精品解析：2024年吉林省长春市108中学中考模拟数学试题

数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在实数0、、、中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先估算出的值的范围，然后进行比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在实数0、、、中，， ∴最小的数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键． 2. 从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟200多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超70000000次．其中70000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解本题的关键．本题确定，即可． 【详解】解：， 故选D 3. 榫卯（sǔnmǎo），是一种中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种榫，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：该几何体的主视图是： 故选：B． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，熟记计算法则或公式即可解题．根据幂的乘方与积的乘方，完全平方公式进行解答． 【详解】解：，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误； 故选：C． 5. 如图，是的外接圆，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆．连接，根据，可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的外接圆， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：D． 7. 如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（ ） ①；②； ③． A. ①②③ B. ②③ C. ② D. ③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线和垂线段的画法，全等三角形的判定与性质，根据尺规作图痕迹可知，为的角平分线，为的垂线，可得，可判断结论Ⅱ，再由，，可得结论②正确．由无法得到判断①即可得解． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知， 为的角平分线，为的垂线， ∴，为直角三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∵ ∴ 故结论③正确； ∵， ∴ 故结论②正确， ∵无法得到， ∴不能得到，故①错误， 故选：B． 8. 如图，直线分别与轴、轴交于，两点，以为边作正方形，双曲线经过点，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，正方形的性质，全等三角形的性质．先求出点，点，则，，过点作于点，证和全等得，，则，进而得点，将点的坐标代入之中即可求出的值． 【详解】解：对于，当时，，当时，， 点，点， ，， 过点作于点，如下图所示： ，， 四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 双曲线经过点， ． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 分解因式：=_________________________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：原式==． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】若一元二次方程有两不等根二次项系数不为0，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，解关于m不等式即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝m，b＝﹣1，c＝2， ∴m≠0 ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×m ×2＞0， 解得m＜， ∴实数的取值范围是m＜且m≠0． 故答案为m＜且m≠0． 【点睛】本题考查了一元二次方程根情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△＝0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根，要注意二次项系数不为0． 11. 东西塔是泉州古城的标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离西塔塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为，则可估算出西塔的高度为______米．（结果保留整数，参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了仰角，解直角三角形，根据,计算即可． 【详解】根据题意，，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到．若第一次经过点时停止旋转，此时与交于点，则点走过的路径长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，解直角三角形，旋转的性质，等边三角形的性质与判定等等．先解直角三角形得到，由旋转的性质得到，，，则是等边三角形，可得旋转的角度为，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， ，由旋转的性质可得，，， 是等边三角形，， 旋转的角度为，点走过的路径长为． 故答案：． 13. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为_________． 【答案】34 【解析】 【分析】本题考查平移性质、全等三角形的性质、梯形面积公式，熟练掌握平移性质，得到是解答的关键． 根据平移性质得到阴影部分面积等于梯形的面积，然后利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移性质得，，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：34． 14. 距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当时，w的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键． 先利用待定系数法求得抛物线解析式，从而得到顶点坐标，再结合函数图象即可求解． 【详解】∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒， ∴抛物线的顶点的纵坐标为20，且经过点， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴，， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的最高点的坐标为． 当时，，当时，， ∵，， ∴当时，w的取值范围是：． 故答案为：． 三、解答题（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，再把除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 16. 如图，时下有一种四人对战桌游十分流行，游戏开始前，四个人通常经过抽签决定座位A、B、C、D．小明和小张一同报名参加了这项桌游． （1）小明抽中A座位的概率为______； （2）若面对面座位上的两人视为游戏中的盟友，求小明和小张成为盟友的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小张成为盟友的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小明抽中A座位的概率为； 【小问2详解】 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中小明和小张成为盟友的结果有：（A，C），（B，D），（C，A），（D，B），共4种结果， ∴小明和小张成为盟友的概率为． 17. 李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量． 【答案】李老师的电动汽车峰时充电量为50度，谷时充电量为130度 【解析】 【分析】设李老师的电动汽车峰时充电量为x度，谷时充电量为y度，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设李老师的电动汽车峰时充电量为x度，谷时充电量为y度， 根据题意，得， 解得，， 答：李老师电动汽车峰时充电量为50度，谷时充电量为130度． 18. 如图 ，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是菱形； （2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是_ ． 【答案】（1）证明见解析；（2）矩形 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质求出OA=OD，证出四边形AODE是平行四边形即可； （2）根据菱形的性质求出∠AOD=90°，再证出四边形AODE是平行四边形即可． 【详解】解：（1）∵矩形ABCD， ∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD， ∴OA=OD， ∵DE∥CA，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∴四边形AODE是菱形． （2）∵DE∥CA，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=90°， ∴平行四边形AODE是矩形． 故答案为：矩形． 【点睛】本题主要考查对菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形是平行四边形和证正出∠AOD=90°、OA=OD是解此题的关键． 19. 【问题背景】在中，，，三边的边长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点，如图1所示．这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积． （1）直接写出的面积，___________． （2）【思维拓展】若三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格中画出（每个小正方形的边长为）． （3）【探索创新】若的三边长分别为，，（，，且）．试运用构图法求出的面积． 【答案】（1）； （2） 如图：即为所作： （3）的面积． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题； （1）直接根据割补法求解即可； （2）根据 三边的长分别为，，，可得画出图形即可； （3）根据题意画出图形，利用割补法可得，求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 如图③，的面积． 20. 近些年，新能源汽车以其清洁环保、使用成本低、高能源利用率等优点，慢慢走进人们的生活．下面是我国某区域2023年各季度新能源汽车销售量情况统计图． （1）这个区域2023年共销售新能源汽车______万辆，其中一季度销售______万辆. （2）将上面的条形统计图和扇形统计图中缺失的数据填、画完整． （3）2023年平均每季度的增长量为 （4）结合以上信息，请你预测2024年这个区域新能源汽车的销售量可能是______万辆.将你预测的理由写在下面． 【答案】（1）120，18 （2）图见解析 （3）9万 （4）270 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图运用，能够将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联是解题的关键． （1）根据二季度的销量和百分比可求出总销售量；用总销售量乘以一季度的百分比即可求出一季度的销量； （2）根据（1）的到第一季度的销量，可补充条形统计图；用三季度的销量除以总销量求出三季度的百分比，即可补全扇形统计图； （3）先每季度的增长量，然后再求平均数即可； （3）根据2023年销量预测2024年的销量即可． 【小问1详解】 解：总销量为（万辆）， 一季度销量为（万辆）． 故答案为：120，18． 【小问2详解】 解：三季度的百分比为：；由（1）得一季度销量为18万辆， 则条形统计图和扇形统计图如图所示： ． 【小问3详解】 解：2023年平均每季度的增长量为：万． 故答案为：9万． 【小问4详解】 解：=270（万辆）． 故答案为：270． 21. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示． ； （1）以下是点M，N，P所代表的实际意义，请将M，N，P填入对应的横线上． ①甲到达终点： ；②甲、乙两人相遇： ；③乙到达终点： ． （2）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？ 【答案】（1）P ，M，N； （2）甲出发或小时后，甲、乙两人相距； 【解析】 【分析】本题考查一次函数应用，函数图象的意义： （1）根据函数图象，两个相距为0时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，最后达到最大停止即可得到答案； （2）分相遇前相距km，即第一段图象上，相遇后相距180km，即在第三段图象上，分别求出解析式代入求解即可得到答案 【小问1详解】 解：由图象可得， 点上，此时两人相遇， 点N之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点， 点P表示两人距离为，此时甲到达终点 故答案为：P ，M，N； 【小问2详解】 解：设第一段解析式为：， 将点 ，代入得， ，解得：， ∴， 当时，， 解得：， 设第三段解析式为：：， 将点 ，代入得， ，解得：， ∴， 当时，， 解得：， 综上所述：甲出发或小时后，甲、乙两人相距． 22. 综合与实践 如图1，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将沿折痕展开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点． 【数学思考】 （1）折痕的长为______； （2）绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 （3）绕点旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点时，的长为______； ②如图3，当直线时，的长为______； 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 【答案】（1）3 （2），证明见解析 （3）①；②3 （4） 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，，再证是的中位线，即可得出结论； （2）连接，由旋转知，，，再证，即可得出结论； （3）①由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设，然后在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； ②过作于，交于．则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论； （4）连接，则，当、、三点共线，且点F在线段上时，，此时最小，由直角三角形的性质得，即可求得最小值为2；当、、三点共线，且点F在延长线上时，，此时最大，即可求得最大值为8；即可解决问题． 【小问1详解】 解：由折叠的性质得：，， ， ， ， 是的中位线， 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图1，连接， 由旋转的性质得：，， 在和中， ， ∴， ； 【小问3详解】 解：①由旋转的性质得：，， ， ， ， ， ， 设， 在中，， 即， 解得：， ； ②如图3，过作于，交于． 则四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； 【小问4详解】 解：如图4，连接， 则， 当、、三点共线，且点F在线段上时，， 此时的值最小，最小， ，， ， ， 的最小值， 当、、三点共线，且点F在延长线上时， ， 此时，最大， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 23. 如图，在中，，，．点从点出发沿→→方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒3个单位、4个单位，同时点从点出发沿→→方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒4个单位、5个单位．当、、不共线时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为（秒）． （1）_________． （2）求的长度（用含的代数式表示）． （3）当平行四边形被线段分成两部分的面积比为时，求的值． （4）作四边形的对角线，当与某边平行时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） （4），， 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得的长，即可求得的值； （2）分两种情况：当时，，当时， （3）通过面积比可推得，可得到，等量替换可得，通过， ，可求出值； （4）分三种情况：当时，通过平行线的性质可得，求得，根据，求得值；当时，通过平行线的性质可得四边形为矩形，根据，求得值；当时，通过平行线的性质可得，代入即可求得值． 【小问1详解】 ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 当时，， 当时，； 【小问3详解】 如图，与交于点，当平行四边形面积被分成时 即三角形的面积与四边形面积比为 故 ∴；即 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 解得． 【小问4详解】 ①当时，连接，过点作交于点，如图1 ∵ ∴ 即 又∵ ∴ 即 ∴ 又∵，， ∴ 解得； ②当时，连接，如图2 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴四边形为矩形 ∴ 又∵， ∴ 解得； ③当时，连接，与交与点，如图3 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 故 解得 故当，，时，与某边平行． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数，平行线的性质等知识点，运用数形结合的方法和分类讨论的思想是解决该类试题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）的顶点坐标为，抛物线与轴交于、两点，点位于点的左侧，点在抛物线上，且点的横坐标为，当点不与点和点重合时，过点作轴的垂线，与轴交于点，以、为邻边作矩形． （1）求该抛物线函数表达式； （2）求点与点的坐标； （3）当矩形的对角线互相垂直时，求的值； （4）点关于对称轴的对称点为点，连结，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）， （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）令，解得，，即可求解； （3）当矩形的对角线互相垂直时，则该矩形为正方形，则，即可求解； （4）由，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线，为常数）的顶点坐标为 ∴， 解得， 该抛物线函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点，点位于点的左侧， ∴令，解得，， ，； 【小问3详解】 解：当矩形的对角线互相垂直时，则该矩形为正方形， 则， 由题意知，点，则， 而， 则， 解得（舍或， 即或4； 【小问4详解】 解：设点， 而抛物线的对称轴为直线，则点， 点、点， 则，， 则， 或3， 则， 解得：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法解解析式，特殊四边形的性质、解直角三角形等，熟悉特殊四边形之间的关系和会解绝对值问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在实数0、、、中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. D. 2. 从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟200多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超70000000次．其中70000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯（sǔnmǎo），是一种中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种榫，其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的外接圆，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 6. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（ ） ①；②； ③． A. ①②③ B. ②③ C. ② D. ③ 8. 如图，直线分别与轴、轴交于，两点，以为边作正方形，双曲线经过点，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 分解因式：=_________________________． 10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________． 11. 东西塔是泉州古城的标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离西塔塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为，则可估算出西塔的高度为______米．（结果保留整数，参考数据：，，）． 12. 如图，在中，，，，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到．若第一次经过点时停止旋转，此时与交于点，则点走过的路径长为__________． 13. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为_________． 14. 距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当时，w的取值范围是________． 三、解答题（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，时下有一种四人对战桌游十分流行，游戏开始前，四个人通常经过抽签决定座位A、B、C、D．小明和小张一同报名参加了这项桌游． （1）小明抽中A座位的概率为______； （2）若面对面座位上的两人视为游戏中的盟友，求小明和小张成为盟友的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 17. 李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量． 18. 如图 ，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是菱形； （2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是_ ． 19. 【问题背景】在中，，，三边的边长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点，如图1所示．这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积． （1）直接写出的面积，___________． （2）【思维拓展】若三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格中画出（每个小正方形的边长为）． （3）【探索创新】若的三边长分别为，，（，，且）．试运用构图法求出的面积． 20. 近些年，新能源汽车以其清洁环保、使用成本低、高能源利用率等优点，慢慢走进人们的生活．下面是我国某区域2023年各季度新能源汽车销售量情况统计图． （1）这个区域2023年共销售新能源汽车______万辆，其中一季度销售______万辆. （2）将上面的条形统计图和扇形统计图中缺失的数据填、画完整． （3）2023年平均每季度的增长量为 （4）结合以上信息，请你预测2024年这个区域新能源汽车的销售量可能是______万辆.将你预测的理由写在下面． 21. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示． ； （1）以下是点M，N，P所代表的实际意义，请将M，N，P填入对应的横线上． ①甲到达终点： ；②甲、乙两人相遇： ；③乙到达终点： ． （2）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？ 22. 综合与实践 如图1，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将沿折痕展开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点． 【数学思考】 （1）折痕的长为______； （2）绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 （3）绕点旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点时，的长为______； ②如图3，当直线时，的长为______； 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 23. 如图，在中，，，．点从点出发沿→→方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒3个单位、4个单位，同时点从点出发沿→→方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒4个单位、5个单位．当、、不共线时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为（秒）． （1）_________． （2）求的长度（用含的代数式表示）． （3）当平行四边形被线段分成两部分的面积比为时，求的值． （4）作四边形的对角线，当与某边平行时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）的顶点坐标为，抛物线与轴交于、两点，点位于点的左侧，点在抛物线上，且点的横坐标为，当点不与点和点重合时，过点作轴的垂线，与轴交于点，以、为邻边作矩形． （1）求该抛物线函数表达式； （2）求点与点的坐标； （3）当矩形的对角线互相垂直时，求的值； （4）点关于对称轴的对称点为点，连结，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $