精品解析：河南省名校2023-2024学年高二下学期5月质量检测数学试题

2023～2024学年度下学期5月质量检测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第七章，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处的导数为3，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 2. 记等差数列的前项和为，已知，则公差（ ） A. -1 B. C. D. 2 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 5. 在等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正项数列的前n项和为，满足，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 8. 已知，设函数，若存在，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于经验回归方程，以下判断正确是（ ） A 变量x与变量y正相关 B. 该方程一定过点 C. 根据经验回归方程可以预测，当时，变量 D. 当变量x减少一个单位时，y平均增加2个单位 10. 设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则为等差数列 B. 若，则 C. 若，则是公差为的等差数列 D. 若，则的最大值为1 11. 已知定义在上的可导函数满足，，下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 13. 已知函数，，则的最小值为______. 14. 已知数列满足，，数列的前项和为，则的整数部分是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 人们曾经相信，艺术家将是最后被AⅠ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AⅠ第一次引起人类的恐慌，由noval AⅠ，DALL－E2等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异，AⅠ会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的． （1）根据以上数据完成如下2×2列联表： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 12 30岁及以上 总计 42 60 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2706 3.841 6.635 7879 10.828 参考公式：，其中． 16. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等比数列； （2）在与之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求. 17. 已知函数． （1）若在处取得极值，求的单调区间； （2）若在区间上单调递增，求a的取值范围． 18. 已知正项等比数列的前n项和为，且满足，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度下学期5月质量检测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第七章，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处的导数为3，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解. 【详解】因为函数在处的导数为3， 所以， 所以． 故选：B. 2. 记等差数列的前项和为，已知，则公差（ ） A. -1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式得到方程组，求出公差. 【详解】由等差数列求和公式得， 解得. 故选：A 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，利用导数求的单调递减区间. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：B. 4. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 【答案】A 【解析】 【分析】先由x、y的平均值和代入方程，求得，从而得到，再将代入并加上残差0.6即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 将代入，即，解得， 所以， 当时，， 则. 故选：A. 5. 在等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的知识列方程，求得等比数列的公比，从而求得. 【详解】设等比数列的公比为， 由于，，成等差数列， 所以， 所以. 故选：C 6. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，得到，从而得到，结合倾斜角的范围，求出α的取值范围. 【详解】， ∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 7. 已知正项数列的前n项和为，满足，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】由递推式得出，两式相减根据，可得是首项为1，公差为1的等差数列，进而利用通项公式求解即可. 【详解】由题意，，， 两式相减，得， ． ，． 当时，，， 是首项为1，公差为1的等差数列． ． 故选：B 8. 已知，设函数，若存在，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，的最小值为，然后分是否大于1，讨论在时的最小值，由此分别列出不等式即可求解. 【详解】当时，易知的最小值为， 当时，，令，解得， 若，则在上单调递增，且时，， 所以只需，解得或， 又，所以， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 成立，所以符合题意， 综上，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：涉及到含参分段函数的最值时，一般讨论时尽量做到有序讨论，这样可以不充不漏，从而即可顺利得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于经验回归方程，以下判断正确的是（ ） A. 变量x与变量y正相关 B. 该方程一定过点 C. 根据经验回归方程可以预测，当时，变量 D. 当变量x减少一个单位时，y平均增加2个单位 【答案】BCD 【解析】 【分析】由经验回归方程斜率可得A；由经验回归方程必过样本中心点可得B；由经验回归方程性质计算可得C、D. 【详解】对于A选项，由，故变量x与变量y负相关，所以A项错误； 对于B选项，经验回归方程必过点，所以B项正确； 对于C选项，根据经验回归方程，可预测变量时，变量，所以C项正确； 对于D选项，在回归方程中，当变量x减少一个单位时， y平均增加2个单位，所以D项正确. 故选：BCD. 10. 设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则为等差数列 B. 若，则 C. 若，则是公差为等差数列 D. 若，则的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由递推数列、等差数列的性质即可逐一判断各个选项，从而得解. 【详解】当时，，所以为等差数列，A选项正确； ，所以是公差为-1的等差数列，C选项错误； 当时，，所以，B选项正确； 由可知，，所以，D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知定义在上的可导函数满足，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数，结合单调性即可判断. 【详解】因为，所以. 故构造函数，.则， 所以在上单调递增.由，得， 由的单调性可得当时，.当时，. A选项：，解得，A错误； B选项：，解得，B正确； C选项：，解得，C正确； D选项：，解得，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 【答案】 【解析】 【分析】借助相关系数的性质计算即可得. 【详解】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强， 且， 所以H组数据线性相关性最强. 故答案为：. 13. 已知函数，，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先求函数的导数，再判断给定区间函数的单调性，从而求得函数的最小值. 【详解】因为，则，， 令，解得，令，解得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故答案为：． 14. 已知数列满足，，数列的前项和为，则的整数部分是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知关系式可得，知数列为递增数列；采用裂项相消法可求得，知，由数列单调性可求得，由此可推导得到，从而求得结果. 【详解】，， 又，，，数列为递增数列； ，， 则； ， ； ，，， ，，， 则的整数部分为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列递推关系式研究数列的性质及裂项相消法求和的问题；解题关键是能够将数列递推关系式进行变形，得到、，从而确定的表达式. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 人们曾经相信，艺术家将是最后被AⅠ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AⅠ第一次引起人类的恐慌，由noval AⅠ，DALL－E2等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异，AⅠ会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的． （1）根据以上数据完成如下2×2列联表： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 12 30岁及以上 总计 42 60 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】（1）列联表见解析 （2）年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010；理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题设中的数据即可求解； （2）代入卡方公式求出值与表对比即可求解. 【小问1详解】 完成2×2列联表如下： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 18 12 30 30岁及以上 24 16 30 总计 42 18 60 【小问2详解】设为：年龄与理解情况相互独立，即年龄与理解情况无关， 由题意，， 所以根据小概率的独立性检验，我们推断成立． 即认为年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010． 16. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等比数列； （2）在与之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求. 【答案】（1）证明见解析 （2）39 【解析】 【分析】（1）分析可得，结合等比数列的定义分析证明； （2）由（1）可得，结合等差数列的性质列式求解. 【小问1详解】 因为，则， 且，可得， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可得：，则， 由题意可得：，， 即，解得，所以的值为39. 17. 已知函数． （1）若在处取得极值，求的单调区间； （2）若在区间上单调递增，求a的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，的单调递增区间为和. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，由题意可知，即可解得的值，然后利用和，求出的单调区间. （2）由条件可得在区间上恒成立，得在区间上恒成立，结合二次函数，可得答案. 【小问1详解】 ， ，解得，则， ， 令，解得或，令，解得， 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为和. 【小问2详解】 ， 因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 因为恒大于，所以在区间上恒成立， 设， 当时，得在区间上不恒成立，所以不满足题意， 当时，由于函数的对称轴，所以要在区间上恒成立， 只需不等式组无解， 或解得， 当时，函数的对称轴， 要在区间上恒成立， 则只需，无解， 综上，实数的求值范围是. 18. 已知正项等比数列的前n项和为，且满足，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据等比数列定义和数列的作差求通项，以及累乘法即可求解； （2）根据等比数列的求和和分组求和即可求解. 【小问1详解】 设数列的公比为q，由已知得， 因为，所以，得， 又．所以， 所以， 对于数列，因为 ① 当时，，则， 当时， ②， 由①②得，即， 又，也适合上式，故， 当时，又， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得：， 则， 则数列的前项和为： ， 所以： ． 19 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）（ⅰ）分析可知原题意等价于有两个不同的正实数根，结合基本不等式分析求解；（ⅱ）设有两个不同的正实数根，根据单调性可知的极值点，结合零点代换可得，构建，结合单调性分析可得，则，即可得取值范围. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意可知：的定义域为，， 令，可得， 原题意等价于有两个不同的正实数根， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可知，所以的取值范围； （ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，， 不妨设，可知， 当时，；当或时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以为极小值点，为的极大值点， 对于的极值点，则， 可得， 设，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在上单调递减， 则，可知，则， 又因为在区间上单调递增，则， 所以的极大值的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法 （1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左右函数值的符号； （2）若探究极值点个数，则探求方程在所给范围内实根的个数； （3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解； （4）求函数f(x)在闭区间的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较，从而得到函数的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$