精品解析：福建省南安市侨光中学2023-2024学年高二下学期第2次阶段考试（5月月考）数学试题

侨光中学2024年春季高二第2次阶段考数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：150 分 ） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 过与直线平行的直线方程是 C. 点到直线的距离是 D. 若直线：，则 【答案】B 【解析】 【分析】求解直线的倾斜角判断A；求解直线方程判断B；点到直线的距离判断C；利用直线的斜率乘积判断D. 【详解】对于A，直线，直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为，所以A错误； 对于B，过与直线平行的直线方程是， 即，故B正确； 对于C，点到直线的距离是，所以C错误； 对于D，直线：的斜率为，故，故D错误. 故选：B． 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助概率乘法公式计算即可得. 【详解】， 故，即. 故选：A. 3. 已知等差数列，前项和为是方程两根，则（ ） A. 2020 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】D 【解析】 分析】利用韦达定理求得，然后利用等差数列通项性质求得，从而利用求和公式求解即可. 【详解】因为是方程两根，所以， 所以，所以. 故选：D 4. 用数字1，2，3排成一个四位数，要求每个数字至少用一次，则不同的四位数有（ ） A. 30个 B. 36个 C. 60个 D. 72个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意4位数种有2个数字相同，先选相同的数字，再排列四个数字即可. 【详解】解：由题意得：4位数中有2个数字相同， 从1，2，3中选一个数作为相同的数字有个， 然后从4个位置选2个位置，排剩余的2个数，有个， 最后两个位置放入相同的数有个， 故共有个. 故选：B. 5. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2． 6. 将三项式展开，得到下列等式：   广义杨辉三角形 第行                     第行                        第行                            第行                                第行                              观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第行为，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的个数不足个数时，缺少的数以计之和，第行共有个数则关于的多项式的展开式中，项的系数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的展开式的各项的系数符合广义杨辉三角形的规律，得到的展开式的各项的系数求解. 【详解】解：由题意得：的展开式的各项的系数符合广义杨辉三角形的规律： 第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数，缺少的数以0计）之和， 第k行共有个数， 根据广义杨辉三角形的规律，的展开式的各项的系数为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1， 则， 其展开式中含有的项为， 则， 所以项的系数为， 故选：A. 7. 已知随机变量分布列如表，则下列说法正确的是（ ） x y P y x A. 对任意，， B. 对任意，， C. 存在，， D. 存在，， 【答案】B 【解析】 【分析】对A、C：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对B：先求，利用作差法比较大小；对D：换元令，结合二次函数求的取值范围. 【详解】由题意可得：，且，即， 对A、C：由题意可得：， ∵开口向下，对称轴，， 则，故， 即，不存在x，，，C错误； 例如，则，即存在x，，，A错误； 对B：， 则， 故对任意x，，则，B正确； 对D：令， 则开口向下，对称轴，且， 故，即， 不存在x，，，D错误； 故选：B． 8. 已知双曲线C：的左、右焦点为，，过的直线l分别交双曲线C的左、右两支于A、B.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，设，，,根据双曲线的定义可得，利用余弦定理列出方程，结合求出，从而可求出渐近线方程. 【详解】因为， 设，，,其中， 由双曲线的定义可知，， 即，得， 所以，而， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，得，又， 所以，得， 双曲线的渐近线方程为. 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 给出下列命题，其中错误命题是（ ） A. 若样本数据（数据各不相同）的平均数为3，则样本数据，，…，的平均数为2 B. 随机变量的方差为，则 C. 随机变量服从正态分布，，则 D. 随机变量，若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A利用性质求解，选项B利用求解，选项C利用正态曲线的对称性求解，选项D利用二项分布的期望方差公式求解. 【详解】对于选项A，根据得：，故选项A错误； 对于选项B，根据得：，故选项B错误； 对于选项C，因为，所以，又因为，则，由正态分布的对称性可得：，故选项C正确； 对于选项D，随机变量，根据二项分布的期望和方差公式：，解得，故选项D错误. 故选：ABD 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用赋值法令求解出即可；对于B，先令，求出的值，再令，求出的值，两式联立解出即可；对于C，令，求出的值，再减去即可；对于D，令，求得，最后减去即可. 【详解】对于A，由题意：令，解得，所以选项A错误； 对于B，令，得， 令，， 得：， 所以，由， 所以， 所以选项B正确； 对于C，令，得， 所以，所以选项C错误； 对于D，令，， 所以，所以选项D正确. 故选：BD. 11. 若奇函数在上可导，当时，满足，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，令，解出即可；对于B、C、D，构造函数，由题意求导研究函数性质即可. 详解】对于A，令，则，所以， 所以选项A错误； 对于B，构造函数，则当时，， 所以在单调递增；所以， 所以，所以选项B正确； 对于C，构造函数，由时，， 所以，由， 又由选项B可知在单调递增，所以当时，， 即当，，所以在上单调递增， 所以选项C正确； 对于D，构造函数，当时，由选项B可知在单调递增， 又知，所以当，，在，； 即当时，在负，在为正； 由为奇函数，所以当时， 在为负，在为正， 所以不等式的解集为：，所以选项D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：构造函数，由在的正负，进而研究在的正负；再根据函数的奇偶性由图形的对称性得出的正负. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限单位：年与维护费用单位：千元之间有如表数据：与之间具有线性相关关系，且关于的线性回归方程为（为常数）.据此估计，使用年限为年时，维护费用约为____________千元． 使用年限年 维护费用千元 【答案】 【解析】 【分析】借助线性回归方程必过样本中心点，计算出、后可得，再代入计算即可得解. 【详解】，， 则，则， 故使用年限为年时，维护费用约为. 故答案为：. 13. 已知函数，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的值，进而求出即可. 【详解】由题意知：，所以， 所以，所以， 所以. 故答案为:. 14. 第届冬奥会于年月日至月日在北京和张家口举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊位大学生志愿者前往、、、四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法有________ 种． 【答案】 【解析】 【分析】计算出所有情况的种数后，减去甲、乙两同学去同一场馆的安排方法数即可得. 【详解】从位大学生志愿者中任选两人看作一个整体与其余的三人分配到四个场馆， 共有种不同的安排方法， 其中甲、乙两同学去同一场馆的安排方法数为种， 故满足题意的所有不同的安排方法种数为种 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，． （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助等差数列与等比数列基本量结合题意计算即可得； （2）借助分组求和法结合等比数列求和公式与裂项相消法求和计算即可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得，又，， ，； 【小问2详解】 由得：， ． 16. 已知椭圆：（）经过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率以及经过的点即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得点，进而根据向量垂直满足的坐标关系求解. 【小问1详解】 由题意可得所以， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 由题意可得直线的斜率存在，故设直线的方程为，， ， 所以，所以， 故，, 所以， 所以， 所以，解得， 故直线的方程为. 17. 已知在长方形中，，点E是AD的中点，沿BE折起平面，使平面平面. （1）求证：在四棱锥中，； （2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为?若存在，找出点的位置；若不存在，说明理由； （3）若点为线段的中点，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点为线段的中点 （3） 【解析】 【分析】（1）先用勾股定理证明出CE⊥BE，得到CE⊥平面ABE，进而AB⊥CE，利用线面垂直的判定定理得到； （2）过A点作底边BE的高，交BE于O点，取BC中点G,连结OG.以O为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. （3）直接利用向量法求点到平面的距离. 【小问1详解】 连结CE.因为E为AD的中点，，所以. 因为四边形ABCD为长方形，所以AB⊥AD, . 在直角三角形ABE中，，同理CE=2. 又BC=2，所以，所以CE⊥BE. 又平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=CE，所以CE⊥平面ABE，所以AB⊥CE. 又AB⊥AE，且，所以AB⊥平面AEC，所以AB⊥AC. 【小问2详解】 F为线段AC的中点. 易知△ABE和△BEC均为等腰直角三角形，过A点作底边BE高，交BE于O点，取BC中点G,连结OG.以O为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(-1，2，0)，E(-1，0，0)，=(1，0，1)，=(-1，2，-1)，显然平面ABE的一个法向量为. 假设在线段AC上存在点F，使二面角A-BE-F的余弦值为.设=λ，则+λ=(1-λ，2λ，1-λ)，又=(2，0，0)，设平面BEF的法向量为，可得，即得，令y=1可得，=(0，1，)，那么cos< >=，可得λ=，即当点F为线段AC的中点时，二面角A-BE-F的余弦值为. 【小问3详解】 当F为中点时，由（2）知=(0，1，-2)， 而,所以点C到平面BEF的距离. 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算. 18. 已知函数． （1）当时，以点为切点作曲线的切线，求切线方程； （2）证明：函数有3个零点； （3）若在区间上有最小值，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式求出切线方程； （2）利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，再结合零点存在性定理证明即可； （3）结合（2）中函数的极小值点及极小值， 令求出所对应的，从而得到，解得即可. 【小问1详解】 当时，则，， 所以， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 因为定义域为， 又，因为，所以， 由，解得或，由，解得； 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以，， 又，， 且当时，当时， 即，所以在上存在唯一零点， 由，所以在上存在唯一零点， 由，所以在上存在唯一零点， 所以在和上均不存在零点， 所以函数有且仅有个零点． 【小问3详解】 由（2）可知的极小值点为，极大值点为，且， 当时，即，则， 解得或， 因为在区间上有最小值， 所以最小值为函数的极小值，即，解得， 所以的取值范围为． 19. 年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中． （1）在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得分的概率 （2）针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ 随机选一个选项 Ⅱ 随机选两个选项 Ⅲ 随机选三个选项． 若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望 以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由全概率公式求解即可； （2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出的可能取值及其概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出； 记分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出的数学威望，由题意可得，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”． ， 即学生甲该题得分的概率为． 【小问2详解】 记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取，，， ， ， ， 所以的分布列为 则数学期望． 记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 则， ， ， 所以 记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”， 则， ， ， 所以 记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”， 则， ， 所以． 要使唯独选择方案Ⅰ最好，则， 解得：，故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 侨光中学2024年春季高二第2次阶段考数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：150 分 ） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 过与直线平行的直线方程是 C. 点到直线的距离是 D. 若直线：，则 2. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 3. 已知等差数列，前项和为是方程两根，则（ ） A 2020 B. 2022 C. 2023 D. 2024 4. 用数字1，2，3排成一个四位数，要求每个数字至少用一次，则不同的四位数有（ ） A. 30个 B. 36个 C. 60个 D. 72个 5. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A 2 B. 3 C. D. 6. 将三项式展开，得到下列等式：   广义杨辉三角形 第行                     第行                        第行                            第行                                第行                              观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第行为，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的个数不足个数时，缺少的数以计之和，第行共有个数则关于的多项式的展开式中，项的系数（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量的分布列如表，则下列说法正确的是（ ） x y P y x A. 对任意，， B. 对任意，， C. 存，， D. 存在，， 8. 已知双曲线C：的左、右焦点为，，过的直线l分别交双曲线C的左、右两支于A、B.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 给出下列命题，其中错误命题是（ ） A. 若样本数据（数据各不相同）的平均数为3，则样本数据，，…，的平均数为2 B. 随机变量的方差为，则 C. 随机变量服从正态分布，，则 D. 随机变量，若，，则 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 若奇函数在上可导，当时，满足，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限单位：年与维护费用单位：千元之间有如表数据：与之间具有线性相关关系，且关于的线性回归方程为（为常数）.据此估计，使用年限为年时，维护费用约为____________千元． 使用年限年 维护费用千元 13. 已知函数，则的值为_____________． 14. 第届冬奥会于年月日至月日在北京和张家口举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊位大学生志愿者前往、、、四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法有________ 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为等差数列，为公比等比数列，且，，． （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； 16. 已知椭圆：（）经过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 17. 已知在长方形中，，点E是AD的中点，沿BE折起平面，使平面平面. （1）求证：在四棱锥中，； （2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为?若存在，找出点的位置；若不存在，说明理由； （3）若点为线段的中点，求点到平面的距离. 18. 已知函数． （1）当时，以点为切点作曲线的切线，求切线方程； （2）证明：函数有3个零点； （3）若在区间上有最小值，求的取值范围． 19. 年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中． （1）在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得分的概率 （2）针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ 随机选一个选项 Ⅱ 随机选两个选项 Ⅲ 随机选三个选项． 若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望 以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$