精品解析：2024年内蒙古呼伦贝尔市阿荣旗九年级下学期中考二模数学试题

2024年阿荣旗初中毕业生学业水平二模测试 数学 温馨提示： 1．本试卷共8页，满分120分.考试时间120分钟. 2．答卷前务必将自己的姓名、考号、座位号、试卷类型（A或B）涂写在答题卡上；选择题答案选出后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD等）涂黑，如需改动，请先用橡皮擦拭干净，再改涂其他答案；非选择题请用0.5毫米的黑色字迹签字笔直接答在答题卡上.在试卷上作答无效. 3．请将姓名与考号填写在本试卷相应位置上. 一.选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，正三角形的边长为，则它的外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 4. 的倒数是（ 　 ） A. B. C. D. 5. 如图，直线平分，那么度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小灯泡发光．任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为，，则菱形的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 8. 在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少．设甲队每小时检测人，根据题意，可列方程为　　 A. B. C. D. 9. 如图，在中，.以中点O为圆心的圆分别与，相切于D，E两点，则弧的长为( ). A. B. C. D. π 10. 已知m是方程的一个根，则代数式的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 11. 如图，四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则长度的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 某校数学兴趣小组探究出一种新的计算两位数的平方运算的方法，具体做法如图1，2，3所示．按照这种方法，如图4所示结果是一个两位数的平方，则这个两位数是（ ） A. 69 B. 79 C. 91 D. 93 二．填空题（每小题3分，共15分） 13. 当________时，分式的值为0． 14. 如图是某几何体的三视图及相关数据，请根据有关信息得这个几何体的全面积是______． 15. 计算：20202﹣4040×2019+20192＝_____． 16. 如图，将长、宽矩形纸片折叠，使点与重合，则折痕的长为_________． 17. 过坐标原点，与轴、轴相交于点A、B，且，反比例函数的图象经过圆心，作射线，则图中阴影部分面积为______． 三．解答题（每小题6分，共24分） 18. 已知，求代数式的值． 19. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=2+． 20. 点O为塔楼底面中心，测角仪高度，在B，D处分别测得塔楼顶端的仰角为27°，45°，，点B，D，O在同一条直线上，求塔楼的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：） 21. 李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题： （1）求关于的函数解析式； （2）当货车显示加油提醒后，问行驶时间在怎样的范围内货车应进站加油？ 四．（本题7分） 22. 如图，中，，射线． （1）在原图上用尺规作图完成以下基本作图：在射线上截取线段，使；连结，作的角平分线交于点E，连结．（保留作图痕迹，不写作法） （2）小陈在（1）所作的图形中发现，并给出了以下证明，请你将他的证明过程补充完整： 证明：∵， ∴___________①， ∴， ∴， ∵___________②， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵___________③， ∴是等边三角形， ∴， ∴___________④， ∴． 五．（本题8分） 23. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表： 阅读时间在范围内的数据： 40，50，45，50，40，55，45，40 不完整的统计图表： 课外阅读时间 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的 ； （2）统计图中B组对应扇形的圆心角为 度； （3）阅读时间在范围内的数据的众数是 ；调查的20名同学课外阅读时间的中位数是 ； （4）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数． （5）A等级学生中只有一名男生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择两名女生的概率． 六．（本题8分） 24. 如图，在中，，AE是BC边上的高线，BM平分交AE于点M，经过B，M两点的交BC于点G，交AB于点F，FB为的直径． （1）求证：AM是的切线； （2）当，时，求半径． 七.（本题9分） 25. 在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元． （1）求A、B两种防疫物品每件各多少元； （2）现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？ 八．（本题13分） 26. 如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 （1）求抛物线的关系式； （2）是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年阿荣旗初中毕业生学业水平二模测试 数学 温馨提示： 1．本试卷共8页，满分120分.考试时间120分钟. 2．答卷前务必将自己的姓名、考号、座位号、试卷类型（A或B）涂写在答题卡上；选择题答案选出后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD等）涂黑，如需改动，请先用橡皮擦拭干净，再改涂其他答案；非选择题请用0.5毫米的黑色字迹签字笔直接答在答题卡上.在试卷上作答无效. 3．请将姓名与考号填写在本试卷相应位置上. 一.选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将0.00000201表示成的形式，其中，，进而可得结果． 【详解】解：将0.00000201表示成的形式，其中，为负整数 ∵ ， ∴0.00000201表示成 故选C． 【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于求出的值． 3. 如图，正三角形的边长为，则它的外接圆的半径为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，过点作于点，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，进而求出，根据余弦定义计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点， 则， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查是圆周角定理、垂径定理、等边三角形的性质、余弦的定义，掌握圆周角定理是解题的关键． 4. 的倒数是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的性质可得，再利用倒数定义即可求解． 【详解】解：， ∴的倒数是． 故选：C 【点睛】本题主要查了求算术平方根，倒数，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 5. 如图，直线平分，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对顶角相等可得∠1=∠ABD=70°，由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补可求得∠CDB=110°，再由AD平分∠CDB求出∠ADC=55°；由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等即可得到∠2=∠ADC=55°． 【详解】∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB=180°， ∵∠1=∠ABD=70°， ∴∠CDB=110°， ∵AD平分∠CDB， ∴∠ADC=55°， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠ADC=55°． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质角、平分线的定义、对顶角的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键． 6. 如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小灯泡发光．任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】让小灯泡发光的情况数除以总情况数即为发光的概率． 【详解】解：共有4个开关，闭合其中一个开关，有4种情况， 只有闭合D才能使灯泡发光， ∴小灯泡发光的概率=． 故选：C． 【点睛】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为，，则菱形的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 【答案】D 【解析】 【分析】四边形是菱形，，则，，在中，，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点A的坐标为， ∴， 在中，， ∴菱形的周长为, 故选：D 【点睛】此题考查了菱形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 8. 在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少．设甲队每小时检测人，根据题意，可列方程为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设甲队每小时检测人，根据甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少，列出分式方程，即可解答． 【详解】设甲队每小时检测人，根据题意得， ， 故选． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程． 9. 如图，在中，.以的中点O为圆心的圆分别与，相切于D，E两点，则弧的长为( ). A. B. C. D. π 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由切线的性质可知，又由可得四边形是矩形，得出，证明,得出，由于O是的中点，从而可知是中位线，所以可知，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：连接， 设半径为r， ∵分别与相切于D，E两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴ ∴，即 ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 同理可知：， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理可知， ∴， ∴的长为=． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质以及中位线定理，解题的关键是连接后利用中位线的性质求出半径r的值． 10. 已知m是方程的一个根，则代数式的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，即可求得，然后将其代入所求的代数式，再估算出，据此求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值应在3和4之间， 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，无理数的估算．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值． 11. 如图，四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则长度的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形中位线定理，连接，根据中位线定理的判定和性质得到，推出当点与点重合时，的值最大，即最大，在中求出长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点E，F分别为DM，MN的中点， ∴是的中位线， ， ∴当点与点重合时，的值最大，即最大， 在中，， ， 的最大值， 故选：B． 12. 某校数学兴趣小组探究出一种新的计算两位数的平方运算的方法，具体做法如图1，2，3所示．按照这种方法，如图4所示结果是一个两位数的平方，则这个两位数是（ ） A. 69 B. 79 C. 91 D. 93 【答案】B 【解析】 【分析】观察发现表格中倒数第二行的数字是十位数字的倍与个位数字的乘积，即可得到答案． 【详解】解：观察发现表格中倒数第二行的数字是十位数字的倍与个位数字的乘积， 故个位数为， 设所求的数字的十位数为， 则， 解得， 故答案为， 故选B． 【点睛】本题主要考查根据观察找到规律，找到正确的规律是解题关键． 二．填空题（每小题3分，共15分） 13. 当________时，分式的值为0． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式值为0分子为0，分母不为0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴， 故答案为：2． 14. 如图是某几何体的三视图及相关数据，请根据有关信息得这个几何体的全面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，圆锥的侧面积，由三视图可知几何体为圆锥，求出圆锥的母线长，再根据圆锥的全面积等于侧面积底面积即可求解，掌握圆锥侧面积的计算是解题的关键． 【详解】解：由三视图可知，几何体为圆锥， 由图可得圆锥的母线长， ∴这个几何体的全面积为， 故答案为：． 15. 计算：20202﹣4040×2019+20192＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据完全平方公式，可得答案． 【详解】解：20202﹣4040×2019+20192 ＝20202﹣2×2020×2019+20192 ＝（2020﹣2019）2 ＝12 ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键是掌握完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2． 16. 如图，将长、宽的矩形纸片折叠，使点与重合，则折痕的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，与交于点，则垂直平分，由勾股定理求出长，得出长，设，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，由勾股定理求出的长，证明，得出，即可得出的长． 【详解】解：连接，与交于点， ∵点在上，在上，、点重合，是折痕， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即折痕的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． 17. 过坐标原点，与轴、轴相交于点A、B，且，反比例函数的图象经过圆心，作射线，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，易得是直径，根据勾股定理，可求出半径，再求出的面积和扇形的面积即是阴影部分的面积． 【详解】连接，如图所示， ， 是直径， ， 根据勾股定理，得， 半径为， 根据图形的对称性可将阴影部分转换为一个等腰直角三角形和一个四分之一圆，则： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与圆的综合，熟练掌握反比例函数的性质与圆的性质是解题的关键． 三．解答题（每小题6分，共24分） 18. 已知，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的混合运算，零次幂，负正指数幂，完全平方公式，掌握相关计算的法则是解决问题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴． 19. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=2+． 【答案】原式==+1． 【解析】 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得． 【详解】解：原式=， =， =， 当a=2+， 原式=． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则． 20. 点O为塔楼底面中心，测角仪高度，在B，D处分别测得塔楼顶端的仰角为27°，45°，，点B，D，O在同一条直线上，求塔楼的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：） 【答案】塔楼的高度为米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．延长交于点E，解，进行求解即可． 【详解】解：延长交于点E，则，，， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， 即， 解得， ∴， 答：塔楼的高度为18.2米． 21. 李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题： （1）求关于的函数解析式； （2）当货车显示加油提醒后，问行驶时间在怎样的范围内货车应进站加油？ 【答案】（1）s＝﹣80t＋880（0≤t≤11） （2）＜t＜ 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）当油箱中剩余油量为10升时和当油箱中剩余油量为0升时，求出t的取值即可． 【小问1详解】 设s＝kt＋b（k≠0）， 将（0，880）和（4，560）代入s＝kt＋b得， ， 解得：， ∴s＝﹣80t＋880（0≤t≤11）， 答：s关于t的函数解析式：s＝﹣80t＋880（0≤t≤11）； 【小问2详解】 ①当邮箱中剩余油量为10升时， s＝880﹣（60﹣10）÷0.1＝380（千米）， ∴380＝﹣80t＋880， 解得：（小时）， ②当邮箱中剩余油量为0升时， s＝880﹣60÷0.1＝280（千米）， ∴280＝﹣80t＋880， 解得：（小时）， ∵k＝﹣80＜0， ∴s随t的增大而减小， ∴t的取值范围是＜t＜. 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 四．（本题7分） 22. 如图，在中，，射线． （1）在原图上用尺规作图完成以下基本作图：在射线上截取线段，使；连结，作的角平分线交于点E，连结．（保留作图痕迹，不写作法） （2）小陈在（1）所作的图形中发现，并给出了以下证明，请你将他的证明过程补充完整： 证明：∵， ∴___________①， ∴， ∴， ∵___________②， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵___________③， ∴是等边三角形， ∴， ∴___________④， ∴． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形；平分；； 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的基本作图画图； （2）根据题中步骤分析填写． 【小问1详解】 如图： 即为所求； 【小问2详解】 证明：∵， ∴__四边形是平行四边形 _①， ∴， ∴， ∵_平分__________②， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵___③， ∴是等边三角形， ∴， ∴______④， ∴． 故答案为：四边形是平行四边形；平分；； 【点睛】本题考查了作图，掌握平行四边形的性质和判定及等边三角形的性质是解题的关键． 五．（本题8分） 23. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表： 阅读时间在范围内的数据： 40，50，45，50，40，55，45，40 不完整的统计图表： 课外阅读时间 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的 ； （2）统计图中B组对应扇形的圆心角为 度； （3）阅读时间在范围内的数据的众数是 ；调查的20名同学课外阅读时间的中位数是 ； （4）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数． （5）A等级学生中只有一名男生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择两名女生的概率． 【答案】（1）5 （2）144 （3）40，42.5 （4）480名 （5） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、中位数、众数、扇形统计图以及用样本估计总体，列表法或树状图求概率． （1）用样本容量乘可得a的值， （2）用乘B等级所占比例即可； （3）分别根据众数和中位数的定义解答即可； （4）用800乘样本中课外阅读时间不少于的人数所占比例即可； （5）用样本容量分别减去其他等级的频数可得b的值；列出树状图，再利用概率公式． 【小问1详解】 解：由题意得，（人）， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：统计图中B组对应扇形的圆心角为， 故答案为：144； 【小问3详解】 解：由题意可知，阅读时间在范围内的数据的众数是40，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是． 故答案为：40，42.5； 【小问4详解】 解：（名）， 答：估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数大约为480名； 【小问5详解】 解：（人）， 画树状图如下： ∴一共有12中等可能的情况， 其中恰好选择两名女生的情况有6种， ∴恰好选择两名女生的概率为． 六．（本题8分） 24. 如图，在中，，AE是BC边上的高线，BM平分交AE于点M，经过B，M两点的交BC于点G，交AB于点F，FB为的直径． （1）求证：AM是的切线； （2）当，时，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）连接OM，易证OM∥BC，由于AE是BC边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM是⊙O的切线． （2）由于AB=AC，从而可知EC=BE=3，由可以求出AB的值，再在中，设，由，得到，最后由得到一个方程，解方程即可求出半径． 【小问1详解】 连接OM． ∵BM平分∠ABC， ∴∠1＝∠2 又∵， ∴∠1＝∠3 ∴∠2＝∠3， ∴ ∵AE是BC边上的高线， ∴， ∴ 又OM为半径， ∴AM是的切线 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ 在中 ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 在中， ∴， 设，则 ∴， 解得 故的半径为 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力．解题的关键是利用相等角的三角函数值相等． 七.（本题9分） 25. 在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元． （1）求A、B两种防疫物品每件各多少元； （2）现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？ 【答案】（1）A种防疫物品每件12元，B种防疫物品每件16元 （2）A种防疫物品最少购买200件 【解析】 【分析】（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据“如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品件，根据总价、单价、数量的关系，结合总费用不超过4000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元， 依题意，得， 解得． 答：A种防疫物品每件12元，B种防疫物品每件16元； 【小问2详解】 解：设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品件， 依题意，得：， 解得：， ∴m的最小值为200． 答：A种防疫物品最少购买200件． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，列出关于m的一元一次不等式． 八．（本题13分） 26. 如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 （1）求抛物线的关系式； （2）是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），面积最大为 （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将B，C两点坐标代入，利用待定系数法求解； （2）连接，过M作x轴的垂线交于点N，，其中为定值，设M点坐标为，则，化为顶点式，即可求出最值； （3）取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，由直角三角形斜边中线的性质可得，设点P坐标为，利用勾股定理解，求出n的值即可． 【小问1详解】 解：把B，C两点坐标代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，过M作x轴的垂线交于点N， 在中，令， 解得或， ∴A点坐标为． ∴，且， ∴， ∵， ， ∴直线BC解析式为， 设M点坐标为，则N点坐标为， ∵M在第四象限， ∴， ∴， ∴当时，，， ∴当M为时，四边形的面积有最大值， 最大值． 【小问3详解】 解：存在．如图，取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q， 在中，由勾股定理得， 由题意，当时，， 易求，抛物线的对称轴为直线， 设点P坐标为， ∴， ， 由，得， 解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数的最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $