精品解析：山东省威海市荣成市石岛实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023—2024学年度第二学期初三数学期中测试题 一、选择题 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 3. 若，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 4. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 5. 如图，矩形中，对角线、相交于点O，已知，，的面积为，则的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 6. 一元二次方程配方后可化为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形内作等边三角形，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，点D为边上一动点，连接，若将线段绕点D逆时针旋转后，点O恰好落在边上的点E处，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知方程的两根分别为，，则式子的值等于（ ） A. B. 0 C. 3 D. 7 二、填空题 11. 二次根式与最简二次根式可以合并，则_________ 12. 代数式中x的取值范围是 ________． 13. 有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2-4x+k=0的两根，则k =_________． 14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 15. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为__________． 16. 如图，正方形中，点E，F分别在边上，与交于点G．若，，则的长为__________． 三．解答题 17. 计算： （1） （2）； 18. 解方程： （1）；（配方法） （2）． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 20. 如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长19m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆30 m． （1）若花圃的面积为100 ，求花圃一边AB的长； （2）花圃的面积能达到120 吗? 说明理由． 21. 将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG， (1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由； (2)若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积． 22. 市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． （1）求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； （2）此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 23. 已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 24. 如图，已知正方形ABCD中，点P为对角线AC上的动点（不与A、C重合），PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接PD、EF． （1）求证：EF＝PD； （2）若PD＝13，PF＝5，求对角线AC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期初三数学期中测试题 一、选择题 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法、减法、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解题关键．根据二次根式的乘除法、减法、二次根式的化简逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 2. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形与矩形的性质，从边、角、对角线三方面，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、对边相等，是菱形和矩形都具有的性质，故选项A不符合题意； B、对角相等，是矩形和菱形都具有的性质，故选项B不符合题意； C、对角线互相平分，是矩形和菱形都具有的性质，故选项C不符合题意； D、对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形与矩形的性质，熟练掌握菱形与矩形的性质是解题的关键． 3. 若，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式及一元一次不等式的运用，根据可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 把代入，得，然后把所求式子化为代入计算即可作答． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， 故选A 5. 如图，矩形中，对角线、相交于点O，已知，，的面积为，则的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，连接，先证明垂直平分，即，进而可得，再根据，问题得解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是矩形，对角线， ∴，， ∵， ∴垂直平分，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 一元二次方程配方后可化为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程配方法．根据题意先将常数移项到等号右侧，再进行配方即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即：， 故选：C． 7. 如图，在正方形内作等边三角形，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可. 【详解】解：∵在正方形内作等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A. 8. 如图，矩形的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，点D为边上一动点，连接，若将线段绕点D逆时针旋转后，点O恰好落在边上的点E处，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的运用，先判定，可得，设，则，依据，可得，进而得到，即可解答，熟练掌握知识点是解题的关键．解题时注意：全等三角形的对应边相等． 【详解】解：由题可得， ，， 由旋转可得，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ， 故选：A． 9. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：A、∵，∴方程有两个相等的实数根，不合题意； B、∵，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； C、∵，∴方程没有实数根，不合题意； D、∵，∴方程有两个相等的实数根，不合题意． 故选：B． 10. 已知方程的两根分别为，，则式子的值等于（ ） A. B. 0 C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积是解决问题的关键．将化为，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，代入求值即可得到答案． 【详解】解：方程的两根分别为， ， ． 故选A． 二、填空题 11. 二次根式与最简二次根式可以合并，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式、最简二次根式，先把化简成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得出，即可得答案．熟练掌握同类二次根式、最简二次根式的定义是解决本题的关键． 【详解】∵二次根式与最简二次根式可以合并，， ∴， 解得：． 故答案为： 12. 代数式中x的取值范围是 ________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且； 故答案为：且． 13. 有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2-4x+k=0的两根，则k =_________． 【答案】3或4 【解析】 【分析】分类讨论：当腰长为3时，根据韦达定理求得k的值；当腰长不为3时，关于x的方程的判别式△=0，据此可以求得k的值． 【详解】解：当该等腰三角形的腰长是3时，根据韦达定理知 3+x2=4， ∴x2=1， ∴x1•x2=3=k，即k=3； 当该等腰三角形的腰长不是3时，△=16-4k=0， 解得，k=4； 综上所述，k=3或k=4． 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质．解答该题时要分类讨论，以防漏解．当腰长为3时，根据韦达定理求得k的值；当腰长不为3时，关于x的方程的判别式△=0，据此可以求得k的值． 14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义，以及根的判别式，得出不等式，解不等式即可求解．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且． ∴的取值范围为且． 故答案为：且． 15. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为__________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段长的最小值为． 故答案为：． 16. 如图，正方形中，点E，F分别在边上，与交于点G．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解本题的关键．利用正方形的性质证明得，再利用勾股定理得出，得出，根据等面积可得的长，进而可得结论． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题 17. 计算： （1） （2）； 【答案】（1）44； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）现根据乘法分配律计算，再根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可； （2）先分母有理化和化简绝对值，根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 解方程： （1）；（配方法） （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可； （2）将转化为，再代入计算即可解答． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 即的取值范围是； 【小问2详解】 ，， ， ， ，即， 解得或． ； ． 故的值为2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合、，找出关于的一元二次方程． 20. 如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长19m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆30 m． （1）若花圃的面积为100 ，求花圃一边AB的长； （2）花圃的面积能达到120 吗? 说明理由． 【答案】（1）10米 （2）不能， 理由如下： 设的长为米， 由题意可得：， 化简得， △， 方程无解， 花圃的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解； （2）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解． 【小问1详解】 解：设的长为米， 由题意可得：， 解得：，， ，即：x≥5.5， ， ∴的长为10米； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 21. 将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG， (1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由； (2)若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积． 【答案】 （1）四边形是菱形．理由如下： ∵四边形、是完全相同的矩形， ∴，，． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴是菱形． （2）20． 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，可得出△DAB≌△DEB（SAS），进而可得出∠ABD=∠EBD，根据矩形的性质可得AB∥CD、DF∥BE，即四边形DHBG是平行四边形，再根据平行线的性质结合∠ABD=∠EBD，即可得出∠HDB=∠HBD，由等角对等边可得出DH=BH，由此即可证出▱DHBG是菱形； （2）设DH=BH=x，则AH=8-x，在Rt△ADH中，利用勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据菱形的面积公式即可求出菱形DHBG的面积． 【详解】解：略 由，设，则， 在中，，即， 解得：，即， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用等角对等边找出DH=BH；（2）利用勾股定理求出菱形的边长． 22. 市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． （1）求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； （2）此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据增长率问题列方程，解方程，即可求解； （2）根据等量关系式：涨价后每个头盔的利润涨价后的销售量元，据此列方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月均增长率为x， 依题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得 ， 解得，． 尽可能让顾客得到实惠， 不合题意，舍去． 故， 答：该品牌头盔的销售价应定为50元． 23. 已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 【答案】（1）的面积是 （2）边的高是 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． （1）根据公式求得，然后将和p的值代入公式即可求解； （2）设的边上的高为h，根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 答：的面积是； 【小问2详解】 解：设的边上的高为h， ， ， 答：边的高是． 24. 如图，已知正方形ABCD中，点P为对角线AC上的动点（不与A、C重合），PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接PD、EF． （1）求证：EF＝PD； （2）若PD＝13，PF＝5，求对角线AC的长． 【答案】（1）见解析；（2）17 【解析】 【分析】（1）连接PB，由正方形ABCD结合题意得∠PEB＝∠PFB＝∠ABC＝90°，由此四边形BEPF是矩形，即可得证； （2）由（1）知：EF＝PD＝13，根据勾股定理求出PE，由四边形ABCD是正方形，得出△AEP是等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可求出对角线AC的长． 【详解】（1）证明：连接PB，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∴PB＝PD， ∵PE⊥AB，PF⊥BC， ∴∠PEB＝∠PFB＝∠ABC＝90°， ∴四边形BEPF是矩形， ∴PB＝EF， ∴EF＝PD； （2）解：由（1）知：EF＝PD＝13， 在Rt△PEF中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴AE＝PE＝12， ∴AB＝AE+BE＝PE+PF＝17＝BC， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理求线段长，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $