精品解析：2024年湖北省武汉市武珞路中学四调模拟数学试卷

2024年湖北省武汉市武珞路中学中考四调数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 2. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 百步穿杨 D. 瓮中捉鳖 3. 徽章交换是现代奥林匹克运动会特有的文化活动．在2022年北京冬奥会上，徽章交换依然深受欢迎．下列徽章图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果是的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图所示，这是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，从左面看到的几何体的形状图是（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在，使得 8. 如图，某容器的底面水平放置，容器上下皆为圆柱形，且大圆柱的底面半径是小圆柱的底面半径的2倍，高度也是小圆柱的2倍，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系的图象如图所示，则灌满小圆柱时所需时间为（ ） A. B. C. D. 10 9. 如图，是的内切圆，，过点I作分别交，于N，M，若，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 10. 方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根x所在的范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算的结果是__________． 12. 为了增强学生预防甲流的安全意识，某校开展甲流防控知识竞赛.来自不同年级的26名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的中位数是______. 13. 分式方程的解是_________． 14. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）． 15. 抛物线（）的对称轴为，经过点（1，n），顶点为P，下列四个结论： ①若，则； ②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点； ③方程一定有两个不相等的实数解； ④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线PC始终过定点（3，n）． 其中正确的是_________（填写序号）． 16. 如图，四边形中，，E为线段的中点，连接交线段于F，若，则的长为________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组，请结合解题过程，完成本题的解答． （1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________； （3）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为___________． 18. 如图，，，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 19. 近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了多少名购买者？ （2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为　 　度． （3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？ 20. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，连接AD，BD． （1）求证：； （2）若，，求的值． 21. 如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示. （1）在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段；连接交于F，则______ （2）在图2中，在线段上画点Q，连接，使得 （3）在图3中，分别在线段，线段上画M，N连接，，使得最小. 22. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 23. （1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　 　； ②∠AMB的度数为　 　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 24. 如图1，抛物线与x轴交于A，B（点A在点B左侧），与y轴负半轴交于C，且满足OA＝OB＝OC＝2． 　　　 　　　 　 （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，D为y轴负半轴上一点，过D作直线l垂直于直线BC，直线l交抛物线于E，F两点（点E在点F右侧），若DF＝3DE，求D点坐标； （3）如图3，点M为抛物线第二象限部分上一点，点M，N关于y轴对称，连接MB，P为线段MB上一点（不与M、B重合），过P点、直线x＝t（t为常数）交x轴于S，交直线NB于Q，求QS－PS的值（用含t的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年湖北省武汉市武珞路中学中考四调数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：3的相反数是﹣3． 故选：A． 【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念． 2. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 百步穿杨 D. 瓮中捉鳖 【答案】A 【解析】 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 【详解】A. “水中捞月”是不可能事件，符合题意； B. “守株待兔”是随机事件，不合题意； C. “百步穿杨”，是随机事件，不合题意； D. “瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 徽章交换是现代奥林匹克运动会特有的文化活动．在2022年北京冬奥会上，徽章交换依然深受欢迎．下列徽章图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 4. 下列运算结果是的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法逐项排查即可． 【详解】解：A.，故A不符合题意； B.，故B符合题意； C.，故C不符合题意； D.，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关算法是解答本题的关键． 5. 如图所示，这是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，从左面看到的几何体的形状图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左视图的定义即可得． 【详解】解：左视图是指从左面看物体所得到的视图， 这个几何体的左视图为 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了左视图，熟记定义是解题关键． 6. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列表求出所有的等可能性的结果数，再找到能让两个小灯泡同时发光的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： （，） （，） （，） （，） （，） （、） 由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中能让两个小灯泡同时发光的结果数为2， ∴能让两个小灯泡同时发光的概率是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，正确列出表格是解题的关键． 7. 点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在，使得 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断． 【详解】解：反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小，那么： A、若，且（x1，y1）、(x2，y2)在同一个象限，则，故选项错误，不符合题意； B、若，且（x1，y1）、(x2，y2)分别在三、一象限内，则，故选项错误，不符合题意； C、若，则，故选项正确，符合题意； D、若，则，即y1=y2，另外，还可根据函数的定义：对于自变量x的值，y都有唯一确定的值和它相对应，所以当时，不可能．故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了比较反比例函数值的大小,，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质． 8. 如图，某容器的底面水平放置，容器上下皆为圆柱形，且大圆柱的底面半径是小圆柱的底面半径的2倍，高度也是小圆柱的2倍，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系的图象如图所示，则灌满小圆柱时所需时间为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆柱的体积公式求出大圆柱与小圆柱的容积比，进而可得灌满大圆柱所用时间与灌满小圆柱所用时间之比，由此可解． 【详解】解：设小圆柱的半径为r，高度为h， 则大圆柱的半径为，高度为， ， 灌满大圆柱所用时间为灌满小圆柱所用时间的8倍， 由图可知，灌满小圆柱和大圆柱所用时间为50， 灌满小圆柱时所需时间为， 故选C． 【点睛】本题考查圆柱的体积、从函数图象获取信息，解题的关键是掌握圆柱的体积公式． 9. 如图，是的内切圆，，过点I作分别交，于N，M，若，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，设切点分别为E，F，G，连接，，，过点M作于P，过点N作于Q，证明，可得，同理可得，再证明，设，，则，利用勾股定理可求出x，即可求解． 【详解】解：设切点分别为E，F，G，连接，，，过点M作于P，过点N作于Q， ∵是的内切圆， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 在中，由勾股定理，得 ， 解得：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内切圆的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，关键是作辅助线，利用三角形全等和相似解决问题． 10. 方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根x所在的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照提示方法，方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，根据两个函数的图象的交点位置范围，确定原方程的根x的所在范围． 【详解】解：发现的根不为0， 方程两边同除以x，得到， 方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象， 由图象看出，两个函数的图象交点在点和点之间， ∴方程的实数根x所在范围是． 故选B 【点睛】本题考查了图象法解方程，解决问题的关键是按照题设方法把方程拆成两个函数，用两函数图象交点位置范围估计方程实数根的所在范围． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 12. 为了增强学生预防甲流的安全意识，某校开展甲流防控知识竞赛.来自不同年级的26名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的中位数是______. 【答案】97 【解析】 【分析】将26名同学的成绩从高到低排列，找出第13，14名同学的成绩，求平均值即可． 【详解】解：由图可知，将26名同学的成绩从高到低排列，则第13名同学的成绩为98分，第14名同学的成绩为96分， ， 因此这些成绩的中位数是97． 故答案为：97． 【点睛】本题考查求一组数据的中位数，掌握中位数的定义是解题的关键． 13. 分式方程的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解： 解：化为整式方程为：3﹣x﹣1＝x﹣4， 解得：x＝3， 经检验x＝3是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键． 14. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，设， 根据题意可得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， 即， ∴ 解得， 经检验是原分式方程的解且符合题意， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 15. 抛物线（）的对称轴为，经过点（1，n），顶点为P，下列四个结论： ①若，则； ②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点； ③方程一定有两个不相等的实数解； ④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线PC始终过定点（3，n）． 其中正确的是_________（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用抛物线的对称轴为顶点b=2a，将（1，n）代入解析式得到a+b+c=n，即3a+c=n，n-c=3a，，由此判断①正确；利用∆判断②正确；求出∆，根据a=c，ac判断③错误；求出点P，点C坐标，得到直线PC的解析式，计算当x=3时y=n-c+c=n，判断④正确． 【详解】解：∵抛物线（）的对称轴为， ∴，即b=2a， ∵抛物线过点（1，n）， ∴a+b+c=n，即3a+c=n， ∴n-c=3a，， 若a<0，则n-c<0，即n<c，故①正确； ∆== =4a（a-c） = =， ∵c、n异号， ∴∆>0，则抛物线与x轴有2个交点，故②正确； 方程， ∆=， 当a=c时，∆=0，方程只有一个实数根； 当ac时∆>0，方程有2个实数根，故③错误； ∵P为抛物线顶点， ∴P坐标为（-1，-a+c）， ∵点C坐标为（0，c）， 直线PC的解析式为y=ax+c， 又，则y=x+c， 点（3，n）， 当x=3时y=n-c+c=n， ∴直线PC始终过（3，n），故④正确． 故答案为①②④． 【点睛】此题考查了抛物线的对称轴公式，抛物线与x轴交点情况，利用一元二次方程根的判别式确定方程的根的情况，二次函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 16. 如图，四边形中，，E为线段的中点，连接交线段于F，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交延长线于点P，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质可得，，再由直角三角形的性质可得，从而得到，然后根据，可设，则，再根据=，求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点P， ∵，， ∴，， 在中，E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，则， ∵， ∴=，即， 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组，请结合解题过程，完成本题的解答． （1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________； （3）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为___________． 【答案】（1） （2） （3） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：解不等式①，得； 故答案为：； 【小问2详解】 解：解不等式②，得； 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为． 故答案为：． 18. 如图，，，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，得出，根据，得出即可； （2）根据平分，，得出，根据平行线的性质，得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行同位角相等． 19. 近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了多少名购买者？ （2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为　 　度． （3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？ 【答案】（1）本次一共调查了200名购买者； （2）补全的条形统计图如图所示， A种支付方式所对应的圆心角为108； （3）使用A和B两种支付方式的购买者共有928名． 【解析】 【分析】（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数； （2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数； （3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名． 【详解】解：（1）56÷28%=200，即本次一共调查了200名购买者； （2）D方式支付的有：200×20%=40（人）， A方式支付的有：200-56-44-40=60（人）， 在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×=108°， （3）1600×=928（名）， 答：使用A和B两种支付方式的购买者共有928名． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，连接AD，BD． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵CD平分∠ACB， ∴． ∵∠ACD=∠ABD，∠BCD=∠BAD， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义确定∠ACD=∠BCD，根据圆周角定理的推论和等价代换思想确定∠ABD=∠BAD，再根据等角对等边即可证明． （2）连接OD，过点C作于H．根据圆周角定理的推论确定∠ACB=90°，根据勾股定理求出BC的长度，根据三角形面积公式求出CH的长度，根据等腰三角形三线合一的性质和垂直的定义确定∠EHC=∠EOD，根据相似三角形的判定定理和性质即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示，连接OD，过点C作于H． ∵AB是⊙O的直径，AB=10， ∴，OA=OB=DO=5． ∵AC=6， ∴． ∴． ∴． ∵AD=BD，CH⊥AB， ∴OD垂直平分AB，∠EHC=90°． ∴∠EOD=90°． ∴∠EHC=∠EOD． ∵∠CEH=∠DEO， ∴． ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，圆周角定理的推论，等角对等边，勾股定理，三角形面积公式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键． 21. 如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示. （1）在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段；连接交于F，则______ （2）在图2中，在线段上画点Q，连接，使得 （3）在图3中，分别在线段，线段上画M，N连接，，使得最小. 【答案】（1） （2） 如图，点Q即为所作， （3） 如图所示． 【解析】 【分析】（1）如图，利用格点可得，由此可得点E，再证，可得，即，再由勾股定理可得，进而可得； （2）连接交于点Q，连接，点Q即为所作； （3）连接交于点M，取格点，连接交网格线于点，连接并延长交于点N，点M，N即为所作． 【小问1详解】 解：如图，线段即为线段绕点逆时针旋转得到线段． 由图可知，，，， ， ，， ， ， ， 线段即为所求； ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：连接交于点Q，连接， ，， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接交于点M，取格点，连接交网格线于点，连接并延长交于点N， 设小正方形的边长为1， ，， 是等腰直角三角形，， ， 又， 和关于对称， 点和点关于对称， ，和关于对称， 由（2）可知， ， ， ， ， ， 即此时最小， 点M，N即为所作． 【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，充分利用格点特征是解题的关键． 22. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m； （2）可以通过， （3）两排灯的水平距离最小是． 【解析】 【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标； （2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过； （3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值． 【详解】解：（1）由题知点在抛物线上 所以， 解得， ∴， ∴当时， ∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米； （2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）） 当x=2或x=10时，， 所以可以通过； （3）令，即，可得，解得 答：两排灯的水平距离最小是 23. （1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　 　； ②∠AMB的度数为　 　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 【答案】（1）①1；②40°；（2），90°；（3）AC的长为3或2． 【解析】 【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1； ②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°； （2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则，由全等三角形的性质得∠AMB的度数； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长． 【详解】（1）问题发现： ①如图1， ∵∠AOB=∠COD=40°， ∴∠COA=∠DOB， ∵OC=OD，OA=OB， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC=BD， ∴ ②∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO=∠DBO， ∵∠AOB=40°， ∴∠OAB+∠ABO=140°， 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°， （2）类比探究： 如图2，，∠AMB=90°，理由是： Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴， 同理得：， ∴， ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴ ，∠CAO=∠DBO， 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°； （3）拓展延伸： ①点C与点M重合时，如图3， 同理得：△AOC∽△BOD， ∴∠AMB=90°，， 设BD=x，则AC=x， Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1， ∴CD=2，BC=x-2， Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=， ∴AB=2OB=2， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， (x)2+(x−2)2＝(2)2， x2-x-6=0， （x-3）（x+2）=0， x1=3，x2=-2， ∴AC=3； ②点C与点M重合时，如图4， 同理得：∠AMB=90°，， 设BD=x，则AC=x， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， (x)2+（x+2）2=(2)2. x2+x-6=0， （x+3）（x-2）=0， x1=-3，x2=2， ∴AC=2；. 综上所述，AC的长为3或2． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目． 24. 如图1，抛物线与x轴交于A，B（点A在点B左侧），与y轴负半轴交于C，且满足OA＝OB＝OC＝2． 　　　 　　　 　 （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，D为y轴负半轴上一点，过D作直线l垂直于直线BC，直线l交抛物线于E，F两点（点E在点F右侧），若DF＝3DE，求D点坐标； （3）如图3，点M为抛物线第二象限部分上一点，点M，N关于y轴对称，连接MB，P为线段MB上一点（不与M、B重合），过P点、直线x＝t（t为常数）交x轴于S，交直线NB于Q，求QS－PS的值（用含t的代数式表示）． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据OA＝OB＝OC＝2，得出A（-2，0），B（2，0），C（0，-2），把把A、B、C三个点坐标代入，求出a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式； （2）过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥y轴于点N，设D点坐标为（0，n）（n＜0），求出直线l的解析式为：，联立，求出点E和点F的横坐标，分点E在y轴的右侧或点E在y轴的左侧两种情况，根据，列出关于n的方程，解方程，即可得出点D的坐标； （3）设点M的坐标为，则点N的坐标为，求出直线BN的解析式为：，得出，求出直线BM的解析式为：得出，即可得出，，求出． 【小问1详解】 解：∵OA＝OB＝OC＝2， ∴A（-2，0），B（2，0），C（0，-2）， 把A、B、C三个点的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ∵OB=OC，∠BOC=90°， ∴， ∵EF⊥BC， ∴∠BKF=90°， ∴， ∴， ∴， ∴OG=OD， 设D点坐标为（0，n）（n＜0），则G点坐标为（n，0），设直线l的关系式为：，把D、G点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线l的解析式为：， 联立， 即， 解得：，， ∵点E在F的右边， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 当点E在y轴的右侧时，过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥y轴于点N，如图所示： 轴，轴， ∴， ， 即：， 解得：， ∴点D的坐标为； 当点E在y轴的左侧时，过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥y轴于点N，如图所示： 轴，轴， ∴， ， 即：， 解得：， ∴点D的坐标为； 综上分析可知：点D的坐标为或． 【小问3详解】 设点M的坐标为，则点N的坐标为，直线BN的解析式为：，把点B和点N的坐标代入得：， 解得：， ∴直线BN的解析式为：， 把代入得：， 设直线BM的解析式为：，把点B和点M的坐标代入得：， 解得：， ∴直线BM的解析式为：， 把代入得：， ， ， ∴ 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线，设出相应点的坐标，表示出直线l的解析式、直线BM、BN的解析式，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $