精品解析：江西省于都中学等多校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

江西省高二5月教学质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列是等差数列，若，则（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】由等差中项的性质即可求解. 【详解】因为数列是等差数列，所以，解得， 所以. 故选：B. 2. 函数的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】求导可得，令，可得函数的单调性，即可求解. 【详解】因，所以， 令，得，令，得， 所以函数上单调递增，在上单调递减， 所以最大值是. 故选：C. 3. 已知数列为等比数列，则“，”是“为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】本题可依次判断“，”是否是“为递减数列”的充分条件以及必要条件，即可得出结果. 【详解】若等比数列满足、，则数列为递减数列， 故“，”是“为递减数列”的充分条件， 因为若等比数列满足、，则数列也是递减数列， 所以“，”不是“为递减数列”的必要条件， 综上所述，“，”是“为递减数列”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，考查等比数列以及递减数列的相关性质，体现了基础性和综合性，考查推理能力，是简单题. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据的图象判断其符号，进而可知的单调性和极值，结合选项分析判断即可. 【详解】由的图象可知：当或时，；当时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 则函数有且仅有两个极值点， 结合选项可知：ABC正确；D错误； 故选：D. 5. 已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式得到，，从而得到，并得到不等式组，求出. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 由，，得， 即，解得， 即的取值范围是. 故选：D. 6. 已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（ ） A. 24 B. 或 C. 45 D. 0或45 【答案】B 【解析】 【分析】设直线与曲线相切的切点为并求切线方程，将点代入切线方程，从而解方程即可得到结果. 【详解】由，得， 设直线与曲线相切的切点为， 则在处的切线斜率为， 所以，切线方程为， 将点的坐标代入并整理，得， 即，解得或， 所以直线的斜率为24或. 故选：B. 7. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得. 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以. 故选：C. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】与运用作差法比大小，再把看作，可构造函数，求导并借助函数的单调性，可得到；与运用作差法比大小，再把看作，可构造函数，求导并借助函数的单调性，可得到.从而得到. 【详解】令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，即，所以在上单调递减， 所以，即，所以，即； 令，则， 令，则，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以，即，所以，即. 所以. 故选:. 【点睛】方法点睛：比较代数式大小的常见方法有： （1）利用函数单调性； （2）利用中间量； （3）构造函数. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则当自变量从变为时，下列结论正确的是（ ） A. 函数值减少了6 B. 函数的平均变化率为2 C. 函数在处的瞬时变化率为 D. 函数值先变大后变小 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义判断A、B，求出函数的导函数，根据导数的定义判断C，求出函数的单调区间，即可判断D. 【详解】因为，所以， 所以函数值减少了，函数的平均变化率为，故A正确，B错误； 又，所以，即函数在处的瞬时变化率为，故C正确； 当时，；当时，；当时，， 所以 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以当自变量从变为时，函数值先变小，后变大，再变小，故D错误. 故选：AC. 10. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由得，进而由可得，可判断A选项；由可判断B选项；由可知，数列的周期为3，又，利用周期可得所以，可判断C选项；由周期性可得，可判断D选项. 【详解】因为，所以，因为， 即，所以，，故A错误； 因为，所以， 所以，即，故B正确； 由可知，数列的周期为3，又， 所以，故C错误； ，所以，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，，若函数与的图象在上恰有2个交点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，当时，直线与曲线相交,当时，直线与曲线相切,然后根据相交与相切等式化简即可. 【详解】函数与的图象在上恰有2个交点，且的周期为， 当时，直线与曲线相交于点，即； 当时，直线与曲线相切于点，即， 所以，则，故A正确； 当时，，，则在切点处有整理得，所以，故B正确； 因为点在上，所以，两边同乘，得，故C错误; 由得，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是的导函数，且，则______. 【答案】18 【解析】 【分析】借助导数定义计算即可得. 【详解】由题意，得， 所以. 故答案为：18. 13. 已知是等比数列的前项和，若，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】结合推论若等比数列的前项和为，则，，，成等比数列即可直接求出结果. 【详解】因为是等比数列的前项和， 所以，，，成等比数列， 因为，所以， 所以， 即， 所以， 所以， 所以. 故答案为：5. 14. 已知斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的第个数记为，则，，已知，，则______.（用含，的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，进而得到. 【详解】因为， 所以 , 所以. 故答案为： 【点睛】斐波那契数列的性质：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）将代入函数，求切点和导数，进而利用导数求斜率即可到切线方程； （2）由题意得，在区间上恒成立，分离参数可得，令，利用导数求函数的最小值，从而可得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 由，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由，得， 因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则， 令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以函数的极小值为，也是最小值. 所以，即实数的取值范围是. 16. 已知数列的前项和为，，且数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，根据计算即可求解； （2）由（1）得，结合裂项相消求和法计算可得，即可证明. 【小问1详解】 当时，. 因为时，，满足上式， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 ， 所以 因为，所以， 又数列是递增数列，所以， 所以. 17. 已知函数的两个极值点分别为2，3. （1）求，的值，并求出函数的极值； （2）已知，求证：不等式在上恒成立. 【答案】（1）函数的极大值为，极小值为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用极值点思想求出参数取值，再进行检验是否满足题意，即可得到结果； （2）把原不等式化简后就是，由于分离参数后不好求导研究，所以就含参研究函数求导，分类讨论来证明最小值恒大于0. 【小问1详解】 因为，所以， 因为函数的两个极值点分别为2，3，所以, 解得, 此时，. 所以当时，，函数单调递增； 当时，.函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 满足的两个极值点分别为2，3. 所以函数的极大值为，极小值为 【小问2详解】 证明：等价于， 即， 令，则， 若，则恒成立，在上单调递增， 所以； 若，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以的极小值为，也是最小值. 令，，则， 所以在上单调递减，. 综上所述，在上恒成立， 即不等式在上恒成立. 【点睛】关键点点睛：（1）极值点已知，利用该点导数值为0来求解参数，一定需要检验是否满足题意；（2）含参不等式的证明一般是分离参变量法，但分离以后不好求导研究，则需要含参求导讨论分析最值来进行证明. 18. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，结合等比数列的定义与通项公式即可求出； （2）由（1）可得，利用两次错位相减求和法计算即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 记数列与数列的前项和分别为与，则 ， ， 两式相减，得， 所以. ， ， 两式相减，得， 所以. 所以数列的前项和为. 19. 对于定义域为的函数，若，使得，其中，则称为“可移相反数函数”，是函数的“可移相反数点”.已知，. （1）若是函数的“可移2相反数点”，求； （2）若，且是函数的“可移4相反数点”，求函数的单调区间； （3）设若函数在上恰有2个“可移1相反数点”，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）的单调递减区间为， （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义可得，解方程即可求解； （2）根据新定义可得，求出，利用二阶导数讨论函数的单调性即可求解； （3）结合新定义，分类讨论当、、时方程的解，确定函数在上恰有2个“可移1相反数点”，且1个“可移1相反数点”，另一个“可移1相反数点”在区间内或在区间内，结合导数研究函数的性质即可求解. 【小问1详解】 若是函数的“可移2相反数点”， 则，即. 所以，即， 解得或（舍去）. 【小问2详解】 因为是函数的“可移4相反数点”，所以， 即.解得.所以（且）， ，令，， 所以当时，，在上单调递增， 且，所以，所以在上单调递减； 当时，，在上单调递减， 且，所以，所以在上单调递减； 所以函数的单调递减区间为，； 【小问3详解】 记的“可移1相反数点”为. 当时，，解得（舍去）， 当时， 当时，，即. 因为函数在上恰有2个“可移1相反数点”，且其中1个“可移1相反数点”， 所以另一个“可移1相反数点”在区间内或在区间内. 若，则当时，方程有且仅有一个根， 令，则，所以在上单调递增， 由有且仅有一个根，得，即，解得. 当时，，， 所以存在唯一的，使得， 即时，方程有且仅有一个根， 此时方程在内无解，符合题意； 若，则当时，方程有且仅有一个根，即， 所以，此时方程在内无解，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是导数研究函数的单调性等相关知识点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省高二5月教学质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列是等差数列，若，则（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 42 2. 函数的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 3 3. 已知数列为等比数列，则“，”是“为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 5. 已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（ ） A. 24 B. 或 C. 45 D. 0或45 7. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则当自变量从变为时，下列结论正确的是（ ） A. 函数值减少了6 B. 函数的平均变化率为2 C. 函数在处的瞬时变化率为 D. 函数值先变大后变小 10. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，若函数与的图象在上恰有2个交点，，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是的导函数，且，则______. 13. 已知是等比数列的前项和，若，则______. 14. 已知斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的第个数记为，则，，已知，，则______.（用含，的代数式表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递增，求实数取值范围. 16. 已知数列前项和为，，且数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求证：. 17. 已知函数的两个极值点分别为2，3. （1）求，的值，并求出函数的极值； （2）已知，求证：不等式在上恒成立. 18. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 19. 对于定义域为的函数，若，使得，其中，则称为“可移相反数函数”，是函数的“可移相反数点”.已知，. （1）若是函数的“可移2相反数点”，求； （2）若，且是函数“可移4相反数点”，求函数的单调区间； （3）设若函数在上恰有2个“可移1相反数点”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$