精品解析：广东省惠州市惠阳区泰雅实验学校2023-2024学年高二下学期第二次考试（5月）数学试题

惠阳泰雅实验学校高二年级下学期第二次考试试题 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一组数据：11，30，31，25，20，32，41，32，18，45的第30百分位数为（ ） A. 20 B. 22.5 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】将这组数据按照从小到大顺序排列，由为整数，故取该排列中第三个数与第四个数的平均数即得. 【详解】将这组数据从小到大排列为11，18，20，25，30，31，32，32，41，45， 因为，所以第30百分位数为以上排列中的第三个数与第四个数的平均数，即． 故选：B． 2. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且在上，则的实轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求出渐近线方程，根据垂直关系得到，将代入双曲线方程，进而求出，求出实轴长. 【详解】由双曲线可得渐近线方程为， 由题意可得，将代入的方程得， 解得， 所以的实轴长为． 故选：D． 3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据点线面的位置关系结合充分条件和必要条件判断即可. 【详解】若，，，则与的位置关系不能确定； 若，因为，所以，又，所以成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 设是等比数列，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设数列公比，利用题设联立求得公比，化简所求式，将公比代入计算即得. 【详解】设的公比为，由，得，所以， 从而． 故选：B． 5. 在直角坐标系中，椭圆的右焦点为是上一点，且轴，若直线的斜率为2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，借助斜率坐标公式列式计算即得. 【详解】依题意，点在第一象限，设，则，解得， 由直线的斜率为2，得，即，于是， 即，又，解得， 所以的离心率为. 故选：B 6. 在中，角的对边分别为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理，边角互化建立a,b关系，再利用余弦定理求出a,b，代入面积公式求出面积即可. 【详解】在中，因，由正弦定理可得， 由余弦定理得：，解得， 所以的面积为． 故选：A． 7. 为丰富学生在校的课余生活，某中学安排五位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 60种 C. 90种 D. 150种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分两种情况，按照分类加法计数原理结合排列组合知识计算求解即可. 【详解】五位同学观看三个项目比赛，由于一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看， 根据题意，分两种情况，一种情况项目人数分别为3，1，1，另外一种情况项目人数分别为2，2，1， 所以安排方案有种. 故选：D. 8. 已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若、和在上单调递增，则有个； 综上所述：共有个. 故选：B. 【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧 （1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理． （2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若（为虚数单位），其中是实数，则（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 对应的点位于第一象限 D. 的实部为0 【答案】BCD 【解析】 【分析】由复数的模及复数相等可判断A，由A及共轭复数判断B，根据复数的几何意义判断C，根据复数的分类判断D. 【详解】，则由已知得， 所以，解得，故A错； 所以，共轭复数为，故B正确； ，对应的点为，位于第一象限，故C正确； ，实部为0，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 曲线的对称中心为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上有一条对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用诱导公式将函数化简成余弦型函数.对于A，求得解析式由奇偶性定义即得；对于B，将看成整体角，结合余弦函数的图象即可求得对称中心；对于C，仿照B项处理，观察余弦函数在上的图象单调性即可判断；对于D，由求得，观察余弦函数图象即可判断. 【详解】由题意可得：. 对于选项A：因为，为偶函数，故正确； 对于选项B：令，解得， 所以曲线的对称中心为，故正确； 对于选项C：取，由可得， 因在上单调递减，在上单调递增，故错误； 对于选项D：因为，则， 因在内有且仅有一条对称轴，故在区间上有且仅有一条对称轴，故正确． 故选：ABD． 11. 设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“卫界函数”，若函数，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递减 D. 函数为偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】解不等式，求出的解析式，再结合单调性、奇偶性逐项分析判断即可. 【详解】由，解得或，则， 对于A，，A正确； 对于B，当或时，，在上递减，在上递增， ，的值域为，B错误； 对于C，当时，，在上不单调，C错误； 对于D，，令， 当或时，，当时，， 即，，因此函数是偶函数，即函数为偶函数，D正确. 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若为单元素集，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据为单元素集，所以，即可求解. 【详解】因为，且为单元素集，所以， 所以的最小值为． 故答案为：． 13. 某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台，圆台上下底面半径分别为1，2，将一个表面积为的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知空心圆台（厚度不计）围成的体积为，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由球的表面积、圆台体积公式可求得水晶球的半径及圆台的高，再求出水晶球球心到圆台上底面的距离，进而可求得结果. 【详解】如图所示， 设水晶球的半径为，则，解得， 设圆台的高为，则，解得， 又因为水晶球球心到圆台上底面的距离， 所以该奖杯的高为． 故答案为：. 14. 已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，设的坐标，根据平行关系得到切线斜率，进而得到，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】由，可得， 又点在曲线上，设， 则过点和平行的切线的斜率为3， 令，则， ， 点与直线的最小距离为． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布． （1）假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求； （2）希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由． 附：①随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生． 【答案】（1） （2）理由：由（1）可得， 又希尔伯特计算份披萨质量的平均值为，， 而， 所以份披萨质量的平均值为为小概率事件，小概率事件基本不会发生， 所以希尔伯特认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的理由. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据正态分布的性质计算可得； （2）由（1）结合小概率事件的定义判断即可. 【小问1详解】 依题意，又， 所以，， 且， 所以. 【小问2详解】 略 16. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）； （2）当时，单调递增，求实数的取值范围； （3）求的最小值． 【答案】（1）， （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）通过求导可知； （2）由单调递增知恒成立，由基本不等式可得的最小值为，求解即可； （3）先求，由（2）可判断函数的单调性，即可判断的单调性，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 易知，； 【小问2详解】 因为函数单调递增， 所以恒成立， 由，当且仅当时取等号， 所以，即时，， 当时，经验证适合题意， 故实数的取值范围为； 【小问3详解】 因为， 所以， 由（2）知在上单调递增， 又， 故时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以，故的最小值为1. 17. 如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧的上一点，平面平面为的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明: 取的中点，连接，则且， 又且，则且，即四边形是平行四边形． ，又平面平面， 平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形截面来证明线线平行，再到线面平行； （2）利用面面垂直证明线面垂直，建立空间直角坐标系来求解线面角的正弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取中点为，连接，因为为等腰梯形，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面， 过点作直线的垂线交于点，则两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 为直径，． 在等腰梯形中，，所以， ， ． 设平面的一个法向量为，则， ， 令则．， 设直线与平面所成的角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为． 18. 抛物线的对称轴为轴，定点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点． （1）求的方程； （2）已知，过点的直线交与两点，又点在线段上（异于端点），且，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）（且）． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出焦点的坐标，然后即可求得p的值,即可求得方程； （2）利用直线的方程与抛物线方程联立，应用韦达定理和已知等式，确定点的横坐标与直线斜率的关系，再利用点在直线上，建立起方程，从而得到轨迹方程，注意剔除不符合题意的点. 【小问1详解】 因为抛物线的对称轴为轴，所以的焦点在轴上，直线与轴的交点为， 所以，所以，解得，所以抛物线的方程为：． 【小问2详解】 显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：， 设，联立直线与抛物线方程：，可得：， 且，解得：且， 因为，即，则有， 整理可得：，即， 所以，又点在直线上， 所以，消得， 由且得且， 所以的轨迹方程为：（且）． 19. 已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”． （1）若，请判断数列是否为“阶可控摇摆数列”？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； （2）若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式； （3）若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式． 【答案】（1）是， （2）或． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据新定义，逐一验证各条件即可； （2）分讨论，分别求出首项与公比，得出通项公式即可； （3）根据等差数列为“阶可控摇摆数列”所满足条件可求出首项及公差即可得出通项公式. 【小问1详解】 若数列是“阶可控摇摆数列”，则， 因为是首项为，公差为的等差数列， 所以，解得． 此时满足条件①数列项数有限为6；②； 又， 故数列为“6阶可控摇摆数列”． 【小问2详解】 若，则，解得，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，得，而，解得或， 故或． 【小问3详解】 设等差数列的公差为， 因为，则， 则， 由，得，而， 故， 两式相减得，即， 又，得， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题是数列中新定义问题，解决这类问题的关键在于抓住所给新定义数列满足的条件，结合等差等比数列的通项公式、求和公式加以解决，注意特殊化思想在这一类问题中的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳泰雅实验学校高二年级下学期第二次考试试题 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一组数据：11，30，31，25，20，32，41，32，18，45的第30百分位数为（ ） A. 20 B. 22.5 C. 25 D. 30 2. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且在上，则的实轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设是等比数列，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 在直角坐标系中，椭圆的右焦点为是上一点，且轴，若直线的斜率为2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角的对边分别为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 为丰富学生在校的课余生活，某中学安排五位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 60种 C. 90种 D. 150种 8. 已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若（为虚数单位），其中是实数，则（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 对应的点位于第一象限 D. 的实部为0 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 曲线的对称中心为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上有一条对称轴 11. 设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“卫界函数”，若函数，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递减 D. 函数为偶函数 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若为单元素集，则的最小值为______． 13. 某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台，圆台上下底面半径分别为1，2，将一个表面积为的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知空心圆台（厚度不计）围成的体积为，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为______． 14. 已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布． （1）假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求； （2）希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由． 附：①随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生． 16. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）； （2）当时，单调递增，求实数的取值范围； （3）求的最小值． 17. 如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧的上一点，平面平面为的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 抛物线的对称轴为轴，定点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点． （1）求的方程； （2）已知，过点的直线交与两点，又点在线段上（异于端点），且，求点的轨迹方程． 19. 已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”． （1）若，请判断数列是否为“阶可控摇摆数列”？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； （2）若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式； （3）若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $