精品解析：2024年安徽省淮南市谢家集区谢区中学中考二模数学试题

2024年安徽省淮南市谢家集区中学二模 数 学 试 卷 考生注意：本卷八大题，共 23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 如图，数轴上表示的点A到原点的距离是（　　） A. B. 3 C. D. 2. 如图所示的几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的大小为（ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为非负整数，则符合条件的的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，分别是的内接正十边形和正五边形的边，交于点P，则的度数为（ ） A. 126° B. 127° C. 128° D. 129° 7. 如图，随机闭合4个开关，，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，E，F两点分别在正方形的边上，，沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是(　　) A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，将线段绕点B旋转至，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11 分解因式： ______． 12. 某种球形冠状病毒的直径是约为纳米(纳米米)，那么这种球形冠状病毒半径约为米．把数用科学记数法表示为_________. 13. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的正半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为10，则k的值等于__． 14. 如图，点G是矩形的边的中点，点H是边上的动点，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，且点E在矩形内部，过点E作分别交，于点M，N，连接．（1）若，则_________°；（2）若，，当G，E，C三点在同一条直线上时，的长为_________． 三、（本题每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 某工人计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务，如果每小时多加工2个，就可以提前1小时完成任务． （1）该产品的预定加工时间为几小时？ （2）若该产品销售时标价为100元/个，按标价的八折销售时，每个仍可以盈利25元，该批产品总成本为多少元？ 四、（本题每小题8分，满分16分） 17. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到（，，的对应点分别为，，），画出； （2）若，且相似比为2：1，画出一个． 18. 在广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉排列图案，浅色圆点为黄色花卉，深色圆点为红色花卉．图1有黄色花卉1盆，红色花卉4盆；图2有黄色花卉4盆，红色花卉9盆；以此类推． 按照以上规律，解决下列问题∶ （1）图5中黄色花卉有_________盆； （2）图n中两种颜色花卉共有_________盆(用含n代数式表示)； （3）已知按此规律排列的花卉图案所用的红色花卉比黄色花卉多21盆，求所用的两种颜色花卉各多少盆？ 五、（本题每小题10，满分20分） 19. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）． 20. 如图1，已知为的直径，C为上一点，于E，D为弧的中点，连接，分别交于点F和点G． （1）求证：； （2）如图2，若，连接，求证：． 六、（本题满分12分） 21. 某中学为了解学生每学期诵读经典的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表： 等级 一般 较好 良好 优秀 阅读量/本 3 4 5 6 频数 12 a 14 4 频率 0.24 0.40 b c 请根据统计表中提供信息，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了__________名学生；表中_________，_________，_________． （2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数． （3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率 七、（本题满分12分） 22. 如图（1），E是菱形边上一点，是等腰三角形，AE=EF，，交于点G，探究与α的数量关系． （1）如图（2），当时，在上截取，连接，构造全等三角形，可求出的大小，那么______； （2）如图（1），求与α的数量关系． （3）如图（3），当时，过A作垂足为P，若，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 已知，二次函数与轴的一个交点为，且过和点． （1）求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标； （2）将二次函数向右平移个单位，得到的新抛物线，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式； （3）已知M、P、Q是抛物线上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是，，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年安徽省淮南市谢家集区中学二模 数 学 试 卷 考生注意：本卷八大题，共 23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 如图，数轴上表示的点A到原点的距离是（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：数轴上表示的点A到原点的距离是3， 故选：B 2. 如图所示的几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图即从左边观察得到的图形可得． 【详解】解：从左边看，可得如选项B所示的图形， 故选：B 【点睛】本题考查三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，主要考查了学生的空间想象能力，易错点是看得见的线用实线表示，看不见的线用虚线表示． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，平方差公式逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键． 4. 如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的大小为（ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数．平角的定义，求出的度数，平行线得到，即可得解．熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵，的直角顶点A落在直线a上， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为非负整数，则符合条件的的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到确定取值范围，结合k为非负整数，求解即可． 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵k为非负整数， ∴， 故选：B． 6. 如图，分别是的内接正十边形和正五边形的边，交于点P，则的度数为（ ） A. 126° B. 127° C. 128° D. 129° 【答案】A 【解析】 【分析】连接，首先根据正多边形和圆的性质求出，，然后根据圆周角定理得到，，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别是的内接正十边形和正五边形的边， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了正多边形和圆的知识，圆周角定理，三角形内角和的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 7. 如图，随机闭合4个开关，，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡L发光的结果有：，共8种， ∴能使小灯泡L发光的概率为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． 8. 如图，E，F两点分别在正方形的边上，，沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及折叠性质，勾股定理等知识内容，根据正方形性质得出，结合折叠性质得，运用勾股定理列式得，整理得，即可作答． 【详解】解：如图： 设， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上， ∴， 在中，由勾股定理有：， 即， 整理得出， 则， 故选：B． 9. 如图，二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、反比例函数的图象和性质；根据二次函数（）的图象可得，从而得到，，进而得到一次函数经过第二、四象限，一次函数经过第二、三、四象限，即可求解． 【详解】解：根据二次函数（）的图象得： ， ∴，， ∴一次函数经过第二、四象限，一次函数经过第二、三、四象限． 故选：A 10. 如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，将线段绕点B旋转至，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确找出当的值最小时，点的位置是解题关键． 过点作于点，过点作于点，先确定出当点三点共线时，最小，再根据等边三角形判定与性质、勾股定理可得，根据线段垂直平分线的性质可得，然后解直角三角形可得，从而可得，利用勾股定理可得，则，最后根据三角形的面积公式可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， 则当点三点共线时，，此时最小， 由旋转的性质得：， ∴是等边三角形， ∴点是的中点，， ∴， 又∵，点是的中点，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即的最小值为， 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式： ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 【点睛】本题考查公式法因式分解．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 12. 某种球形冠状病毒的直径是约为纳米(纳米米)，那么这种球形冠状病毒半径约为米．把数用科学记数法表示为_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解： 故答案为：． 13. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的正半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为10，则k的值等于__． 【答案】12 【解析】 【分析】先根据题意得出S菱形ABCO＝2S△CDO，再进一步根据tan∠AOC＝，求出点C的坐标，然后代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：作DE∥AO，CF⊥AO，设CF＝4x， ∵四边形OABC为菱形， ∴AB∥CO，AO∥BC， ∵DE∥AO， ∴S△ADO＝S△DEO， 同理S△BCD＝S△CDE， ∵S菱形ABCO＝S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE， ∴S菱形ABCO＝2（S△DEO+S△CDE）＝2S△CDO＝20， ∵tan∠AOC＝， ∴OF＝3x， ∴OC＝5x， ∴OA＝OC＝5x， ∵S菱形ABCO＝AO∙CF＝20x2，解得：x＝1或-1（舍）， ∴OF＝3，CF＝4， ∴点C坐标为（3，4）， ∵反比例函数y＝的图象经过点C， ∴代入点C得：k＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与反比例函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 14. 如图，点G是矩形的边的中点，点H是边上的动点，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，且点E在矩形内部，过点E作分别交，于点M，N，连接．（1）若，则_________°；（2）若，，当G，E，C三点在同一条直线上时，的长为_________． 【答案】 ①. 63 ②. 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理等；（1）由折叠得，，由等腰三角形的性质得，由外角的性质得， 由即可求解；（2）过作交于，由勾股定理得求出，由折叠及平行线的性质得，由勾股定理得，即可求解； 掌握折叠的性质，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，过作交于， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 是的中点， ， ∴ ， 由折叠得： ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 三、（本题每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂与负整指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值是解题的关键． 先计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式= ． 16. 某工人计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务，如果每小时多加工2个，就可以提前1小时完成任务． （1）该产品的预定加工时间为几小时？ （2）若该产品销售时的标价为100元/个，按标价的八折销售时，每个仍可以盈利25元，该批产品总成本为多少元？ 【答案】（1）6小时（2）3300元 【解析】 【分析】（1）设这批产品需要加工x个，根据按现在加工速度可以提前1小时完成任务列方程，解方程即可； （2）先计算每个产品的成本，由（1）可知：该产品一共有60个，可得结论． 【详解】（1）设这批产品需要加工x个，根据题意得： 1 解得：x=60． 60÷10=6． 答：该产品的预定加工时间为6小时． （2）设该批产品成本为a元/个，根据题意得： 100×80%=a+25 解得：a=55． 55×60=3300． 答：该批产品总成本为3300元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 四、（本题每小题8分，满分16分） 17. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到（，，的对应点分别为，，），画出； （2）若，且相似比为2：1，画出一个． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别画出，，的对应点，，，再依次连接即可； （2）把各边扩大两倍即可． 【小问1详解】 如图，即为所求 【小问2详解】 如图，即为所求（画法不唯一）. 【点睛】本题考查了相似作图及平移变换，掌握画平移图形的一般步骤是解决问题的关键． 18. 在广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉排列图案，浅色圆点为黄色花卉，深色圆点为红色花卉．图1有黄色花卉1盆，红色花卉4盆；图2有黄色花卉4盆，红色花卉9盆；以此类推． 按照以上规律，解决下列问题∶ （1）图5中黄色花卉有_________盆； （2）图n中两种颜色花卉共有_________盆(用含n的代数式表示)； （3）已知按此规律排列的花卉图案所用的红色花卉比黄色花卉多21盆，求所用的两种颜色花卉各多少盆？ 【答案】（1）25 （2） （3）共有红色花卉121盆，黄红色花卉100盆 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，一元一次方程的应用；解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据第1个图案需要黄色花卉1盆，第2个图案需要黄色花卉（盆），第3个图案需要黄色花卉（盆），据此可求解； （2）根据第1个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉1盆；第2个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）；第3个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； 得出第n个图案需要红色花卉盆，黄色花卉盆；据此进行总结即可； （3）可设第个花卉图案中红色花卉比黄色花卉多21盆，结合（2）进行求解即可． 【小问1详解】 解：第1个图案需要黄色花卉1盆； 第2个图案需要黄色花卉（盆）； 第3个图案需要黄色花卉（盆）； 第4个图案需要黄色花卉（盆）； 第5个图案需要黄色花卉（盆）； 故答案为：25； 【小问2详解】 第1个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉1盆； 第2个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； 第3个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； 第4个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； 第5个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； ， 第n个图案需要红色花卉盆，黄色花卉盆； 故第个图案需要花卉的盆数为：； 故答案为：； 【小问3详解】 设第个花卉图案中红色花卉比黄色花卉多21盆， 由题意得：， 解得：， ． 答：该花卉图案中红色花卉有121盆，黄色花卉100盆． 五、（本题每小题10，满分20分） 19. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】楼与之间的距离的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长、分别于直线交于、，分别利用解三角形求出、、即可． 【详解】解：延长、分别交直线于、， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴楼与之间的距离的长约为． 20. 如图1，已知为的直径，C为上一点，于E，D为弧的中点，连接，分别交于点F和点G． （1）求证：； （2）如图2，若，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得∠CAG+∠AGC＝90°，根据垂直定义可得，从而可得，然后根据已知可得，从而可得，进而可得，最后根据对顶角相等可得，从而可得进而根据等角对等边即可解答； （2）连接，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得，然后根据证明，从而可得，进而可得，最后根据等弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 某中学为了解学生每学期诵读经典的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表： 等级 一般 较好 良好 优秀 阅读量/本 3 4 5 6 频数 12 a 14 4 频率 0.24 0.40 b c 请根据统计表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了__________名学生；表中_________，_________，_________． （2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数． （3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率 【答案】（1）50 ，， （2）众数为4，平均数为 （3） 【解析】 【分析】对于（1），先求出总数，根据总数×频率求出a，再根据频数÷总数求出b，最后用1分别减去三组数据的频率求出c即可； 对于（2），根据众数和平均数的定义解答即可； 对于（3），列出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 12÷0.24=50，，，； 故答案为：50 20，0.28，0.08； 【小问2详解】 ∵阅读量为4本的同学最多，有20人， ∴众数为4； 平均数为； 【小问3详解】 记男生为A，女生为，，，列表如下： A A ∴由表可知，在所选2名同学中共有12种选法，其中必有男生的选法有6种， ∴所求概率为：． 【点睛】本题主要考查了频数分布表，求众数和平均数，列表（树状图）求概率等，掌握定义和计算公式是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图（1），E是菱形边上一点，是等腰三角形，AE=EF，，交于点G，探究与α的数量关系． （1）如图（2），当时，在上截取，连接，构造全等三角形，可求出的大小，那么______； （2）如图（1），求与α的数量关系． （3）如图（3），当时，过A作垂足为P，若，求的值． 【答案】（1）45； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）在上截取，使，连接．先证，再由正方形的性质得到，，则，得到，则，进而得到； （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过A作，垂足为P，设，则，得PD=，AP=，在证，，再得，，得结论， 【小问1详解】 解：在上截取，使，连接． ，， ， ， ， ∴四边形是正方形， ，， ， ， ， ； 故答案为：45； ． 【小问2详解】 如图（1）在上截取，使，连接， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ，，， ， α， ， ， ∴； 【小问3详解】 如图（3）过A作，垂足为P，设，则，， ， ∴PD=，AP=， 由（2）得：，， ， ，代入得：， 由（2）知：，， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，三线合一定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 已知，二次函数与轴的一个交点为，且过和点． （1）求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标； （2）将二次函数向右平移个单位，得到的新抛物线，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式； （3）已知M、P、Q是抛物线上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是，，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求． 【答案】（1），二次函数的表达式为，顶点为； （2）新函数的解析式为或或； （3）的度数是或． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数上的三个点的坐标列方程组即可求得、、的值，进而求得二次函数表达式及顶点坐标； （2）将二次函数的图象向右平移个单位得新图象的对称轴为直线，由时，随增大而增大，时，随增大而减小，且抛物线开口向下，得，进而有，或或，即可得到答案； （3）当在左侧时，过作于，先求出，，，进而得，于是可求得，当在右侧时，同理可得是等腰直角三角形，，于是可求得，从而即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数与轴的一个交点为，且过和， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为， ∴二次函数化为顶点式为， ∴二次函数顶点为； 【小问2详解】 解：如图∶ 将二次函数，的图象向右平移个单位得的图象， ∴新图象的对称轴为直线， ∵当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且抛物线开口向下， ∴， 解得， ∵是整数， ∴，或或， ∴或或， ∴符合条件的新函数的解析式为或或； 【小问3详解】 解：当在左侧时，过作于，如图， ∵点、的横坐标分别是、， ∴，， ∴，， ∵点与点关于该抛物线对称轴对称，而抛物线对称轴为直线， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 当在右侧时，如图， 同理可得是等腰直角三角形，， ∴， 综上所述，的度数是或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，抛物线的平移变换，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是掌握数形结合的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$