的关键． 8. 已知直线不经过第二象限，则关于x的方程的实数根个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，函数与方程的关系；画出函数与函数的图像，数形结合则可得答案． 【详解】解：直线不经过第二象限，则直线必第一、三、四象限或经过第一、三象限，且当时，，即直线经过定点；对于函数的图像，是把图像位于x轴下方的图像翻折后与原来在x轴上方的图像组成的； 由图像知，直线与函数的图像必有两个交点，从而关于x的方程的实数根必有两个； 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 分解因式：_________． 【答案】y（x+1）（x﹣1） 【解析】 【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解． 【详解】解：x2y﹣y=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）， 故答案为y（x+1）（x﹣1）． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法与公式法的综合运用． 10. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 本题考查了圆锥的侧面积的计算．圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 【详解】圆锥的侧面积，其中，， ∴这个圆锥的侧面积， 故答案为：． 11. 设是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意：，则把原式展开最后整体代入求值即可． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， ； 故答案为：． 12. 若关于的分式方程有增根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得x=2，然后把x=2代入整式方程中进行计算即可解． 【详解】解：x-3(x-2)=-m， 解得：x= ， ∵分式方程有增根， ∴x−2=0， ∴x=2， 把x=2代入x=中， 2=， ∴m=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值，再代入整式方程中进行计算是解题的关键． 13. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则图中阴影部分的面积为 ______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质等，先证明是等边三角形，根据求出半径，进而利用勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ，，即， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知，计算的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ∵ ∴ ∴原式 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是____. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意连接EC.再根据勾股定理计算EC、GC的长，设BF=x,根据勾股定理列方程进而求解未知数x.再计算EF的长度. 【详解】根据题意连接EC, 沿折叠后，点恰好落到上的点处 为直角三角形， 在直角三角形中， 所以 设BF=x,所以 ，BC=12 根据勾股定理可得 所以可得x= 所以可得 因此答案为 . 【点睛】本题主要考查矩形的知识，关键在于折叠的图形的性质不变,和原来的图形是全等的. 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，动点在线段上（不与端点重合），点绕点顺时针旋转得到点，若点在反比例函数的图象上，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转，二次函数的性质．由题意设，则，代入得，根据二次函数的性质即可求得的取值． 【详解】解：由题意设，则， 点在反比例函数的图象上， ， ， 时，有最小值为5，时，有最大值9， ， 故答案为：． 17. 下列关于抛物线（m为常数）的结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的顶点在直线上；③抛物线与y轴的交点在原点的上方；④抛物线上有两点，若，则．其中正确结论的序号是 ______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；二次函数配方即可得抛物线的对称轴，从而判断①；根据抛物线的顶点坐标可判断②；抛物线与y轴的交点为，对进行配方即可判断③；由题意得，，计算，根据差的符号即可判断④，最后得到结论． 【详解】解：， 则抛物线的对称轴为直线，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，表明顶点纵坐标比横坐标大1，即顶点在直线上，故②正确； 对于，令，则， 所以抛物线与y轴的交点为， 而， 故抛物线与y轴的交点在原点的上方，故③正确； 在抛物线上， ，， ， ， ， ， 即， 故④错误； 综上，正确的是①②③； 故答案为：①②③． 18. 四个村庄坐落在矩形的四个顶点上，公里，公里，在新农村建设中，要设立两个车站E，F，则的最小值为 ______公里． 【答案】 【解析】 【分析】将绕A顺时针旋转得到，连接；将绕点D逆时针旋转，得到，连接；由旋转及等边三角形的性质知，，的最小值转化为的最小值，当H、G、E、F、N、M在同一直线上时，取得最小值，最小值为线段的长． 【详解】解：如图1，将绕A顺时针旋转得到，连接；将绕点D逆时针旋转，得到，连接； 由旋转性质得：， 都是等边三角形， ，； 同理：都是等边三角形， ， ； 当H、G、E、F、N、M在同一直线上时，取得最小值，最小值为线段的长． 故的最小值为线段的长，如图2； 设分别交于点P、Q； ， 是的垂直平分线， ； ，是等边三角形， ，， ； ， 四边形是矩形， ， 公里， 即的最小值为公里； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，最短路径问题，确定最小值时点E、F的位置是本题的关键． 三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的化简，同类二次根式的加减，负指数幂，零次幂，特殊角的锐角三角函数值计算求解即可． 【详解】 【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的加减，负指数幂，零次幂，特殊角的锐角三角函数值，熟练以上知识点是解题的关键． 20. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 【答案】-4≤x＜2；0，1 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出非负整数解即可． 【详解】解：， 由①得：x＜2， 由②得：x≥-4， ∴不等式组的解集为-4≤x＜2， 则不等式组的非负整数解为0，1． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 21. 如图，在四边形中，，E为上一点，的延长线交于点F，． （1）求证：； （2）若，直接写出和的周长之比． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握这些判定与性质是解题的关键． （1）由得，由平行线的性质结合，得，再由平行线的性质即可得结论； （2）由（1）知，四边形是平行四边形，则有；易得，由相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ； ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 四边形是平行四边形， ； ， ， 从而； ， ， 和的周长之比为． 22. 为改善民生；提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：表示“非常支持”，表示“支持”，表示“不关心”，表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次共抽取了________名居民进行调查统计，扇形统计图中，类所对应的扇形圆心角的大小是________； （2）将条形统计图补充完整； （2）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的类居民大约有多少人？ 【答案】（1）60，；（2）图见解析；（3）该社区表示“支持”的类居民大约有1200人． 【解析】 【分析】（1）根据C类的条形统计图和扇形统计图的信息可得出总共抽取的人数，再求出D类居民人数的占比，然后乘以即可得； （2）根据（1）的结论，先求出A类居民的人数，再补全条形统计图即可； （3）先求出表示“支持”的类居民的占比，再乘以2000即可得． 【详解】（1）总共抽取的居民人数为（名） D类居民人数的占比为 则类所对应的扇形圆心角的大小是 故答案为：60，； （2）A类居民的人数为（名） 补全条形统计图如下所示： （3）表示“支持”的类居民的占比为 则（名） 答：该社区表示“支持”的类居民大约有1200人． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 23. 化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 由题意得，选到的概率为 故答案为： 【小问2详解】 列表如下： 由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种， 二人所选金属均能置换出氢气的概率为． 24. 如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行到达D处，再沿着斜坡走到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到） （1）求斜坡的铅直高度和水平宽度． （2）求旗杆的高度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）ED的铅直高度约为，水平宽度约为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． （1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点E作，垂足为H，根据题意可得：，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：在中，， ∴，， ∴斜坡的铅直高度约为，水平宽度约为； 【小问2详解】 解：过点E作，垂足为H， 由题意得：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 25. 如图，在中，是钝角，以上一点O为圆心，为弦作． （1）在图中作出交于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若． ①求证：是的切线： ②，，求弦的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D； （2）①连接，证明即可； ②证明，推出，因为，，所以，因为，所以，推出，设，利用勾股定理求出k，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，，点D即为所求； 【小问2详解】 （2）①证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； ②∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 设，由勾股定理得， ∴（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 26. 为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元． （1）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？ （2）学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？ 【答案】（1）当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w最小 （2）当a为20时，2026年的总种植成本为28920元 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是用待定系数法正确求出函数关系式，正确列出一元二次方程． （1）根据当时，，由二次函数的性质得当时，w有最小值，再根据土地总面积为解答即可． （2）根据2026年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 当时， ∵， ∴抛物线开口向上． ∴当时，w有最小值，． ∴， ∴当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w最小． 【小问2详解】 由题意可知：甲、乙两种蔬菜总种植成本是42000元， 乙种蔬菜的种植成本是（元）， 甲种蔬菜的种植成本是（元）， ， 设，则， 解得：，（舍去）， ∴． ∴． 答：当a为20时，2026年的总种植成本为28920元． 27. 在平面直角坐标系中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”． （1）已知点，线段与线段组成的图形记为W； ①点中，图形W的“相合点”是　　　　　　； ②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围； （2）的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在外的一点P，使得点P为的相合点，直接写出r的取值范围． 【答案】（1）①；②或 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系，坐标与图形： （1）根据点C是图形W的“相合点”的定义结合图形判断即可． （2）如图2中，图形W的“相合点”的分布情形：①在第一象限，矩形上或内部．②在第二象限，矩形上或内部．③第四象限，矩形上或内部．结合图形判断即可． （3）如图3中，以O为圆心，为半径作圆，当直线与图中圆环有交点时，满足条件．求出几种特殊情形的r的值，即可判断． 【小问1详解】 解：①如图，观察图象可知是的中点，Q是的中点．是的中点，故图形W的“相合点”是，，． 故答案为：． ②如图，图形W的“相合点”的分布情形： ①在第一象限，矩形上或内部． ②在第二象限，矩形上或内部． ③第四象限，矩形上或内部． 结合图形可知，直线上图形W的“相合点”M的横坐标为或． 【小问2详解】 解：如图，以O为圆心，为半径作圆，当直线与图中圆环有交点时，满足条件． 当直线在第一象限与大圆相切时，则， 解得，， 当直线经过时，，解得， 观察图象可知，满足条件的r的值为：， 当直线经过时，，解得， 结合图象可知，满足条件的的值为：． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点，，三点，其对称轴为． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，． 当时，求的长； 若，，的面积分别为，，，且满足，求点的横坐标． 【答案】（1）； （2）；点的横坐标为． 【解析】 【分析】（）由待定系数法即可求解； （）求出直线的表达式为：，得到点，进而求点，即可求解； 证明，即可求解． 【小问1详解】 由题意得：， 解得：， 即抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 令，则或， 即点、的坐标分别为：、； 设点， 由点、得，直线的表达式为：， 当时，，即点， 则， 由点、的坐标得直线的表达式为：， 联立得：， 解得：，则点，， 由点、的坐标得，， ，即， 解得：（舍去）或， 则； 过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、， ∵，，同高，则其面积比为边的比， 即， ∵， 则，， 则， 即， 整理得：， 由①知，，， 则， 解得：，（舍去）， 经检验，是方程的根， 则点的横坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，面积的计算等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $