精品解析：山东省威海市荣成市石岛实验中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

2023-2024年第二学期初二数学期中质量监测测试题 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，点在边上，点在边上，若，且平分的周长，则的长是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题是（　　） A. 同位角相等 B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 C. 等腰三角形的两底角相等 D. 如果，那么 5. 下列可以作为命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 在同一年出生的13名同学中，至少有2人出生在同一个月 C. 水溶解金属 D. 任意一个三角形的内角和为 7. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是( ) A. B. C. D. 1 9. 如图，在中，，E为中点，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，和的平分线相交于点交于，交于，过点作于，在下列结论中：①；②若，则；③当时，；④若，则．其中正确的结论为（　　） A. ②③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 11. 已知是二元一次方程的一个解，则_____； 12. 已知关于，的方程组的解的和是，则__________． 13. 如图，已知，、的交点为，现作如下操作： 第一次操作，分别作和的平分线，交点为， 第二次操作，分别作和的平分线，交点为， 第三次操作，分别作和的平分线，交点为， … 第次操作，分别作和的平分线，交点为． 若度，那等于__________度． 14. 如图，点A的坐标可以看成是方程组____的解． 15. 如图，在中，，是的平分线，是的垂直平分线，则_________． 16. 如图，在中，，，，D、E是内两点，满足平分，平分，，且，则的面积为_______． 三、解答题（共72分） 17. （1）解方程组：； （2）已知与互为相反数，求 18. 在一个不透明的袋子中装有5个红球和8个黑球，每个球除颜色外都相同． （1）从中任意摸出一个球，摸到______球的可能性大； （2）如果另外拿红球和黑球一共7个放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同，请说明理由． 19. 请列一元一次方程解决下面的问题： 某超市计划购进甲、乙两种型号的钢笔共900支，这两种钢笔的进价、售价如下表： 进价（元/支） 售价（元/支） 甲型 25 30 乙型 45 60 （1）如果进货款恰好为28500元，那么可以购进甲、乙两种型号的钢笔各多少支？ （2）售完这批钢笔一共可以获利多少元钱？ 20. 如图，在和中，，延长，交于点M． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 21. 如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点． （1）如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系． （2）如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______． （3）若，的平分线交于点Q，且，则______． 22. 如图，在等腰中，，点在上，且． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数； （3）猜想与的数量关系．（不必证明） 23. 如图，已知一次函数经过点，与一次函数交于点 （1）求一次函数的表达式． （2）请直接写出方程组的解． （3）求三角形的面积． 24. （1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部点的位置时，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图②，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部点的位置时，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图③，把四边形ABCD沿EF折叠，当点A、D分别落在四边形BCFE内部点、的位置时，你能求出∠、∠、∠1与∠2之间的数量关系吗？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024年第二学期初二数学期中质量监测测试题 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是利用筛选法解二元一次方程组． 根据题意得，然后根据题意列出方程组即可求得公共解． 【详解】解：①+②得，， ， ， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， ∴，解得：， 所以这个公共解为， 故选：C． 2. 如图，在中，，，，点在边上，点在边上，若，且平分的周长，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决问题的关键．过点作于点，先证，求得，从而求得再利用勾股定理即可得解． 【详解】解：过点作于点， ∵，，， ∴ ∵平分的周长， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴即 ∴， ∴ ∴ 故选：C． 3. 已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 4. 下列命题中，真命题是（　　） A. 同位角相等 B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 C. 等腰三角形的两底角相等 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查命题和定理，同位角，对顶角的定义，等腰三角形的性质及等式的性质，根据同位角，对顶角的定义，等腰三角形的性质及等式的性质即可判断． 【详解】A、同位角不一定相等，所以原命题是假命题，故本选项不符合题意； B、两个角相等不一定是对顶角，所以原命题是假命题，故本选项不符合题意； C、等腰三角形的两个底角相等，所以原命题是真命题，故本选项符合题意； D、如果，那么或，所以原命题是假命题，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列可以作为命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了利用举反例说明一个命题错误，要证明一个例题不成立，可以通过举反例：即符合命题条件，但不符合命题结论． 【详解】解：∵当，时，，而， ∴，但是， ∴，是假命题的反例． 其他选项不能说明； 故选：C． 6. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 在同一年出生的13名同学中，至少有2人出生在同一个月 C. 水溶解金属 D. 任意一个三角形的内角和为 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小进行判断即可． 【详解】解：A.守株待兔是随机事件，故A不符合； B.在同一年出生的13名同学，至少有2人出生在同一个月是必然事件，故B符合； C.水溶解金属是随机事件，故C不符合； D.任意一个三角形的内角和为是不可能事件，故D不符合． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，正确判断事件发生的可能性是解题的关键． 7. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质．设与的交点为，根据三角形的外角性质可得，解出即可． 【详解】解：如图： ∵， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是( ) A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】找到符合条件的点P的个数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个点， ∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是， 故选：B． 【点睛】本题考查了概率公式的应用，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 9. 如图，在中，，E为中点，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DFAC于F，由三线合一性质及勾股定理得到，结合题目已知条件得到DC、DF的长，再利用相似三角形的判定与性质得到，解得，最后根据勾股定理解题即可． 【详解】解：过点D作DFAC于F，如图， 在中，，E为中点， ． 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点交于，交于，过点作于，在下列结论中：①；②若，则；③当时，；④若，则．其中正确的结论为（　　） A. ②③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过点作于，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于于，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ， ∴，故①错误； 过点作于， ∵平分， ， ， ∴，故②正确； ， ， ∵分别是与的平分线， ， ， ， ∴， 如图，在上取一点，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴，故③正确； 作于于， ∵和的平分线相交于点， ， ， ∴，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的性质，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 11. 已知是二元一次方程的一个解，则_____； 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，将代入方程即可计算出答案． 【详解】将代入 故答案为：3． 12. 已知关于，的方程组的解的和是，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组、已知二元一次方程组的解的情况求参数、解一元一次方程，解二元一次方程组得出，结合题意得出，再解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：， 由得：， 解得：， 关于，的方程组的解的和是， ， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，已知，、的交点为，现作如下操作： 第一次操作，分别作和的平分线，交点为， 第二次操作，分别作和的平分线，交点为， 第三次操作，分别作和的平分线，交点为， … 第次操作，分别作和的平分线，交点为． 若度，那等于__________度． 【答案】 【解析】 【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C∠BEC；…据此得到规律∠En∠BEC，最后求得∠BEC的度数． 【详解】如图1，过E作EF∥AB． ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠B=∠1，∠C=∠2． ∵∠BEC=∠1+∠2， ∴∠BEC=∠ABE+∠DCE； 如图2． ∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1， ∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC． ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2， ∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC； ∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3， ∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3∠ABE2∠DCE2∠CE2B∠BEC； … 以此类推，∠En∠BEC， ∴当∠En=1度时，∠BEC等于2n度． 故答案为：2n． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 14. 如图，点A的坐标可以看成是方程组____的解． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：先利用待定系数法分别求出两直线的解析式，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案． 解：设过点（0，5）和点（2，3）的解析式为y=kx+b，则，解得，所以该一次函数解析式为y=﹣x+5； 设过点（0，﹣1）和点（2，3）的解析式为y=mx+n，则，解得，所以该一次函数解析式为y=2x﹣1， 所以点A的坐标可以看成是方程组解． 故答案为． 考点：一次函数与二元一次方程（组）． 15. 如图，在中，，是的平分线，是的垂直平分线，则_________． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可知DC=DB，进而得到∠ACB=∠DBE，再根据角平分线可知∠ABC=2∠DBE=2∠C，根据三角形为直角三角形即可得出的度数． 【详解】∵DE是BC的垂直平分线， ∴DC=BD， ∴∠C=∠DBE， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABC=2∠DBE=2∠C， ∵∠A=90°=180°－∠ABC－∠C， ∴∠ABC =60°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线定义，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 16. 如图，在中，，，，D、E是内两点，满足平分，平分，，且，则的面积为_______． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 做辅助线如图，利用勾股定理逆定理证明，利用面积法求出，证明，，设，，利用相似三角形的性质构建方程组求出，，再求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作直线交与，交与，过点作于，交于． ，，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 同理：， 设，， 则，， ， ， ， ， 解得，， ， ， ， ， ， 故答案为：80． 三、解答题（共72分） 17. （1）解方程组：； （2）已知与互为相反数，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组、非负数的性质，求代数式的值． （1）根据加减消元法求二元一次方程组的解即可； （2）先根据非负数的性质求出和的值，在代入求出的值． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， ∴方程组的解为：． （2）解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， 即，， 由，得， 将代入，得：， 解得：， 故， ∴． 18. 在一个不透明的袋子中装有5个红球和8个黑球，每个球除颜色外都相同． （1）从中任意摸出一个球，摸到______球的可能性大； （2）如果另外拿红球和黑球一共7个放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同，请说明理由． 【答案】（1）黑 （2）放5个红球，放2个黑球，才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大； （2）设放x个红球，则放个黑球，根据摸到红球和摸到黑球的概率相同，即都为列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在一个不透明的袋子中装有5个红球和8个黑球， ∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为，摸到红球的概率为， ∵， ∴摸到黑球的可能性大， 故答案为：黑； 【小问2详解】 解：放5个红球，放2个黑球，才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同，理由如下： 设放x个红球，则放个黑球， ∵摸到红球和摸到黑球的可能性相同， ∴， 解得， ∴， ∴放5个红球，放2个黑球，才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，熟知概率计算公式是解题的关键． 19. 请列一元一次方程解决下面的问题： 某超市计划购进甲、乙两种型号的钢笔共900支，这两种钢笔的进价、售价如下表： 进价（元/支） 售价（元/支） 甲型 25 30 乙型 45 60 （1）如果进货款恰好为28500元，那么可以购进甲、乙两种型号的钢笔各多少支？ （2）售完这批钢笔一共可以获利多少元钱？ 【答案】（1）购进甲种型号的钢笔支，则购进乙种型号的钢笔支 （2）售完这批钢笔一共可以获利元钱 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． （1）设购进甲种型号的钢笔支，则购进乙种型号的钢笔支，根据“进货款恰好为28500元”，列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）根据总利润甲种型号钢笔的利润乙种型号钢笔的利润，列式计算即可． 【小问1详解】 解：设购进甲种型号的钢笔支，则购进乙种型号的钢笔支， 由题意得：， 解得：， （支）， 购进甲种型号的钢笔支，则购进乙种型号的钢笔支； 【小问2详解】 解：由题意得：（元）， 售完这批钢笔一共可以获利元钱． 20. 如图，在和中，，延长，交于点M． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）连接，证明，可得，根据角平分线的性质即可证明； （2）证明，设，可得，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴点A在的平分线上； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴． 21. 如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点． （1）如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系． （2）如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______． （3）若，的平分线交于点Q，且，则______． 【答案】（1），证明见详解 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平行性的性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识． （1）作，证明，即可得到，，根据等量代换即可证明； （2）作，证明，即可得到，，从而证明； （3）分点P在线段左侧和点P在线段右侧两种情况，分别画出图形，结合（1）、（2）结论，根据角平分线的定义进行角的代换即可求解． 【小问1详解】 解：如图①，作， 图① ∵ ∴， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：如图②，作， 图② ∵ ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图③，当点P在线段左侧时， 图③ 由（2）得，， ∵， ∴， ∵、分别是，的平分线， ∴， ∴由（1）得； 如图④，当点P在线段右侧时， 图④ 由（1）得，， ∵， ∴， ∵、分别是，的平分线， ∴， ∴由（1）得； 故答案为：或． 22. 如图，在等腰中，，点在上，且． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数； （3）猜想与的数量关系．（不必证明） 【答案】（1） （2）15° （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质求出的度数，根据三角形的外角性质求出，求出，根据等腰三角形性质求出即可； （2）根据等腰三角形性质求出的度数，根据三角形的外角性质求出，求出，根据等腰三角形性质求出即可； （3）根据（1）（2）的结论猜出即可． 本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质． 【小问1详解】 解：由题可知，． ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ∵， ∴， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：猜想：，证明如下： 设， ∵， ∴， ， ，， ， ， 即． 23. 如图，已知一次函数经过点，与一次函数交于点 （1）求一次函数的表达式． （2）请直接写出方程组的解． （3）求三角形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，图象法解二元一次方程组，直线围成三角形的面积； （1）由经过可求出的坐标，将、的坐标代入解析式，即可求解； （2）原方程组可整理为，用图象法即可求解； （3）由得，由得，由即可求解； 掌握待定系数法，用图象法解二元一次方程组是解题的关键． 【小问1详解】 解：经过， ， 解得：， ， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：一次函数与一次函数交于点， ， ， 一次函数与一次函数交于点， 原方程组的解为； 【小问3详解】 解：由得 当时，， 解得：， ， 由得， 当时，， 解得：， ， ， ． 24. （1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部点的位置时，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图②，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部点的位置时，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图③，把四边形ABCD沿EF折叠，当点A、D分别落在四边形BCFE内部点、的位置时，你能求出∠、∠、∠1与∠2之间的数量关系吗？并说明理由． 【答案】 （1）2∠A＝∠1+∠2； 理由：如图， 根据翻折的性质，∠3==（180-∠1），∠4==（180-∠2）， ∵∠A+∠3+∠4=180°， ∴∠A+（180-∠1）+（180-∠2）=180°， 整理得，2∠A=∠1+∠2； （2）2∠A＝∠1﹣∠2；理由：如图， 同理，根据翻折的性质，∠3=（180-∠1），∠4=（180+∠2）， ∵∠A+∠3+∠4=180°， ∴∠A+（180-∠1）+（180+∠2）=180°， 整理得，2∠A=∠1-∠2； （3）2（∠A+∠D）＝∠1+∠2+360°，理由：如图， 同理，根据翻折的性质，∠3=（180-∠1），∠4=（180-∠2）， ∵∠A+∠D+∠3+∠4=360°， ∴∠A+∠D+（180-∠1）+（180-∠2）=360°， 整理得，2（∠A+∠D）=∠1+∠2+360°． 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质表示出∠3、∠4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出∠3、∠4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （3）先根据翻折的性质表示出∠3、∠4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $