山西省忻州市2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题

学 校 ⾼ ⼆ 数 学 试 题 注 意 事 项 ： 1. 答 题 前 ， 考 ⽣ 务 必 将 ⾃ ⼰ 的 姓 名 、 考 ⽣ 号 、 考 场 号 、 座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上 。 2. 回 答 选 择 题 时 ， 选 出 每 ⼩ 题 答 案 后 ， ⽤ 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 ⽬ 的 答 案 标 号 涂 ⿊ 。 如 需 改 动 ， ⽤ 橡 ⽪ 擦 ⼲ 净 后 ， 再 选 涂 其 他 答 案 标 号 。 回 答 ⾮ 选 择 题 时 ， 将 答 案 写 在 答 题 卡 上 。 写 在 本 试 卷 上 ⽆ 效 。 3. 考 试 结 束 后 ， 将 本 试 卷 和 答 题 卡 ⼀ 并 交 回 。 4. 本 试 卷 主 要 考 试 内 容 ： ⼈ 教 A 版 选 择 性 必 修 第 ⼀ 册 ⾄ 第 三 册 。 ⼀ 、 选 择 题 ： 本 题 共 8⼩ 题 ， 每 ⼩ 题 5分 ， 共 40 分 .在 每 ⼩ 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 ⼀ 个 选 项 是 符 合 题 ⽬ 要 求 的 . 1. 将 代 数 式 （ z⼗ y+ ⼗ m +n ） （ a+ b+ c+ d+ e+ 展 开 后 ， 共 有 A. 11 项 C .3 0项 B. 25 项 D .3 6项 2. 已 知 随 机 变 量 X服 从 正 态 分 布 N （ 4, d’ ） ， 且 P（ X≤ a） P （ X≥ 6） ， 则 a+ b= D .1 6 3. 已 知 5对 成 对 样 本 数 据 （ 1, 2） ， （ 3, 3） ， （ 5, 6） ， （ 7, 9） ， （ 9, 10 ） 成 线 性 关 系 ， 样 本 相 关 系 数 为 ⼒ ， 去 掉 1对 数 据 （ 5, 6） 后 ， 剩 下 的 4对 成 对 样 本 数 据 成 线 性 关 系 ， 样 本 相 关 系 数 为 r2 ， 则 A. n= T2 B. n> r2 C .n r D .ri ， r2 的 ⼤ ⼩ ⽆ 法 确 定 4. 在 空 间 直 ⻆ 坐 标 系 中 ， 直 线 1的 ⼀ 个 ⽅ 向 向 量 为 m =（ 0, 2, 1） ， 平 ⾯ a的 ⼀ 个 法 向 量 为 n= （ 2， 1, 0） ， 则 直 线 1与 平 ⾯ a所 成 ⻆ 的 正 弦 值 为 A. k 7 B C .2 D . 5. ⽤ 0, 3, 5， 7， 9组 成 的 ⽆ 重 复 数 字 的 五 位 数 中 ， 个 位 上 的 数 字 ⽐ ⼗ 位 上 的 数 字 更 ⼤ 的 五 位 数 的 个 数 为 A. 48 B. 96 C .6 0 D . 65 .某 商 场 有 a ， 6 两 种 抽 奖 活 动 ， Q ， 两 种 抽 奖 活 动 中 奖 的 概 率 分 别 为 号 ， ⾔ ， 每 ⼈ 只 能 参 加 其 中 ⼀ 种 抽 奖 活 动 .甲 参 加 a， 6两 种 抽 奖 活 动 的 概 率 分 别 为 号 ， 号 ， 已 知 甲 中 奖 ， 则 甲 参 加 a抽 奖 活 动 中 奖 的 概 率 ⼒ B. 云 ca n 【 ⾼ ⼆ 数 学 第 1⻚ （ 共 4⻚ ） 】 •2 4- 5 46 B• 7. 学 校 要 安 排 ⼀ 场 ⽂ 艺 晚 会 的 12 个 节 ⽬ （ 2个 ⼩ 品 节 ⽬ 、 2个 话 剧 节 ⽬ 、 4个 ⾳ 乐 节 ⽬ 、 4个 舞 蹈 节 ⽬ ） 的 演 出 顺 序 ， 要 求 2个 ⼩ 品 节 ⽬ 必 须 相 邻 ， 2个 话 剧 节 ⽬ 不 能 相 邻 ， 则 不 同 的 排 法 数 为 A. AZ AB AP o B. AZ AB A。 C .A ZA BA B D . A BA 8A B 8. 在 空 间 直 ⻆ 坐 标 系 O ry 中 ， O zy 平 ⾯ 、 O y 平 ⾯ 、 O z 平 ⾯ 把 空 间 分 成 了 ⼋ 个 部 分 .在 空 间 直 ⻆ 坐 标 系 O xy x 中 ， 确 定 若 ⼲ 个 点 ， 点 的 横 坐 标 、 纵 坐 标 、 竖 坐 标 均 取 ⾃ 集 合 （ ⼀ 2, 5, 9） ， 这 样 的 点 共 有 n个 ， 从 这 n个 点 中 任 选 2个 ， 则 这 2个 点 在 同 ⼀ 个 部 分 的 概 率 为 A• 35 1 c当 ⼝ . ⼆ 、 选 择 题 ： 本 题 共 3⼩ 题 ， 每 ⼩ 题 6分 ， 共 18 分 .在 每 ⼩ 题 给 出 的 选 项 中 ， 有 多 项 符 合 题 ⽬ 要 求 .全 部 选 对 的 得 6分 ， 部 分 选 对 的 得 部 分 分 ， 有 选 错 的 得 0分 . A. （ 2- z） 20 的 展 开 式 中 奇 数 项 的 ⼆ 项 式 系 数 之 和 为 21 0 B. al + az +… +a 2o =1 — 22 0 C .a 1g =- 40 D . f ⼀ 1） 除 以 10 的 余 数 为 9 10 . 在 4张 奖 券 中 ， ⼀ 、 ⼆ 、 三 、 四 等 奖 各 1张 ， 将 这 4张 奖 券 分 给 甲 、 ⼄ 、 丙 、 丁 四 个 ⼈ ， 每 ⼈ ⾄ 多 2 张 ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 A. 若 甲 、 ⼄ 、 丙 、 丁 均 获 奖 ， 则 共 有 24 种 不 同 的 获 奖 情 况 B. 若 甲 获 得 了 ⼀ 等 奖 和 ⼆ 等 奖 ， 则 共 有 6种 不 同 的 获 奖 情 况 C . 若 仅 有 两 ⼈ 获 奖 ， 则 共 有 36 种 不 同 的 获 奖 情 况 D .若 仅 有 三 ⼈ 获 奖 ， 则 共 有 14 4种 不 同 的 获 奖 情 况 11 .已 知 正 数 a, b, c成 等 差 数 列 ， 且 随 机 变 量 X的 分 布 列 下 列 选 项 正 确 的 是 A. 6= 元 C 吉 <E （ X） <号 B at c= 三 、 填 空 题 ： 本 题 共 3 ⼩ 题 ， 每 ⼩ 题 5分 ， 共 15 分 . 12 . 某 图 书 馆 有 ⽂ 化 类 图 书 30 0本 ， 科 学 类 图 书 40 0本 ， 若 甲 从 这 两 类 图 书 中 借 阅 ⼀ 本 ， 则 不 同 的 选 法 共 有 13 .若 等 ⽐ 数 列 ｛ an ｝ （ an EN +） 单 调 递 增 ， 且 a2 ， Q s ⼗ 4， a。 成 等 差 数 列 ， 则 ka .｝ 的 公 ⽐ 为 . 14 .如 图 ， ⼀ 个 质 点 在 随 机 外 ⼒ 的 作 ⽤ 下 ， 从 原 点 0出 发 ， 每 次 等 可 能 地 向 左 或 向 右 移 动 ⼀ 个 单 位 ⻓ 度 ， 共 移 动 8次 ， 则 质 点 经 过 ⼀ 2且 最 终 到 达 2的 位 置 的 概 率 ⼒ ， 【 ⾼ ⼆ 数 学 第 2⻚ （ 共 4⻚ ） 】 四 、 解 答 题 ： 本 题 共 5⼩ 题 ， 共 71 分 .解 答 应 写 出 ⽂ 字 说 明 ， 证 阴 过 程 或 演 算 步 骤 . 15 .（ 13 分 ） 某 ⽣ 产 企 业 对 原 有 的 ⽣ 产 线 进 ⾏ 技 术 升 级 ， 在 技 术 升 级 前 后 ， 分 别 从 其 产 品 中 随 机 抽 取 样 本 数 据 进 ⾏ 统 计 ， 制 作 了 如 下 2× 2列 联 表 ： 合 格 品 合 计 不 合 格 品 升 级 前 12 0 20 0 80 升 级 后 15 0 20 0 50 合 计 27 0 40 0 13 0 （ 1） 根 据 上 表 ， 依 据 ⼩ 概 率 值 a= 0. 00 5的 x独 ⽴ 性 检 验 ， 能 否 认 为 产 品 的 合 格 率 与 技 术 是 否 升 级 有 关 ？ （ 2） 在 抽 取 的 所 有 合 格 品 中 ， 按 升 级 前 后 合 格 品 的 ⽐ 例 进 ⾏ 分 层 随 机 抽 样 ， 抽 取 9件 产 品 ， 然 有 Y件 ， 求 X> Y的 概 率 . nf ad -b c） ’ 0. 1 0. 05 2. 7 06 3. 84 1 0. 01 6. 6 35 0. 00 5 7. 87 9 0. 00 1 10 .8 28 16 .（ 15 分 ） 某 考 试 分 为 笔 试 和 ⾯ 试 两 个 部 分 ， 每 个 部 分 的 成 绩 分 为 A ,B ,C 三 个 等 级 ， 其 中 A等 级 得 3 分 、 B等 级 得 2分 、 C 等 级 得 1分 .甲 在 笔 试 中 获 得 A 等 级 、 B等 级 、 C 等 级 的 概 率 分 别 为 ⾔ ， 会 .， 在 ⾯ 试 中 获 得 A 等 级 .B 等 级 .C 等 级 的 税 率 分 别 为 步 -⾔ ， ⾔ ， 甲 笔 试 的 结 果 和 ⾯ 试 的 结 果 相 互 独 ⽴ . （ 1） 求 甲 在 笔 试 和 ⾯ 试 中 恰 有 ⼀ 次 获 得 A 等 级 的 概 率 ； （ 2） 求 甲 笔 试 和 ⾯ 试 的 得 分 之 和 X的 分 布 列 与 期 望 ， 【 ⾼ ⼆ 数 学 第 3⻚ （ 共 4⻚ ） 】 • 2 4- 54 6B • 点 ， 且 1A B/ =1 0. （ 1） 求 C 的 ⽅ 程 ； N 两 点 ， 证 明 ： IP AI 2= IM N •IA B. 18 .（ 17 分 ） （ 3） 设 6 5的 ⼩ 数 部 分 为 ， ⽐ 较 ＋ 12 z＋ 60 z'＋ 16 0 ’＋ 24 0z ＋ 19 0z 与 1的 ⼤ ⼩ 、 内 不 19 ， （ 17 .分 ） 已 知 函 数 f（ z） a z e- . （ 1） 讨 论 f（ ） 的 单 调 性 ； 其 川 • ｛ lb e 【 ⾼ ⼆ 数 学 第 4⻚ （ 共 4⻚ ） • 2 4- 高二数学试题参考答案 1.C共有CC=30项. 2.C由题意得a十b=2×4=8. 3.A由1十3+5+7+9=5,2+3+6+9+10=6，可知5对成对样本数据的样本中，心为(5,6)， 5 5 去掉1对数据(5,6)后，n=r2 B直线1与平面a所成角的正弦值为cosm:01一册丹-号 5.A万位上的数字不能为0，用0,3,5,7,9组成的无重复数字的五位数的个数为AA=96, 所以个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为5=48， 6.D用事件A,A:分别表示甲参加a,b两种抽奖活动，B表示甲中奖，则PA)=号，PA) -号，PBA)-号，P(BA)=号，由全概率公式得P(B)=P(A)P(BA)+PA) P(BA)=是所以PABP-PBAA=吉 P(B) P(B) 13 7.B先捆绑2个小品节日，再和4个音乐节日、4个舞蹈节日排列，然后插入2个话剧节日，不 同的排法数为AA8A. 8.B由题意得n=33=27.从这n个点中任选2个，共有C,种选法.若这2个点在同一个部 分，则这2个点的横坐标、纵坐标、竖坐标的正负均相同，所以八个部分中的点的个数分别为 2,2,2,2,2,2,2,1.故所求的概率为+3C+3C=40 C 351 9.BC(2一x)”的展开式中奇数项的二项式系数之和为20-1=2”，故A错误； 令x=0,可得ao=220,令x=1,a6十a1十a2十…十a2n=(2-1)0=1,则a1十a2十…十a=1 -22,故B正确；a10=C82(-1)1°=-40，故C正确：f(-1)=30=9°=(10-1)1°=101° C10°+-C。10+C8,故f(一1)除以10的余数为1，故D错误， 10.ACD若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有A=24种不同的获奖情况，A正确. 若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项， 共有A十A号=9种不同的获奖情况，B错误. 若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，共有光A-36种不同的获奖情况，C正确 若仅有三人获奖，则有-人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项，共有CAN=11种 不同的获奖情况，D正确， a十c=2b, b= 3 11.BCD由 得 A错误，B正确. a+b+c=1, a十c= 2 31 【高二数学·参考答案第1页（共4页）】 由a+c=号得0<<号.则EX)=a+26+3c=2x+号∈（号，号）.C正确， DX0=a1-(2c+号)r+[2-(2c+号J×3+c[3-(2c+号]=（号-c)(2c+3)P+ 号2一号+c(2c-哥=-+号c+号=-4c-吉y+号，当c=号时，DX0取得最 大值，且最大值为导，D正确， 12.700不同的选法共有300+400=700种 l3.2或3由题意得2(a十4)=a2十a4,得ae十a2g2-2a2q=a2(q-1)2=8.由an∈N,可知q ∈N+.当q=1时，{a.}不单调递增：当q=2时，a2=8,符合题意；当g=3时，a2=2,符合题 意：当q≥4时，a2氏N+,不符合题意.故{am}的公比为2或3. 14.是质点从原点0出发，经过一2且最终到达2的位置，需移动8次，其中必然有3次向左， 分为两类：第一类，当质点第2次移动到达一2的位置时，质点先向左移动了2次，在后续的 6次移动中，只要向左移动1次即可，则所求的概率为（受）”×C×号×(”=： 3 第二类，当前3次移动未到达一2，且第4次移动到达一2时，质点前4次的移动顺序为0→1 →0→一1→一2,0·一1-0·一1→一2，后续的4次移动中全部向右移动即可，则所求的概 率为2×（合×（号）=28故所求的概率为8十282 15.解：(1)零假设为H。:产品的合格率与技术是否升级无关 X二400X120X50160X80-40>10>7.879as,…………4分 270×130×200×200 根据小概率值a=0.005的X独立性检验，推晰H。不成立， 即认为产品的合格率与技术是否升级有关.……6分 (2)升级前后合格品的比例为4：5，故抽取的9件中有4件属于升级前生产的，有5件属于 升级后生产的. …55454…7 当X=4,Y=0时，P8= …9分 当X=3,Y=1时，P,=CC=10 C63 11分 则X>Y的概率P=P十P:=后 13分 16,解：1)甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率为号×（号+合）+（号+}）×司 2 …5分 (2)由题意得X的可能取值为2,3,4,5,6，…6分 PX=2)=号X6=307分 【高二数学·参考答案第2页（共4页）】 Px=3)=号x+×号 8分 PX=0=号x+号x+号×号-品 9分 P(X=5)= 31 10分 2 PX=6)= 5' 11分 则X的分布列为 X 2 3 4 5 6 p 品 3 30 吉 吉 13分 所以EX0)=2×+3×号+4×是+5×号+6号- 15分 17.(1)解：设A(1为)，B(2,y2). 因为点F的坐标为（号，0），所以y=2(x-号)=2x-p,…1分 (y2=2px, 由 y=2x-p, 得4江2-6p江十p=0,… 2分 则十x=6坐=32. 444……3分 42 从而AB引三x十x十p三10,5分 得p=4,所以C的方程为y2=8x,…6分 (2)证明：因为点F的坐标为(2,0)，直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x= y十2。…7分 y2=8x, 设M(xay),N(xy),由 可得y2一8ny-16=0,…8分 x=my+2 则%十y=8m, …9分 y%y4=-16, 所以MN=√1+m1y为一y|=√1+m√(y十y)2-4=√1+m·√64m2+64= 8(1十2).…11分 由(1)可知，l3y1一3=2x-x2=2√(x1十x)-4cx=2V62-4=45,…12分 因为点A,P的纵坐标分别为y12,且AP∥MN,所以PA=√1+m1-=45· 们十2，…13分 可得PA-80士m空=10=AB,即PA2=MN·AB.…15分 8(1十m2) 【高二数学·参考答案第3页（共4页）】 18.(1)解：.x2ymg(1,n∈N)的项即Cx2(y一2x)7展开式中的所有项，…2分 令x=y=之=1，得x2y""(m,n∈N)的所有项的系数之和为一C=一C号=一36. …4分 (2)证明：因为x3一3x2十3.x一1=(x一1)3，…6分 所以(x-3x+3x-10(1-=(x-101-2P=(x+-2) =(-2.x+L)9=x-1) 9 ……9分 所以(2-3x2十3x-1)3(1-)°展开式中的常数项为-C3.…10分 (3)解：由2=64<965<3，得65的整数部分为2，…11分 则65=x十2，… …12分 所以(x+2)5=65,即C%x5+2C.x5+2Cx+2Cx2+2*Cx2+2C.x+2C =x5+12.x5+60x+160x3+240.x2+192x十64=65，…15分 所以x5+12x3+60x+160x3十240zx2+192.x=1,…16分 因为x>0,所以x5+12.x5十60.x+160x3+240.x2+190x<1.…17分 19.解：(1)f(x)=a十e2-. …1分 当a≥0时，f(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增.…2分 当a<0时，f(x)=a十e2, 令f(x)>0,则x<2-ln(-a),令f(x)<0,则x>2-ln(-a), 所以f(.x)在（一o,2-ln(一a)上单调递增，在(2一ln(一a),+oo)上单调递减.…5分 (2)由fx≤nx十x,得a-c2≤nx+,即a≤+nx十x.…6分 令g(x)=+lnx+,则g(x)=二(+)e2+1+1=-z+1De+z(z+D x (x+1)(x-e2) …8分 令h(x)=x-e2,因为h(x)在(0，十o∞)上单调递增，且h(0)=-e2,h(2)=1,…10分 所以3x0∈(0,2)，h(x0）=x0一e2-6=0,…11分 所以当x∈(0，x)时，g'(x)<0,当x∈(xu,十o∞)时，g'(x)>0, 新以g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x6,十∞)上单调递增，…13分 所以g(xm=g()=+ln十.… …14分 因为xo一e2-o=0,所以xo=e2-o, e26 所以g(x)m-怎6十he十n=1+2-西十w=3,…16分 所以a≤3，即a的最大值为3.…17分 【高二数学·参考答案第4页（共4页）】