精品解析：2024届海南省省直辖县级行政单位琼海市高考模拟预测数学试题

2024年琼海市高考模拟预测 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组由小到大排列的数据，若这组数据的极差是中位数的2倍，则的值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，结合数据的极差和中位数，列出方程，即可求解. 【解题思路】由题意知这组数据的极差为，中位数为，则，解得. 故选：C． 2. 抛物线的焦点坐标是，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程的知识求解． 【详解】由题意，，即抛物线标准方程为，所以焦点到准线的距离为， 故选：A． 3. 设等比数列的前项和为，若，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式列方程组求解． 【详解】由题意易知数列的公比， 则有，解得， 故选：B． 4. 、、是平面，a，b，c是直线，以下说法中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定选项即可. 【详解】对于A，，可以平行，也可以相交， 对于B，a，c可以平行，可以相交，也可以异面， 对于D，，可以平行，也可以相交， 对于C，不妨设，在平面内作， 因为，则，同理在平面内作，则， 所以， 又，则，而，所以，所以，即C正确. 故选：C 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将，转化为，利用两角差的余弦公式化简求解. 【详解】原式 ． 故选：． 6. 已知，其中，则（ ） A. 16 B. 32 C. 24 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，从而得到展开式中含的项，即可求出，再利用赋值法计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中含的项为， 所以，解得， 所以， 令可得， 令可得， 所以. 故选：D 7. 甲、乙、丙、丁4人参加活动，4人坐在一排有12个空位的座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的就座方法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4个人中间任意两个人之间放入2个空位，此时空位一共还剩2个，再将这两个空位分一起和分开插入4人之间和两侧空位，即可得解. 【详解】先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置， 再将4个人中间任意两个人之间放入2个空位， 此时空位一共还剩2个， 若将这两个空位连在一起插入4人之间和两侧空位，有5种放法； 若将这两个空位分开插入4人之间和两侧空位，有种放法， 故不同的就座方法共有种. 故选：C. 8. 双曲线（，）的左、右焦点分别是，，P，Q（P在第一象限）是双曲线的一条渐近线与圆的两个交点，点M满足，，其中O是坐标原点，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，点到渐近线的距离为b，则，根据相似三角形的性质和勾股定理可得，结合与离心率的概念即可求解. 【详解】点到渐近线的距离为， 因为，，又，P，Q在渐近线上， 故，，又，且， 设，则，， 故，则，故， 又在中：，即， 解得，所以， 所以，解得， 故选：D． 【点睛】关键点点睛：利用点到直线的距离公式证明焦点到渐近线的距离为b，进而证明，是解决本题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. 直线是函数图象的对称轴 D. 点是函数图象的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】利用周期求验证选项A；代入极小值点求验证选项B；代入检验法验证对称轴和对称中心判断选项CD. 【详解】，由图象可知，， ，，则函数正周期，得，A选项正确； ，则， 解得，由，则，B选项错误； 可得， ， 所以点是函数图象的对称中心，C选项错误，D选项正确. 故选：AD. 10. 设，为复数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若为虚数，则也为虚数 D. 若，则的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算及复数的模判断A；根据复数的向量表示及向量三角不等式，即可判断B；根据复数代数形式的除法运算及复数的概念判断C；根据复数模的几何意义判断D. 【详解】设， 则， ， 得， ， 所以，故A正确， 设对应的向量分别为，则由向量三角不等式得， 所以恒成立，所以B正确， 因为为虚数，为实数，所以为虚数，则也为虚数，故C正确； 设，由，则在复平面内点表示以为圆心，1为半径的圆，则，故D错误. 故选：ABC 11. 已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 在定义域内单调递减 D. 为奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】赋值法可判断A，根据等比数列求和公式判断B，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C，由函数的特例可判断D. 【详解】对于，令，则， 因，故得，故A正确； 对于由， 令，则， 则，即， 故是以为首项，2为公比的等比数列， 于是，故B错误； 对于，由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则①， 把都取成，可得②， 将②式代入①式，可得， 化简可得即为奇函数，故D正确； 对于C，在上单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减， 但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故C错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对已知的函数抽象表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据选项信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出的关系式即可判断奇偶性等. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 13. 已知正六棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正六棱锥的体积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】作图，分外接球的球心在棱锥内部和外部两种情况，运用勾股定理列式分别计算. 【详解】设正六棱锥，底面中心为，外接球半径为，底面正六边形的边长为，棱锥的高， 则，，， 当外接球的球心在棱锥内部时，，在中，，即，在中，，即，联立，解得，， 所以正六棱锥的体积为. 当外接球的球心在棱锥外部时，，在中，，即，在中，，即，联立，解得，，这与矛盾，不合题意舍去. 综上，该正六棱锥的体积为. 故答案为：. 14. 已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解. 【详解】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值集合. 【答案】（1） 时，则的单调递减区间为，无单调递增区间， 时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，分类讨论和，即可求解函数的单调区间； （2）结合（1）知，当时，不合题意，则，将恒成立等价于，令，利用导数研究的单调性即最值，即可求解. 【小问1详解】 由题意得：的定义域为， ， 当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间， 当时，令，解得：， 所以当时，， 当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上所述：时，则的单调递减区间为，无单调递增区间， 时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，，不合题意， 当时，由（1）知， 则， 令，则， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 实数的取值集合为. 16. 如图，正方体的棱长为2，E为的中点，点M在上.平面. （1）求证：M为的中点； （2）求直线EM与平面MCD所成角的大小，及点E到平面MCD的距离. 【答案】（1）证明如下： 连接，因为平面，平面， 且平面平面，所以所以， 因为为的中点，所以为的中点． （2）； 【解析】 【分析】（1）结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得证； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，利用向量的夹角公式，求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则．于是， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的大小为， 点到平面的距离为. 17. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角的对边，且． （1）求A； （2）若，将射线BA和CA分别绕点B，C顺时针方向旋转，，旋转后相交于点D（如图所示），且，求AD． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变形，即可求解； （2）由条件确定几何图形中的角的值，再根据正弦定理和余弦定理求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知, 又因为， 所以，且， 则，即，所以， 因为，，所以， 所以； 【小问2详解】 由条件可知，，，且， 所以，又， 所以，， ，且 中，，得, 中，，得， 中，， . 18. 已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点作直线交于M，N两点，点，记直线，的斜率分别为，. （1）求的方程； （2）求的值； （3）设直线交C于另一点Q，求点B到直线距离的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由焦准距的定义求出的值即得； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立消元，得到韦达定理，分别化简计算和，再整体代入计算即得定值； （3）设点表示出直线、、的方程，分别利用过点， 过点得出与，与的关系式，消去，整理得，再与方程比较得出过定点，从而得到结论. 【小问1详解】 因为焦点到准线的距离为2，所以， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 如图，设，，直线的方程为， 由得，所以（*） 由 ，将（*）代入整理得： . 又 ，将（*）代入整理得： 所以，. 【小问3详解】 设，，， 则直线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 同理，直线方程为， 直线方程为. 因为直线经过，所以， 解得， 因为直线经过，所以， 解得， 所以，整理得. 又因为直线的方程为， 所以直线经过定点， 所以，当时，点到直线距离取得最大值为. 19. 二阶递推公式特征方程是一种常见的数学方法，主要用于求解二阶线性递推数列的通项公式.例如：一个数列满足递推关系，且，为给定的常数（有时也可以是，为给定的常数），特征方程就是将上述的递推关系转化为关于的二次特征方程：，若，是特征方程的两个不同实根，我们就可以求出数列的通项公式，其中和是两个常数，可以由给定的，（有时也可以是，）求出. （1）若数列满足：，，，求数列的通项公式； （2）若，试求的十分位数码（即小数点后第一位数字），并说明理由； （3）若定义域和值域均为的函数满足：，求的解析式 【答案】（1） （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）根据特征方程的根，利用待定系数法即可求解， （2）根据是方程的两个实数根，可得，即可得求解， （3）根据得，即可得，进而可求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得或， 所以， 代入，可得， 解得, 故 【小问2详解】 由于是方程的两个实数根， 考虑且， 所以， 故为正整数，从而， 注意到，故的十分位数码为9. 【小问3详解】 考虑则， 方程两个根为 由于函数的值域恒为正，所以, 又,故 【点睛】关键点点睛：将递推关系转化为关于的二次特征方程：，利用一元二次方程的根，由待定系数法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年琼海市高考模拟预测 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组由小到大排列的数据，若这组数据的极差是中位数的2倍，则的值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 抛物线的焦点坐标是，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 设等比数列的前项和为，若，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 5 4. 、、是平面，a，b，c是直线，以下说法中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ， 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，其中，则（ ） A. 16 B. 32 C. 24 D. 48 7. 甲、乙、丙、丁4人参加活动，4人坐在一排有12个空位的座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的就座方法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种 8. 双曲线（，）的左、右焦点分别是，，P，Q（P在第一象限）是双曲线的一条渐近线与圆的两个交点，点M满足，，其中O是坐标原点，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. 直线是函数图象的对称轴 D. 点是函数图象的对称中心 10. 设，为复数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若为虚数，则也为虚数 D. 若，则的最大值为 11. 已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 在定义域内单调递减 D. 为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 13. 已知正六棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正六棱锥的体积为__________． 14. 已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值集合. 16. 如图，正方体的棱长为2，E为的中点，点M在上.平面. （1）求证：M为的中点； （2）求直线EM与平面MCD所成角的大小，及点E到平面MCD的距离. 17. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角的对边，且． （1）求A； （2）若，将射线BA和CA分别绕点B，C顺时针方向旋转，，旋转后相交于点D（如图所示），且，求AD． 18. 已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点作直线交于M，N两点，点，记直线，的斜率分别为，. （1）求的方程； （2）求的值； （3）设直线交C于另一点Q，求点B到直线距离的最大值. 19. 二阶递推公式特征方程是一种常见的数学方法，主要用于求解二阶线性递推数列的通项公式.例如：一个数列满足递推关系，且，为给定的常数（有时也可以是，为给定的常数），特征方程就是将上述的递推关系转化为关于的二次特征方程：，若，是特征方程的两个不同实根，我们就可以求出数列的通项公式，其中和是两个常数，可以由给定的，（有时也可以是，）求出. （1）若数列满足：，，，求数列的通项公式； （2）若，试求的十分位数码（即小数点后第一位数字），并说明理由； （3）若定义域和值域均为的函数满足：，求的解析式 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $