专项训练4　几何体中的计算问题-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册期末复习

高一下学期数学期末【考前专项训练】【04】几何体中的计算问题 题型探究 【题型01】几何体表面积的计算 【题型02】几何体体积的计算 【题型03】组合体外接球和内接球问题 【题型04】截面问题 【题型05】最短路径问题 知识点总结 各个击破 【题型01】几何体表面积的计算 1).柱体： 2).椎体：; 3).台体： 4).球体： 【专项训练】 一、单选题 1．已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（     ） A． B． C． D． 2．已知某圆锥的底面半径长为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥内部最大球的半径为（    ） A． B． C．1 D． 3．正四棱柱中，三棱锥的体积为与底面所成角的正切值为，则此正四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．18 4．已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【题型02】几何体体积的计算 1).柱体： 2).椎体：; 3).台体： 4).球体： 【专项训练】 5．正方体的棱长为2，分别为的中点，为底面的中心，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 6．已知某圆台体积为，其上下底面圆半径分别为2和5，则其母线长为（   ） A． B．4 C．5 D． 7．某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为（    ） A．2 B． C． D． 【题型03】组合体外接球和内接球问题 *解决与球有关的切、接问题，其通法是：作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程： 1、定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； 2、作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； 3、求半径：根据作出截面中的几何元素，利用球的截面的性质，运用公式（为底面多边形的外接圆的半径，为几何体的外接球的半径，表示球心到底面的距离）求得球的半径，建立关于球半径的方程，进行求解，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究. 【专项训练】 9．在棱长为2正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 10．已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 11．已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 12．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 13．已知圆台的上、下底面中心分别为，且，上、下底面半径分别为2，12，在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 15．已知正四棱台的高为，其所有顶点均在同一个表面积为的球面上，且该球的球心在底面上，则棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 16．已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的高为（    ） A．1 B． C． D． 【题型04】截面问题 【专项训练】 二、填空题 17．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ． 18．已知圆台的上、下底面圆的半径分别为，，过圆台的母线上靠近下底面的三等分点作截面，将圆台分为上、下两部分．若上、下两个圆台的侧面积相等，则 ． 19．如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，过三点的截面将正方体分为两部分，则这两部分几何体的体积比（小于1）为 . 20．正四面体的棱长为4，为棱的中点，过作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是 . 21．如图，在正方中，分别是的中点，存在过点的平面与平面平行，平面截该正方体得到的截面面积为    【题型05】最短路径问题 【专项训练】 *探究与几何体表面展开图相关的问题 1. 将空间图形转化为平面图形，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法. 立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，运用“两点之间线段最短”来解决. 2. 化“曲”为“直”的一般步骤： ①将几何体沿着某些棱剪开后展开，画出其侧面展开图； ②将所求曲线问题转化为平面上的线段问题； ③结合已知条件求得结果. 22．如图，圆锥的底面半径为1，母线，点为的中点，一蚂蚁自点出发，沿圆锥的侧面爬行至点，则最短路径等于 ． 23．已知三棱锥中，平面，，，.在此棱锥表面上，从点经过棱上一点到达点的路径中，最短路径的长度为，则该棱锥外接球的表面积为 . 24．如图，在直三棱柱中，，，，E、F分别是、的中点，沿棱柱的表面从E到F的最短路径长度为 ．    25．已知圆台上下底面半径分别为，，母线长为，圆台的轴截面如图所示，为的中点，则从点沿圆台的侧面到点的最短路径长是 ．    26．已知圆柱体的底面半径为，高为，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为 ． 27．如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为分别是线段上的一点，则的最小值为 ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 1．C 【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圆锥底面圆的半径和高，再由三角形面积相等求出圆锥内切球半径，然后由球的表面积公式和圆锥的侧面积公式求出结果即可. 【详解】因为三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6， 所以为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长， 由正弦定理可得底面圆的半径， 所以圆锥的高， 如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径， 轴截面三角形面积为， 所以内切球半径， 内切球的表面积为， 圆锥的侧面积为， 所以其和为， 故选：C. 2．C 【分析】根据圆锥表面积公式求出母线长，再由圆锥轴截面图象中相似三角形,可得圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径. 【详解】设母线长为，依题意，解得， 所以圆锥的高为， 作出圆锥轴截面图象， 设圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径为， 由于，则， 可得，解得.    故选：C． 3．A 【分析】设此正四棱柱的底面边长为，高为，根据三棱锥的体积公式和线面角建立关于a、h的方程组，解之即可求解. 【详解】设此正四棱柱的底面边长为，高为， 则三棱锥的体积为，得， 又与底面所成的角为， 所以，得，得， 所以此正四棱柱的表面积为． 故选：A． 4．C 【分析】作出圆台的轴截面，利用其周长和两底面圆半径的关系列方程，求出，代入公式，即可求得圆台的表面积. 【详解】    如图，作出圆台的轴截面,设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是， 故轴截面周长为，解得， 所以上、下底面圆的面积分别为，，圆台侧面积， 所以圆台的表面积为. 故选:C. 5．B 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量法求解点面距离，即可根据体积公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 设平面法向量为， 则，取，则， 故到平面的距离为， 而, 故, 故， 故选：B 6．C 【分析】由体积公式列方程先求出圆柱的高，然后求出，结合勾股定理即可求解. 【详解】作出圆台的轴截面如图所示： 是上下底面圆心，是母线，，即可视为圆柱体的高， 由题意，解得， 而，所以由勾股定理有. 故所求母线长为5. 故选：C. 7．A 【分析】先求出圆台的高，再由圆台的体积公式求出即可. 【详解】设圆台的母线长为l，高为h， 因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，母线， 因此圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故选：A 8．A 【分析】设与交于点，证得平面，得到，且，在对角面中，结合，即可求解. 【详解】设与交于点，在正方形中，， 又由正方体中，平面， 因为平面，可得， 又因为且平面，所以平面， 所以四面体的体积为，且， 在对角面中，可得， 所以四面体的体积为． 故选：A. 9．B 【分析】先根据正四面体的性质求出正四面体的高；再利用等体积法求出内切球的半径；最后根据球的表面积公式即可解答. 【详解】 正四面体底面的中心记为点，连接，. 由正四面体的性质可得：面. 因为正四面体棱长为2， 所以底面三角形的高为， 则， 所以正四面体的高. 设正四面体内切球的半径为，球心为. 由等体积法可得：， 即，解得：. 所以正四面体的内切球表面积为. 故选：B. 10．C 【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】如图，取的中点，取的中点，连接、，在线段上取一点，使， 过点作平面的垂线，使，连接， 易知四边形是等腰梯形，、、均为等边三角形， 所以， 因为平面， 所以， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，即 又因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又因为是的外心，所以， 所以， 所以即为四棱锥外接球的球心， 因为，， 所以 所以， 故选：C. 11．D 【分析】根据题意作出图形，由题设条件可得外接圆圆心即三棱锥外接球球心，利用正弦定理即可求出其半径即得. 【详解】 如图，因平面平面，，的外心为边的中点， 则三棱锥的外接球球心即为外接圆圆心，设外接球半径为. 在中，，,故由余弦定理可得， ， 即，由正弦定理，，则， 即三棱锥外接球的半径为，故其外接球的表面积为． 故选：D． 12．D 【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可. 【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，    因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切， ，则，则， 过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则， 则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，    即该正四棱台内半径最大的球半径，球的表面积为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相切的，再求出其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径. 13．B 【分析】由题意作出轴截面，利用直角三角形知识求得，即可求解球的表面积. 【详解】如图所示， 根据题意可知. 设圆台内能放置的最大球的球心为，且与底面和母线AB分别切于两点， 因为，所以，所以， 所以可知球的半径， 此时球的直径为， 即此时球与圆台上底面不相切，因此圆台内能放置的最大球的表面积. 故选：B 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 14．B 【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解. 【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图： 的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6， 则，解得， 故所求体积之比为 故选：B    15．C 【分析】利用棱台及其外接球的特征结合台体体积公式计算即可. 【详解】设球心为，球的半径为，棱台高为， 则，所以， 由于在底面上，底面为正方形， 易得正方形的边长为，面积为16； 设底面的外接圆半径为，则， 易得正方形的边长为，面积为4； 所以正四棱台的体积为. 故选:C． 16．B 【分析】根据球心到底面的距离、底面三角形的外接圆半径和球的半径满足勾股定理，求得，然后可得棱锥的高. 【详解】如图，为等边三角形， 设为中点，面，，则， 所以， 设三棱锥外接球的半径为，由正棱锥的性质可知球心为在上， 则，即，所以. 由，解得. 所以三棱锥的高为. 故选：B.    17．/ 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的表面积是. 故答案为： 18．/ 【分析】根据题意结合梯形中位线有，再根据圆台的侧面积公式列出方程即可求解. 【详解】设上部分圆台的侧面积为，母线长为，下部分圆台的侧面积为，母线长为， 过圆台的母线上的三等分点作截面，设截面半径分别为，，圆台的轴截面如图， 则，解得，则， ，因为， 所以，所以，所以． 故答案为： 19． 【分析】根据题意，作出完整的截面，由，求得，再由，得到，得到过点的截面上方的体积，进而求得另一部分的体积，即可求解. 【详解】如图所示，延长与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接， 分别交于点，由此作出完整的截面， 因为正方体的棱长为，分别为的中点，所以， 由，则， 又因为，可得，则， 则过点的截面上方的体积， 则另一部分体积为，所以. 故答案为：. 20． 【分析】 将正四面体放置于正方体中，可求出正方体边长以及正四面体外接球半径，当截面面积最小时截面到球心的距离最大，勾股定理计算出截面圆半径，即可求出结果. 【详解】 将正四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接球， ∵正四面体的棱长为4，∴正方体的棱长为， 可得外接球半径R满足，解得，球心为正方体的中心， 为棱的中点，过作其外接球的截面，当截面到球心的距离最大时，截面圆的面积达最小值， 此时球心到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为， 得到截面圆的面积最小值为. 故答案为：. 21． 【分析】首先作出过点与平面平行的平面，进而可得截面形状为正六边形，再求面积即可得答案. 【详解】分别取的中点，连接， 可证平面平面，则存在过点的平面与平面平行， 正六边形是平面截该正方体得到的截面， 截面的面积是， 故选：C.    22． 【分析】在圆锥侧面展开图中，求出线段即可. 【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，沿母线剪开将圆锥侧面展开，如图， 圆弧长为，而，则， 由余弦定理得， 所以最短路径等于. 故答案为： 23． 【分析】根据几何体的线面关系可将其放进一个长方体，外接球直径就是体对角线长，此时需要长方体的长宽高数据，根据题干中的最短路径数据，转化成平面问题列余弦定理方程求解. 【详解】   由于平面，，可将三棱锥放在一个如上图的长方体里，长方体的外接球直径就是三棱锥的外接球，就是体对角线的长， 下将翻折到和共面的状态，如下图：    由平面，平面，故，在上图长方体中，显然平面，又平面，故， 在中，，则，于是，由题意，点经过棱上一点到达点的路径中，最短路径的长度为， 则平面图中的，设，在中，由余弦定理，，整理得，解得（负值舍去）. 故长方体中，，则，即为外接球直径，故外接球的表面积是. 故答案为： 24．/ 【分析】分析可得沿棱柱的表面从E到F可能经过棱，，，再分别展开直观图求解即可. 【详解】若从E到F经过棱则沿棱展开如图，过作于，则，，故.    若从E到F经过棱则沿棱展开如图，，，.    若从E到F经过棱则沿棱展开如图，，，.    若从E到F经过棱则沿棱展开如图，由题意，为等腰直角三角形，四边形为正方形，故为等腰直角三角形，故四边形为直角梯形.又，，故.    故沿棱柱的表面从E到F的最短路径长度为. 故答案为： 25．5 【分析】求出侧面扇环圆心角，画出圆台侧面展开图，利用勾股定理可得答案. 【详解】圆台上下底面半径分别为，，母线长为， 则圆台侧面扇环圆心角为， 圆台侧面展开图如图示，    在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为． 由题意可得A是FB的中点，因为， 所以．由为中点，可得， 所以． 故答案为：5 26． 【分析】根据题意，沿将侧面展开后，得到矩形的高等于圆柱的高，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍，结合勾股定理，即可求解. 【详解】根据题意，从圆柱底部点绕圆柱体的侧面旋转4圈到达顶部的点， 沿将侧面展开后，最短路程，如图所示， 其中矩形的高等于圆柱的高，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍， 即， 所以蜗牛爬行的最短路径为. 故答案为：. 27． 【分析】将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为，根据数据求解即可． 【详解】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为； 在中，，则． 所以的最小值为. 故答案为：. $$