专项训练7 统计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册期末复习

高一下学期数学期末【考前专项训练】【07】统计 题型探究 【题型01】分层抽样 【题型02】总体百分位数的估计 【题型03】总体集中趋势的估计 【题型04】总体离散程度的估计 知识点总结 各个击破 【题型01】分层抽样 1. 分层随机抽样 　　一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 2. 分层随机抽样中的样本平均数和总体平均数 　　在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M 和N，抽取的样本量分别为m和n，第1 层和第2层的样本平均数分别为，第1层和第2层的总体平均数分别为，则总体平均数=+，样本平均数=+ 　　用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数. 在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数. 3. 分层抽样中的比值问题 　　求解时，常用的技巧为： =，总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比. 【专项训练】 一、单选题 1．已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（    ） A．16 B．30 C．24 D．18 2．为了保证采用分层随机抽样方法时每个个体被等可能地抽取，必须要求（    ） A．每层等可能抽取 B．每层抽取的个体数相等 C．每层抽取的比例为（其中n为抽取的样本容量，N是总体容量） D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制 3．随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是（   ） A．110 B．115 C．120 D．125 【题型02】总体百分位数的估计 1. 第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 2. 常用的百分位数 (1)四分位数：第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数；第50百分位数也称为中位数；第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. (2)其他常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分数. 3. 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 　　第1步，按从小到大排列原始数据. 　　第2步，计算i =n×p%. 　　第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 【专项训练】 4．有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（    ） A．11 B．13 C．16 D．17 5．一组数据：11，30，31，25，20，32，41，32，18，45的第30百分位数为（   ） A．20 B．22.5 C．25 D．30 6．数据24，61，46，37，52，16，28，15，53，24，45，39的第75百分位数是（    ） A．34.5 B．46 C．49 D．52 7．样本数据12，46，38，11，51，24，33，35，55的第80百分位数是（    ） A．33 B．35 C．46 D．51 【题型03】总体集中趋势的估计 一、数据集中趋势的估计 1. 众数、中位数、平均数的定义 (1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数. (2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在最中间位置的数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数：如果有n个数x1，x2,…,xn，那么= (x1+x2+…+xn)叫做这n个数的平均数. 2. 总体集中趋势的估计 (1)平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. (2)一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数. 【专项训练】 8．一组数据3.6，3.7，3.5，3.6，3.9，3.8，x，3.5中，众数只有3.5，则x的取值为（    ） A．3.5 B．3.4 C．3.2 D．3.1 9．在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样和按比例分层抽样调查，小明调查的样本量为200，平均数为，小华调查的样本量为100，平均数为．则下列说法正确的是（    ） A．小明抽样的样本容量更大，所以更接近总体平均数 B．小华使用的抽样方法更好，所以更接近总体平均数 C．将两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数165.7更接近总体平均数 D．样本平均数具有随机性，以上说法均不对 10．样本数据的中位数和平均数分别为（    ） A．34，35 B．34，34 C．34.5，35 D．34.5，34 11．已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为.若数据，的平均数为，其中，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．的大小关系不确定 12．某超市集团共有4家超市，2023年4家超市的年利润最小值和最大值分别为200万元和240万元，若4家超市2023年年利润的平均数与中位数相等，则2023年该超市集团的总利润为（    ） A．980万元 B．920万元 C．880万元 D．840万元 【题型04】总体离散程度的估计 二、数据离散程度的估计 1. 极差 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度. 但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 2. 方差和标准差 (1)方差、标准差的定义： 已知一组数据x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为 s2=(xi-)2=-2，标准差为s=. (2)总体方差和标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称 S2=(Yi-)2为总体方差，S=为总体标准差. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i=1，2,…,k)，则总体方差为S2=fi(Yi-)2  (3)样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称 s2=(yi-)2为样本方差，s=为样本标准差. (4)标准差的意义 　　标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. 　　平均数和标准差一起能反映数据取值的信息. 一般情况下，大部分数据落在区间[-s， +s]内，绝大部分数据落在区间[-2s， +2s]内. 【专项训练】 13．某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 14．某校举行“云翔杯”学生篮球比赛，统计部分班级的得分数据如下. 班级 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 28 34 34 30 26 28 28 32 则（    ） A．得分的中位数为28 B．得分的极差为8 C．得分的众数为34 D．得分的平均数为31 15．固定资产投资是以货币形式表现的、企业在一定时期内完成的建造和购置固定资产的工作量以及与此有关的费用．我国2022年9月—2023年9月固定资产投资（不含农户）环比增速折线图如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A．这13个月中，我国固定资产投资（不含农户）环比增速的极差为 B．这13个月中，我国固定资产投资（不含农户）环比增速的平均数为正数 C．这13个月中，我国固定资产投资（不含农户）环比增速的75%分位数为 D．2022年9月—12月我国固定资产投资（不含农户）环比增速的波动幅度比2023年4月—7月的波动幅度大 16．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 17．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 18．某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲，乙两个班的学生，收集并整理他们一周阅读时间（单位：），绘制了下面频率分布直方图.根据直方图，得到甲，乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为，标准差分别为，则于（    ） A．， B．， C．， D．， 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】利用分层随机抽样及已知，求出三个班级分配到的优秀学生人数即得. 【详解】甲、乙、丙三个班级人数比为，由分层随机抽样，三个班级优秀学生名额分别为8，6，10， 所以高三年级三个班优秀学生总人数为人. 故选：C 2．C 【分析】利用分层抽样的概念和性质分析判断每一个选项得解. 【详解】分层随机抽样时，在各层中按层中所含个体在总体中所占的比例进行抽样， A中，虽然每层等可能地抽样，但是没有指明各层中应抽取几个个体，故A不正确； B中，由于每层的个体数不一定相等，每层抽取同样多的个体数， 显然从总体来看，各层的个体被抽取的可能性就不相等了，因此B也不正确； C中，按照这个比例抽取，对于每个个体来说，被抽取为样本的可能性是相同的，故C正确； D显然不正确. 故选：C. 3．C 【分析】设在老年人中发放的调查问卷份数为x，根据分层抽样的性质列方程求解. 【详解】设在老年人中发放的调查问卷份数为x， 则， 解得． 所以在老年人中发放的调查问卷份数是. 故选：C． 4．D 【分析】将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数. 【详解】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24， 因为，所以这组数据的上四分位数为. 故选：D 5．B 【分析】将这组数据按照从小到大顺序排列，由为整数，故取该排列中第三个数与第四个数的平均数即得. 【详解】将这组数据从小到大排列为11，18，20，25，30，31，32，32，41，45， 因为，所以第30百分位数为以上排列中的第三个数与第四个数的平均数，即． 故选：B． 6．C 【分析】根据百分位数定义求解即可. 【详解】先按照从小到大排序：15，16，24，24，28，37，39，45，46，52，53，61，共12个数据， 12×75%=9，第9，10个数据分别为46，52，则第75百分位数为. 故选：C. 7．D 【分析】根据百分位数的计算即可求解. 【详解】将12，46，38，11，51，24，33，35，55从小到大排列为11，12，24，33，35，38，46，51，55， ，故第80百分位数为第八个数51， 故选：D 8．A 【分析】根据众数定义，3.5的个数最多，由此可确定的值． 【详解】当时，众数就应该是3.5． 故选：A． 9．D 【分析】根据简单的随机抽样和分层抽样得定义以及平均数得定义我们会发现样本平均数具有随机性，不确定性，故而选项可判定. 【详解】抽样的样本容量大但有时不具有代表性，不能得到样本平均值更接近总体平均数，故选项A错误： 使用分层的抽样方法样本更具有代表性，但样本容量太小也不能得到样本平均值更接近总体平均数，故选项B错误： 两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数同样兼具两者的不确定性，故选项C错误; 通过对上面三个选项的分析可知样本平均数具有随机性，故选项D正确； 故选：D. 10．D 【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可. 【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得， 故中位数为， 平均数为． 故选：D. 11．B 【分析】根据平均数的定义表示，结合已知列等式，作差比较即可. 【详解】由题意可知，， ，于是， 又，所以， 所以，两式相减得， 所以. 故选：B 12．C 【分析】利用平均数和中位数的意义列式求解. 【详解】设4家超市2023年的年利润从小到大依次为， 则，解得， 所以2023年该超市集团的总利润为880万元． 故选:C． 13．B 【分析】设参加射门比赛的男教师人数为，根据总体的平均数求出，设女教师进球数的方差为，根据方差公式计算可得. 【详解】设参加射门比赛的男教师人数为，则全部参赛教师进球数的平均数， 解得，即参赛的男女教师各有人， 设女教师进球数的方差为， 依题意可得，解得. 故选：B 14．B 【分析】将得分数据从小到大排列，再计算出中位数、极差、平均数、众数，即可判断. 【详解】将得分数据从小到大排列为：26，28，28，28，30，32，34，34， 所以中位数为，故A错误； 极差为，故B正确； 众数为，故C错误 平均数为，故D错误. 故选：B. 15．C 【分析】根据折线图中的数据，即可判断BD,根据极差和百分位数的计算即可求解AC. 【详解】将环比增速的13个数据按百分比从小到大排列为， 对于A，极差为，A正确， 对于B，13个数据中有4个为负，其余均为正数，所以平均数为正数，B正确， 对于C，，所以分位数为第10个数，C错误， 对于D，根据折线图可知2022年9月—12月我国固定资产投资（不含农户）环比增速的波动幅度比2023年4月—7月的波动幅度大，D正确， 故选：C 16．A 【分析】观察给定的图表，利用众数的意义运动员命中环数的集中与分散程度判断即可. 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 故选：A 17．C 【分析】根据平均数公式及方差公式分别计算、、，即可判断； 【详解】解：由图甲：平均值为， ， ， ， ， ， 所以； 故选：C． 18．D 【分析】根据频率分布直方图求出平均数与方差，即可判断. 【详解】根据频率分布直方图可知， ， ， 所以，. 故选：D 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$